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专题05 函数图像信息题-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练
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这是一份专题05 函数图像信息题-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练，文件包含专题05函数图像信息题解析版docx、专题05函数图像信息题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
专题 05 函数图像信息题（解析版）
类型一 函数图象共存问题
1．（2022秋•安徽期中）一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
思路引领：可先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
解：由y=ax−1y=ax2−x，解得x=1y=a−1或x=1ay=0，
∴一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）的交点为（1，a﹣1），（1a，0），
A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误，不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，由一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）可知，两图象交于点（1，a﹣1），则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；
故选：C．
总结提升：本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
2．（2021•老河口市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知b＞0，由抛物线交y的负半轴，可知c＜0，然后利用排除法即可得出正确答案．
解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵−b2a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴相交于负半轴，
∴c＜0，
∴直线y＝bx+c经过一、三、四象限，
故选：B．
总结提升：本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
3．（2021秋•诸城市期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（ ）
A．B． C． D．
思路引领：根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．
解：当k＞0时，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x=k2在y轴右侧，并与y'轴交于负半轴，则B选项不符合题意，D选项符合题意；
当k＜0时，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，二次函数y＝x2+kx﹣k图象的对称轴x=k2在y轴左侧，并与y'轴交于正半轴，则A、C选项都不符合题意；
故选：D．
点睛：本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对k的取值进行分类讨论（当k＞0时和当k＜0时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解．
类型二 函数图象与字母系数之间的关系
4．（2022秋•淄川区期中）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
思路引领：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵−b2a=1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤错误，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
总结提升：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
5．（2019秋•潜山市期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝1，有下列结论
①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＜0；④a+b≥m（am+b），
其中正确的结论有（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
思路引领：①根据抛物线的开口方向确定a的符号，对称轴在y轴左侧确定b的符号，抛物线与y轴的交点位置确定c的符号即可；
②根据x＝﹣1时y的取值范围即可判断；
③根据x＝2时y的取值范围即可判断；
④根据顶点的坐标当x＝1时，顶点的纵坐标最大，即当x＝m时的纵坐标小于顶点的纵坐标，即可判断．
解：①根据图象可知：
a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，∴b＞0，
∴abc＜0．
∴①正确；
②根据图象可知：当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，即b＞a+c．
∴②错误；
③观察图象可知：当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0．
∴③错误．
④∵当x＝1时，顶点的纵坐标最大，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥m（am+b），
∴④正确．
所以①④，2个．
故选：C．
总结提升：本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决本题的关键是综合利用二次函数的图象和性质．
6．（2022•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
思路引领：由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0）可判断⑤．
