2022-2023 数学浙教版中考考点经典导学 考点26锐角三角函数

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考点26锐角三角函数考点总结考点1  如图，在△ABC中，∠C=90° ①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即考点2  锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数考点3  一些特殊角的三角函数值三角函数  0°  30°  45°  60°  90°sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在10 真题演练 一、单选题1．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（   ）
 A．（36）cm2 B．（36）cm2 C．24 cm2 D．36 cm2【答案】A【分析】过点C作，过点B作，根据折叠的性质求出，，分别解直角三角形求出AB和AC的长度，即可求解．【详解】解：如图，过点C作，过点B作，∵长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，∴，∴，∴，，，∴，∴，故选：A．2．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，中，，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使，连结CE，则的值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出，在结合题意可得，即证明，从而得出，即易证，得出．再由等腰三角形的性质可知，，即证明，从而可间接推出．最后由，即可求出的值，即的值．【详解】∵在中，点D是边BC的中点，∴，∴，∴．∴，∴在和中，，∴，∴，∵为等腰三角形，∴，，∴，∴，即．∵，∴，∴．故选D．3．（2021·浙江温州·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理和三角函数求解．【详解】∵在中，，∴ 在中，，故选：A．4．（2021·浙江·翠苑中学二模）如图，在中，，是边上的高，则下列选项中不能表示的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可推出△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出tanB即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AD是BC边上的高，∴△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，又∵∠C+∠B=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠B=∠DAC，在Rt△ABC中，tanB=，故A可以表示；在Rt△ABD中，tanB=，故B可以表示；在Rt△ADC中，tanB=tan∠DAC=，故C可以表示；D不能表示tanB；故选：D．5．（2021·浙江·温州绣山中学三模）如图，一个钟摆的摆长OA为m米，当钟摆由最左侧摆至最右侧时，钟摆旋转的角度为40°，此时摆幅（两端的距离）可以表示为（    ）A．2m•sin20°米 B．2m•tan20°米 C．m•sin40°米 D．m•tan 40°米【答案】A【分析】根据题意可得△OAB为等腰三角形，因此作OC⊥AB于C点，然后利用三角形函数表示AC，根据“三线合一”的性质即可得到AB的长度，从而得出结论．【详解】解：由题意可得，△OAB为等腰三角形，此时摆幅即为线段AB的长度，如图所示，作OC⊥AB于C点，则由“三线合一”知，∠AOC=∠BOC=20°，AC=BC，∴在Rt△AOC中，AC=OA•sin20°= m•sin20°米，∴AB=2AC=2m•sin20°米，故选：A．6．（2021·浙江杭州·模拟预测）如图，在菱形中，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点，同时动点也从点出发，以每秒个单位的速度沿运动到点，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（    ）A． B．C．D．【答案】A【分析】根据P点位置运动不同分类讨论计算即可，分在AD上运动和在CD上运动，结合三角形的面积得出关系式，再判断即可；【详解】∵，∴，则，当点P在AD上运动时，如下图，过点Q作，由题意得：，，，则，为开口向上的抛物线；当点P在CD上运动时，同理可得为开口向下的抛物线；故答案选A．7．