徐州市邳州市新城中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

徐州市邳州市新城中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题

一、选择题（每小题3分，共24分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（　　）

A.  B.  C.  D.

2. 某市决定从桂花、菊花、月季花中随机选取一种作为市花，选到月季花的概率是(    )

A.  B.  C. 1 D. 0

3. 2017年我市有1.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（　　）

A. 1.6万名考生 B. 2000名考生 C. 1.6万名考生的数学成绩 D. 2000名考生的数学成绩

4. 下列命题中正确是（　　）

A. 有一组邻边相等的四边形是菱形

B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形

C. 对角线垂直的平行四边形是正方形

D. 一组对边平行的四边形是平行四边形

5. 下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ）

A 四条边相等 B. 对角线互相平分

C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直

6. 如图，矩形ABCD对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形的对角线AC为（　 　）

A. 4 B. 8 C.  D. 10

7. 如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是(   )

A. 5cm B. 6cm C. cm D. cm；

8. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（　　　　）

A. 1 B. 2 C. 2 D. 4

二、填空题（每小题3分，共30分）

9. 调查神舟九号宇宙飞船各部件功能是否符合要求，这种调查适合用______（填“普查”或“抽样调查”）．

10. 对某班一次考试成绩进行统计，已知其中一组的频数是7，频率是0.2，那么该班级的人数是______人．

11. 如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．

12. 平行四边形的两条对角线长分别为8和10，则其中每一边长x的取值范围是__________．

13. 如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是______cm．

14. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．

15. 如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于__度．

16. 如图，正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1．点P在BD上，则PE与PC的和的最小值为__．

17. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF=______．

18. 如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是_______（把所有正确结论的序号都填在横线上）

（1）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；（3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF

三、解答题（共66分）

19. △ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．

（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1，

（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2，

（3）在x轴上求作一点P，使PA1＋PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）

20. 学校准备购买一批课外读物．学校就“我最喜爱的课外读物”从“文学”“艺术”“科普”和“其他”四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图如下：

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）条形统计图中，＝______，＝______．

（2）求扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角的度数．

21. 如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC角平分线，交BC于点E

（1）求证：CD=CE；

（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数

22. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接 AD、CE．

（1）求证∶△ACD≌△EDC；

（2）若点D是 BC中点，求证∶四边形ADCE 是矩形．

23. 如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD∥BC，②AB＝CD，③∠A＝∠C，④∠B＋∠C＝180°．

已知：在四边形ABCD中，______，______；

求证：四边形ABCD是平行四边形．

24. 在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．

（1）如图1，求证：AE⊥BF；

（2）如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB=4，求QF的值．

25. 如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF．

（1）求证：△AED≌△CFD；

（2）求证：四边形AECF是菱形．

（3）若AD=3，AE=5，则菱形AECF的面积是多少？

26. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．

（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？

（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？

（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

答案与解析

一、选择题（每小题3分，共24分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解．

【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确，符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．

2. 某市决定从桂花、菊花、月季花中随机选取一种作为市花，选到月季花的概率是(    )

A.  B.  C. 1 D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】共有3种花，选到月季花占其中的一种，利用概率公式进行求解即可．

【详解】所有机会均等的可能共有3种，而选到月季花的机会有1种，

因此选到月季花的概率是，

故选A．

【点睛】本题考查了简单的概率计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

3. 2017年我市有1.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（　　）

A. 1.6万名考生 B. 2000名考生 C. 1.6万名考生的数学成绩 D. 2000名考生的数学成绩

【答案】D

【解析】

【详解】试题解析：2015年我市有近1.6万名考生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中抽取的2000名考生的数学成绩为样本．

故选D．

考点：总体、个体、样本、样本容量．

4. 下列命题中正确的是（　　）

A. 有一组邻边相等的四边形是菱形

B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形

C. 对角线垂直的平行四边形是正方形

D. 一组对边平行的四边形是平行四边形

【答案】B

【解析】

【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．

【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误； 

B、正确；

C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；

D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．

考点：命题与定理．

【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

5. 下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ）

A. 四条边相等 B. 对角线互相平分

C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；

菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；

因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．

故选C．

6. 如图，矩形ABCD对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形的对角线AC为（　 　）

A. 4 B. 8 C.  D. 10

【答案】B

【解析】

【分析】先由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA=AB=4，即可得出AC的长．

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，

∴OA=OB，

∵∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA=AB=4，

∴AC=2OA=8；

故选B．

【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

7. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是(   )

