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考点02 整式与因式分解-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（全国通用
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这是一份考点02 整式与因式分解-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（全国通用，文件包含考点02整式与因式分解解析版docx、考点02整式与因式分解原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
考点02 整式与因式分解
中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。
考向一、整式的加减；
考向二、幂的运算
考向三、整式的乘除
考向四、因式分解
考向一：整式的加减
1.整式的概念及注意事项：
名称
识别
次数
系数与项
整
式
单项式
①数与字母或字母与字母相乘组成的代数式；②单独的一个数或一个字母
所有字母的指数的和
系数：单项式中的数字因数
多项式
几个单项式的和
次数最高项的次数
项：多项式中的每个单项式
【易错警示】
Ø 由定义可知，单项式中只含有乘法运算；分数是一个完整的数，不拆开来算；
Ø 单独的一个数或字母也叫单项式；单独的字母的系数为1，次数也是1
Ø 由定义可知，多项式中可以含有 乘法——加法——减法 运算；
Ø 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数；
1．（2022秋•泉州期中）单项式﹣2πr3的系数和次数分别是（ ）
A．﹣2，4 B．﹣2，3 C．﹣2π，3 D．2π，3
【分析】根据单项式的系数和次数的概念解答．
【解答】解：单项式﹣2πr3的系数是﹣2π，次数是3，
故选：C．
2．（2022秋•包河区期中）已知单项式2x3ym与单项式﹣9xny2是同类项，则m﹣n的值为（ ）
A．﹣1 B．7 C．1 D．11
【分析】根据同类项的定义可得m＝2，n＝3，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵已知单项式2x3ym与单项式﹣9xny2是同类项，
∴m＝2，n＝3，
∴m﹣n＝2﹣3＝﹣1．
故选：A．
3．（2022秋•陇县期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．数字1也是单项式
B．单项式﹣5x3y的系数是﹣5
C．多项式﹣x3+2x﹣1的常数项是1
D．3x2y2xy+2y3是四次三项式
【分析】由多项式的次数，项的概念；单项式的次数，系数的概念即可判断．
【解答】解：A、数字1也是单项式，正确，故A不符合题意；
B、单项式﹣5x3y的系数是﹣5，正确，故B不符合题意；
C、多项式﹣x3+2x﹣1的常数项是﹣1，故B符合题意；
D、3x2y2xy+2y3是四次三项式，正确，故A不符合题意．
故选：C．
4．（2022秋•高邮市期中）已知代数式3a﹣b2的值为3，则8﹣6a+2b2的值为 ．
【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵代数式3a﹣b2的值为3，
∴3a﹣b2＝3，
∴原式＝8﹣2（3a﹣b2）
＝8﹣2×3
＝8﹣6
＝2．
故答案为：2．
5．（2022秋•鄂州期中）若多项式a（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2是关于x的一次多项式，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定
【分析】根据多项式为一次多项式得到二次项系数为0列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：根据题意得：a（a﹣1）＝0，且a﹣1≠0，
解得：a＝0．
故选：A．
2.整式的加减
整式
的加减
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同
合并同类项
把同类项的系数相加，所得的结果作为结果的系数，字母及字母的指数不变
添（去）括号法则
括号外是“＋”，添（去）括号不变号；括号外是“－”，添（去）括号都变号
【易错警示】
Ø 所有的常数项都是同类项；
Ø “同类项口诀”——两同两无关，识别同类项；一相加二不变，合并同类项
1．（2022秋•黄石期中）下列计算正确的是（ ）
A．6a﹣5a＝1 B．a+2a2＝3a
C．﹣（a﹣b）＝﹣a+b D．2（a+b）＝2a+b
【分析】根据去括号法则和合并同类项法则计算即可求解．
【解答】解：A．6a﹣5a＝a，即A项不合题意，
B．a和2a2不是同类项不能合并，即B项不合题意，
C．﹣（a﹣b）＝﹣a+b，即C项符合题意，
D．2（a+b）＝2a+2b，即D项不合题意，
故选：C．
2．（2022秋•老河口市期中）一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则与其相邻的一边长为（ ）
A．a+5b B．a+b C．4a+9b D．a+3b
【分析】根据一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，可以得到与其相邻的一边长为（6a+8b）÷2﹣（2a﹣b），然后计算即可．
【解答】解：∵一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，
∴与其相邻的一边长为：（6a+8b）÷2﹣（2a﹣b）
＝3a+4b﹣2a+b
＝a+5b，
故选：A．
3．（2022秋•江都区期中）如图，长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②③两块小长方形的长均为a，宽均为b，若BC＝2，则①④两块长方形的周长之和为（ ）
A．8 B．2a+2b C．2a+2b+4 D．16
【分析】根据题目中的数据和图形，可以表示出长方形①和④的长、宽，然后根据长方形的周长＝（长+宽）×2，代入数据计算即可．
【解答】解：由图可得，
长方形①的长为2﹣a，宽为b，长方形④的长为2﹣b，宽为a，
∴①④两块长方形的周长之和为：2[（2﹣a）+b]+2[（2﹣b）+a]
＝2（2﹣a）+2b+2（2﹣b）+2a
＝4﹣2a+2b+4﹣2b+2a
＝8，
故选：A．
4．（2022秋•沈北新区期中）化简：6x2﹣[4x2﹣（x2+5）]＝ ．
【分析】先去括号，再合并同类项即可求解．
【解答】解：6x2﹣[4x2﹣（x2+5）]
＝6x2﹣4x2+x2+5
＝3x2+5．
故答案为：3x2+5．
5．（2022秋•北碚区校级期中）若关于x的多项式3ax+7x3﹣bx2+x不含二次项和一次项，则a+b等于（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【分析】不含二次项和一次项，则其相应的系数为0，据此可求解．
【解答】解：∵多项式3ax+7x3﹣bx2+x不含二次项和一次项，
∴3a+1＝0，﹣b＝0，
解得：a＝﹣，b＝0，
∴a+b＝﹣．
故选：A．
6．（2022秋•扬州期中）化简：
（1）x2﹣3x﹣4x2+5x﹣6；
（2）3（2x2﹣xy）﹣（x2+xy﹣6）．
【分析】（1）直接合并同类项；
（2）先去括号，再合并同类项．
【解答】解：（1）原式＝（1﹣4）x2+（﹣3+5）x﹣6
＝﹣3x2+2x﹣6；
（2）原式＝6x2﹣3xy﹣x2﹣xy+6
＝5x2﹣4xy+6．
7．（2022秋•黔东南州期中）阅读材料：“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？”我们可以这样来解：原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b．把式子5a+3b＝﹣4两边同乘以2．得10a+6b＝﹣8．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（1）已知a2+a＝0，求a2+a+2022的值；
（2）已知a﹣b＝﹣3．求3（a﹣b）﹣a+b+5的值；
（3）已知a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，求2a2+5ab﹣b2的值．
【分析】（1）直接将a2+a的值代入a2+a+2018中计算即可；
（2）把3（a﹣b）﹣a+b+5变形为3（a﹣b）﹣（a﹣b）+5，然后利用整体代入的思想计算；
（3）把2a2+5ab﹣b2变形为2（a2+2ab）+ab﹣b2，再代入求值即可．
【解答】解：（1）因为a2+a＝0，所以a2+a+2018＝0+2018＝2018．
（2）因为a﹣b＝﹣3，所以3（a﹣b）﹣a+b+5＝3×（﹣3）﹣（﹣3）+5＝﹣1．
（3）因为a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，
所以2a2+5ab﹣b2＝2a2+4ab+ab﹣b2＝2×（﹣2）+（﹣4）＝﹣8．
考向二：幂的运算
幂的运算
1．（2022秋•朝阳区校级期中）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a6＝a9 B．a6•a2＝a12
C．（a3）2＝a5 D．a4•a2+（a3）2＝2a6
【分析】A．应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；
B．应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
C．应用幂的乘方法则进行计算即可得出答案；
D．应用幂的乘方与积的乘方，合并同类项及同底数幂乘法进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．因为a3与a6不是同类项，故A选项计算不正确，故A选项不符合题意；
B．因为a6•a2＝a6+2＝a8，故B选项计算不正确，故B选项不符合题意；
C．因为（a3）2＝a3×2＝a6，故C选项计算不正确，故C选项不符合题意；
D．因为a4•a2+（a3）2＝a6+a6＝2a6，故D选项计算正确，故D选项符合题意．
故选：D．
2．（2022秋•浦东新区校级期中）计算（﹣）2021•（﹣）2022的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方运算以及积的乘方运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝[（﹣）×（﹣）]2021×（﹣）
＝12021×（﹣）
＝﹣，
故选：B．
3．（2022秋•闵行区校级期中）已知am＝2，a2n＝3，求am+2n＝ ．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则，进而计算得出答案．
【解答】解：∵am＝2，a2n＝3，
∴am+2n＝am•a2n＝2×3＝6．
故答案为：6．
4．（2022秋•永春县期中）若am＝2，an＝3，ap＝5，则am+n﹣p＝ ．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：∵am＝2，an＝3，ap＝5，
∴am+n﹣p
＝am×an÷ap
＝2×3÷5
＝6÷5
＝．
故答案为：．
5．（2022秋•朝阳区校级期中）（1）计算：（a4）3+a8•a4；
（2）计算：[（x+y）m+n]2；
（3）已知2x+3y﹣2＝0，求9x•27y的值．
【分析】（1）应用幂的乘方与积的乘方及同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
（2）应用幂的乘方法则进行计算即可得出答案；
（3）应用幂的乘法法则可得（32）x•（33）y，即可得出32x+3y，再由已知可得2x+3y＝2，代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝a4×3+a8+4
＝a12+a12
＝2a12；
（2）原式＝（x+y）2（m+n）；
（3）9x•27y＝（32）x•（33）y＝32x•33y＝32x+3y，
由2x+3y﹣2＝0，
可得2x+3y＝2，
原式＝32＝9．
6．（2022秋•浦东新区期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a•a…，记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．
一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算以下各对数的值：log24＝ ，log216＝ ，log264＝ ．
（2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式 ．
（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN＝ （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．
（4）设an＝N，am＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，log24+log216＝log264；
（3）由特殊到一般，得出结论：logaM+logaN＝loga（MN）；
（4）设logaM＝b1，logaN＝b2，根据幂的运算法则：am•an＝am+n和给出的材料证明结论．
【解答】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6，
故答案为：2，4，6；
（2）∵4×16＝64，log24＝2，log216＝4，log264＝6，
∴log24+log216＝log264，
故答案为：log24+log216＝log264；
（3）logaM+logaN＝loga（MN），
故答案为：loga（MN）；
（4）证明：设logaM＝b1，logaN＝b2，
则＝M，＝N，
∴MN＝•
＝，
∴b1+b2＝loga（MN），
∴logaM+logaN＝loga（MN）．
考向三：整式的乘除
单项式乘（除以）单项式
单项式乘（除以）单项式，把它们的系数、同底数幂分别相乘（除）；对于只在一个单项式里含有的字母（只在被除式里含有的字母），则连同它的指数不变，作为积（商）的因式
单项式乘多项式
m（a+b+c）=ma+mb+mc
多项式乘多项式
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
多项式除以单项式
(am+b)÷m=a+b/m
乘法公式
Ø 乘法公式里的字母可以是一个单项式，也可以是一个多项式；
Ø 两个乘法公式可以从左到右应用，也可以从右到左应用；
1．（2022春•南海区校级月考）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．2a2•3a3＝5a6 B．﹣3a2（﹣2a）＝﹣6a3