解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵−b2a=−1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
7．（2021秋•姜堰区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，若二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是 ．
思路引领：根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标为方程ax2+bx+c＝0的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（﹣3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x=−3+12=−1，
∵二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0），
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为4，
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣6，
∴次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（﹣6，0），
故答案为：（﹣6，0）．
总结提升：此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．
8．（2022秋•长兴县月考）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c＝3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．其中正确的序号是 ．
思路引领：由图象可得对称轴为直线x=−b2a=1，可得b＝﹣2a，可判断①；将点A坐标代入解析式可得c＝﹣3a，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a的值，可判断③．
解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确，符合题意；
②当x＝﹣1时，0＝a﹣b+c，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴2c＝3b，故②正确，符合题意；
③∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0），
∴点C（0，﹣3a），
当BC＝AB时，4=9+9a2，
∴a=−73，
当AC＝BA时，4=1+9a2，
∴a=−153，
∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确，符合题意；
故答案为：①②③．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
9．（2021•越秀区校级二模）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0）．下列结论：①2a﹣b＝0；②2c＝3b；③当a＜0时，无论m取何值都有a﹣b≥am2+bm；④若a＜0时，抛物线交y轴于点C，且△ABC是等腰三角形，c=7或15； ⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点E（x1，y1）、F（x2，y2）且x1＜x2，x1+x2＞﹣2，则y1＞y2；则其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
思路引领：根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），可知二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，即−b2a=−1，可得2a与b的关系，可判断①；根据对称轴公式，将B点代入可得c、b的关系，即可判断②；函数开口向下，x＝1时取得最大值，可判断③；由图象知BC＝AB＝4时，当AC＝AB＝4时，两种情况利用勾股定理即可求得c的值，可以判断④；根据抛物线图象上点的坐标特征即可判断⑤．
解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴二次函数的对称轴为x=−3+12=−1，即−b2a=−1，
∴2a﹣b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴9a﹣3b+c＝0，a+b+c＝0，
又∵b＝2a．
∴32b+c＝0，
∴2c＝﹣3b．
故②错误；
③∵a＜0，
∴抛物线开口向下．
∴x＝﹣1时，二次函数有最大值．
∴a﹣b+c≥am2+bm+c．
即a﹣b≥am2+bm．
故③正确；
④由图象可得，AC≠BC．
当BC＝AB＝4时，则12+c2＝42，解得c=15，
当AC＝AB＝4时，则32+c2＝42，解得c=7
故△ABC是等腰三角形时，c=7或15，
故④正确；
⑤由题意可知，点E（x1，y1）到对称轴的距离小于点F（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，
故⑤正确；
故答案为①③④⑤．
总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．
类型三 根据问题情境判断函数图象
10．（2020•安徽）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．
解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．
∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△GEJ为等边三角形．
∴GH=32EJ=32x，
∴y=12EJ•GH=34x2．
当x＝2时，y=3，且抛物线的开口向上．
如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．
y=12FJ•GH=34（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：A．
总结提升：本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．