A. 5cm B. 6cm C. cm D. cm；

【答案】D

【解析】

【分析】首先利用菱形的性质结合勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出答案

【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，
∴AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，∠BOC=90°，
∴BC==5（cm），

∵S△ABC=AE×BC=BO×AC
故5AE=24，
解得：AE=（cm）.
故选D．

【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用三角形面积求出AE的长是解题关键．

8. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（　　　　）

A. 1 B. 2 C. 2 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．

【详解】解：∵四边形AECF是菱形，AB=3，

∴假设BE=x，则AE=3﹣x，CE=3﹣x，

∵四边形AECF是菱形，

∴∠FCO=∠ECO，

∵∠ECO=∠ECB，

∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，

2BE=CE，

∴CE=2x，

∴2x=3﹣x，

解得：x=1，

∴CE=2，利用勾股定理得出：

BC2+BE2=EC2，

BC===，

又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2，

则菱形的面积=2．

故选C．

【点睛】本题考查折叠问题以及勾股定理．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．

二、填空题（每小题3分，共30分）

9. 调查神舟九号宇宙飞船各部件功能是否符合要求，这种调查适合用______（填“普查”或“抽样调查”）．

【答案】普查

【解析】

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．

【详解】解：调查神舟九号宇宙飞船各部件功能是否符合要求，这种调查适合用普查．

故答案为：普查

【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

10. 对某班一次考试成绩进行统计，已知其中一组的频数是7，频率是0.2，那么该班级的人数是______人．

【答案】35

【解析】

【分析】根据频率公式，即可求解．

【详解】解：根据题意得：该班级的人数是人．

故答案为：35．

【点睛】本题主要考查了根据频率求总数，熟练掌握频率等于频数除以总数是解题的关键．

11. 如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．

【答案】20

【解析】

【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．

【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AE∥BC，AD=BC，

∴∠AEB=∠EBC，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE，

∴AE+DE=AD=BC=6，

∴AE+2=6，

∴AE=4，

∴AB=CD=4，

∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，

故答案为20．

12. 平行四边形的两条对角线长分别为8和10，则其中每一边长x的取值范围是__________．

【答案】1＜x＜9

【解析】

【分析】首先根据题意画出图形，然后由平行四边形的两条对角线长分别为8和10，即可得OA=4，OB=5，利用三角形的三边关系，即可求得答案．

【详解】如图，

∵平行四边形的两条对角线长分别为8和10，

∴OA=4，OB=5，

∴1＜AB＜9，

即其中每一边长x的取值范围是：1＜x＜9．

故答案为∶ 1＜x＜9

13. 如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是______cm．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：利用FE垂直平分AC可得到AE=CE，那么△CDE周长就可以表示为AD+CD，也就求出了矩形的周长．

解：∵OA=OC，EF⊥AC，

∴AE=CE，

∵矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD），

∵DE+CD+CE=24，∴矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD）=48cm．

考点：矩形的性质．

14. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．

【答案】24

【解析】

【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．

【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2，

故答案为：24．

【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．

15. 如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于__度．

【答案】65

【解析】

【分析】先由正方形性质得到∠ABF的角度，从而得到∠AEB的大小，再证△AEB≌△AED，得到∠AED的大小

【详解】∵四边形ABCD是正方形

∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD

∵∠FBC=20°

∴∠ABF=70°

∴在△ABE中，∠AEB=65°

在△ABE与△ADE中

∴△ABE≌△ADE

∴∠AED=∠AEB=65°

故答案为：65°

【点睛】本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出∠AEB的大小.

16. 如图，正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1．点P在BD上，则PE与PC的和的最小值为__．

【答案】

【解析】

【分析】连接AC、AE，由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称，故AE的长即为的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可．

【详解】解：连接AC、AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴A、C关于直线BD对称，

∴AE的长即为PE+PC的最小值，

∵BE=2，CE=1，

∴BC=AB=2+1=3，

在Rt△ABE中，，

∴PE与PC和的最小值为．

故答案为．

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．

17. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF=______．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：证△AEF≌△ADF，推出AE=AD=5，EF=DF，在△ABE中，由勾股定理求出BE=3，求出CE=2，设CF=x，则EF=DF=4-x，在Rt△CFE中，由勾股定理得出方程（4-x）2=x2+22，求出x即可．

