2022-2023学年湖北省武汉市高一上学期期中模拟（二）数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省武汉市高一上学期期中模拟（二）数学试题

一、单选题

1．设或，，若，，则有（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】由题知，再解方程即可.

【详解】解：因为或，， ，

所以，，解得，

故选：D

2．已知，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围.

【详解】设，则

解得，

∴，

又，，

∴即.

故选：B.

3．已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小.

【详解】∵为减函数，又，

，即，

又为增函数，且，

，

∴，

故选：D

4．已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别求解分段函数在每一段定义区间内的最小值，结合函数在整体定义域内的最小值得到关于a的不等式组，解不等式组得到a的取值范围.

【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，

即当时，函数的最小值为；

当时，，

要使得函数的最小值为，

则满足解得．

故选：A．

5．不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得，则有，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值.

【详解】方程有两个不等的实数根，

，

，即，

，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为.

故选：C

6．设函数，为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由奇偶性可求得的解析式；由可分段构造不等式组，求得，从而可知当时，；分别在、和三种情况下，根据分段函数解析式构造不等式组求得结果.

【详解】为上的奇函数    且

当时，

由得：或

，即时，

当时，，解得：

当时，，符合题意；

当时，，解得：

综上所述：

故选

【点睛】本题考查根据函数值的范围求解参数值的取值范围，涉及到利用函数奇偶性求解函数解析式、分类讨论思想的应用等知识；关键是能够根据函数值的范围确定自变量整体所处区间，进而构造不等式求得结果.

7．已知函数的定义域为，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可得是周期为4的奇函数，然后结合当时，，可求得函数在上的值域是，则将问题转化为在上有解，然后分和两种情况求解.

【详解】由函数的图象关于点对称知函数的图象关于原点对称，

所以函数是奇函数，

由任意的，总有成立，即恒成立，

所以函数的周期是4，

又当时，，则当时，，

而是奇函数，当时，，

又，，从而得，

即时，，

而函数的周期是4，

所以函数在上的值域是，

因对任意，存在，使得成立，

从而得不等式，即在上有解，

当时，取负数时，不等式成立，所以，

当时，在上有解，必有，解得，则有，

综上得，所以满足条件的实数构成的集合为，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性，周期性和单调性的综合应用，考查不等式能成立问题，解题的关键是根据已知条件得到函数是周期为4的奇函数，再利用其性质求出函数的值域，最后将问题转化为在上有解问题，考查数学转化思想，属于较难题.

8．若函数满足对任意的，都有成立，则称函数在区间上是“被约束的”．若函数在区间上是“被约束的”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析可知，，且对任意的，恒成立，即有，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出函数的最大值和最小值，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.

【详解】设，其中，任取、且，则，

则

.

则，即函数在上单调递增，

由题意可知，解得，

由题意，对任意的，恒成立，

（i）当时，即当时，在上单调递增，

所以，当时，，

，解得，此时；

（ii）当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，，可得，

，，则，

所以，，可得，此时，.

综上所述，.

故选：B.

【点睛】易错点点睛：本题考查函数的新定义，本质上考查二次不等式在区间上恒成立，要注意对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，求出二次函数的最值，解不等式求解即可.

二、多选题

9．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（    ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】BCD

【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.

【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，

当时，，所以，所以，满足要求；

当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，

故选：BCD.

10．下列说法正确的是（   ）

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为

B． 图象关于点成中心对称

C． 的最大值为

D．幂函数在上为减函数，则的值为

【答案】BD

【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于C，根据指数函数的单调性进行判断；对于D，通过幂函数的定义和单调性得到关于m的关系式，进而求解m的值.

【详解】对于A，函数的定义域为，由得，

则函数的定义域为，A错误；

对于B，函数的图象的对称中心为，

将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，

则函数的图象的对称中心为，B正确；

对于C，函数在R上单调递减，且，

则，即当时，函数取得最小值，无最大值，C错误；

对于D，因为函数为幂函数，

所以，

解得，D正确.

故选：BD.

11．用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，若，则实数的取值可能为（    ）

A． B． C． D．2021

【答案】CD

【分析】先求出，从而得到或，利用即方程有一个根得到，那么排除掉A选项，其他三个选项为正确结果.

【详解】由，可得，若，有（舍去）或.

当时，方程组中消去有：，

则，解得：，可得若，则实数的取值范围为，可知选项为:.

故选：CD

12．已知，若对任意的，不等式恒成立，则（    ）

A． B．

C．的最小值为12 D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】由已知可得，由于，所以可得当时，，当时，，从而可得，，则，然后代入各选项的式子中结合基本不等式和函数的性质分析判断.

【详解】由，得，

所以，

因为，

所以当时，，当时，，

因为对任意的，不等式恒成立，

所以当时，，当时，，

所以对于函数，有，，所以，

所以A正确，B错误，

对于C，因为，所以，

所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为12，所以C正确，

对于D，，

令，因为，当且仅当即时取等号，所以，

由，得，所以，

所以，

所以函数在上递增，

所以当时，取得最小值为，

所以的最小值为，所以D正确，

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式的应用，解题的关键是由题意结合一次函数和二次函数的性质得，，从而可结合基本不等式分析判断，考查数学转化思想，属于较难题.

三、填空题

13．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．

【答案】

【分析】设，，则，再对分两种情况讨论得解.

【详解】记，，

因为p是q的充分条件，所以.

当时，，即，符合题意；

当时，，由可得，所以，即.