C．2a3•5a2＝10a5 D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a5
【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则、同底数幂的乘法法则解决此题．
【解答】解：A．根据单项式乘单项式的乘法法则，2a2•3a3＝6a5，那么A错误，故A不符合题意．
B．根据单项式乘单项式的乘法法则，﹣3a2•（﹣2a）＝6a3，那么B错误，故B不符合题意．
C．根据整式的混合运算，2a3•5a2＝10a5，那么C正确，故C符合题意．
D．根据同底数幂的乘法法则，（﹣a）2•（﹣a）3＝（﹣a）5＝﹣a5，那么C正确，故D不符合题意．
故选：C．
2．（2022秋•阳信县期中）下列计算中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣2）（2﹣x） B．（﹣1﹣3x）（1+3x） C．（a2+b）（a2﹣b） D．（3x+2）（2x﹣3）
【分析】利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：（x﹣2）（2﹣x）＝﹣（x﹣2）2，故选项A不符合题意；
（﹣1﹣3x）（1+3x）＝﹣（1+3x）2，选项B不符合题意；
（a2+b）（a2﹣b）＝（a2）2﹣b2，选项C符合题意；
（3x+2）（2x﹣3）可利用多项式乘多项式的乘法计算，选项D不符合题意；
故选：C．
3．（2022秋•铁西区校级月考）若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（ ）
A．m＝﹣5，n＝1 B．m＝﹣5，n＝﹣1 C．m＝5，n＝1 D．m＝5，n＝﹣1
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可求解．
【解答】解：∵（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，
∴2x2+（6﹣m）x﹣3m＝2x2+nx﹣15，
∴6﹣m＝n，﹣3m＝﹣15，
解得：m＝5，n＝1，
故选：C．
4．（2022秋•思明区校级期中）设M＝（x﹣1）（x﹣2），N＝（2x﹣3）（x﹣2），则M与N的大小关系为（ ）
A．MN B．M≥N C．M＝N D．M≤N
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则化简M﹣N，然后与0进行大小比较．
【解答】解：M﹣N＝（x﹣1）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣2）
＝x2﹣3x+2﹣（2x2﹣7x+6）
＝x2﹣3x+2﹣2x2+7x﹣6
＝﹣x2+4x﹣4
＝﹣（x2﹣4x+4）
＝﹣（x﹣2）2≤0，
∴M≤N
故选：D．
5．（2022•雁塔区校级开学）如图，一块矩形土地的面积是x2+5xy+6y2（x＞0，y＞0），长为x+3y，则宽是（ ）
A．x﹣y B．x+y C．x﹣2y D．x+2y
【分析】将x2+5xy+6y2进行因式分解便可得出结果．
【解答】解：∵x2+5xy+6y2＝（x+2y）（x+3y），
又∵一块矩形土地的面积是x2+5xy+6y2（x＞0，y＞0），长为x+3y，
∴宽为x+2y，
故选：D．
6．（2022秋•东城区校级期中）若（s﹣t）2＝4，（s+t）2＝16，则st＝ 3 ．
【分析】根据（s﹣t）2＝4，（s+t）2＝16，由完全平方公式得s2﹣2st+t2＝4①，s2+2st+t2＝16②，所以②﹣①得4st＝12，所以st＝3．
【解答】解：∵（s﹣t）2＝4，（s+t）2＝16，
∴s2﹣2st+t2＝4①，s2+2st+t2＝16②，
∴②﹣①得4st＝12，
∴st＝3．
故答案为：3．
7．（2022秋•阳信县期中）（1）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y＝﹣1．
（2）利用乘法公式简算：20212﹣2020×2022．
【分析】（1）根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则化简，把x、y的值代入计算即可；
（2）把2020×2022化为（2021﹣1）×（2021+1），再根据平方差公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣4xy+4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2
＝x2﹣2y2，
当x＝﹣2，y＝﹣1时，原式＝4﹣2＝2；
（2）20212﹣2020×2022
＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）
＝20212﹣（20212﹣1）
＝20212﹣20212+1
＝1．
8．（2022秋•西湖区校级期中）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，图2中阴影部分周长为l2．
（1）若a＝7，b＝5，c＝3，则长方形的周长为 48 ；
（2）若b＝7，c＝4，
①求l1﹣l2的值；
②记图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，求S2﹣S1的值．
【分析】（1）根据题目中的数据，先求大长方形的长为a+b+c，宽为a+b﹣c，即可求出周长；
（2）根据图形，表示出S2，S1，l1，l2，再计算l1﹣l2，S2﹣S1即可求解．
【解答】解：（1）由图1知，大长方形的长为a+b+c，
由图2知，大长方形的宽为a+b﹣c，
∴长方形的周长为2（a+b+c+a+b﹣c）＝4a+4b，
当a＝7，b＝5时，
4a+4b＝28+20＝48，
故答案为：48．
（2）①∵l1＝2（a+b+c）+2（a+b﹣c﹣c）＝4a+4b﹣2c，
l2＝2（a+b+c﹣b）+2（a+b﹣c）＝4a+2b，
∴当b＝7，c＝4时，
l1﹣l2＝（4a+4b﹣2c）﹣（4a+2b）＝2b﹣2c＝14﹣8＝6；
②∵S1＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2﹣c2，
S2＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2+bc，
∴S2﹣S1＝bc+c2＝28﹣16＝12．
考向四：因式分解
基本概念
公因式
多项式各项都含有的相同因式
因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解
一
般
步
骤
“一提”
【即：提取公因式】
“二套”
【即：套用乘法公式】
“三分组”
【即：分组分解因式】
基本不考，如果考，多项式项数一般在四个及以上
“二次三项想十字”【即：十字相乘法】
Ø 由定义可知，因式分解与整式乘法互为逆运算；
Ø 公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；单独的公因数也是公因式；
Ø 将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式；
Ø 乘法公式里的字母，可以是单独的数字，也可以是一个单项式或者多项式；
Ø 分解因式必须分解彻底，即分解到每一个多项式都不能再分解为止；
1．（2022春•三水区校级期中）若二次三项式x2+mx﹣8可分解为（x﹣4）（x+2），则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【分析】根据题意得到x2+mx﹣8＝（x﹣4）（x+2），再根据多项式乘多项式的乘法法则化简，进而求得m．
【解答】解：由题意得，x2+mx﹣8＝（x﹣4）（x+2）．
∴x2+mx﹣8＝x2﹣2x﹣8．
∴m＝﹣2．
故选：C．
2．（2022秋•张店区期中）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（ ）
A．（a+b）（2a+b） B．（a+b）（3a+b）
C．（a+b）（a+2b） D．（a+b）（a+3b）
【分析】画出图形，根据图形因式分解即可．
【解答】解：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b），
故选：C．
3．（2022秋•南安市期中）已知a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由a，b，c的值，求出a﹣b，a﹣c，b﹣c的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求解．
【解答】解：∵a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式＝
＝+（b2﹣2bc+c2）]
＝，
＝，
故选：D．
4．（2022春•顺德区校级月考）三角形三边长分别是a，b，c，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．形状不确定
【分析】先分解因式，再根据三角形的三边关系判断，得出结论．
【解答】解：∵三角形三边长分别是a，b，c，
∴a+b+c＞0，
∴a2﹣b2+ac﹣bc＝
（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）c
＝（a﹣b）（a+b+c）
＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a﹣b，
∴这个三角形是等腰三角形，
故选：A．
5．（2022秋•长宁区校级期中）因式分解：＝ （m﹣2）2 ．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝（m2﹣4m+4）
＝（m﹣2）2．
故答案为：（m﹣2）2．
6．（2022秋•肇源县期中）因式分解：
（1）15a3+10a2；
（2）﹣3ax2﹣6axy+3ay2．
【分析】（1）直接提公因式5a2即可；
（2）直接提公因式﹣3a，即可因式分解．
【解答】解：（1）15a3+10a2＝5a2（3a+2）；
（2）﹣3ax2﹣6axy+3ay2
＝﹣3a（x2+2xy﹣y2）．
7．（2022秋•巴南区校级期中）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，并满足十位数字最大，个位数字最小，且以各个数位上的数字为三边可以构成三角形，则称这样的三位数为“三角数”．将“三角数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，其中十位数字大于个位数字的两位数叫“全数”，十位数字小于个位数字的两位数叫“善数”，将所有“全数”的和记为Q（m），所有“善数”的和记为S（m），例如：Q（562）＝62+52+65＝179，S（562）＝26+25+56＝107；
（1）判断：342 是 （填“是”或“不是”）“三角数”，572 不是 （填“是”或“不是”）“三角数”，若是，请分别求出其“全数”和“善数”之和．
（2）若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若“三角数”n满足Q（n）﹣S（n）和都是完全平方数，请求出所有满足条件的n．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）设三角形形数n的百位上数字是x，十位上数字是y，个位上数字是z，根据定义求出Q（n）﹣S（n）＝18（y﹣z），＝2（x+y+z），再由题意可得y﹣z＝2或y﹣z＝8，x+y+z＝8或x+y+z＝18，分类讨论即可确定x、y、z的值．
【解答】解：（1）∵342中各个数位上的数字为三边能构成三角形，
∴342是“三角数”，
∴Q（m）＝32+42+43＝117，S（342）＝34+23+24＝81，
∵以5，7，2为三边不能构成三角形，
∴572不是“三角数”，
故答案为：是，不是；
（2）设三角形形数n的百位上数字是x，十位上数字是y，个位上数字是z，
∴Q（n）＝10x+z+10y+z+10y+x＝11x+20y+2z，Q（S）＝10x+y+10z+x+10z+y＝11x+20z+2y，
∴Q（n）﹣S（n）＝18y﹣18z＝18（y﹣z），＝2（x+y+z），
∵Q（n）﹣S（n）是完全平方数，
∴y﹣z＝2或y﹣z＝8，
∵是完全平方数，
∴x+y+z＝8或x+y+z＝18，
∴x+2z＝6或x+2z＝10
当z＝1时，x＝8，y＝9，
∴n＝891；
当z＝5时，x＝6，y＝7，
∴n＝675；
综上所述：n的值为675或891．
1．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D．x2y
【分析】根据单项式的概念判断即可．
【解答】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、不是单项式，故本选项符合题意；
D、x2y是单项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2022•巴中）下列运算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．（）﹣1＝﹣
C．（a2）3＝a6 D．a8÷a4＝a2（a≠0）
【分析】根据算术平方根及负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的除法依次计算判断即可．
【解答】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、（a2）3＝a6，选项正确，符合题意；
D、a8÷a4＝a4（a≠0），选项错误，不符合题意；
故选：C．
3．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
【分析】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．
【解答】解：原式＝4a6b2﹣3a6b2＝a6b2，
故选：C．
4．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
【分析】左边大正方形的边长为（a+b），面积为（a+b）2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．
【解答】解：根据题意，大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，
由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，
所以（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故选：A．
5．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
