2022-2023学年湖北省武汉市高一上学期期末模拟数学试题(五)（解析版）

2022～2023学年度湖北省武汉市高一期末模拟考试

数学试题（五）

2022年12月

本试题卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、淮考证号填写在答题卡上．

2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题： 本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，且，则实数（    ）

A.  B. 1 C. 或1 D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的包含关系，利用元素互异性的特征，建立方程，可得答案.

【详解】解：∵集合，，，

∴由集合元素的互异性及子集的概念可知，

解得实数．

故选：A．

2. 已知实数满足，，，则的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数运算法则可知，得到；由，结合幂函数单调性知；根据对数型复合函数值域的求法可求得，由此可得结果.

【详解】由得：，，，即；

，，即；

由得：，

，，即；

综上所述：.

故选：D.

3. 若的三个内角满足，则的值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据利用诱导公式推得或，说明时不合题意，则由可得，化简可得，整理变形即可求得答案.

【详解】由题意的三个内角满足，

则，故，

则或，

若，则，

则，不合题意；

若，则,

所以，则，

则，

即，

故选：B

4. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，成立，当时，，若对任意的，都有，则的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数在区间、上的值域，然后在时解不等式，根据题意可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围，即可得解.

【详解】令，其中，则，

所以，函数为偶函数，

当时，，

则当时，，

则，

当时，，

则，

当时，由可得或，

当时，，

由可得，解得.

故选：A.

5. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.

【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.

所以，即实数a的最小值为.

故选：D.

6. 已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析、的性质，将问题化为与（）有4个交点，进而只需保证与（）相交求参数范围即可.

【详解】由开口向上且对称轴为，而恒过点，

所以的图象只需将函数值为负的部分翻折到x轴上方，

对应关于对称，当时图象在x轴上方，当时图象为x轴，当时图象在x轴下方，

所以要使与有4个交点，则.

综上，与的示意图象如下图：

当左侧与在上相交有4个交点，或在两侧与各有2个交点，

由图知：只需保证与（）相交即可，

令，则，故，

所以或.

故选：C

7. 已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.

【详解】由已知，函数在上单调递增，

所以，解得：，

由于，所以，解得：①

又因为函数在上恒成立，

所以，解得：，

由于，所以，解得：②

又因为，当时，由①②可知：，解得；

当时，由①②可知：，解得.

所以的取值范围为.

故选：B.

【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.

8. 已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，，，，且，则的最小值为（    ）

A.  B. 8 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先画出分段函数图像，确定，，，的范围，由结合对数运算可得，与分别利用均值不等式求最小值，确认取等条件相同，即可得最小值.

【详解】函数图像如图所示，

，，，，

由，

∴，

当且仅当时，等号成立，此时；

，当且仅当时等号成立，此时.

所以的最小值为.

故选：D

二、选择题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为

B. 图象关于点成中心对称

C. 函数的单调递减区间是

D. 幂函数在上为减函数，则的值为1

【答案】BD

【解析】

【分析】计算抽象函数定义域得到A错误；根据平移法则得到B正确；计算单调区间得到C错误；根据幂函数的定义结合单调性计算得到D正确 ，得到答案.

【详解】对选项A：函数的定义域为，则函数的定义域为满足，解得，故定义域为，错误；

对选项B：，函数可以由奇函数，向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，故图象关于点成中心对称，正确；

对选项C：函数的单调递减区间是和，错误；

对选项D：幂函数，则，解得或，当时，在上为增函数，排除；当，，满足条件，故，正确.

故选：BD

10. 已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有（    ）

A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于对称

C. 函数是以为周期的周期函数 D. 函数是以为周期的周期函数

【答案】BC

【解析】

【分析】利用题中等式以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，因为偶函数，所以．

由，可得，可得，

所以，函数的图象关于直线对称，A错；

对于B选项，因为，则，

又因为，可得，

所以，函数的图象关于点对称，B对；

对于C选项，因为函数为偶函数，且，

则，从而，则，

所以，函数是以为周期的周期函数，C对；

对于D选项，因为，且，，

又因为，所以，，

又因为，则，所以，，

故，因此，函数是周期为的周期函数，D错.

