山东省聊城市莘县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

2022—2023学年度第一学期学业水平检测

九年级数学试题

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．下列说法不正确的是（    ）

A．含30°角的直角三角形与含60°角的直角三角形是相似的

B．所有的矩形是相似的

C．所有边数相等的正多边形是相似的

D．所有的等边三角形都是相似的

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若，则cosA的值为（    ）

A．  B．  C．1  D．

3．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积为2，则四边形DBCE的面积是（    ）

A．8   B．6   C．4   D．2

4．如图，在正方形网格中，△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，，则∠ABC＋∠ACB的度数为（    ）

A．30°   B．45°   C．60°   D．75°

5．如图，AD，BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA与⊙O相切于点A，连接BD，若∠P=40°，则∠ADB的度数为（    ）

A．65°   B．60°   C．50°   D．25°

6．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值是（    ）

A．   B．   C．   D．

7．如图，菱形ABCD的周长为16，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=120°，则OE的长为（    ）

A．   B．1   C．   D．

8．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=∠CAB，AD=2，AC=4，则⊙O的半径为（    ）

A．   B．   C．   D．

9．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（    ）

A．1：3   B．2：3   C．：2   D．：3

10．如图，D、E分别是△ABC边AB，BC上的点，且，AE，CD相交于点O，若，则的值为（    ）

A．1：3   B．1：4   C．1：5   D．1：25

11．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③。若半径OA=2，∠AOB=45°，则点O所经过的运动路径的长是（    ）

A．   B．   C．   D．

12．如图，△ABC，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，过点C做于，过点做于，过点做于，这样继续作下去，线段（n为正整数）等于（    ）

A．   B．   C．   D．

二、填空（每题3分，共15分）

13．如图，直线，，DE=6，那么EF的值是______．

14．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为______．

15．如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是______．

16．如图，在中，对角线AC、BD相交于点O．若AB=4，BD=10，，则的面积是______．

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4．点，，分别在AC，BC，AB上，且四边形是正方形，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，…，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，则线段的长度是______．

三、解答题（共69分）

18．计算（6分）

（1）

（2）已知是锐角，且，计算的值．

19．（8分）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（－2，－1），B（－1，－3），与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．

（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点的坐标；

（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点的坐标。

20．（8分）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．

（1）求证：；

（2）若BD=2，，求等边△ABC的边长．

21．（8分）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB=50m，∠MAB=22°，∠MBA=67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．参考数据：，，，，，．

22．（8分）在Rt△ABC中∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB干点D，点E是边BC的中点，连结DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AD=4，BD=9，求⊙O的半径．

23．（9分）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地，某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：，）

24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．

（1）求证：；

（2）若AD=5，AB=8，，求AF的长．

25．（12分）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG=EC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若点F是OA的中点，BD=4，，求EC的长．

2022—2023学年度第一学期学业水平检测

九年级数学参考答案

一、选择题（每题3分，共36分）

二、填空题（每题3分，共 15分）

13．4   14．6.5cm   15．   16．24   17．

三、解答题（共69分）

18．（1）

（2）∵∴

∴

19．（1）如图，P（－5，－1），

（2）如图，即为所求作．

20．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，

又∵∠ADE=60°，∴∠ADB＋∠CDE=180°－60°=120°，

∠ADB＋∠DAB=180°－60°=120°，∴∠CDE=∠DAB，∴

（2）设等边△ABC的边长为x，∵BD=2，，∴BC=AB=x，DC=x－2，

∴，∴，∴，解得：x=6，∴等边△ABC的边长为6．

21．解：过点M作MN⊥AB，

根据题意可得：，∴，，

∴，∵，∴，

解得：（m），∴河流的宽度约为17.1m．

22．解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACD＋∠DCB=90°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDB=180°－∠ADC=90°，

∵点E是边BC的中点，∴，∴∠DCE=∠CDE，∴∠ODC＋∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；

（2）∵AD=4，BD=9，∴AB=AD＋BD=4＋9=13，∵∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A，

∴，∴，∴．

∴，∴⊙O的半径为．

23．，AB=25米，∠DBE=60°，∠DAC=45°，∠C=90°，设BF=7a米，AF=24a米，

∴，解得a=1，∴AF=24米，BF=7米，∠DAC=45°，∠C=90°，

∴∠DAC=∠ADC=45°，∴AC=DC，设DE=x米，则DC=（x＋7）米，BE=CF=x＋7－24=（x－17）米，

∵，解得米，答：东楼的高度DE约为40米．

24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，AD=BC，

∴∠D＋∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB＋∠AFE=180°，∠AFE=∠D，

∴∠C=∠AFB，∴；

（2）∵AE⊥DC，AD=5，AB=8，，∴AE=4，∵AE⊥DC，，∴∠AED=∠BAE=90°，

在Rt△ABE中，根据勾股定理得：，∵BC=AD=5，

由（1）得：，∴，即，解得：．

25．（1）证明：连接OC，∵EF⊥AB，AB为⊙O的切线，∴∠GFA=90°，∠ACB=90°，

∴∠A+∠AGF=90°，∠A+∠ABC=90°，∴∠AGF=∠ABC，

∵EG=EC，OC=OB，∴∠EGC=∠ECG，∠ABC=∠BCO，

又∵∠AGF=∠EGC，∴∠ECG=∠BCO，

∵∠BCO+∠ACO=90°，∴∠ECG+ACO=90°，∴∠ECO=90°，

∴DE是OO的切线；

（2）由（1）知，DE是⊙O的切线，∠OCD=90°，

∵BD=4，OC=OB，，

∴OC=2，OD=6，∴，

∵点E为OA的中点，OA=OC，∴OF=1，DF=7，

∵∠EFD=∠OCD，∠EDF=∠ODC，∴，

∴，即，解得，

∴，即EC的长是．