2022-2023 数学浙教版中考考点经典导学 考点12反比例函数

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考点12反比例函数考点总结 1、反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质反比例函数k的符号k>0k<0图像               y                 O             x                  y                 O              x性质①x的取值范围是x0，  y的取值范围是y0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。①x的取值范围是x0，  y的取值范围是y0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。。 真题演练 一、单选题1．（2021·浙江丽水·中考真题）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（    ）A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学【答案】B【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，根据题意，∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，故选：B．2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（      ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数图像的增减性分析解答．【详解】解：反比例函数经过第一，三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，∴当时，故选：A．3．（2021·浙江温州·中考真题）如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论．【详解】解：如图，设OD=m，∵∴OC=∵轴于点，轴于点，∴四边形BEOD是矩形∴BD=OE=1∴B(m，1)设反比例函数解析式为，∴k=m×1=m设AC=n∵轴∴A（，n）∴，解得，n=，即AC=∵AC=AE∴AE=在Rt△AEF中，， 由勾股定理得， 解得，（负值舍去）∴ 故选：B4．（2021·浙江金华·中考真题）已知点在反比例函数的图象上．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的图象与性质解题．【详解】解：反比例函数图象分布在第二、四象限， 当时，当时，故选：B．5．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案．【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称，∵点B的横坐标为2，∴点A的横坐标为-2，由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，∴当或时，，故选：C．6．（2020·浙江金华·中考真题）已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（　　）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a【答案】C【分析】根据反比例函数的性质得到函数y＝（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则b＞c＞0，a＜0．【详解】∵k＞0，∴函数y＝（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，∵﹣2＜0＜2＜3，∴b＞c＞0，a＜0，∴a＜c＜b．故选：C．7．（2021·浙江上城·二模）已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为﹣2，另一交点B的纵坐标为﹣1，则k1与k2的关系正确的是（　　）A．k1＝k2 B．2k1＝k2 C．4k1＝k2 D．k1k2＝4【答案】C【分析】根据正比例函数y=k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为-2，另一交点B的纵坐标为-1，可以得到关于k1和k2的方程组，然后化简，即可判断哪个选项是正确的．【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点在第二象限，横坐标为，另一交点的纵坐标为，，化简，得，故选项C正确；故选：C．8．（2021·浙江滨江·二模）如图，已知反比例函数和一次函数y2＝k2x+b的图象交于（1，4）和（4，1）两点，则使y1＞y2的x的取值范围是（　　）A．1＜x＜4 B．x＜1或x＞4 C．0＜x＜1或x＞4 D．1＜x＜4或x＜0【答案】C【分析】根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．【详解】解：∵反比例函数和一次函数y2＝k2x+b的图象交于（1，4）和（4，1）两点，∴当0＜x＜1或x＞4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，y1＞y2．故选：C．9．（2021·浙江萧山·二模）一次函数y1＝k1x+b和y2＝（k2＞0）相交于A（1，m），B（3，n）两点，则不等式k1x+b＞的解集为（　　）A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3 C．x＜0或x＞3 D．1＜x＜3或x＜0【答案】D【分析】画出草图，在图象上找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可．【详解】解：如图，由图象可得：不等式k1x+b＞的解集是1＜x＜3或x＜0．故选：D．10．（2021·浙江余杭·三模）点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（    ）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2【答案】B【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可【详解】解：∵中，k＝2＞0，∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小，∵﹣1＜0，∴A点在第三象限，∴y1＜0，∵2＞1＞0，∴B、C两点在第一象限，∴y2＞y3＞0，∴y1＜y3＜y2.故选：B． 二、填空题11．（2021·浙江衢州·中考真题）将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且，点E在AD上，，将这副三角板整体向右平移_______个单位，C，E两点同时落在反比例函数的图象上．【答案】【分析】分别求出，，假设向右平移了m个单位，将平移后的店代入中，列出方程进行求解即可．【详解】过E作EN⊥DB, 过C作CM⊥BD，∴，由三角板及 ，可知，BD=12，CM=BM=DB=6，∴ ，∵，，∴EN//OB，∵∴，∴．设将这副三角板整体向右平移m个单位，C，E两点同时落在反比例函数的图象上．∵，，∴平移后，，∴，∴，解得．经检验：是原方程的根，且符合题意，故答案为：．12．（2020·浙江宁波·中考真题）如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为__，的值为__．【答案】24    ﹣    【分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE=S△ADC=S五边形ABCDE-S四边形ABCD=56-32=24，推出S△AOE=S△DEO=12，可得a-b=12，推出a-b=24．