6．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x﹣2）2．
故选：D．
7．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（ ）
A．﹣12 B．﹣3 C．3 D．12
【分析】根据十字相乘法可以将多项式39x2+5x﹣14分解因式，然后再根据多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），即可得到a、b、c的值，然后计算出a+2c的值即可．
【解答】解：∵39x2+5x﹣14＝（3x+2）（13x﹣7），多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），
∴a＝2，b＝13，c＝﹣7，
∴a+2c
＝2+2×（﹣7）
＝2+（﹣14）
＝﹣12，
故选：A．
8．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝ 3a（a﹣7b） ．
【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．
【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．
故答案为：3a（a﹣7b）．
9．（2022•宜宾）分解因式：x3﹣4x＝ x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣4x，
＝x（x2﹣4），
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
10．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝ ﹣a（a﹣1）2 ．
【分析】先提公因式﹣a，再用完全平方式分解因式即可．
【解答】解：原式＝﹣a（a2﹣2a+1）
＝﹣a（a﹣1）2．
故答案为：﹣a（a﹣1）2．
11．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 3 ．
【分析】观察已知和所求可知，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），将代数式的值代入即可得出结论．
【解答】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝3×1＝3．
故答案为：3．
12．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为 或﹣． ．
【分析】根据完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，可得（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，
即2t﹣1＝±4，
解得：t＝或t＝．
故答案为：或﹣．
13．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．
【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．
（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 a2﹣M ；
（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．
【分析】（1）根据面积之间的关系，从边长为a的正方形面积中，减去不能使用的面积M即可；
（2）用代数式表示A比B多出的使用面积，再利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，
即a2﹣M，
故答案为：a2﹣M；
（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝10×5
＝50，
答：A比B多出的使用面积为50．
15．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022 ；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得结果相加即可得解；
（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80
＝1536+448+32+6
＝2022．
故八进制数字3746换算成十进制是2022．
故答案为：2022；
（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120，
解得n1＝9，n2＝﹣13（舍去）．
故n的值是9．
1．（2022•徐州）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a6＝a8 B．a8÷a4＝a2
C．2a2+3a2＝6a4 D．（﹣3a）2＝﹣9a2
【分析】利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和幂的乘方与积的乘方的法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵a2•a6＝a2+6＝a8，
∴A选项的结论符合题意；
∵a8÷a4＝a8﹣4＝a4，
∴B选项的结论不符合题意；
∵2a2+3a2＝5a2，
∴C选项的结论不符合题意；
∵（﹣3a）2＝9a2，
∴D选项的结论不符合题意，
故选：A．
2．（2022•黔西南州）计算（﹣3x）2•2x正确的是（ ）
A．6x3 B．12x3 C．18x3 D．﹣12x3
【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可．
【解答】解：（﹣3x）2•2x
＝9x2•2x
＝18x3．
故选：C．
3．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（ ）
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）
D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
【分析】把所给公式中的b换成﹣b，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），
∴a3﹣b3
＝a3+（﹣b3）
＝a3+（﹣b）3
＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]
＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
故选：A．
4．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．﹣4
【分析】方法1、先化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝10﹣7mn，再判断出﹣≤mn≤2，即可求出答案．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，进而得出mn＝k2﹣，进而得出原式＝10﹣7mn＝﹣k2+，即可求出答案．
【解答】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，
∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）
＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2
＝5m2+5n2﹣12mn
＝5（mn+2）﹣12mn
＝10﹣7mn，
∵m2+n2＝2+mn，
∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），
∴mn≥﹣，
∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），
∴mn≤2，
∴﹣≤mn≤2，
∴﹣14≤﹣7mn≤，
∴﹣4≤10﹣7mn≤，
即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为，
故选：B．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，
∴mn+2+2mn＝k2，
∴mn＝k2﹣，
∴原式＝10﹣7mn＝﹣k2+≤，
故选：B．
5．（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（ ）
A．1 B．a2 C．a2+2a D．a2﹣a+1
【分析】去括号后合并同类项即可得出结论．
【解答】解：a（a+1）﹣a
＝a2+a﹣a
＝a2，
故选：B．
6．（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…，
给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据括号前是“+”，添括号后，各项的符号都不改变判断①；根据相反数判断②；通过例举判断③．
【解答】解：①如（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，（x﹣y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故①符合题意；
②x﹣y﹣z﹣m﹣n的相反数为﹣x+y+z+m+n，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故②符合题意；
③第1种：结果与原多项式相等；
第2种：x﹣（y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；
第3种：x﹣（y﹣z）﹣（m﹣n）＝x﹣y+z﹣m+n；
第4种：x﹣（y﹣z﹣m）﹣n＝x﹣y+z+m﹣n；
第5种：x﹣（y﹣z﹣m﹣n）＝x﹣y+z+m+n；
第6种：x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；
第7种：x﹣y﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n；
第8种：x﹣y﹣z﹣（m﹣n）＝x﹣y﹣z﹣m+n；故③符合题意；
正确的个数为3，
故选：D．
7．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝ 3x（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．
【解答】解：原式＝3x（x2﹣4y2）
＝3x（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．
8．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝ 2（a+1）2 ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）
＝2（a+1）2．
故答案为：2（a+1）2．
9．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝ 2022（x﹣1）2 ．
【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2022（x2﹣2x+1）
＝2022（x﹣1）2．
故答案为：2022（x﹣1）2．
10．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝ 4 ．
【分析】已知两式左边利用完全平方公式展开，相减即可求出xy的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝25，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝9，
∴两式相减得：4xy＝16，
则xy＝4．
故答案为：4
11．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ 4 ．
【分析】根据完全平方公式得出m和n的值即可得出结论．
【解答】解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，
∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，
即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴m﹣n＝4，
故答案为：4．
12．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．
（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣
＝1+1+2×+﹣1﹣2
＝2++﹣1﹣2
＝1；
（2）（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）
＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x
＝4x，
当x＝时，原式＝4×＝2．
13．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：x（x+2）+（x+1）2
＝x2+2x+x2+2x+1
＝2x2+4x+1，
∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）+1
＝2×2+1
＝4+1
＝5．
14．（2022•河北）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【分析】写出两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和，根据完全平方公式，合并同类项法则计算即可求解．
【解答】解：验证：10的一半为5，
5＝1+4＝12+22，
探究：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下：
（m+n）2+（m﹣n）2
＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2
＝2m2+2n2
＝2（m2+n2），
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
15．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．
【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；