11．（2022•灯塔市模拟）如图，在等边△ABC中，BC＝4cm，动点D从点B出发，以1cm/s的速度沿BA方向运动．同时动点E从点B出发以相同的速度沿BC方向运动，当点D运动到点A时，点E也随之停止运动．连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对称点为点F，设点D的运动时间为t秒，△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据等边三角形的性质和折叠的性质，利用分类讨论的思想方法求得y与t的函数关系式，再结合自变量的取值范围判定出函数的大致图象．
解：由折叠的性质可得：S△BDE＝S△DEF，
①当0≤t≤2时，
△DEF与△ABC重叠部分的面积为y＝S△BDE，
由题意得：BD＝BE＝tcm，
过点D作DH⊥BE于点H，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴DH＝BD•sin∠B=32t．
∴S△BDE=12×BE•DH=12×t×32t=34t2；
②当2＜t≤4时，
△DEF与△ABC重叠部分的面积为为梯形DCHG，如图，
由题意得：BD＝BE＝tcm，则AD＝EC＝（1﹣t）cm，DF＝EF＝tcm，
∵∠B＝60°，BD＝BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE＝∠BED＝60°，
∴∠FDE＝∠FED＝60°，
∴∠FEC＝180°﹣∠BED﹣∠FED＝60°．
∵∠C＝60°，
∴△ECH为等边三角形，
∴CH＝CE＝EH＝（1﹣t）cm，
∴FH＝EF﹣EH＝（2t﹣1）cm，
同理：FG＝（2t﹣1）cm，
∴△FGH为等边三角形，
∴y＝S△FDE﹣S△FHG
=12×t×t×sin60°−12×（2t﹣1）（2t﹣1）×sin60°
=34t2−34（2t﹣1）2
=−334t2+3t−34，
综上，y与t之间函数关系式为y=34t2(0≤t≤2)−334t2+3t−34(2＜t≤4)，
由二次函数图象的性质可知，第一个函数的图象是开口向上的抛物线的一部分，第二个函数的图象是开口向下的抛物线的一部分，
∴A大致反映y与t之间函数关系，
故选：A．
总结提升：本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
类型六 根据函数图象获取信息
12．（2022•高唐县二模）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是 ．
思路引领：过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则AD＝12，可得出答案．
解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC于H，
由三角形面积公式得：y=12•BQ•EH=12×10•EH＝30，
解得EH＝AB＝6，
∴AE＝8cm，
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
∴AD＝AE+DE＝8+4＝12（cm），
∴矩形的面积为12×6＝72（cm2）．
故答案为：72cm2．
总结提升：本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．
13．（2020•瑞安市模拟）如图1，在等腰直角三角形ABC中，点D是斜边BC上的动点，过点B作AB的垂线交直线AD于点E．过点C作CF⊥直线AD于点F，设AE为x，CF为y，y关于x的函数图象如图2所示，将图象上的点P（6，a）向右平移2个单位．再向下平移1个单位后恰好又落在图象上．则AB的长是 ．
思路引领：先判定△ABE∽△CFA，再推得y关于x成反比例函数关系，结合点P（6，a）向右平移2个单位．再向下平移1个单位后恰好又落在图象上．解得a，则可求得答案．
解：在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
∵EB⊥AB，CF⊥AE，
∴∠AFC＝∠ABE＝90°，∠BAE＝90°﹣∠FAC＝∠FCA，
∴△ABE∽△CFA，
∴CA：AE＝CF：AB．
∵CA＝AB，
∴AB2＝AE•CF＝xy，
∴y=AB2x，
∵AB为定值，
∴y关于x成反比例函数关系，
∵点P（6，a）向右平移2个单位．再向下平移1个单位后的坐标为（8，a﹣1），
∴6a＝8（a﹣1），
解得：a＝4，
∴AB2＝xy＝6×4＝24，
∴AB＝26（舍负）．
故答案为：26．
总结提升：本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握相似三角形的判定与性质及反比例函数的定义与性质是解题的关键
类型一 读取函数图象信息解决实际问题
14．（2020春•舞钢市期中）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的关系．根据图象回答：
（1）甲、乙两地之间的距离为 千米．
（2）两车同时出发后 小时相遇．
（3）线段CD表示的实际意义是 ．
（4）慢车和快车的速度分别为多少km/h？（写出计算过程）
思路引领：（1）根据函数图象中的数据，可以写出甲、乙两地之间的距离；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到两车出发后几小时相遇；
（3）根据题意，可以写出线段CD表示的实际意义；
（4）根据函数图象中的数据，可以计算出慢车和快车的速度分别为多少km/h．
解：（1）由图象可得，
甲、乙两地之间的距离为900千米，
故答案为：900；
（2）由图象可得，
两车同时出发后4小时相遇，
故答案为：4；
（3）线段CD表示的实际意义是快车到达乙地后，慢车继续行驶到甲地，
故答案为：快车到达乙地后，慢车继续行驶到甲地；
（4）慢车的速度为：900÷12＝75（km/h），
快车的速度为：900÷4﹣75＝225﹣75＝150（km/h），
即慢车和快车的速度分别为75km/h、150km/h．
点睛：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
15．（2021秋•龙岗区校级期中）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米，请求出此时小军骑行的时间．（直接写出答案）
解：（1）由题意得a＝1500÷150＝10，
b＝10+5＝15，
m＝（3000﹣1500）÷（22.5﹣15）＝200（米/分），
故答案为：10，15，200．
（2）设BC所在直线解析式为y＝kx+b，
将（15，1500），（22.5，3000）代入y＝kx+b得：
1500=15k+b3000=22.5k+b，解得k=200b=−1500，
∴y＝200x﹣1500（15≤x≤22.5），
∵小军速度为120米/分，
∴OD所在直线解析式为y＝120x，
联立方程y=200x−1500y=120x，
解得x=754y=2250，
3000﹣2250＝750（米），
∴小军在途中与爸爸第二次相遇时，距离图书馆750米．
