专题03 三角形全等-手拉手+倍长中线-初中数学通用满分突破专题之几何大全篇

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   【结论】已知：AB=AM，BC平行且等于PM，MP=MN，且∠ABC＝∠AMN，则：△ABC≌△AMN．   方法点拨    
  1．在等边△ABC中，点E在线段AC上，连接BE，点D在直线BC上，且CE＝CD．连接DE、AD（1）如图1，若CD＝2，BC＝6，求线段BE的长；（2）如图2，若F是线段BE中点，连接D、F，连接A、F．当∠FAD＝60°时，求证：BD＝AB+AE．【解答】解：（1）过E点作EH⊥BC于H点，∵∠ECH＝60°，∴∠CEH＝30°，∴CH＝CE＝1．∴EH＝．∴BH＝6﹣1＝5．在Rt△BEH中，利用勾股定理可得：BE＝．（2）延长AF至M，使得FM＝AF．∵EF＝BF，∠EFA＝∠BFM，∴△EFA≌△BFM（SAS）．∴BM＝AE，BM∥AE．∴∠ABM+∠EAB＝180°，∴∠ABM＝180°﹣60°＝120°．在△ADC和△AMB中∴△ADC≌△AMB（ASA）．∴BM＝DC．∴AE＝BM＝DC．∵BD＝BC+CD，AB＝BC，∴BD＝AB+AE．   1．在△ABC中，AB＝AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC＝∠DCF＝90°时，已知AC＝，CD＝2，求AG的长度；（2）如图②，当∠BAC＝∠DCF＝60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；（3）当∠BAC＝∠DCF＝α时，试探究AG与DG的位置和数量关系（数量关系用含α的式子表达）．    2．△ABC中，点D为BC上一点，E为AC上一点，连接AD，BE，DE，已知BD＝DE，AD＝DC，∠ADB＝∠EDC．（1）如图1，若∠ACB＝40°，求∠BAC的度数；（2）如图2，F是BE的中点，过点F作AD的垂线，分别交AD、AC于点G、H．求证：AH＝CH．                             3．平行四边形ABCD中，∠ABD＝90°，G点为BC边上一点，连接DG，E点在BC边所在直线上，过E点作EF∥CD交GD于F点．（1）如图1，若G为BC边中点，EF交GD延长线于F点，tanA＝，CE＝CG，DG＝，求EF；（2）如图2，若E点在BC边上，G为BE中点，且GD平分∠BDC，求证：DB＝2FG+DF；（3）如图3，若E点在BC延长线上，G为BE中点，且∠GDC＝30°，问（2）中结论还成立吗？若不成立，那么线段DB、FG、DF满足怎样的数量关系，请直接写出结论．                       4．如图1，等边△ABC中，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE＝CD，连接BE．（1）若CE＝4，BC＝，求线段BE的长；（2）如图2，取BE中点P，连接AP，PD，AD，求证：AP⊥PD且AP＝PD；（3）如图3，把图2中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，问第（2）问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．                          5．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．   （1）求证：CE＝CF；（2）若∠ABC＝120°，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG⊥GE．                              6．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，若AB＝10，BF＝4，求PG的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想；并给予证明．（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，（2）问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．               1（2020•葫芦岛中考真题）．在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC＝∠BEC＝90°，BC＜CD，将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB，点O为线段AB的中点，连接DO，EO．（1）如图1，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数量关系；（2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若BC＝4，CD＝2，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB＝60°时，请直接写出线段OD的长．