（2）设A＝（a+b+c＝12，a＞b＞c），根据“和倍数”的定义表示F（A）和G（A），代入中，根据为整数可解答．
【解答】解：（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，
∴357不是“和倍数”；
∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，
∴441是9的“和倍数”；
（2）设A＝（a+b+c＝12，a＞b＞c），
由题意得：F（A）＝，G（A）＝，
∴＝＝＝，
∵a+c＝12﹣b，为整数，
∴＝＝＝＝7+（1﹣b），
∵1＜b＜9，
∴b＝3，5，7，
∴a+c＝9，7，5，
①当b＝3，a+c＝9时，（舍），，
则A＝732或372；
②当b＝5，a+c＝7时，，
则A＝156或516；
③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；
综上，满足条件的所有数A为：732或372或156或516．
1．（2022•肥东县校级模拟）下列各式中计算结果为x2的是（ ）
A．x2•x B．x+x C．x8÷x4 D．（﹣x）2
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方分别计算即可．
【解答】解：∵x2•x＝x3≠x2，故A选项不符合题意；
∵x+x＝2x≠x2，故B选项不符合题意；
∵x8÷x4＝x4≠x2，故C选项不符合题意；
∵（﹣x）2＝x2，故D选项符合题意．
故选：D．
2．（2022•雁塔区模拟）下列计算正确的是（ ）
A．（12a4﹣3a2）÷3a2＝4a2
B．（﹣3a+b）（b﹣a）＝﹣2ab﹣3a2+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
D．（b+2a）（2a﹣b）＝﹣b2+4a2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝4a2﹣1，不符合题意；
B、原式＝﹣3ab+3a2+b2﹣ab＝﹣4ab+3a2+b2，不符合题意；
C、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝﹣b2+4a2，符合题意．
故选：D．
3．（2022•环江县模拟）如图，某底板外围呈正方形，其中央是边长为x米的空白小正方形，空白小正方形的四周铺上小块正方形花岗石（即阴影部分），恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石，则边长x的值是（ ）
A．3米 B．3.2米 C．4米 D．4.2米
【分析】根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积列示计算即可．
【解答】解：阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，
即（3.2+x+3.2）2﹣x2＝（3.2+x+3.2﹣x）（3.2+x+3.2+x）＝6.4×（6.4+2x）＝144×0.8×0.8，
解得：x＝4，
故选：C．
4．（2022•路南区三模）在化简3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab题中，◆表示+，﹣，×，÷四个运算符号中的某一个．当a＝﹣2，b＝1时，3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab的值为22，则◆所表示的符号为（ ）
A．÷ B．× C．+ D．﹣
【分析】把“+”、“﹣”、“×”、“÷”放入原式计算得到最简结果，将a与b的值分别代入结果与22比较即可．
【解答】解：A、3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）÷2ab＝3a2b+3ab﹣a﹣1，
当a＝﹣2，b＝1时，原式＝12﹣6+2﹣1＝7，不符合题意；
B、3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）•2ab＝3a2b+3ab﹣4a3b2﹣4a2b2，
当a＝﹣2，b＝1时，原式＝12﹣6+32﹣16＝22，符合题意；
C、3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）+2ab
＝3a2b+3ab﹣2a2b﹣2ab+2ab
＝a2b+ab，
当a＝﹣2，b＝1时，原式＝4﹣2＝2，不符合题意；
D、3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）﹣2ab
＝3a2b+3ab﹣2a2b﹣2ab﹣2ab
＝a2b﹣ab，
当a＝﹣2，b＝1时，原式＝4+2＝6，不符合题意．
故选：B．
5．（2022•蓬江区一模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣4b2 C．a2﹣2ab+b2 D．﹣a2﹣b2
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故选：B．
6．（2022•峨眉山市模拟）若把多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣6，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】设x2+mx﹣12＝（x﹣6）（x+a），右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．
【解答】解：设x2+mx﹣12＝（x﹣6）（x+a）＝x2+（a﹣6）x﹣6a，
可得m＝a﹣6，6a＝12，
解得：a＝2，m＝﹣4，
故选：D．
7．（2022•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（ ）
A．﹣19a7 B．19a7 C．﹣22a6 D．22a6
【分析】由已知得第奇数个单项式的符号为负数，第7个单项式的系数绝对值为4+3×6，字母及字母的指数为a6，即可得到答案．
【解答】解：经过观察可得第奇数个单项式的符号为负数，第偶数个单项式的符号为正数；
第1个单项式的系数绝对值为4+3×0，
第2个单项式的系数绝对值为4+3×1，
…
第7个单项式的系数绝对值为4+3×6；
第1个单项式的字母及字母的指数为a0，
第2个单项式的字母及字母的指数为a1，
…
第7个单项式的字母及字母的指数为a6；
∴第7个单项式为﹣22a6，
故选：C．
8．（2022•张店区二模）如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E在AB上，点M、N在BC上，若AE＝4，MN＝3，CN＝2，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】设AB＝DC＝a，AD＝BC＝b，用含a、b的代数式分别表示BE，BM，DG，PD．再表示出图中右上角阴影部分的周长及左下角阴影部分的周长，然后相减即可．
【解答】解：矩形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC．
正方形AEFG中，AE＝EF＝FG＝AG＝4．
正方形MNRH中，MN＝NR＝RH＝HM＝3．
正方形CPQN中，CP＝PQ＝QN＝CN＝2．
设AB＝DC＝a，AD＝BC＝b，
则BE＝AB﹣AE＝a﹣4，BM＝BC﹣MN﹣CN＝b﹣3﹣2＝b﹣5，DG＝AD﹣AG＝b﹣4，PD＝CD﹣CP＝a﹣2．
∴图中右上角阴影部分的周长为2（DG+DP）＝2（b﹣4+a﹣2）＝2a+2b﹣12．
左下角阴影部分的周长为2（BM+BE）＝2（b﹣5+a﹣4）＝2a+2b﹣18，
∴图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（2a+2b﹣12）﹣（2a+2b﹣18）＝6．
故选：B．
9．（2022•邯郸二模）若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】先提取公因式，再套用平方差公式分解20222022﹣20222020，再根据等式的性质确定n的值．
【解答】解：∵20222022﹣20222020
＝20222020×（20222﹣1）
＝20222020×（2022+1）×（2022﹣1）
＝2023×20222020×2021，
又∵20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，
∴2023×20222020×2021＝2023×2022n×2021．
∴n＝2020．
故选：A．
10．（2022•碑林区模拟）计算：（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）＝ 16x4﹣1 ．
【分析】两次运用平方差公式计算即可．
【解答】解：（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）
＝（4x2﹣1）（4x2+1）
＝16x4﹣1．
故答案为：16x4﹣1．
11．（2022•玉树市校级一模）分解因式：a2﹣16＝ （a+4）（a﹣4） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a2﹣16＝（a+4）（a﹣4）．
故答案为：（a+4）（a﹣4）．
12．（2022•五华区校级模拟）已知x+y＝2，xy＝﹣3，则x2y+xy2＝ ﹣6 ．
【分析】先利用因式分解把代数式变形，再整体代入数据求出代数式的值即可．
【解答】解：原式＝xy（x+y），
∵x+y＝2，xy＝﹣3，
∴原式＝﹣3×2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
13．（2022•丽水二模）如图1，将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个长方形（图3），若图3的长方形周长为30，则b的值为 ．
【分析】根据图形给出的已知条件列出算式，进行整式加减即可得结论．
【解答】解：观察图形可得：
图3的长方形的周长30＝2（10﹣b）+2（10﹣3b），
解得b＝．
故答案为：．
14．（2022•潮安区模拟）一个长方形的面积为10，设长方形的边长为a和b，且a2+b2＝29，则长方形的周长为 14 ．
【分析】根据长方形的面积公式可ab＝10，再根据a2+b2＝29，可求出a+b的值即可．
【解答】解：由于长方形的面积为10，长方形的边长为a和b，所以ab＝10，
∵a2+b2＝29，
∴（a+b）2﹣2ab＝29，
即（a+b）2＝29+2ab，
∴（a+b）2＝49，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝7，
∴2（a+b）＝14，
即周长为14，
故答案为：14．
15．（2022•雁塔区校级模拟）化简：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）．
【分析】根据整式的混合运算法则，先计算乘法，再计算减法．
【解答】解：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）
＝x2+9﹣6x﹣（x2﹣4x+x﹣4）
＝x2+9﹣6x﹣x2+4x﹣x+4
＝﹣3x+13．
16．（2022•南关区校级模拟）已知a2+2a﹣2＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣3）的值．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a2+2a＝2代入化简后的式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（a﹣1）（a+1）+2（a﹣3）
＝a2﹣1+2a﹣6
＝a2+2a﹣7，
∵a2+2a﹣2＝0，
∴a2+2a＝2，
∴当a2+2a＝2时，原式＝2﹣7
＝﹣5．
17．（2022•安徽模拟）某学习小组在研究两数的和与这两数的积相等的等式时，有下面一些有趣的发现：
①由等式3+＝3×发现：（3﹣1）×（﹣1）＝1；
②由等式+（﹣2）＝×（﹣2）发现：（﹣1）×（﹣2﹣1）＝1；
③由等式﹣3+＝﹣3×发现：（﹣3﹣1）×（﹣1）＝1；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）由等式a+b＝ab猜想： （a﹣1）（b﹣1）＝1 ，并证明你的猜想；
（2）若等式a+b＝ab中，a，b都是整数，试求a，b的值．
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则求解；
（2）利用代入验证法求解．
【解答】解：（1）∵a+b＝ab，
∴（a﹣1）（b﹣1）
＝ab﹣a﹣b+1
＝ab﹣（a+b）+1
＝1．
故答案为：（a﹣1）（b﹣1）＝1．
（2）∵a+b＝ab，a，b都是整数，
所以a＝b＝0或a＝b＝2．
18．（2022•万州区校级一模）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“欢乐分解”．
例如：∵572＝22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．
又如：∵334＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．
（1）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由．
（2）把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令G（M）＝，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．
【分析】（1）读懂题意，按照题目给出的新定义，先因式分解，再判断即可；
（2）设A的十位数为a，个位数为b，则B为10a+8﹣b，根据G（M）能被8整除求出a的可能的值，再由a的值求出b的值即可得出答案．
【解答】解：（1）∵195＝13×15，13、15的十位数字相同，个位数字之和为8，
∴195是“团圆数”．
∵621＝23×27，23与27的十位数字相同，但个位数字和不等于8，
∴621不是“团圆数”．
（2）设A＝10a+b，则B＝10a+8﹣b，
∴A+B＝20a+8，|A﹣B|＝|2b﹣8|，
∵G（M）＝＝能被8整除，
∴＝8k，k为整数，
∴5a+2＝（|b﹣4|）4k，
∴5a+2是4的倍数，
∴满足条件的a有2，6，
若a＝2，则 ＝8k，k为整数，
∴＝k，
∴|b﹣4|是3的因数，
∴b﹣4＝﹣3，﹣1，1，3，
∴满足条件的b有1，3，5，7，
∴A＝21，B＝27或A＝23，B＝25或A＝25，B＝23或A＝27，B＝21，
∴A×B＝567或575，
若a＝6，则 ＝8k，k为整数，
∴＝k，
∴|b﹣4|是8的因数，