（3）由题意得当x＜754时，120x﹣（200x﹣1500）＝100，
解得x=352=17.5，
当x＞754时，200x﹣1500﹣120x＝100，
解得x＝20．
∴爸爸自第二次出发至到达图书馆前，小军骑行时间为17.5或20分钟时，两人相距100米．
专题 05 函数图像信息题（解析版）
类型一 函数图象共存问题
1．（2022秋•安徽期中）一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
思路引领：可先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
解：由y=ax−1y=ax2−x，解得x=1y=a−1或x=1ay=0，
∴一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）的交点为（1，a﹣1），（1a，0），
A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误，不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，由一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）可知，两图象交于点（1，a﹣1），则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；
故选：C．
总结提升：本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
2．（2021•老河口市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知b＞0，由抛物线交y的负半轴，可知c＜0，然后利用排除法即可得出正确答案．
解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵−b2a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴相交于负半轴，
∴c＜0，
∴直线y＝bx+c经过一、三、四象限，
故选：B．
总结提升：本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
3．（2021秋•诸城市期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（ ）
A．B． C． D．
思路引领：根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．
解：当k＞0时，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x=k2在y轴右侧，并与y'轴交于负半轴，则B选项不符合题意，D选项符合题意；
当k＜0时，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，二次函数y＝x2+kx﹣k图象的对称轴x=k2在y轴左侧，并与y'轴交于正半轴，则A、C选项都不符合题意；
故选：D．
点睛：本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对k的取值进行分类讨论（当k＞0时和当k＜0时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解．
类型二 函数图象与字母系数之间的关系
4．（2022秋•淄川区期中）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
思路引领：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵−b2a=1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤错误，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
总结提升：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
5．（2019秋•潜山市期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝1，有下列结论
①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＜0；④a+b≥m（am+b），
其中正确的结论有（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
思路引领：①根据抛物线的开口方向确定a的符号，对称轴在y轴左侧确定b的符号，抛物线与y轴的交点位置确定c的符号即可；
②根据x＝﹣1时y的取值范围即可判断；
③根据x＝2时y的取值范围即可判断；
④根据顶点的坐标当x＝1时，顶点的纵坐标最大，即当x＝m时的纵坐标小于顶点的纵坐标，即可判断．
解：①根据图象可知：
a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，∴b＞0，
∴abc＜0．
∴①正确；
②根据图象可知：当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，即b＞a+c．
∴②错误；
③观察图象可知：当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0．
∴③错误．
④∵当x＝1时，顶点的纵坐标最大，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥m（am+b），
∴④正确．
所以①④，2个．
故选：C．
总结提升：本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决本题的关键是综合利用二次函数的图象和性质．
6．（2022•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
思路引领：由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0）可判断⑤．
解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵−b2a=−1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
7．（2021秋•姜堰区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，若二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是 ．