（2021·浙江余杭·二模）若sinα＝，则锐角α＝（　　）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】A【分析】根据30°角的正弦值等于解答．【详解】解：∵sinα＝，∵锐角α＝30°．故选：A．8．（2021·浙江拱墅·二模）图1是某公园的一个滑梯，图2是其示意图．滑梯的高BC为2m，坡角∠A为60°，由于滑梯坡角过大存在安全隐忠，公园管理局决定对滑梯进行整改，要在高度不变的前提下，通过加长滑梯的水平距离AB，使得坡角∠A满足30°≤∠A≤45°，则AB加长的距离可以是（　　）（参考数据：≈1.414，≈1.732）A．0.8m B．1.6m C．2.4m D．3.2m【答案】B【分析】分别求出当坡角为45°、30°时AB加长的距离，进而得出答案．【详解】解：如图，在Rt△ABC，∠CAB＝60°，BC＝2，∴AB＝＝＝，当坡角为45°时，有BD＝BC＝2，∴DA＝2﹣AB＝2﹣≈0.85（m），当坡角为30°时，有BE＝＝（m），∴EA＝BE﹣AB＝2﹣≈2.31（m），当坡角满足30°≤∠A≤45°，∴AB加长的距离x的取值范围为0.85≤x≤2.31，故选：B．9．（2021·浙江瓯海·三模）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，则点D到地面的距离CD是（    ）A．（1.7＋5tanα）米 B．（1.7＋）米C．（1.7＋5sinα）米 D．（1.7＋）米【答案】A【分析】通过解直角△ADE得到DE的长度，然后由矩形ABCE的性质求得CE的长度，易得CD=CE+DE．【详解】解：在直角△ADE中，∠DAE=α，AE=5米，∴，∴DE=5tanα．又CE=AB=1.7米，∴CD=CE+DE=（1.7+5tanα）米．故选：A．10．（2021·浙江滨江·二模）如图，A、B、C是⊙O上三点，且C是弧AB的中点，弦CD⊥OA于点E，若sin∠CDB＝0.6，OA＝5，则CD的长度为（　　）A．4.8 B．6 C．8 D．9.6【答案】D【分析】根据直径所对圆周角是直角可作直径CF，连接BF，再利用同弧所对圆周角相等可得sin∠CFB=sin∠CDB=0.6，最后根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图，作直径CF，连接BF，CA，∵C是弧AB的中点，∴AC=BC，∵CF是⊙O的直径，∴∠CBF=90°，∵sin∠CFB=sin∠CDB=0.6，OA＝5，∴CB=CF•∠CFB=2=6．设OE=x，则AE=5-x，由勾股定理可得：，即52-x2=62-(5-x)2，解得x=1.4，在Rt△OCE中，再由勾股定理求得CE===4.8，由垂径定理可得CD=2CE=9.6．故选：D． 二、填空题11．（2021·浙江杭州·中考真题）sin30°的值为_____．【答案】【详解】试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=．12．（2021·浙江绍兴·中考真题）已知与在同一平面内，点C，D不重合，，，，则CD长为_______．【答案】，，【分析】首先确定满足题意的两个三角形的形状，再通过组合得到四种不同的结果，每种结果分别求解，共得到四种不同的取值；图2、图3、图4均可通过过A点向BC作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质可求出相应线段的长，与CD关联即可求出CD的长；图5则是要过D点向BC作垂线，构造直角三角形，解直角三角形即可求解．【详解】解：如图1，满足条件的△ABC 与△ABD的形状为如下两种情况，点C，D不重合，则它们两两组合，形成了如图2、图3、图4、图5共四种情况；如图2，，此时，，由题可知：，∴是等边三角形，∴；过A点作AE⊥BC，垂足为E点，在中，∵，∴,;在中，;∴；（同理可得到图4和图5中的，，．）∴．如图3，，此时，，由题可知：，∴是等边三角形，∴；过A点作AM⊥BC，垂足为M，在中，∵，∴,;在中，;（同理可得到图4和图5中的，，．）∴CD=；如图4，由上可知：；如图5，过D点作DN⊥BC，垂足为N点；∵，∴，∴在中，,；∵,∴在中，;综上可得：CD的长为，，．故答案为：，，． 