∴b﹣4＝﹣8，﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，8，
∴满足条件的b有2，3，5，6，
∴A＝62，B＝66或A＝63，B＝65或A＝65，B＝63或A＝66，B＝62，
∴A×B＝62×66＝4092或4095，
综上，M的值为567或575或4092或4095．
考点02 整式与因式分解
中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。
考向一、整式的加减；
考向二、幂的运算
考向三、整式的乘除
考向四、因式分解
考向一：整式的加减
1.整式的概念及注意事项：
名称
识别
次数
系数与项
整
式
单项式
①数与字母或字母与字母相乘组成的代数式；②单独的一个数或一个字母
所有字母的指数的和
系数：单项式中的数字因数
多项式
几个单项式的和
次数最高项的次数
项：多项式中的每个单项式
【易错警示】
Ø 由定义可知，单项式中只含有乘法运算；分数是一个完整的数，不拆开来算；
Ø 单独的一个数或字母也叫单项式；单独的字母的系数为1，次数也是1
Ø 由定义可知，多项式中可以含有 乘法——加法——减法 运算；
Ø 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数；
1．（2022秋•泉州期中）单项式﹣2πr3的系数和次数分别是（ ）
A．﹣2，4 B．﹣2，3 C．﹣2π，3 D．2π，3
【分析】根据单项式的系数和次数的概念解答．
【解答】解：单项式﹣2πr3的系数是﹣2π，次数是3，
故选：C．
2．（2022秋•包河区期中）已知单项式2x3ym与单项式﹣9xny2是同类项，则m﹣n的值为（ ）
A．﹣1 B．7 C．1 D．11
【分析】根据同类项的定义可得m＝2，n＝3，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵已知单项式2x3ym与单项式﹣9xny2是同类项，
∴m＝2，n＝3，
∴m﹣n＝2﹣3＝﹣1．
故选：A．
3．（2022秋•陇县期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．数字1也是单项式
B．单项式﹣5x3y的系数是﹣5
C．多项式﹣x3+2x﹣1的常数项是1
D．3x2y2xy+2y3是四次三项式
【分析】由多项式的次数，项的概念；单项式的次数，系数的概念即可判断．
【解答】解：A、数字1也是单项式，正确，故A不符合题意；
B、单项式﹣5x3y的系数是﹣5，正确，故B不符合题意；
C、多项式﹣x3+2x﹣1的常数项是﹣1，故B符合题意；
D、3x2y2xy+2y3是四次三项式，正确，故A不符合题意．
故选：C．
4．（2022秋•高邮市期中）已知代数式3a﹣b2的值为3，则8﹣6a+2b2的值为 ．
【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵代数式3a﹣b2的值为3，
∴3a﹣b2＝3，
∴原式＝8﹣2（3a﹣b2）
＝8﹣2×3
＝8﹣6
＝2．
故答案为：2．
5．（2022秋•鄂州期中）若多项式a（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2是关于x的一次多项式，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定
【分析】根据多项式为一次多项式得到二次项系数为0列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：根据题意得：a（a﹣1）＝0，且a﹣1≠0，
解得：a＝0．
故选：A．
2.整式的加减
整式
的加减
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同
合并同类项
把同类项的系数相加，所得的结果作为结果的系数，字母及字母的指数不变
添（去）括号法则
括号外是“＋”，添（去）括号不变号；括号外是“－”，添（去）括号都变号
【易错警示】
Ø 所有的常数项都是同类项；
Ø “同类项口诀”——两同两无关，识别同类项；一相加二不变，合并同类项
1．（2022秋•黄石期中）下列计算正确的是（ ）
A．6a﹣5a＝1 B．a+2a2＝3a
C．﹣（a﹣b）＝﹣a+b D．2（a+b）＝2a+b
【分析】根据去括号法则和合并同类项法则计算即可求解．
【解答】解：A．6a﹣5a＝a，即A项不合题意，
B．a和2a2不是同类项不能合并，即B项不合题意，
C．﹣（a﹣b）＝﹣a+b，即C项符合题意，
D．2（a+b）＝2a+2b，即D项不合题意，
故选：C．
2．（2022秋•老河口市期中）一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则与其相邻的一边长为（ ）
A．a+5b B．a+b C．4a+9b D．a+3b
【分析】根据一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，可以得到与其相邻的一边长为（6a+8b）÷2﹣（2a﹣b），然后计算即可．
【解答】解：∵一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，
∴与其相邻的一边长为：（6a+8b）÷2﹣（2a﹣b）
＝3a+4b﹣2a+b
＝a+5b，
故选：A．
3．（2022秋•江都区期中）如图，长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②③两块小长方形的长均为a，宽均为b，若BC＝2，则①④两块长方形的周长之和为（ ）
A．8 B．2a+2b C．2a+2b+4 D．16
【分析】根据题目中的数据和图形，可以表示出长方形①和④的长、宽，然后根据长方形的周长＝（长+宽）×2，代入数据计算即可．
【解答】解：由图可得，
长方形①的长为2﹣a，宽为b，长方形④的长为2﹣b，宽为a，
∴①④两块长方形的周长之和为：2[（2﹣a）+b]+2[（2﹣b）+a]
＝2（2﹣a）+2b+2（2﹣b）+2a
＝4﹣2a+2b+4﹣2b+2a
＝8，
故选：A．
4．（2022秋•沈北新区期中）化简：6x2﹣[4x2﹣（x2+5）]＝ ．
【分析】先去括号，再合并同类项即可求解．
【解答】解：6x2﹣[4x2﹣（x2+5）]
＝6x2﹣4x2+x2+5
＝3x2+5．
故答案为：3x2+5．
5．（2022秋•北碚区校级期中）若关于x的多项式3ax+7x3﹣bx2+x不含二次项和一次项，则a+b等于（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【分析】不含二次项和一次项，则其相应的系数为0，据此可求解．
【解答】解：∵多项式3ax+7x3﹣bx2+x不含二次项和一次项，
∴3a+1＝0，﹣b＝0，
解得：a＝﹣，b＝0，
∴a+b＝﹣．
故选：A．
6．（2022秋•扬州期中）化简：
（1）x2﹣3x﹣4x2+5x﹣6；
（2）3（2x2﹣xy）﹣（x2+xy﹣6）．
【分析】（1）直接合并同类项；
（2）先去括号，再合并同类项．
【解答】解：（1）原式＝（1﹣4）x2+（﹣3+5）x﹣6
＝﹣3x2+2x﹣6；
（2）原式＝6x2﹣3xy﹣x2﹣xy+6
＝5x2﹣4xy+6．
7．（2022秋•黔东南州期中）阅读材料：“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？”我们可以这样来解：原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b．把式子5a+3b＝﹣4两边同乘以2．得10a+6b＝﹣8．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（1）已知a2+a＝0，求a2+a+2022的值；
（2）已知a﹣b＝﹣3．求3（a﹣b）﹣a+b+5的值；
（3）已知a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，求2a2+5ab﹣b2的值．
【分析】（1）直接将a2+a的值代入a2+a+2018中计算即可；
（2）把3（a﹣b）﹣a+b+5变形为3（a﹣b）﹣（a﹣b）+5，然后利用整体代入的思想计算；
（3）把2a2+5ab﹣b2变形为2（a2+2ab）+ab﹣b2，再代入求值即可．
【解答】解：（1）因为a2+a＝0，所以a2+a+2018＝0+2018＝2018．
（2）因为a﹣b＝﹣3，所以3（a﹣b）﹣a+b+5＝3×（﹣3）﹣（﹣3）+5＝﹣1．
（3）因为a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，
所以2a2+5ab﹣b2＝2a2+4ab+ab﹣b2＝2×（﹣2）+（﹣4）＝﹣8．
考向二：幂的运算
幂的运算
1．（2022秋•朝阳区校级期中）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a6＝a9 B．a6•a2＝a12
C．（a3）2＝a5 D．a4•a2+（a3）2＝2a6
【分析】A．应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；
B．应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
C．应用幂的乘方法则进行计算即可得出答案；
D．应用幂的乘方与积的乘方，合并同类项及同底数幂乘法进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．因为a3与a6不是同类项，故A选项计算不正确，故A选项不符合题意；
B．因为a6•a2＝a6+2＝a8，故B选项计算不正确，故B选项不符合题意；
C．因为（a3）2＝a3×2＝a6，故C选项计算不正确，故C选项不符合题意；
D．因为a4•a2+（a3）2＝a6+a6＝2a6，故D选项计算正确，故D选项符合题意．
故选：D．
2．（2022秋•浦东新区校级期中）计算（﹣）2021•（﹣）2022的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方运算以及积的乘方运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝[（﹣）×（﹣）]2021×（﹣）
＝12021×（﹣）
＝﹣，
故选：B．
3．（2022秋•闵行区校级期中）已知am＝2，a2n＝3，求am+2n＝ ．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则，进而计算得出答案．
【解答】解：∵am＝2，a2n＝3，
∴am+2n＝am•a2n＝2×3＝6．
故答案为：6．
4．（2022秋•永春县期中）若am＝2，an＝3，ap＝5，则am+n﹣p＝ ．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：∵am＝2，an＝3，ap＝5，
∴am+n﹣p
＝am×an÷ap
＝2×3÷5
＝6÷5
＝．
故答案为：．
5．（2022秋•朝阳区校级期中）（1）计算：（a4）3+a8•a4；
（2）计算：[（x+y）m+n]2；
（3）已知2x+3y﹣2＝0，求9x•27y的值．
【分析】（1）应用幂的乘方与积的乘方及同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
（2）应用幂的乘方法则进行计算即可得出答案；
（3）应用幂的乘法法则可得（32）x•（33）y，即可得出32x+3y，再由已知可得2x+3y＝2，代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝a4×3+a8+4
＝a12+a12
＝2a12；
（2）原式＝（x+y）2（m+n）；
（3）9x•27y＝（32）x•（33）y＝32x•33y＝32x+3y，
由2x+3y﹣2＝0，
可得2x+3y＝2，
原式＝32＝9．
6．（2022秋•浦东新区期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a•a…，记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．
一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算以下各对数的值：log24＝ ，log216＝ ，log264＝ ．
（2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式 ．
（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN＝ （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．
（4）设an＝N，am＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，log24+log216＝log264；
（3）由特殊到一般，得出结论：logaM+logaN＝loga（MN）；
（4）设logaM＝b1，logaN＝b2，根据幂的运算法则：am•an＝am+n和给出的材料证明结论．
【解答】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6，
故答案为：2，4，6；
（2）∵4×16＝64，log24＝2，log216＝4，log264＝6，
∴log24+log216＝log264，
故答案为：log24+log216＝log264；
（3）logaM+logaN＝loga（MN），
故答案为：loga（MN）；
（4）证明：设logaM＝b1，logaN＝b2，
则＝M，＝N，
∴MN＝•
＝，
∴b1+b2＝loga（MN），
∴logaM+logaN＝loga（MN）．
考向三：整式的乘除
单项式乘（除以）单项式
单项式乘（除以）单项式，把它们的系数、同底数幂分别相乘（除）；对于只在一个单项式里含有的字母（只在被除式里含有的字母），则连同它的指数不变，作为积（商）的因式
单项式乘多项式
m（a+b+c）=ma+mb+mc
多项式乘多项式
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
多项式除以单项式
(am+b)÷m=a+b/m
乘法公式
Ø 乘法公式里的字母可以是一个单项式，也可以是一个多项式；
Ø 两个乘法公式可以从左到右应用，也可以从右到左应用；
1．（2022春•南海区校级月考）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．2a2•3a3＝5a6 B．﹣3a2（﹣2a）＝﹣6a3
C．2a3•5a2＝10a5 D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a5
【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则、同底数幂的乘法法则解决此题．