综上所述，实数的k的取值范围是．

故答案为：．

14．已知非空集合M满足，若存在非负整数k（），使得对任意，均有，则称集合M具有性质P，则具有性质P的集合M的个数为______________.

【答案】8

【分析】分的取值进行分情况计算讨论满足条件的集合，从而得到答案.

【详解】当时，为.

当时，为

当时，为

当时，为.

所以满足条件的集合有8个.

故答案为：8

【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．

15．已知，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，都有，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】二次函数配方得到的含有参数的最大值，研究二次函数最值与5的大小关系，分类讨论，求出的最大值.

【详解】，当，即时，要使在上恒成立，要使取得最大值，则只能是的较小的根，即；

当，即时，要使取得最大值，则只能是的较大的根，即

当时，，

当时，，所以的最大值为.

故答案为：

【点睛】对于含有参数的二次函数综合性质问题，通常要进行分类讨论，数形结合来进行求解.

16．已知函数，记，若集合，且恒成立，则的取值范围是______

【答案】

【分析】由、有、，由、有、，结合不等条件及可求得，而即可求的范围

【详解】由

且

∴，且，

又且有：，

∴，

故，而

∴

∴，有

，有

故

若令，则，解得

∴，即，而

即，所以

故答案为：

【点睛】本题考查了集合、二次函数与一元二次方程、不等式；根据集合的描述及其元素，结合二次函数对应一元二次方程的解的性质及根与系数关系，求得相关参数的表达式，应用已知不等式恒成立求目标式的范围

四、解答题

17．已知集合，或，全集.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入集合中确定出，求出与的交集即可；（2）根据交集的定义可得答案.

【详解】(1)将代入集合中的不等式得：，

∵或，

,

(2)∵，或，

因为，所以A不是空集，

因为，所以，

解得，

所以实数的取值范围为.

18．已知.

(1)求的解析式；

(2)试用函数单调性定义证明：在上单调递增.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据可得解可得a、b的值，即可得解析式；

（2）根据题意，设，利用作差法分析可得函数单调性.

【详解】(1)由题意得，

解得，

.

(2)证明：设，

则

，

由，得，

，即，

故在上单调递增.

19．已知二次函数．

(1)若点在该二次函数的图象上，求的解集；

(2)若点在该二次函数的图象上，且，求的最小值．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）由题意可得，即，讨论，，，时，结合二次不等式的解法，不等式的解集，可得所求解集；

（2）依题意可得，，可得，运用基本不等式和讨论，，可得所求最小值．

【详解】(1)解：因为点在函数上，

所以，即，

所以不等式，即，即，

①当时，解得，即不等式的解集为；

②当时，原不等式即为，则不等式的解集为；

③当时，解得或，即不等式的解集为；

④当时，解得或，即不等式的解集为；

综上可得，当时不等式的解集为；

当时不等式的解集为；

当时不等式的解集为；

当时不等式的解集为.

(2)解：因为点在函数上，

所以，即，

因为，所以，

所以，

当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立；

当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立．

所以的最小值为．

20．已知二次函数满足：①当时，且；②当时，；③在上的最小值为0.

(1)求a，b，c的值；

(2)试求最大的，使得存在，只要，都有.

【答案】(1)，，

(2)的最大值为9

【分析】（1）根据题意可得函数的图象关于对称，，，即可求出；

（2）令可得，取，可得，设，求出最大值即可.

【详解】(1)由可得函数的图象关于对称，所以，即，

由③可得，时，，即，

由①得，由②得，故，即，

则可解得，，，，

∴；

(2)假设存在，只要，就有，

令，可得，解得，

对固定的，取，可得，

即，解得，，

设，则，

令，设对称轴为，

∴当时有最大值9，

∴的最大值为9.

21．近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产千部手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)求2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.

(2)2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.

【答案】(1)；

(2)2020年产量为100千部时，企业所获得利润最大，最大利润为9000万元.

【分析】（1）根据2020年的利润等于年销售量减去固定成本和另投入成本，分段求出利润关于的解析式；

（2）根据（1）求出利润的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求得每段的最大值，即可得到结论.

【详解】(1)解：由题意可知，2020年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，

当时，

当时，

，

所以.

(2)当时，，

此时函数开口向上的抛物线，且对称轴为，

所以当时，（万元）；

当时，，

因为，

当且仅当即时，等号成立，

即当时，（万元），

综上可得，当时，取得最大值为（万元），

即2020年产量为100千部时，企业获利最大，最大利润为9000万元.

22．函数，在上的最大值为，最小值为.

(1)求；

(2)设，若对恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对进行分类讨论，求出不同情况下最值，进行求出；（2）结合第一问，针对于不等式变形，得到不等关系，求得的取值范围.

【详解】(1)；

①当时，在上，

，

，

；

；

②当时，

在上单调递增，在上单调减，

且，，

；

故，

；

则；

③当时，

在上单调递增，在上单调减，

且，，

，故，

；

则；

④当时，

在，上单调递增，在，上单调减，

且，，

，故，

；

则；

⑤当时，

在上单调递增，在上单调减，

且，，

，故，

；

则；

⑥当时，在上，

，

，；

，综上所述，.

(2)可化为，

故对恒成立可化为对恒成立，

①时，，；

故，且，

从而解得：，

②当时，，；

故，且，

则；

③当时，，；

故，且，

故，

④当时，，；

故，且，

则，

综上所述，,故的取值范围是.

【点睛】二次函数绝对值问题，求解取值范围问题，结合对称轴，分类讨论，求得答案.