再证明BC∥AD，证明AD=3BC，推出AT=3BT，再证明AK=3BK即可解决问题．【详解】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，∵E，C在反比例函数y＝的图象上，∴E，C关于原点对称，∴E，O，C共线，∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，∴S△AOE＝S△DEO＝12，∴a﹣b＝12，∴a﹣b＝24，∵S△AOC＝S△AOB＝12，∴BC∥AD，∴＝，∵S△ACB＝32﹣24＝8，∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝1：3，∴BC：AD＝1：3，∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5k，BK＝0.5k，∴AK：BK＝3：1，∴＝＝，∴＝﹣．故答案为24，﹣．13．（2020·浙江衢州·中考真题）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG=，则k=_____．【答案】【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．【详解】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN=AD=3，在Rt△FMN中，∠MFN=30°，∴FN=MN=3，∴AN=MB=8﹣3=5，设OA=x，则OB=x+3，∴F（x，8），M（x+3，5），∴8x=（x+3）×5，解得，x=5，∴F（5，8），∴k=5×8=40．故答案为：40．14．（2020·浙江·中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是_____．【答案】【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE=S△OBD=k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．【详解】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，∴S△COE＝S△BOD＝，S△ACD＝S△OCD＝2，∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴，∴4S△OCE＝S△OAB，∴4×k＝2+2+k，∴k＝，故答案为：．15．（2020·浙江温州·中考真题）点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1＋S3＝27，则S2的值为_______．【答案】【分析】利用反比例函数系数的几何意义，及OE＝ED＝DC求解，然后利用列方程求解即可得到答案．【详解】解：由题意知：矩形的面积 同理：矩形，矩形的面积都为，  故答案为： 三、解答题16．（2020·浙江嘉兴·中考真题）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．x123456y62.921.51.21（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．【答案】（1）图象见解析，()；（2）y1＞y2，理由见解析．【分析】（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式；（2）根据反比例函数的性质解答即可．【详解】解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为，把x＝1，y＝6代入，得k＝6，∴函数表达式为()；（2）∵k＝6＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，∴0＜x1＜x2时，则y1＞y2．17．（2020·浙江杭州·中考真题）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？【答案】（1）a＝2，k＝4；（2）圆圆的说法不正确，理由见解析【分析】（1）由反比例函数的性质可得，①；﹣＝a﹣4，②；可求a的值和k的值；（2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．【详解】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，∴当x＝2时，y1最大值为，①；当x＝2时，y2最小值为﹣＝a﹣4，②；由①，②得：a＝2，k＝4；（2）圆圆的说法不正确，理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，则m0＜0，m0+1＞0，∴当x＝m0时，p＝y1＝ ，当x＝m0+1时，q＝y1＝，∴p＜0＜q，∴圆圆的说法不正确．18．（2020·浙江台州·中考真题）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1-y2）与（y2-y3）的大小： y1-y2      y2-y3．【答案】（1）；（2）【分析】(1)设反比例函数解析式为，将点(3,400)代入求出即可，最后注意自变量的取值范围.(2) 分别将x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3的值求出，然后再比较大小求解.【详解】解：(1) 设反比例函数解析式为将点(3,400)代入，即得故反比例函数的解析式为：.故答案为：.(2)当x=6时，代入反比例函数中，解得，当x=8时，代入反比例函数中，解得，当x=10时，代入反比例函数中，解得，∴∴.故答案为：>.19．（2021·浙江·中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．（1）如图1，过点作轴于点，连结．①若，求证：四边形是平行四边形；②连结，若，求的面积．（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析【分析】（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解；（2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）①证明：设点的坐标为，则当时，点的坐标为，， 轴，，∴四边形是平行四边形；②解：过点作轴于点，轴，，， ， ∴当时，则，即．； （2）解  不改变． 理由如下：过点作轴于点与轴交于点，设点的坐标为，点的坐标为，则，OH=b，由题意，可知四边形是平行四边形，∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°，∴， ，即， ∴，，解得，异号，，，． ∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．．20．（2021·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点A，点A关于轴的对称点为点．（1）若点的坐标为，①求，的值．②当时，直接写出的取值范围．（2）若点在函数（是常数，）的图象上，求的值．【答案】（1）①，；②；（2）0【分析】（1）①根据点A关于轴的对称点为点，可求得点A的坐标是，再将点A的坐标分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得，；②观察图象可解题；（2）将点B代入，解得的值即可解题．【详解】解（1）①由题意得，点A的坐标是，因为函数的图象过点A，所以，同理．②由图象可知，当时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，即当时，．（2）设点A的坐标是，则点的坐标是，