【解答】解：A．根据单项式乘单项式的乘法法则，2a2•3a3＝6a5，那么A错误，故A不符合题意．
B．根据单项式乘单项式的乘法法则，﹣3a2•（﹣2a）＝6a3，那么B错误，故B不符合题意．
C．根据整式的混合运算，2a3•5a2＝10a5，那么C正确，故C符合题意．
D．根据同底数幂的乘法法则，（﹣a）2•（﹣a）3＝（﹣a）5＝﹣a5，那么C正确，故D不符合题意．
故选：C．
2．（2022秋•阳信县期中）下列计算中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣2）（2﹣x） B．（﹣1﹣3x）（1+3x） C．（a2+b）（a2﹣b） D．（3x+2）（2x﹣3）
【分析】利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：（x﹣2）（2﹣x）＝﹣（x﹣2）2，故选项A不符合题意；
（﹣1﹣3x）（1+3x）＝﹣（1+3x）2，选项B不符合题意；
（a2+b）（a2﹣b）＝（a2）2﹣b2，选项C符合题意；
（3x+2）（2x﹣3）可利用多项式乘多项式的乘法计算，选项D不符合题意；
故选：C．
3．（2022秋•铁西区校级月考）若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（ ）
A．m＝﹣5，n＝1 B．m＝﹣5，n＝﹣1 C．m＝5，n＝1 D．m＝5，n＝﹣1
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可求解．
【解答】解：∵（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，
∴2x2+（6﹣m）x﹣3m＝2x2+nx﹣15，
∴6﹣m＝n，﹣3m＝﹣15，
解得：m＝5，n＝1，
故选：C．
4．（2022秋•思明区校级期中）设M＝（x﹣1）（x﹣2），N＝（2x﹣3）（x﹣2），则M与N的大小关系为（ ）
A．MN B．M≥N C．M＝N D．M≤N
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则化简M﹣N，然后与0进行大小比较．
【解答】解：M﹣N＝（x﹣1）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣2）
＝x2﹣3x+2﹣（2x2﹣7x+6）
＝x2﹣3x+2﹣2x2+7x﹣6
＝﹣x2+4x﹣4
＝﹣（x2﹣4x+4）
＝﹣（x﹣2）2≤0，
∴M≤N
故选：D．
5．（2022•雁塔区校级开学）如图，一块矩形土地的面积是x2+5xy+6y2（x＞0，y＞0），长为x+3y，则宽是（ ）
A．x﹣y B．x+y C．x﹣2y D．x+2y
【分析】将x2+5xy+6y2进行因式分解便可得出结果．
【解答】解：∵x2+5xy+6y2＝（x+2y）（x+3y），
又∵一块矩形土地的面积是x2+5xy+6y2（x＞0，y＞0），长为x+3y，
∴宽为x+2y，
故选：D．
6．（2022秋•东城区校级期中）若（s﹣t）2＝4，（s+t）2＝16，则st＝ 3 ．
【分析】根据（s﹣t）2＝4，（s+t）2＝16，由完全平方公式得s2﹣2st+t2＝4①，s2+2st+t2＝16②，所以②﹣①得4st＝12，所以st＝3．
【解答】解：∵（s﹣t）2＝4，（s+t）2＝16，
∴s2﹣2st+t2＝4①，s2+2st+t2＝16②，
∴②﹣①得4st＝12，
∴st＝3．
故答案为：3．
7．（2022秋•阳信县期中）（1）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y＝﹣1．
（2）利用乘法公式简算：20212﹣2020×2022．
【分析】（1）根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则化简，把x、y的值代入计算即可；
（2）把2020×2022化为（2021﹣1）×（2021+1），再根据平方差公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣4xy+4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2
＝x2﹣2y2，
当x＝﹣2，y＝﹣1时，原式＝4﹣2＝2；
（2）20212﹣2020×2022
＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）
＝20212﹣（20212﹣1）
＝20212﹣20212+1
＝1．
8．（2022秋•西湖区校级期中）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，图2中阴影部分周长为l2．
（1）若a＝7，b＝5，c＝3，则长方形的周长为 48 ；
（2）若b＝7，c＝4，
①求l1﹣l2的值；
②记图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，求S2﹣S1的值．
【分析】（1）根据题目中的数据，先求大长方形的长为a+b+c，宽为a+b﹣c，即可求出周长；
（2）根据图形，表示出S2，S1，l1，l2，再计算l1﹣l2，S2﹣S1即可求解．
【解答】解：（1）由图1知，大长方形的长为a+b+c，
由图2知，大长方形的宽为a+b﹣c，
∴长方形的周长为2（a+b+c+a+b﹣c）＝4a+4b，
当a＝7，b＝5时，
4a+4b＝28+20＝48，
故答案为：48．
（2）①∵l1＝2（a+b+c）+2（a+b﹣c﹣c）＝4a+4b﹣2c，
l2＝2（a+b+c﹣b）+2（a+b﹣c）＝4a+2b，
∴当b＝7，c＝4时，
l1﹣l2＝（4a+4b﹣2c）﹣（4a+2b）＝2b﹣2c＝14﹣8＝6；
②∵S1＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2﹣c2，
S2＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2+bc，
∴S2﹣S1＝bc+c2＝28﹣16＝12．
考向四：因式分解
基本概念
公因式
多项式各项都含有的相同因式
因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解
一
般
步
骤
“一提”
【即：提取公因式】
“二套”
【即：套用乘法公式】
“三分组”
【即：分组分解因式】
基本不考，如果考，多项式项数一般在四个及以上
“二次三项想十字”【即：十字相乘法】
Ø 由定义可知，因式分解与整式乘法互为逆运算；
Ø 公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；单独的公因数也是公因式；
Ø 将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式；
Ø 乘法公式里的字母，可以是单独的数字，也可以是一个单项式或者多项式；
Ø 分解因式必须分解彻底，即分解到每一个多项式都不能再分解为止；
1．（2022春•三水区校级期中）若二次三项式x2+mx﹣8可分解为（x﹣4）（x+2），则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【分析】根据题意得到x2+mx﹣8＝（x﹣4）（x+2），再根据多项式乘多项式的乘法法则化简，进而求得m．
【解答】解：由题意得，x2+mx﹣8＝（x﹣4）（x+2）．
∴x2+mx﹣8＝x2﹣2x﹣8．
∴m＝﹣2．
故选：C．
2．（2022秋•张店区期中）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（ ）
A．（a+b）（2a+b） B．（a+b）（3a+b）
C．（a+b）（a+2b） D．（a+b）（a+3b）
【分析】画出图形，根据图形因式分解即可．
【解答】解：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b），
故选：C．
3．（2022秋•南安市期中）已知a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由a，b，c的值，求出a﹣b，a﹣c，b﹣c的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求解．
【解答】解：∵a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式＝
＝+（b2﹣2bc+c2）]
＝，
＝，
故选：D．
4．（2022春•顺德区校级月考）三角形三边长分别是a，b，c，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．形状不确定
【分析】先分解因式，再根据三角形的三边关系判断，得出结论．
【解答】解：∵三角形三边长分别是a，b，c，
∴a+b+c＞0，
∴a2﹣b2+ac﹣bc＝
（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）c
＝（a﹣b）（a+b+c）
＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a﹣b，
∴这个三角形是等腰三角形，
故选：A．
5．（2022秋•长宁区校级期中）因式分解：＝ （m﹣2）2 ．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝（m2﹣4m+4）
＝（m﹣2）2．
故答案为：（m﹣2）2．
6．（2022秋•肇源县期中）因式分解：
（1）15a3+10a2；
（2）﹣3ax2﹣6axy+3ay2．
【分析】（1）直接提公因式5a2即可；
（2）直接提公因式﹣3a，即可因式分解．
【解答】解：（1）15a3+10a2＝5a2（3a+2）；
（2）﹣3ax2﹣6axy+3ay2
＝﹣3a（x2+2xy﹣y2）．
7．（2022秋•巴南区校级期中）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，并满足十位数字最大，个位数字最小，且以各个数位上的数字为三边可以构成三角形，则称这样的三位数为“三角数”．将“三角数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，其中十位数字大于个位数字的两位数叫“全数”，十位数字小于个位数字的两位数叫“善数”，将所有“全数”的和记为Q（m），所有“善数”的和记为S（m），例如：Q（562）＝62+52+65＝179，S（562）＝26+25+56＝107；
（1）判断：342 是 （填“是”或“不是”）“三角数”，572 不是 （填“是”或“不是”）“三角数”，若是，请分别求出其“全数”和“善数”之和．
（2）若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若“三角数”n满足Q（n）﹣S（n）和都是完全平方数，请求出所有满足条件的n．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）设三角形形数n的百位上数字是x，十位上数字是y，个位上数字是z，根据定义求出Q（n）﹣S（n）＝18（y﹣z），＝2（x+y+z），再由题意可得y﹣z＝2或y﹣z＝8，x+y+z＝8或x+y+z＝18，分类讨论即可确定x、y、z的值．
【解答】解：（1）∵342中各个数位上的数字为三边能构成三角形，
∴342是“三角数”，
∴Q（m）＝32+42+43＝117，S（342）＝34+23+24＝81，
∵以5，7，2为三边不能构成三角形，
∴572不是“三角数”，
故答案为：是，不是；
（2）设三角形形数n的百位上数字是x，十位上数字是y，个位上数字是z，
∴Q（n）＝10x+z+10y+z+10y+x＝11x+20y+2z，Q（S）＝10x+y+10z+x+10z+y＝11x+20z+2y，
∴Q（n）﹣S（n）＝18y﹣18z＝18（y﹣z），＝2（x+y+z），
∵Q（n）﹣S（n）是完全平方数，
∴y﹣z＝2或y﹣z＝8，
∵是完全平方数，
∴x+y+z＝8或x+y+z＝18，
∴x+2z＝6或x+2z＝10
当z＝1时，x＝8，y＝9，
∴n＝891；
当z＝5时，x＝6，y＝7，
∴n＝675；
综上所述：n的值为675或891．
1．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D．x2y
【分析】根据单项式的概念判断即可．
【解答】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、不是单项式，故本选项符合题意；
D、x2y是单项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2022•巴中）下列运算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．（）﹣1＝﹣
C．（a2）3＝a6 D．a8÷a4＝a2（a≠0）
【分析】根据算术平方根及负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的除法依次计算判断即可．
【解答】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、（a2）3＝a6，选项正确，符合题意；
D、a8÷a4＝a4（a≠0），选项错误，不符合题意；
故选：C．
3．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
【分析】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．
【解答】解：原式＝4a6b2﹣3a6b2＝a6b2，
故选：C．
4．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
【分析】左边大正方形的边长为（a+b），面积为（a+b）2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．
【解答】解：根据题意，大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，
由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，
所以（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故选：A．
5．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
6．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x﹣2）2．
故选：D．
7．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（ ）
A．﹣12 B．﹣3 C．3 D．12