思路引领：根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标为方程ax2+bx+c＝0的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（﹣3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x=−3+12=−1，
∵二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0），
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为4，
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣6，
∴次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（﹣6，0），
故答案为：（﹣6，0）．
总结提升：此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．
8．（2022秋•长兴县月考）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c＝3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．其中正确的序号是 ．
思路引领：由图象可得对称轴为直线x=−b2a=1，可得b＝﹣2a，可判断①；将点A坐标代入解析式可得c＝﹣3a，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a的值，可判断③．
解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确，符合题意；
②当x＝﹣1时，0＝a﹣b+c，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴2c＝3b，故②正确，符合题意；
③∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0），
∴点C（0，﹣3a），
当BC＝AB时，4=9+9a2，
∴a=−73，
当AC＝BA时，4=1+9a2，
∴a=−153，
∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确，符合题意；
故答案为：①②③．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
9．（2021•越秀区校级二模）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0）．下列结论：①2a﹣b＝0；②2c＝3b；③当a＜0时，无论m取何值都有a﹣b≥am2+bm；④若a＜0时，抛物线交y轴于点C，且△ABC是等腰三角形，c=7或15； ⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点E（x1，y1）、F（x2，y2）且x1＜x2，x1+x2＞﹣2，则y1＞y2；则其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
思路引领：根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），可知二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，即−b2a=−1，可得2a与b的关系，可判断①；根据对称轴公式，将B点代入可得c、b的关系，即可判断②；函数开口向下，x＝1时取得最大值，可判断③；由图象知BC＝AB＝4时，当AC＝AB＝4时，两种情况利用勾股定理即可求得c的值，可以判断④；根据抛物线图象上点的坐标特征即可判断⑤．
解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴二次函数的对称轴为x=−3+12=−1，即−b2a=−1，
∴2a﹣b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴9a﹣3b+c＝0，a+b+c＝0，
又∵b＝2a．
∴32b+c＝0，
∴2c＝﹣3b．
故②错误；
③∵a＜0，
∴抛物线开口向下．
∴x＝﹣1时，二次函数有最大值．
∴a﹣b+c≥am2+bm+c．
即a﹣b≥am2+bm．
故③正确；
④由图象可得，AC≠BC．
当BC＝AB＝4时，则12+c2＝42，解得c=15，
当AC＝AB＝4时，则32+c2＝42，解得c=7
故△ABC是等腰三角形时，c=7或15，
故④正确；
⑤由题意可知，点E（x1，y1）到对称轴的距离小于点F（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，
故⑤正确；
故答案为①③④⑤．
总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．
类型三 根据问题情境判断函数图象
10．（2020•安徽）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．
解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．
∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△GEJ为等边三角形．
∴GH=32EJ=32x，
∴y=12EJ•GH=34x2．
当x＝2时，y=3，且抛物线的开口向上．
如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．
y=12FJ•GH=34（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：A．
总结提升：本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．
11．（2022•灯塔市模拟）如图，在等边△ABC中，BC＝4cm，动点D从点B出发，以1cm/s的速度沿BA方向运动．同时动点E从点B出发以相同的速度沿BC方向运动，当点D运动到点A时，点E也随之停止运动．连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对称点为点F，设点D的运动时间为t秒，△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据等边三角形的性质和折叠的性质，利用分类讨论的思想方法求得y与t的函数关系式，再结合自变量的取值范围判定出函数的大致图象．
解：由折叠的性质可得：S△BDE＝S△DEF，