故选：BC.

【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：

（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；

（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；

（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.

11. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（    ）

A. 的取值范围是

B. 的图象与直线在上的交点恰有2个

C. 的图象与直线在上的交点恰有2个

D. 在上单调递减

【答案】AB

【解析】

【分析】对于A,确定，根据零点个数确定，求得参数范围；对于B，C，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D，当时，确定，计算的范围，从而确定在上单调性.

【详解】当时，，因为在上有且仅有4个零点，

所以，解得，故A正确；

又由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点，

且，则在上，出现两次最大值，

此时函数的大致图象如图示：

即在上两次出现最大值1，即取时，取最大值，

故的图象与直线在上的交点恰有2个，故B正确；

由于当时，，，

当时，取最小值 ，由于是否取到不确定，

故的图象与直线在上的交点可能是1个或2个，故C错误；

当时， ，

因为，所以，，

故的值不一定小于，

所以在上不一定单调递减.

故选：AB.

【点睛】本题考查了复合型余弦函数解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用.

12. 已知函数，以下说法正确的有（    ）

A. 若的定义域是，则 B. 若的定义域是R，则

C. 若在R上的值域是，则 D. 的值域不可能是R

【答案】CD

【解析】

【分析】对AB，根据对数函数的定义域，结合二次不等式解集与系数的关系判断即可；对C，根据对数函数的值域，结合二次不等式判别式法求值域的逆用求解即可；对D，根据的值域为R则的值域包含，结合二次函数的性质求解即可.

【详解】对A，的定义域是，即，

若的定义域是，则开口向下，，故A错误；

对B，若，则，其定义域为R，故B错误.

对C，因为的值域是，

则的值域为，

整理可得，

则且是关于的判别式的解，而也符合该不等式，

所以是方程，即的两根，

此时由韦达定理，即，故C正确；

对D，当的值域为R则函数的值域包含，则同C，，即的解集包含.

但其关于的二次函数开口向上，解集不可能包括，

故函数的值域不包含，故D正确；

故选：CD

三、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，，则集合______．

【答案】

【解析】

【分析】

解一元二次不等式即可化简出集合，结合基本不等式即可化简集合，从而可求出两集合的交集.

【详解】，

∵，∴，∴，

故答案为: .

【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了基本不等式，考查了两集合交集运算，属于基础题.本题的关键是正确化简两集合.

14. 某火电厂对其使用的燃煤进行精细化碳排放污染物控制，产生的废气经过严格过滤后排放，已知过滤过程中废气的剩余污染物数量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系式为其中为废气中原污染物总量，k为常数．若过滤开始后经过3个小时废气中的污染物被过滤掉了原污染物总量的50%，那么要使废气中剩余污染物含量不超过5%，过滤开始后需要经过n小时，则正整数n的最小值为_______．（参考数据：，）

【答案】13

【解析】

【分析】由题求出值，再令，求出对应n值即可.

【详解】由题可知，解得，故，

若，即，，

故正整数n的最小值为13.

故答案为：13

15. 已知，，是正实数，且，则最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】首先变形为，再根据，变形为，展开后，利用基本不等式求最小值，最后再用基本不等式求最小值.

【详解】由题，，

其中

，

当且仅当，即时取等，

故

，

当且仅当时，即时取等.

故答案：

16. 函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数的性质结合函数的图象可得函数在区间内取得最值且时，函数的最大值与最小值之差取得最小值，当函数在区间内最值在端点上取时取得最大值，进而即得.

【详解】作函数的大致图象，

区间的长度为，函数的周期为π，

当函数在区间内取得最值，且时，

函数在区间上的最大值与最小值之差取得最小值为；

当函数在区间内最值在端点上取时，

，

所以函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题： 本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知全集．

（1）若，求

（2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）当时，得，由交集运算即可求解；

（2）由题可知真包含于，分集合和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围.

【小问1详解】

当时，，又，

所以=；

【小问2详解】

因为“”是“”的必要非充分条件，于是得真包含于，

①当时，；

②当时，由真包含于得（等号不能同时成立），

，

综上所述，.

18. 已知函数

（1）求函数的单调递增区间；

（2）设，，求的值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；

（2）由题意可求得，再根据平方关系求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.

