2023南通高三下学期2月第一次调研测试（一模）数学含解析

南通市2023届高三第一次调研测试

数  学

本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回

一､选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知向量满足，则（    ）

A.    B.    C.0    D.2

3.在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ）

A.    B.2    C.    D.4

4.2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（    ）

A    B.

C.    D.

5.已知，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：

甲：；

乙：；

丙：；

丁：

如果只有一个假命题，则该命题为（    ）

A.甲    B.乙    C.丙    D.丁

7.已知函数的定义域为，且为偶函数，，若，则（    ）

A.1    B.2    C.    D.

8.若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在棱长为2的正方体中，与交于点，则（    ）

A.平面

B.平面

C.与平面所成的角为   

D.三棱锥的体积为

10.函数的部分图象如图所示，则（    ）

A.

B.

C.的图象关于点对称   

D.在区间上单调递增

11.一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝.从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，则（    ）

A.    B.为互斥事件

C.    D.相互独立

12.已知抛物线的焦点为，以该抛物线上三点为切点的切线分别是，直线相交于点与分别相交于点.记的横坐标分别为，则（    ）

A.    B.

C.    D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数则__________.

14.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.

①；②

15.已知圆，设直线与两坐标轴的交点分别为，若圆上有且只有一个点满足，则的值为__________.

16.已知正四棱锥的所有棱长都为1，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为__________，的面积的最大值为__________.（第一空2分，第二空3分）

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答

已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.

（1）求的通项公式；

（2）求

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分

18.（12分）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，部分数

（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？

（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.

附：

19.（12分）在中，的对边分别为

（1）若，求的值；

（2）若的平分线交于点，求长度的取值范围.

20.（12分）如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

21.（12分）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，的面积为3.

（1）求的方程；

（2）证明：以为直径的圆经过定点.

22.（12分）已知函数和有相同的最大值.

（1）求实数；

（2）设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：.

2023届高三第一次调研测试

数学

答案与解析

一､选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】A

【解析】，选A.

2.【答案】C

【解析】，选C.

3.【答案】B

【解析】对应的点关于对称，，

，选B

4.【答案】D

【解析】，，选D.

5.【答案】B

【解析】，

选B.

6.【答案】D

【解析】乙､丙一定都正确，则，

甲正确，丁错，选D.

7.【答案】A

【解析】为偶函数，则关于对称，关于对称，

.

，

即满足条件，.

8.【答案】D

【解析】设切点，

过

有两个不相等实根，

其中或

令或，

时，

时，，

综上：，选D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】ABD

【解析】平面平面平面对平面对

平面与平面所成角为，

错.

，D对.选

10.【答案】ACD

【解析】，对，B错.

时，关于对称，对

.，

在而在对，

选ACD.

11.【答案】AC

【解析】对.

可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错.

在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为对.

不独立，

D错，选AC.

12.【答案】BCD

【解析】，

，即

，

，即时，

不一定为错.

对

对

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】4

【解析】，

14.【答案】

【解析】可构造等比数列，，则公比为负数，，

取

15.【答案】

【解析】在的垂直平分线上，

在圆满足条件的有且仅有一个，直线与圆相切，

16.【答案】；

【解析】方法一：的边数至多为5，延长交于点，

延长交于点，连接分别与交于，

连接得截面五边形

设，

，而，

，

显然五边形时截面面积最大，

时取“”，

面积的最大值为.

应填：

方法二：取中点平面.

作平面与平行，如图至多为五边形.

令，

与的夹角为与夹角，而与垂直，

，

时，取最大值.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.【解析】

（1）设公差为，若选①②，

则

.

若选①③或②③同理可得

（2）

.

18.【解析】

（1）列联表如下：

有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关

（2）3人进球总次数的所有可能取值为

的分布列如下：

的数学期望.

19.【解析】

（1），

，

.

（2）由（1）知，设，

20.【解析】

（1）证明：平面，

又平面平面

（2）如图建系，则，

，

设平面与平面的一个法向量分别为，

设二面角平面角为，

.

21.【解析】

（1）当轴时，，

双曲线的方程为：.

（2）方法一：设方程为，

以为直径的圆的方程为

由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令

，而，

，

对恒成立，.

以为直径的圆经过定点.

方法二：设方程为，

由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点.

设以为直径的圆过，

，

而

，

，

，即对恒成立，

，即以为直径的圆经过定点

22.【解析】

（1），令.

有最大值，且在上上，.

时，，

当时，；当时，，

（2）方法：由，由，

令在上；上，至多两个零点

令在上；上；至多两个零点.

令，

当时，；

当时，由且，

在上，方程无解.

当时，由在上，

方程有唯一解

当时，注意到，

在和上各有一个零点

示意图

如下注意到，

在和上各有一个零点.

且由，而，

而在上，由，

由，而

而在上，由，

，证毕!