①当0≤t≤2时，
△DEF与△ABC重叠部分的面积为y＝S△BDE，
由题意得：BD＝BE＝tcm，
过点D作DH⊥BE于点H，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴DH＝BD•sin∠B=32t．
∴S△BDE=12×BE•DH=12×t×32t=34t2；
②当2＜t≤4时，
△DEF与△ABC重叠部分的面积为为梯形DCHG，如图，
由题意得：BD＝BE＝tcm，则AD＝EC＝（1﹣t）cm，DF＝EF＝tcm，
∵∠B＝60°，BD＝BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE＝∠BED＝60°，
∴∠FDE＝∠FED＝60°，
∴∠FEC＝180°﹣∠BED﹣∠FED＝60°．
∵∠C＝60°，
∴△ECH为等边三角形，
∴CH＝CE＝EH＝（1﹣t）cm，
∴FH＝EF﹣EH＝（2t﹣1）cm，
同理：FG＝（2t﹣1）cm，
∴△FGH为等边三角形，
∴y＝S△FDE﹣S△FHG
=12×t×t×sin60°−12×（2t﹣1）（2t﹣1）×sin60°
=34t2−34（2t﹣1）2
=−334t2+3t−34，
综上，y与t之间函数关系式为y=34t2(0≤t≤2)−334t2+3t−34(2＜t≤4)，
由二次函数图象的性质可知，第一个函数的图象是开口向上的抛物线的一部分，第二个函数的图象是开口向下的抛物线的一部分，
∴A大致反映y与t之间函数关系，
故选：A．
总结提升：本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
类型六 根据函数图象获取信息
12．（2022•高唐县二模）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是 ．
思路引领：过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则AD＝12，可得出答案．
解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC于H，
由三角形面积公式得：y=12•BQ•EH=12×10•EH＝30，
解得EH＝AB＝6，
∴AE＝8cm，
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
∴AD＝AE+DE＝8+4＝12（cm），
∴矩形的面积为12×6＝72（cm2）．
故答案为：72cm2．
总结提升：本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．
13．（2020•瑞安市模拟）如图1，在等腰直角三角形ABC中，点D是斜边BC上的动点，过点B作AB的垂线交直线AD于点E．过点C作CF⊥直线AD于点F，设AE为x，CF为y，y关于x的函数图象如图2所示，将图象上的点P（6，a）向右平移2个单位．再向下平移1个单位后恰好又落在图象上．则AB的长是 ．
思路引领：先判定△ABE∽△CFA，再推得y关于x成反比例函数关系，结合点P（6，a）向右平移2个单位．再向下平移1个单位后恰好又落在图象上．解得a，则可求得答案．
解：在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
∵EB⊥AB，CF⊥AE，
∴∠AFC＝∠ABE＝90°，∠BAE＝90°﹣∠FAC＝∠FCA，
∴△ABE∽△CFA，
∴CA：AE＝CF：AB．
∵CA＝AB，
∴AB2＝AE•CF＝xy，
∴y=AB2x，
∵AB为定值，
∴y关于x成反比例函数关系，
∵点P（6，a）向右平移2个单位．再向下平移1个单位后的坐标为（8，a﹣1），
∴6a＝8（a﹣1），
解得：a＝4，
∴AB2＝xy＝6×4＝24，
∴AB＝26（舍负）．
故答案为：26．
总结提升：本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握相似三角形的判定与性质及反比例函数的定义与性质是解题的关键
类型一 读取函数图象信息解决实际问题
14．（2020春•舞钢市期中）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的关系．根据图象回答：
（1）甲、乙两地之间的距离为 千米．
（2）两车同时出发后 小时相遇．
（3）线段CD表示的实际意义是 ．
（4）慢车和快车的速度分别为多少km/h？（写出计算过程）
思路引领：（1）根据函数图象中的数据，可以写出甲、乙两地之间的距离；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到两车出发后几小时相遇；
（3）根据题意，可以写出线段CD表示的实际意义；
（4）根据函数图象中的数据，可以计算出慢车和快车的速度分别为多少km/h．
解：（1）由图象可得，
甲、乙两地之间的距离为900千米，
故答案为：900；
（2）由图象可得，
两车同时出发后4小时相遇，
故答案为：4；
（3）线段CD表示的实际意义是快车到达乙地后，慢车继续行驶到甲地，
故答案为：快车到达乙地后，慢车继续行驶到甲地；
（4）慢车的速度为：900÷12＝75（km/h），
快车的速度为：900÷4﹣75＝225﹣75＝150（km/h），
即慢车和快车的速度分别为75km/h、150km/h．
点睛：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
15．（2021秋•龙岗区校级期中）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米，请求出此时小军骑行的时间．（直接写出答案）
解：（1）由题意得a＝1500÷150＝10，
b＝10+5＝15，
m＝（3000﹣1500）÷（22.5﹣15）＝200（米/分），
故答案为：10，15，200．
（2）设BC所在直线解析式为y＝kx+b，
将（15，1500），（22.5，3000）代入y＝kx+b得：
1500=15k+b3000=22.5k+b，解得k=200b=−1500，
∴y＝200x﹣1500（15≤x≤22.5），
∵小军速度为120米/分，
∴OD所在直线解析式为y＝120x，
联立方程y=200x−1500y=120x，
解得x=754y=2250，
3000﹣2250＝750（米），
∴小军在途中与爸爸第二次相遇时，距离图书馆750米．
（3）由题意得当x＜754时，120x﹣（200x﹣1500）＝100，
解得x=352=17.5，
当x＞754时，200x﹣1500﹣120x＝100，
解得x＝20．
∴爸爸自第二次出发至到达图书馆前，小军骑行时间为17.5或20分钟时，两人相距100米．
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