2022-2023学年河南省鹤壁市高中高二下学期第五次段考数学试题含答案

2022-2023学年河南省鹤壁市高中高二下学期第五次段考数学试题

一、单选题

1．满足等式的集合X共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】根据方程的实数根可得集合，则，由集合的并集与元素的关系即可得符合条件的所有集合.

【详解】解：方程的实数根有，解集构成的集合为，

即，则符合该等式的集合为，，，，

故这样的集合共有4个.

故选：D.

2．已知P，Q为R的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据条件画出图，根据图形，判断选项.

【详解】因为，所以，如图，

对于选项A：由题意知 P是 Q的真子集，故，，故不正确，

对于选项B：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正确.

对于选项C：由是的真子集知，，，故不正确，

对于选项D：Q是的真子集，故，，故不正确，

故选：B

3．已知，，若，则

A．有最小值 B．有最小值

C．有最大值 D．有最大值

【答案】A

【分析】根据基本不等式的性质，即可求解有最小值，得到答案.

【详解】由题意，可知，，且，

因为，则，即，

所以，

当且仅当时，等号成立，取得最小值，

故选A．

【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

4．已知正数满足，则的最小值是（    ）

A．17 B．16 C．15 D．14

【答案】A

【分析】先配凑，然后运用基本不等式求出最小值

【详解】，

当且仅当，即，时，取得最小值.

故选：.

5．已知函数是定义在上的偶函数，且函数在上是减函数，如果，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意可得在，上为减函数，结合奇偶性以及可得，解出的取值范围，即可得答案．

【详解】函数是定义在上的偶函数，且函数在，上是减函数，

所以在上是增函数，

由（3），则不等式（3）（3），

解之可得，

故不等式的解集为，．

故选：．

【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.

6．已知函数，且，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先判断函数的奇偶性，然后对对数的真数分子有理化，快速判断函数在定义域上的单调性，从而利用奇偶性和单调性求解不等式．

【详解】由题知函数的定义域为，

且，所以函数为奇函数．

因为，所以函数在上单调递减．

因为，所以，解得，故实数的取值范围是．

故选：A

7．在古希腊，人们把宽与长之比为的矩形称为“黄金矩形”，这个比例被称为黄金分割比例，黄金分割在设计和建筑领域有着广泛的应用．希腊的一古建筑的复原正面图如图所示，图中的矩形为黄金矩形．若黄金矩形的边的长度超过，但不超过，则该古建筑的地面宽度（即线段的长）可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将位置关系表示在几何平面关系中，结合黄金比例求解即可.

【详解】  

设圆半径为，所以，

因为，

所以，

由题意可得，

所以，

因为，

所以，

所以.

故选：B.

8．对任意，函数满足，若方程的根为，，，，则.（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出函数f(x)的对称轴方程为x=1，再利用函数的对称性求解.

【详解】因为函数满足，

所以函数f(x)的对称轴方程为x=1.

因为方程的根为，，，，

设+++=S，则S=+++,

因为函数f(x)的对称轴方程为x=1，

所以，

所以2S=2n.

所以S=n.

所以+++=n.

故选B

【点睛】本题主要考查函数的对称性及其应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．是的充分不必要条件

B．若集合中只有一个元素，则

C．已知，，则对应的的集合为

D．已知集合，则满足条件的集合的个数为

【答案】ABCD

【分析】根据集合的基础知识，以及充分，必要条件，命题的否定，判断选项.

【详解】A.根据集合关系，以及充分，必要条件的定义，可知A正确；

B.当时，不成立，当时，，解得：，故B正确；

C.，得，所以命题对应的集合是，所以对应的的集合为，故C正确；

D.，则，因为集合有2个元素，所以集合的个数为，故D正确.

故选：ABCD

10．下列结论中，所有正确的结论是（    ）．

A．若，则 B．若实数a、b、，则

C． D．若实数a，，，则

【答案】AD

【分析】利用不等式的性质和基本不等式对选项逐个判断即可.