试题解析：∵AF平分∠DAE，

∴∠DAF=∠EAF，

∵四边形ABCD矩形，

∴∠D=∠C=90°，AD=BC=5，AB=CD=4，

∵EF⊥AE，

∴∠AEF=∠D=90°，

在△AEF和△ADF中，

，

∴△AEF≌△ADF（AAS），

∴AE=AD=5，EF=DF，

在△ABE中，∠B=90°，AE=5，AB=4，由勾股定理得：BE=3，

∴CE=5-3=2，

设CF=x，则EF=DF=4-x，

在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2=CE2+CF2，

∴（4-x）2=x2+22，

x=，

CF=．

考点：矩形的性质．

18. 如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是_______（把所有正确结论的序号都填在横线上）

（1）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；（3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF

【答案】①②④

【解析】

【详解】解：①∵F是AD的中点

∴AF=FD

∵在▱ABCD中，AD=2AB

∴AF=FD=CD

∴∠DFC=∠DCF

∵

∴∠DFC=∠FCB

∴∠DCF=∠BCF

∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确

延长EF，交CD延长线于M

∵四边形ABCD是平行四边形

∴

∴∠A=∠MDF

∵F为AD中点

∴AF=FD

在△AEF和△DFM中

∴△AEF≌△DMF（ASA）

∴FE=MF，∠AEF=∠M

∵CE⊥AB

∴∠AEC=90°

∴∠AEC=∠ECD=90°

∵FM=EF

∴FC=FM，故②正确

③∵EF=FM

∴S△EFC=S△CFM

∵MC＞BE

∴S△BEC＜2S△EFC

故S△BEC=2S△CEF错误

④设∠FEC=x，则∠FCE=x

∴∠DCF=∠DFC=90°-x

∴∠EFC=180°-2x

∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x

∵∠AEF=90°-x

∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．

三、解答题（共66分）

19. △ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．

（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1，

（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2，

（3）在x轴上求作一点P，使PA1＋PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（，0）

【解析】

【分析】（1）直接利用关于点对称图形的性质得出答案；

（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（3）结合待定系数法求一次函数解析式得出答案．

【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；

（3）如图所示：点P即为所求，

作关于轴对称的点，

可得A（2，－1），，

设直线y＝kx＋b，

则，

解得：，

故直线A1C2的解析式为：y＝x－4；

当y＝0时，解得：x＝，

故P（，0）．

【点睛】本题主要考查了旋转变换以及平移变换、利用轴对称求最短路线，解题的关键是正确得出对应点位置．

20. 学校准备购买一批课外读物．学校就“我最喜爱的课外读物”从“文学”“艺术”“科普”和“其他”四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图如下：

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）条形统计图中，＝______，＝______．

（2）求扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角的度数．

【答案】（1）40，60   

（2）72°

【解析】

【分析】（1）先利用最喜爱文学类读物的人数除以最喜爱文学类读物的人数所占的百分比，可得总人数，再乘以30%，可得最喜爱科普类读物的人数；然后用总人数减去喜爱其他的人数，可得m的值，即可求解；

（2）用总人数乘以艺术类读物所占的百分比，即可求解．

【小问1详解】

解：总人数为，

∴最喜爱科普类读物的人数为，

∴n=60，

∴m=200-70-60-30=40，

故答案为：40，60；

【小问2详解】

解：艺术类读物所在扇形的圆心角的度数为．

【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，明确题意，能准确从统计图中获取信息是解题的关键．

21. 如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E

（1）求证：CD=CE；

（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数

【答案】（1）见解析；（2）∠DAE=50°．

【解析】

【分析】（1）由可得∠ADE=∠DEC，再由∠ADE=∠EDC，从而可得∠DEC=∠EDC，继而可证得CD=CE；

（2）由题意可得，AB=CD，继而可求得∠BAD的度数，AB=BE，从而可求得∠BAE的度数，由此即可求得∠DAE的度数．

【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ ，

∴∠ADE=∠DEC，

又∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠EDC，

∴∠DEC=∠EDC，

∴CD=CE；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，AB=CD，

∴∠B+∠BAD=180°，

又∵∠B=80°，

∴∠BAD=180°-80°=100°，

∵BE=CE，CE=CD，

∴AB=BE，

∴∠BAE=∠BEA=（180°-80°）÷2=50°，

∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=100°-50°=50°．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．

22. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接 AD、CE．

（1）求证∶△ACD≌△EDC；

（2）若点D是 BC中点，求证∶四边形ADCE 是矩形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，得到，由等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求证；

（2）先求证四边形ADCE 为平行四边形，在根据即可求证．

【详解】解：（1）∵AB=AC

∴

在平行四边形ABDE中，，

∴，

∴

又∵

∴

（2）∵点D是 BC中点，AB=AC

∴，

∴

在平行四边形ABDE中，，

∴，

∴四边形ADCE 为平行四边形

又∵

∴平行四边形ADCE 为矩形．

【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．

23. 如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD∥BC，②AB＝CD，③∠A＝∠C，④∠B＋∠C＝180°．

已知：在四边形ABCD中，______，______；

求证：四边形ABCD是平行四边形．

【答案】①④，证明见解析

【解析】

【分析】选择①④，利用同旁内角互补，得到，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明即可．此题答案不唯一．

【详解】选择：①④

证明： ∠B＋∠C＝180°

AD BC

四边形ABCD是平行四边形．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．

24. 在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．

（1）如图1，求证：AE⊥BF；

（2）如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB=4，求QF的值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）QF=5

【解析】

【分析】（1）首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可证明AE⊥BF；

（2）由△BCF沿BF对折，得到△BPF可得FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90，在利用角的关系求出QF=QB，设设QF=x，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立关于x的方程解方程求出x的值即可．

【小问1详解】

解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，

∴CF=BE，

在△ABE和△BCF中，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∴∠BAE=∠CBF，

又∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠CBF+∠BEA=90°，

∴∠BGE=90°，

∴AE⊥BF；

【小问2详解】

解：∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，

∴FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°，

∵CD∥AB，

∴∠CFB=∠ABF，

∴∠ABF=∠PFB，

∴QF=QB，

设QF=x，PB=BC=AB=4，CF=PF=2，

∴QB=x，PQ=x﹣2，

在Rt△BPQ中，∴x2=（x﹣2）2+42，

解得：x=5，

即QF=5．

25 如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF．

（1）求证：△AED≌△CFD；

（2）求证：四边形AECF是菱形．

（3）若AD=3，AE=5，则菱形AECF的面积是多少？

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24

【解析】

【详解】试题分析：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，得到AE=CE，AD=CD，由CF∥AB，得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得△AED≌△CFD；

（2）由△AED≌△CFD，得到AE=CF，由EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而有EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形；

（3）在Rt△ADE中，由勾股定理得到ED=4，故EF=8，AC=6，从而得到菱形AECF的面积．

试题解析：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，AD=CD，∵CF∥AB，∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，在△AED与△CFD中，∵∠EAC=∠FCA，AD=CD，∠CFD=∠AED，∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，∴AE=CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC=EA，FC=FA，∴EC=EA=FC=FA，∴四边形AECF为菱形；

（3）在Rt△ADE中，∵AD=3，AE=5，∴ED=4，∴EF=8，AC=6，∴S菱形AECF=8×6÷2=24，∴菱形AECF的面积是24．

考点：1．菱形的判定；2．全等三角形的判定与性质；3．线段垂直平分线的性质．

26. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．

（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？

（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？

（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

【答案】（1）4s    （2）3s   

（3）菱形AQCP的周长是20cm，面积是20cm2

【解析】

【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；

（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；

（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长等于边长乘以4，面积等于底乘以高，即可求解．

【小问1详解】

解：设点P、Q运动的时间为t（s），则BQ=t，DP=t，

∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=8，

∴CD=AB=4，AD=BC=8，

∴AP=8-t，

当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，

∴t=8-t，

解得：t=4，

答：当t=4s时，四边形ABQP是矩形；

【小问2详解】

解：∵AB=4，BQ=t，∠B=90°，

∴，

当四边形AQCP是菱形时，AP=AQ，

∴，

解得：t=3，

答：当t=3s时，四边形AQCP是菱形；

【小问3详解】

由（2）可知：当t=3时，BQ=3，

∴CQ=BC-BQ=5，

∴菱形AQCP的周长为4CQ=4×5=20（cm），

菱形AQCP的面积为CQ·AB=5×4=20（cm2）

答：菱形AQCP的周长是20cm，面积是20cm2．

【点睛】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，利用结合方程的思想解题是解题的关键．