2021-2022学年天津市第三中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年天津市第三中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．i是虚数单位，计算的结果为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】应用复数的除法化简即可.

【详解】.

故选：A

2．向量（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的加减运算法则，即可求得答案.

【详解】,

故选：B

3．i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的除法化简z，根据共轭复数的概念求.

【详解】，故.

故选：C

4．下列各项调查中你认为合理的有（       ）

①为了了解全校同学喜欢课程情况，对某班男同学进行抽样调查

②“神舟十四号”飞船发射前，采用抽样调查的方式检查其各零部件的合格情况

③采用抽样调查的方式了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受

④为调查我市居民对“垃圾分类”有关内容的了解程度，将要调查的问题放到某网站上，这样大部分上网的人就可以看到调查问题并及时反馈

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【分析】根据调查的内容，结合全面调查和抽样调查的适用特征判断各项调查是否合理即可.

【详解】①了解全校同学喜欢课程情况，应在各班进行抽样，同时不能仅限男同学，不合理；

②“神舟十四号”飞船发射前，应采用全面调查检查其各零部件的合格情况，不合理；

③了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受，采用抽样调查，合理；

④对“垃圾分类”有关内容的了解程度，问题放到某网站上，受调查人群有局限，不合理.

故选：B

5．已知向量，若，则（       ）

A． B． C．1 D．4

【答案】A

【分析】根据，代入运算求解．

【详解】∵，则

∴

故选：A．

6．已知、表示两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（       ）

A．，， B．，

C．，， D．，，

【答案】C

【分析】利用已知条件判断线线、线面位置关系，可判断ABD选项的正误；利用面面垂直的性质定理以及线面平行的判定定理可判断C选项.

【详解】对于A选项，若，，，则、的位置关系不确定，A错；

对于B选项，若，，则与的位置关系不确定，B错；

对于C选项，设，过直线上的点在平面内作，如下图所示：

因为，，，，则，

，则，又因为，，所以，，C对；

对于D选项，，，，则、平行或异面，D错.

故选：C.

7．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则△ABC的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用余弦定理可求的值，从而可求三角形的面积．

【详解】因为，故，

而，故，

故，故三角形的面积为，

故选：A．

8．下列说法中不正确的是（       ）

A．将一组数据中的每个数据都乘以2后，平均数也变为原来的2倍

B．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同

C．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的90%分位数为5.5

D．若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为4.7，则这两组数据中较稳定的是甲

【答案】D

【分析】A由平均数的倍数关系，结合平均数的求法判断；B求出平均数、众数、中位数即可；C求出90%分位数；D由方差大小与稳定性关系判断.

【详解】A：若原数据为，则，每个数据乘以2后，则，正确；

B：平均数为，中位数、众数均为3，正确；

C：从小到大为1、2、2、2、3、3、3、4、5、6，由，90%分位数为，正确；

D：由甲的方差比乙大，故乙数据比较稳定，错误.

故选：D

9．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.

【详解】如图，设，则，

由题意，即，化简得，

解得（负值舍去）.

故选：C.

【点晴】

本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.

二、填空题

10．有甲，乙，丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，如果抽取的丙种个体数为6，则样本容量为____________．

【答案】18

【分析】由分层抽样的等比例性质求样本容量.

【详解】由题设，样本容量为.

故答案为：18

11．复数满足（其中为虚数单位），则__________．

【答案】

【分析】利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】由已知可得.

故答案为：.

12．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则角____________．

【答案】或

【分析】利用正弦定理及的范围求其大小.

【详解】由正弦定理知：，即，可得，

而，故或.

故答案为：或

13．已知平面向量满足，且与的夹角为，则____________．

【答案】

【分析】根据数量积的定义，可求得，根据结合数量积运算律运算求解．

【详解】根据题意可得：

∵，则

故答案为：．

14．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为____________．

【答案】

【分析】由题意可知正四棱柱的对角线长即为球的直径，根据对角线长的计算公式可求得四棱柱的高.

【详解】由题意可知正四棱柱的对角线长即为球的直径，

因为该球的表面积为，所以球的半径，

正四棱柱的底面积为1，则底面边长为1，

设正四棱柱的高为h，则 ，即

解得 ，

故答案为： .

15．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国､各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.已知正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是___________

【答案】

【分析】作，利用向量内积的几何意义求解

【详解】

作

要使最大,必须让

所以

如图可知，当在处时,最大,从而最大

此时

故答案为：

三、解答题

16．某校2021年高一年级共有1000名学生，现对高一年级上学期期中考试数学成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

(1)求a的值，并估计该校2021年高一上学期期中考试数学成绩在的人数；

(2)估计该校高一上学期期中考试数学成绩的第80百分位数.

【答案】(1)，250人

(2)115

【分析】（1）由各组的频率和为1，列方程可求出a的值，再求出数学成绩在的频率，从而可估计出人数，

（2）由样本数据中数学成绩在110分以下所点比例为，在130分以下所点比例为，由此能估计该校高一上学期期中数学考试成绩的第80百分位数

【详解】(1)由题意得，

解得

由频率分布直方图可得，期中考试数学成绩在的频率为

，

所以该校2021年高一上学期期中考试数学成绩在的人数约为

（人）

(2)由（1）知样本数据中数学成绩在110分以下所点比例为

，

在130分以下所点比例为，

所以80%分位数一定位于内，

由，可得样本数据的第80百分位数约为115分，

所以该校高一上学期期中考试数学成绩的第80百分位数约为115分

17．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值

【答案】（1）B=60°（2）

【详解】（1)由正弦定理得

【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理

18．在，角所对的边分别为，已知，．

（I）求a的值；

（II）求的值；

（III）求的值．

【答案】（I）；（II）；（III）

【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；

（II）由余弦定理即可计算；

（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.

【详解】（I）因为，由正弦定理可得，

，；

（II）由余弦定理可得；

（III），，

，，

所以.

19．如图，在直三棱柱中，，点D是的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)求平面与平面夹角的正弦值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）构建空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而求出直线与的方向向量，利用空间向量夹角的坐标表示求夹角余弦值.

（2）分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值，进而求出正弦值即可.

【详解】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

∴．

∵，

∴异面直线与所成角的余弦值为．

(2)设平面的法向量为，

∵，

∴，即且，

取，则是平面的一个法向量．

取平面的一个法向量为，

设平面与平面夹角的大小为．

由，得：．

因此，平面与平面夹角的正弦值为．

20．如图，在四棱锥中，平面，，．

(1)证明；

(2)求二面角的余弦值；

(3)设E为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长．

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）构建空间直角坐标系，由已知写出相关点的坐标，进而求得，利用向量数量积的坐标运算求，即可证结论.

（2）分别求出面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值；

（3）设E且，求、的坐标，根据已知及空间向量夹角的坐标表示求出h即可得结果.

【详解】(1)如图，以点A为原点建立空间直角坐标系．

依题意，．

易得

∵，

∴.

(2)由（1）知：

设平面的法向量，

则，即．令，可得，

而平面的一个法向量

∴．

所以二面角的余弦值为．

(3)设E，，则，又，

∴，

∴，解得，即．