【详解】对于A选项，若，则，，所以，

由不等式的基本性质可得，A选项正确；

对于B选项，由于a、b、m均为正实数，则，

由于a、b的大小关系不确定，则的符号不确定，所以与的大小关系不确定，B选项错误；

对于C选项，当时，，此时，故C选项错误；

对于D选项，由于正实数a、b满足，

，当且仅当时等号成立，故D选项正确.

故选：AD

11．已知上的偶函数在区间上单调递增，且恒有成立，则下列说法正确的是（    ）

A．在上是增函数 B．的图象关于点对称

C．函数在处取得最小值 D．函数没有最大值

【答案】BC

【分析】由得函数图象关于点对称，再结合偶函数性质得出函数的周期性，从而可得函数的单调性，然后可判断各选项．

【详解】因为又是偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减，

∵，∴，

设是上任一点，它关于的对称点是，

，即也是函数图象上的点，

∴函数的图象关于点中心对称，B正确；

从而在上单调递减，A错误；

由上推导知在上递减，由对称性知在上递增，

又，即是周期函数，4是它的一个周期，

从而在上递增，在上递减，

因此是函数的最小值，是函数的最大值，C正确，D错误．

故选：BC．

12．已知函数定义域为R，且.

当时，.若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（    ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】ABD

【分析】令，得到.作出的图像，利用图像法讨论零点，分类讨论求出k的值.

【详解】令，得到.

由已知，，则的周期为2.

其大致图像如图所示，由图可知，

令，得到.

①当时，零点为1､3､5､7､…，满足题意；

②当时，零点为0､2､4､6､…，满足题意；

③当时，若零点从小到大构成等差数列，公差只能为1.

由，得，此时；

④当时，函数无零点，不符合题意.

故选：ABD.

三、填空题

13．若集合，则集合的非空真子集的个数为      .

【答案】254

【分析】先由且，得到的所有可能取值，确定集合中元素个数，进而可求出结果.

【详解】因为且，所以，，，，

因此，所以集合共含有个元素，

因此，其非空真子集的个数为：个：

故答案为

【点睛】本题主要考查求解的非空真子集个数，熟记公式即可，属于基础题型.

14．不等式恒成立，则实数的取值范围是       .

【答案】

【分析】根据题意，分和两种情况，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，当时，不等式恒成立；

当时，不等式恒成立，

则满足，即，解得，

综上可得，实数的取值范围是.

故答案为：.

15．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是           ．

【答案】

【分析】不等式恒成立，即为不大于xy的最小值，运用基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．

【详解】∵正实数x，y满足，

所以，即，

当且仅当时等号成立，

由恒成立，可得，

解得

故答案为：

16．已知函数，若有4个零点，则m的取值范围是          .

【答案】

【解析】画出图像，令，将“有4个零点”的问题转化为在上有两个不同实数根来列不等式组，解不等式求得的取值范围.

【详解】画出的图像如下图所示，由于可知，当时，每个函数值都有两个不同自变量与其对应.令，则“有4个零点”的问题转化为在上有两个不同实数根.令，依题意在上有两个不同实数根，由于其对称轴，所以，解得.所以实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查根据函数零点的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

四、解答题

17．已知．

（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；

（2）若，求的值域．

【答案】（1）对称轴为，最小正周期；（2）

【分析】(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到，由周期公式和对称轴公式可得答案；(2)由x的范围得到，由正弦函数的性质即可得到值域.

【详解】（1）

令，则

的对称轴为，最小正周期；

（2）当时，，

因为在单调递增，在单调递减，

在取最大值，在取最小值，

所以，

所以．

【点睛】本题考查正弦函数图像的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题.

18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求C；

(2)若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式、诱导公式变形后可得角；

（2）利用余弦定理再求得关系，然后求得．

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