2019年青岛市中考数学试题【含答案】

2019年青岛市中考数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（3分）﹣的相反数是（　　）

A．﹣ B．﹣ C．± D．

2．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

3．（3分）2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km，把384000km用科学记数法可以表示为（　　）

A．38.4×104km    B．3.84×105km    C．0.384×10 6km    D．3.84×106km

4．（3分）计算（﹣2m）2•（﹣m•m2+3m3）的结果是（　　）

A．8m5 B．﹣8m5 C．8m6 D．﹣4m4+12m5

5．（3分）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（　　）

A．π B．2π C．2π D．4π

6．（3分）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（　　）

A．（﹣4，1） B．（﹣1，2） C．（4，﹣1） D．（1，﹣2）

7．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°

8．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分）计算：﹣（）0＝　   　．

10．（3分）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　   　．

11．（3分）射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是　   　环．

12．（3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是　   　°．

13．（3分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为　   　cm．

14．（3分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走　   　个小立方块．

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

15．（4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：∠α，直线l及l上两点A，B．

求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．

四、解答题（本大题共9小题，共74分）

16．（8分）（1）化简：÷（﹣2n）；（2）解不等式组，并写出它的正整数解．

17．（6分）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．

18．（6分）为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校800名学生中随机抽取了40名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：h），统计结果如下：

9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，7.5，9.5，9，8.5，7.5，10，9.5，8，9，7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8，9．

在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表：

睡眠时间分组统计表睡眠时间分布情况

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）m＝　   　，n＝　   　，a＝　   　，b＝　   　；

（2）抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数落在　   　组（填组别）；

（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于9h，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数．

19．（6分）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．

（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）

20．（8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．

（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？

21．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．

（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

22．（10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；

（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？

23．（10分）问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．

探究一：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．

探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的 2 2×方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．

探究三：把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到　   　个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　   　种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到　   　个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　   　种不同的放置方法．

……

问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）

问题拓展：如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到　   　个图⑦这样的几何体．

24．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A  C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？

（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．D．2．D．3．B．4．A．5．B．6．D．7．A．8．C．

9.2+1．10．．11．8.5．12．54．13．6﹣．14．4

15．解：如图，△ABC为所作．

16．解：（1）原式＝÷

＝×＝；

（2）

由①，得x≥﹣1，由②，得x＜3．

所以该不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．所以满足条件的正整数解为：1、2．

17．解：这个游戏对双方不公平．

理由：列表如下：

所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），（3，3），（4，3），（3，4），（4，4）共10种，

故小明获胜的概率为：＝，则小刚获胜的概率为：＝，

∵≠，∴这个游戏对两人不公平．

18．解：（1）7≤t＜8时，频数为m＝7；

9≤t＜10时，频数为n＝18；∴a＝×100%＝17.5%；b＝×100%＝45%

（2）由统计表可知，抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数为第20个和第21个数据的平均数，∴落在第3组

（3）该校学生中睡眠时间符合要求的人数为800×＝440（人）；

答：估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数为440人．

19．解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，

则CE∥DF，

∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120，DF＝CE，

在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，

∴DF＝cos32°•BD＝80×≈68，BF＝sin32°•BD＝80×≈，

∴BE＝EF﹣BF＝，

在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68，∴AE＝CE•tan42°＝68×＝，

∴AB＝AE+BE＝+≈134m，

答：木栈道AB的长度约为134m．

20．解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意得：＝+5

化简得600×1.5＝600+5×1.5x

解得x＝40∴1.5x＝60

经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义．

答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．

（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得

    由①得y＝75﹣1.5x③

将③代入②得150x+120（75﹣1.5x）≤7800解得x≥40，当x＝40时，y＝15，符合问题的实际意义．答：甲至少加工了40天．

21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，

∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，

在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：

∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，

∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，

同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，

∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，

∴四边形EGCF是平行四边形，

∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．

22．解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，

将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，

解得：，

故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；

（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，

∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，

∴当x＝50时，w由最大值，此时，w＝1200，

故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；

（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，

解得：x≤70，

∴每天的销售量y＝﹣2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．

23．解：探究三：

根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的 2×2方格，

根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法；故答案为a﹣1，4a﹣4；

探究四：

与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a﹣1）条边长为2线段，

同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）＝（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．故答案为2a﹣2，8a﹣8；

问题解决：在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法；

问题拓展：发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）位置不同的2×2×2的正方体，再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体；故答案为8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）．

24．解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，

∴AC＝＝6（cm），

∵OD垂直平分线段AC，∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，

∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠DCO，

∵∠DOC＝∠ACB，∴△DOC∽△BCA，∴＝＝，∴＝＝，

∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），

∵PB＝t，PE⊥AB，

易知：PE＝t，BE＝t，

当点E在∠BAC的平分线上时，

∵EP⊥AB，EC⊥AC，∴PE＝EC，∴t＝8﹣t，∴t＝4．

∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．

（2）如图，连接OE，PC．

S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）

＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t）

＝﹣t2+t+16（0＜t＜5）．

（3）存在．

∵S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜5），∴t＝时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．

（4）存在．如图，连接OQ．

∵OE⊥OQ，∴∠EOC+∠QOC＝90°，

∵∠QOC+∠QOG＝90°，∴∠EOC＝∠QOG，∴tan∠EOC＝tan∠QOG，∴＝，

∴＝，

整理得：5t2﹣66t+160＝0，

解得t＝或10（舍弃）∴当t＝秒时，OE⊥OQ．