 13．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为________，的值为__________．【答案】2        【分析】由与关于直线对称，矩形证明再证明 可得 再求解 即可得的长； 先证明 可得： 设 则 再列方程，求解 即可得到答案．【详解】解： 与关于直线对称，矩形 矩形 为的中点， 如图， 四边形都是矩形， 设 则 解得： 经检验：是原方程的根，但不合题意，舍去， 故答案为：14．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）一颗珍贵的百年老树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，做法如下：在地面上选取一点，测得，米，，则这棵树的高约为________米．（结果精确到0.1，参考数据：，，）【答案】【分析】过点B作BH⊥AC于点H，设 米，利用锐角三角函数可得，AH=BH=x，从而得到，即可解出 ，即可求解．【详解】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，设 米，∵，∠BHC=90°，∴ ，∵，∴∠ABH=45°，∴∠ABH=∠BAC，∴AH=BH=x，∵米，∴ ，解得： ，∴AH=BH=12∴ （米）．故答案为： ．15．（2021·浙江鹿城·二模）矩形的面积记为、正方形DEFG的面积记为、正方形FHMN的面积记为，它们的位置如图所示，点C在FH上，FG交CD于点P，延长DE交AB于点K，，点B，C，M在同一直线上，则_______；若，射线EP交HM于点Q，则QM的长为__________．【答案】        【分析】先推出∠ADK=∠GDP，可得，再证明，然后证明，HF=2CF=2DG， 进而即可得的值；设DE=x，则EC= FH=HM=2x，，列出方程，求出x的值，再证明，进而即可得到QM的长．【详解】解：∵在矩形、正方形DEFG中，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADK=∠GDP，∴tan∠ADK=tan∠GDP，即：，∴GP=，∴GP=FP，∵∠DGP=∠CFP=90°，∠DPG=∠CPF，∴，∴DG=CF，∴DE=DG=EF=CF，即EC=2DE，∵点B，C，M在同一直线上，∴∠DCM=90°，∴∠DCE+∠MCH=∠MCH+∠CMH，∴∠DCE=∠CMH，即：tan∠DCE=tan∠CMH，∴，∴HM=HF=2CH，∴CF=CH，∴HF=2CF=2DG，∴．设DE=x，则EC= FH=HM=2x，，∵，∴6+x2=4 x2，解得：x=2或x=0（舍去），∴EH=x+2x=3x=6，∵PF垂直平分EC，∴PE=PC，∴∠PEC=∠PCE=∠PDG=∠ADK，∴tan∠PEC=tan∠ADK，即：，∴QH=×6=3，∴QM=HM-QH=4-3=．故答案是：，． 三、解答题16．（2021·浙江衢州·中考真题）计算：．【答案】2．【分析】由特殊的三角函数值得到，由零指数幂公式算出，化简，最后算出结果即可．【详解】解：原式17．（2021·浙江绍兴·中考真题）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，
 （1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）．（2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．【答案】（1）106cm；（2）能碰到，见解析【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解；
（2）求出端点D能够到的最远距离，进行比较即可得出结论．【详解】解：（1）过点C作于点P，过点B作于点Q，如图1，，，在中，， ．，．∴手臂端点D离操作台 l 的高度DE的长为106cm．
 （2）能．理由：当点B，C，D共线时，如图2，，，在中，，．手臂端点D能碰到点M．18．（2021·浙江·中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结．（1）如图1，若，求的长．（2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：．（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，【分析】（1）先解直角三角形ABC得出，从而得出是等边三角形，再解直角三角形ACP即可求出AC的长，进而得出BC的长；（2）连结，先利用AAS证出，得出AE=2PE，AC=DE，再得出是等边三角形，然后由SAS得出，得出AE=BC即可得出结论；（3）过点作，交延长线于点，连接BE，过C作CG⊥AB于G，过E作EN⊥AB于N，由（2）得AE=2AP，DE=AC，再证明，从而得出得出DE=BE，然后利用勾股定理即可得出m的值．【详解】（1）解  ，，，，是等边三角形，是的中点，，在中，，，．（2）证明：连结，，，，， ，，，又，，是等边三角形，，，又，， ，．（3）存在这样的． 过点作，交延长线于点，连接BE，过C作CG⊥AB于G，过E作EN⊥AB于N，则，，由（2）得AE=2AP，DE=AC，∴CG=EN，∵，∴AE=BC，∵∠ANE=∠BGC=90°，， ∴∠EAN=∠CBG∵AE=BC，AB=BA，∴ ∴AC=BE，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD=45°，∴∠DEB=90°，∴，∵