【小问1详解】

解：，

令，

得，

所以函数的单调递增区间为；

【小问2详解】

解：因为，

所以，

又，则，

所以，

所以.

19. 已知为斜三角形．

（1）证明：；

（2）若为锐角三角形，，求的最小值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式结合两角和的正切公式可证得结论成立；

（2）推导出，利用（1）中的结论结合基本不等式可求得的最小值.

【小问1详解】

证明：，所以．

因为，所以，所以．

由，可得．

【小问2详解】

解：因为，

所以，可得．

由（1）得

．

因为为锐角三角形，由可知，

设，则，

当且仅当时取等号，再由（1）可得，

此时，解得或时，

即当或时，等号成立，

故的最小值为.

20. 已知函数.

（1）记集合，若，求证：；

（2）设函数，若存在实数，使，求实数取值范围.

【答案】（1）证明详见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式，根据其解集为，求得，进而证得不等式成立.

（2）将问题转化为在区间有解，结合分离常数法以及函数的单调性求得的取值范围.

【小问1详解】

依题意集合，

由得，

，即，

由于，，

所以不等式解得，

不等式 解得，

所以不等式组的解为，

所以，

所以

.

【小问2详解】

依题意，函数，且存在实数，使，

所以在区间有解，

即在区间有解，

即，，

，函数在上递增，所以，

所以的取值范围是.

【点睛】本小题的第一问比较抽象和难理解，关键点是解对数不等式，大胆往下计算，即可求得.第二问类似奇函数图象关于原点对称，突破口在于将问题进行转化，转化为，研究方程有解来进行求解.

21. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加，但不超过业绩值得5%．

（1）若某业务员的业绩为100万，核定可得4万元奖金，若该公司用函数（k为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（已知，）

（2）若采用函数，求a的范围．

【答案】（1）5.3万元；（2）．

【解析】

【分析】（1）将题中的条件代入，可以求出具体的函数解析式，即可解决.

（2）根据题意列出关于的不等式，然后把问题转化为研究函数的恒成立问题，进而确定参数的取值范围.

【详解】（1）对于函数模型（k为常数），

当时，，代入解得，即，

当时，是增函数，

当时，，

所以业绩200万元的业务员可以得到5.3万元奖励．

（2）对于函数模型，

因为函数在递增，所以，即；

又由奖金不超过业绩值得5%，得

恒成立，

即对恒成立．

记，

因为二次函数图象开口向上且，所以函数图象的对称轴，

所以只需，即

解得．

综上可知，实数a的取值范围是：．

22. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．

（1）已知函数，试判断是否为“伪奇函数”，并说明理由；

（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；

（3）是否存在实数，使得是定义在上“伪奇函数”，若存在，试求的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）根据“伪奇函数”的概念，可以求出满足，得到是“伪奇函数”；

（2）由幂函数的概念求出的值，把结论转化为对勾函数在的值域问题，进而解不等式得答案；

（3）由题意把结论化为关于二次方程有解的问题，通过换元引入二次函数，进而转化二次函数为在给定的区间有零点问题，列不等式解得答案.

【小问1详解】

若函数为“伪奇函数”，则方程有实数解，

即有解，整理得解得，所以为“伪奇函数”；

【小问2详解】

因为为幂函数，所以即，所以，

则由为定义在上的“伪奇函数”，

所以在有解，

整理得，

令，则，对于函数，

设，则

当时，有，所以是减函数，

当时，有，所以是增函数，

又，，所以，

所以解得，

所以实数的取值范围是；

【小问3详解】

若是定义在上的“伪奇函数”，

则在上有实数解，即，

整理得，

，

令，当且仅当取到等号，

则在上有解，

令在上有零点，

所以，即，解得，

或者，即，解得，

综上可得的取值范围是

【点睛】关键点点睛；本题为新概念题，第一问判断函数是否为“伪奇函数”，第二问已知函数为“伪奇函数”求参数的范围，第三问是否存在参数使函数为“伪奇函数”，解题关键是正确理解“伪奇函数”的概念，把问题转化为方程有解的问题，理解了概念就会发现三者本质上是一个问题.