【分析】根据十字相乘法可以将多项式39x2+5x﹣14分解因式，然后再根据多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），即可得到a、b、c的值，然后计算出a+2c的值即可．
【解答】解：∵39x2+5x﹣14＝（3x+2）（13x﹣7），多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），
∴a＝2，b＝13，c＝﹣7，
∴a+2c
＝2+2×（﹣7）
＝2+（﹣14）
＝﹣12，
故选：A．
8．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝ 3a（a﹣7b） ．
【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．
【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．
故答案为：3a（a﹣7b）．
9．（2022•宜宾）分解因式：x3﹣4x＝ x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣4x，
＝x（x2﹣4），
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
10．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝ ﹣a（a﹣1）2 ．
【分析】先提公因式﹣a，再用完全平方式分解因式即可．
【解答】解：原式＝﹣a（a2﹣2a+1）
＝﹣a（a﹣1）2．
故答案为：﹣a（a﹣1）2．
11．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 3 ．
【分析】观察已知和所求可知，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），将代数式的值代入即可得出结论．
【解答】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝3×1＝3．
故答案为：3．
12．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为 或﹣． ．
【分析】根据完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，可得（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，
即2t﹣1＝±4，
解得：t＝或t＝．
故答案为：或﹣．
13．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．
【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．
（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 a2﹣M ；
（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．
【分析】（1）根据面积之间的关系，从边长为a的正方形面积中，减去不能使用的面积M即可；
（2）用代数式表示A比B多出的使用面积，再利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，
即a2﹣M，
故答案为：a2﹣M；
（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝10×5
＝50，
答：A比B多出的使用面积为50．
15．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022 ；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得结果相加即可得解；
（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80
＝1536+448+32+6
＝2022．
故八进制数字3746换算成十进制是2022．
故答案为：2022；
（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120，
解得n1＝9，n2＝﹣13（舍去）．
故n的值是9．
1．（2022•徐州）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a6＝a8 B．a8÷a4＝a2
C．2a2+3a2＝6a4 D．（﹣3a）2＝﹣9a2
【分析】利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和幂的乘方与积的乘方的法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵a2•a6＝a2+6＝a8，
∴A选项的结论符合题意；
∵a8÷a4＝a8﹣4＝a4，
∴B选项的结论不符合题意；
∵2a2+3a2＝5a2，
∴C选项的结论不符合题意；
∵（﹣3a）2＝9a2，
∴D选项的结论不符合题意，
故选：A．
2．（2022•黔西南州）计算（﹣3x）2•2x正确的是（ ）
A．6x3 B．12x3 C．18x3 D．﹣12x3
【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可．
【解答】解：（﹣3x）2•2x
＝9x2•2x
＝18x3．
故选：C．
3．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（ ）
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）
D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
【分析】把所给公式中的b换成﹣b，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），
∴a3﹣b3
＝a3+（﹣b3）
＝a3+（﹣b）3
＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]
＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
故选：A．
4．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．﹣4
【分析】方法1、先化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝10﹣7mn，再判断出﹣≤mn≤2，即可求出答案．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，进而得出mn＝k2﹣，进而得出原式＝10﹣7mn＝﹣k2+，即可求出答案．
【解答】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，
∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）
＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2
＝5m2+5n2﹣12mn
＝5（mn+2）﹣12mn
＝10﹣7mn，
∵m2+n2＝2+mn，
∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），
∴mn≥﹣，
∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），
∴mn≤2，
∴﹣≤mn≤2，
∴﹣14≤﹣7mn≤，
∴﹣4≤10﹣7mn≤，
即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为，
故选：B．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，
∴mn+2+2mn＝k2，
∴mn＝k2﹣，
∴原式＝10﹣7mn＝﹣k2+≤，
故选：B．
5．（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（ ）
A．1 B．a2 C．a2+2a D．a2﹣a+1
【分析】去括号后合并同类项即可得出结论．
【解答】解：a（a+1）﹣a
＝a2+a﹣a
＝a2，
故选：B．
6．（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…，
给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据括号前是“+”，添括号后，各项的符号都不改变判断①；根据相反数判断②；通过例举判断③．
【解答】解：①如（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，（x﹣y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故①符合题意；
②x﹣y﹣z﹣m﹣n的相反数为﹣x+y+z+m+n，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故②符合题意；
③第1种：结果与原多项式相等；
第2种：x﹣（y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；
第3种：x﹣（y﹣z）﹣（m﹣n）＝x﹣y+z﹣m+n；
第4种：x﹣（y﹣z﹣m）﹣n＝x﹣y+z+m﹣n；
第5种：x﹣（y﹣z﹣m﹣n）＝x﹣y+z+m+n；
第6种：x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；
第7种：x﹣y﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n；
第8种：x﹣y﹣z﹣（m﹣n）＝x﹣y﹣z﹣m+n；故③符合题意；
正确的个数为3，
故选：D．
7．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝ 3x（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．
【解答】解：原式＝3x（x2﹣4y2）
＝3x（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．
8．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝ 2（a+1）2 ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）
＝2（a+1）2．
故答案为：2（a+1）2．
9．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝ 2022（x﹣1）2 ．
【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2022（x2﹣2x+1）
＝2022（x﹣1）2．
故答案为：2022（x﹣1）2．
10．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝ 4 ．
【分析】已知两式左边利用完全平方公式展开，相减即可求出xy的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝25，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝9，
∴两式相减得：4xy＝16，
则xy＝4．
故答案为：4
11．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ 4 ．
【分析】根据完全平方公式得出m和n的值即可得出结论．
【解答】解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，
∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，
即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴m﹣n＝4，
故答案为：4．
12．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．
（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣
＝1+1+2×+﹣1﹣2
＝2++﹣1﹣2
＝1；
（2）（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）
＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x
＝4x，
当x＝时，原式＝4×＝2．
13．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：x（x+2）+（x+1）2
＝x2+2x+x2+2x+1
＝2x2+4x+1，
∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）+1
＝2×2+1
＝4+1
＝5．
14．（2022•河北）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【分析】写出两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和，根据完全平方公式，合并同类项法则计算即可求解．
【解答】解：验证：10的一半为5，
5＝1+4＝12+22，
探究：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下：
（m+n）2+（m﹣n）2
＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2
＝2m2+2n2
＝2（m2+n2），
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
15．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．
【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；
（2）设A＝（a+b+c＝12，a＞b＞c），根据“和倍数”的定义表示F（A）和G（A），代入中，根据为整数可解答．
【解答】解：（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，
∴357不是“和倍数”；
∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，
∴441是9的“和倍数”；
（2）设A＝（a+b+c＝12，a＞b＞c），
由题意得：F（A）＝，G（A）＝，
∴＝＝＝，
∵a+c＝12﹣b，为整数，
∴＝＝＝＝7+（1﹣b），
∵1＜b＜9，
∴b＝3，5，7，
∴a+c＝9，7，5，
①当b＝3，a+c＝9时，（舍），，
则A＝732或372；
②当b＝5，a+c＝7时，，
则A＝156或516；
③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；
综上，满足条件的所有数A为：732或372或156或516．
1．（2022•肥东县校级模拟）下列各式中计算结果为x2的是（ ）
A．x2•x B．x+x C．x8÷x4 D．（﹣x）2
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方分别计算即可．
【解答】解：∵x2•x＝x3≠x2，故A选项不符合题意；
∵x+x＝2x≠x2，故B选项不符合题意；
∵x8÷x4＝x4≠x2，故C选项不符合题意；
∵（﹣x）2＝x2，故D选项符合题意．
故选：D．
2．（2022•雁塔区模拟）下列计算正确的是（ ）
A．（12a4﹣3a2）÷3a2＝4a2
B．（﹣3a+b）（b﹣a）＝﹣2ab﹣3a2+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
D．（b+2a）（2a﹣b）＝﹣b2+4a2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝4a2﹣1，不符合题意；
B、原式＝﹣3ab+3a2+b2﹣ab＝﹣4ab+3a2+b2，不符合题意；
C、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝﹣b2+4a2，符合题意．
故选：D．
3．（2022•环江县模拟）如图，某底板外围呈正方形，其中央是边长为x米的空白小正方形，空白小正方形的四周铺上小块正方形花岗石（即阴影部分），恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石，则边长x的值是（ ）
A．3米 B．3.2米 C．4米 D．4.2米
【分析】根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积列示计算即可．
【解答】解：阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，
即（3.2+x+3.2）2﹣x2＝（3.2+x+3.2﹣x）（3.2+x+3.2+x）＝6.4×（6.4+2x）＝144×0.8×0.8，
解得：x＝4，
故选：C．
4．（2022•路南区三模）在化简3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab题中，◆表示+，﹣，×，÷四个运算符号中的某一个．当a＝﹣2，b＝1时，3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab的值为22，则◆所表示的符号为（ ）
A．÷ B．× C．+ D．﹣
【分析】把“+”、“﹣”、“×”、“÷”放入原式计算得到最简结果，将a与b的值分别代入结果与22比较即可．
【解答】解：A、3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）÷2ab＝3a2b+3ab﹣a﹣1，
当a＝﹣2，b＝1时，原式＝12﹣6+2﹣1＝7，不符合题意；
B、3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）•2ab＝3a2b+3ab﹣4a3b2﹣4a2b2，
当a＝﹣2，b＝1时，原式＝12﹣6+32﹣16＝22，符合题意；
C、3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）+2ab
＝3a2b+3ab﹣2a2b﹣2ab+2ab
＝a2b+ab，
当a＝﹣2，b＝1时，原式＝4﹣2＝2，不符合题意；
D、3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）﹣2ab
＝3a2b+3ab﹣2a2b﹣2ab﹣2ab
＝a2b﹣ab，
当a＝﹣2，b＝1时，原式＝4+2＝6，不符合题意．
故选：B．
5．（2022•蓬江区一模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣4b2 C．a2﹣2ab+b2 D．﹣a2﹣b2
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故选：B．
6．（2022•峨眉山市模拟）若把多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣6，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】设x2+mx﹣12＝（x﹣6）（x+a），右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．
【解答】解：设x2+mx﹣12＝（x﹣6）（x+a）＝x2+（a﹣6）x﹣6a，
可得m＝a﹣6，6a＝12，
解得：a＝2，m＝﹣4，
故选：D．
7．（2022•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（ ）
A．﹣19a7 B．19a7 C．﹣22a6 D．22a6
【分析】由已知得第奇数个单项式的符号为负数，第7个单项式的系数绝对值为4+3×6，字母及字母的指数为a6，即可得到答案．
【解答】解：经过观察可得第奇数个单项式的符号为负数，第偶数个单项式的符号为正数；
第1个单项式的系数绝对值为4+3×0，
第2个单项式的系数绝对值为4+3×1，
…
第7个单项式的系数绝对值为4+3×6；
第1个单项式的字母及字母的指数为a0，
第2个单项式的字母及字母的指数为a1，
…
第7个单项式的字母及字母的指数为a6；
∴第7个单项式为﹣22a6，
故选：C．
8．（2022•张店区二模）如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E在AB上，点M、N在BC上，若AE＝4，MN＝3，CN＝2，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】设AB＝DC＝a，AD＝BC＝b，用含a、b的代数式分别表示BE，BM，DG，PD．再表示出图中右上角阴影部分的周长及左下角阴影部分的周长，然后相减即可．
【解答】解：矩形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC．
正方形AEFG中，AE＝EF＝FG＝AG＝4．
正方形MNRH中，MN＝NR＝RH＝HM＝3．
正方形CPQN中，CP＝PQ＝QN＝CN＝2．
设AB＝DC＝a，AD＝BC＝b，
则BE＝AB﹣AE＝a﹣4，BM＝BC﹣MN﹣CN＝b﹣3﹣2＝b﹣5，DG＝AD﹣AG＝b﹣4，PD＝CD﹣CP＝a﹣2．
∴图中右上角阴影部分的周长为2（DG+DP）＝2（b﹣4+a﹣2）＝2a+2b﹣12．
左下角阴影部分的周长为2（BM+BE）＝2（b﹣5+a﹣4）＝2a+2b﹣18，
∴图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（2a+2b﹣12）﹣（2a+2b﹣18）＝6．
故选：B．
9．（2022•邯郸二模）若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】先提取公因式，再套用平方差公式分解20222022﹣20222020，再根据等式的性质确定n的值．
【解答】解：∵20222022﹣20222020
＝20222020×（20222﹣1）
＝20222020×（2022+1）×（2022﹣1）
＝2023×20222020×2021，
又∵20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，
∴2023×20222020×2021＝2023×2022n×2021．
∴n＝2020．
故选：A．
10．（2022•碑林区模拟）计算：（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）＝ 16x4﹣1 ．
【分析】两次运用平方差公式计算即可．
【解答】解：（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）
＝（4x2﹣1）（4x2+1）
＝16x4﹣1．
故答案为：16x4﹣1．
11．（2022•玉树市校级一模）分解因式：a2﹣16＝ （a+4）（a﹣4） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a2﹣16＝（a+4）（a﹣4）．
故答案为：（a+4）（a﹣4）．
12．（2022•五华区校级模拟）已知x+y＝2，xy＝﹣3，则x2y+xy2＝ ﹣6 ．
【分析】先利用因式分解把代数式变形，再整体代入数据求出代数式的值即可．
【解答】解：原式＝xy（x+y），
∵x+y＝2，xy＝﹣3，
∴原式＝﹣3×2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
13．（2022•丽水二模）如图1，将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个长方形（图3），若图3的长方形周长为30，则b的值为 ．
【分析】根据图形给出的已知条件列出算式，进行整式加减即可得结论．
【解答】解：观察图形可得：
图3的长方形的周长30＝2（10﹣b）+2（10﹣3b），
解得b＝．
故答案为：．
14．（2022•潮安区模拟）一个长方形的面积为10，设长方形的边长为a和b，且a2+b2＝29，则长方形的周长为 14 ．
【分析】根据长方形的面积公式可ab＝10，再根据a2+b2＝29，可求出a+b的值即可．
【解答】解：由于长方形的面积为10，长方形的边长为a和b，所以ab＝10，
∵a2+b2＝29，
∴（a+b）2﹣2ab＝29，
即（a+b）2＝29+2ab，
∴（a+b）2＝49，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝7，
∴2（a+b）＝14，
即周长为14，
故答案为：14．
15．（2022•雁塔区校级模拟）化简：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）．
【分析】根据整式的混合运算法则，先计算乘法，再计算减法．
【解答】解：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）
＝x2+9﹣6x﹣（x2﹣4x+x﹣4）
＝x2+9﹣6x﹣x2+4x﹣x+4
＝﹣3x+13．
16．（2022•南关区校级模拟）已知a2+2a﹣2＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣3）的值．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a2+2a＝2代入化简后的式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（a﹣1）（a+1）+2（a﹣3）
＝a2﹣1+2a﹣6
＝a2+2a﹣7，
∵a2+2a﹣2＝0，
∴a2+2a＝2，
∴当a2+2a＝2时，原式＝2﹣7
＝﹣5．
17．（2022•安徽模拟）某学习小组在研究两数的和与这两数的积相等的等式时，有下面一些有趣的发现：
①由等式3+＝3×发现：（3﹣1）×（﹣1）＝1；
②由等式+（﹣2）＝×（﹣2）发现：（﹣1）×（﹣2﹣1）＝1；
③由等式﹣3+＝﹣3×发现：（﹣3﹣1）×（﹣1）＝1；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）由等式a+b＝ab猜想： （a﹣1）（b﹣1）＝1 ，并证明你的猜想；
（2）若等式a+b＝ab中，a，b都是整数，试求a，b的值．
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则求解；
（2）利用代入验证法求解．
【解答】解：（1）∵a+b＝ab，
∴（a﹣1）（b﹣1）
＝ab﹣a﹣b+1
＝ab﹣（a+b）+1
＝1．
故答案为：（a﹣1）（b﹣1）＝1．
（2）∵a+b＝ab，a，b都是整数，
所以a＝b＝0或a＝b＝2．
18．（2022•万州区校级一模）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“欢乐分解”．
例如：∵572＝22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．
又如：∵334＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．
（1）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由．
（2）把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令G（M）＝，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．
【分析】（1）读懂题意，按照题目给出的新定义，先因式分解，再判断即可；
（2）设A的十位数为a，个位数为b，则B为10a+8﹣b，根据G（M）能被8整除求出a的可能的值，再由a的值求出b的值即可得出答案．
【解答】解：（1）∵195＝13×15，13、15的十位数字相同，个位数字之和为8，
∴195是“团圆数”．
∵621＝23×27，23与27的十位数字相同，但个位数字和不等于8，
∴621不是“团圆数”．
（2）设A＝10a+b，则B＝10a+8﹣b，
∴A+B＝20a+8，|A﹣B|＝|2b﹣8|，
∵G（M）＝＝能被8整除，
∴＝8k，k为整数，
∴5a+2＝（|b﹣4|）4k，
∴5a+2是4的倍数，
∴满足条件的a有2，6，
若a＝2，则 ＝8k，k为整数，
∴＝k，
∴|b﹣4|是3的因数，
∴b﹣4＝﹣3，﹣1，1，3，
∴满足条件的b有1，3，5，7，
∴A＝21，B＝27或A＝23，B＝25或A＝25，B＝23或A＝27，B＝21，
∴A×B＝567或575，
若a＝6，则 ＝8k，k为整数，
∴＝k，
∴|b﹣4|是8的因数，
∴b﹣4＝﹣8，﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，8，
∴满足条件的b有2，3，5，6，
∴A＝62，B＝66或A＝63，B＝65或A＝65，B＝63或A＝66，B＝62，
∴A×B＝62×66＝4092或4095，
综上，M的值为567或575或4092或4095．
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