数学选择性必修 第二册第二章 导数及其应用3 导数的计算同步达标检测题

【精编】3 导数的计算-2练习

一．填空题

1．已知函数的导函数，且满足，则＝___________.

2．已知函数，则________

3．阅读材料：

求函数的导函数

解：

借助上述思路，曲线，在点处的切线方程为__________.

4．若函数,则的值为__________．

5．已知函数的导函数为，且满足关系式，则______．

6．若函数，则 =______．

7．若函数的导函数为，且，则_______.

8．

已知,求__________.

9．已知函数，为的导函数，则的值等于______．

10．若，其导数满足，则的值为______.

11．已知函数，则的值为___________

12．如果函数f（x）＝cosx，那么_____．

13．

若函数的导函数为，且，则_______．

14．已知三次函数，，对于任意，均有 且存在唯一，满足，则______

15．已知函数且，为的导函数，且满足，则____________.

16．已知函数，其导函数记为，则的值为______.

17．已知函数f(x)=2lnx-ax2,若α，β都属于区间[1,4]，且β-α=1，f(α)=f(β),则实数a的取值范围是________.

18．已知函数，则___________

参考答案与试题解析

1．【答案】6

【解析】因为，所以，则，所以，所以，，

考点：1.导数与函数；2.导数的运算；

2．【答案】1

【解析】由题得，令x=0即得解.

【详解】

由题得，

令x=0得，

所以.

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查对函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

3．【答案】

【解析】利用材料中的求导方法，将，先两边同时取对，变为，再对两边同时求导，得到，进而求得切线的斜率，求得切线方程.

【详解】

∵,∴,

∴,

∴=,

∴,

当x=1时，，

∴曲线，在点处的切线方程为y-1=4(x-1),

即，

故答案为.

【点睛】

本题考查了导数的运算法则的应用及复合函数的导数的求法，考查了导数的几何意义，考查了阅读理解的能力，属于中档的创新题型.

4．【答案】3

【解析】先求，把代入可得.

【详解】

，，，，故填3.

【点睛】

本题主要考查导数的运算，明确是一个常数是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

5．【答案】

【解析】对两边求导可得：，将代入即可求得，问题得解。

【详解】

对两边求导可得：，

将代入上式可得：

解得：

【点睛】

本题主要考查了导数的计算及赋值思想，考查计算能力，属于中档题。

6．【答案】0

【解析】先求的导数，再求导数值

【详解】

已知函数

则

，

解得

答案为0

【点睛】

本题考查了导数的运算法则和计算，题干中的容易干扰到同学，把它当成常数处理即可.

7．【答案】﹣12

【解析】对题干中的式子求导，再将x=2代入得到结果.

【详解】

函数的导函数为，且,对这个式子求导得到，将x=2代入得到

故答案为：-12.

【点睛】

这个题目考查了基本初等函数的求导法则，题目简单基础.

8．【答案】-1

【解析】

【分析】

求出函数的f（x）的导数f′（x），代入即可得到结论．

【详解】

解：函数的f（x）的导数f′（x）＝12cosx，

则f′（0）＝12cos0＝12＝1，

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．

9．【答案】1

【解析】根据题意，由函数的解析式计算可得f′（x），将x=1代入可得f′（1）的值，即可得答案．

【详解】

根据题意，函数f（x）=，

则f′（x）==，

则f′（1）==1；

故答案为：1.

【点睛】

本题考查导数的计算，关键是正确计算函数f（x）的导数．

10．【答案】

【解析】求出后可得关于的方程，可从该方程解出即可.

【详解】

，则，故，填.

【点睛】

本题考查导数的计算，属于基础题.

11．【答案】0

【解析】先求导函数，再赋值计算．

【详解】

∵

∴

令x=0，可得

故答案为：0

【点睛】

本题考查了导数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．

12．【答案】

【解析】先求得函数的导数，然后令，分别代入原函数和导函数，由此求得表达式的值.

【详解】

解：由题意知，f（x）＝cosx，

∴cos，f′（x）＝﹣sinx，

∴sin

，

故答案为：．

【点睛】

本小题主要考查基本初等函数的导数，考查特殊角的三角函数，属于基础题.

13．【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，求出函数的导数可得f′（x）＝2f'（2）+3x2，令x＝2可得f′（2）＝2f'（2）+12，变形可得答案．

【详解】

根据题意，f（x）＝2f'（2）x+x3，

则f′（x）＝2f'（2）+3x2，

当x＝2时，有f′（2）＝2f'（2）+12，

变形可得：f′（2）＝﹣12；

故答案为：﹣12．

【点睛】

本题考查函数导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．

14．【答案】-3

【解析】，且存在唯一，满足等价于即，从而而可得必为二次函数，且最小值为，进而可得结果.

【详解】

，

，

即，

又存在唯一满足，

必为二次函数，且最大值为，

即，

，

，，

，故答案为.

【点睛】

本题主要考查函数的求导公式以及导数的运算法则，以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.

15．【答案】

【解析】利用对数函数的求导公式求出,将代入所求导函数，从而可得结果.

【详解】

，

，

，故答案为.

【点睛】

本题主要考查初等函数的求导公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.

16．【答案】

【解析】由题意得，因为，所以，所以

，，所以．

考点：导数的运算．

【方法点晴】本题主要考查了基本初等函数的导数公式表及导数的运算，解答中正确的求解函数的导数是解答的关键，属于中档试题，本题的解答中，由，求解，再分别计算和，从而求解的值，其中在化简和时，需要仔细．认真化简．运算．

17．【答案】

【解析】先求导，…，利用函数的单调性，结合f(α)=f(β)，确定a>0;再利用β﹣α＝1，即 2lnα﹣2lnβ+a（α+β）＝0，可得2lnα﹣2ln（α+1）+a（2α+1）＝0，α∈[1，3]，设h（x）＝2lnx﹣2ln（x+1）+a（2x+1）,x∈[1，3]，确定h（x）在[1，3]上递增，h（x）在[1，3]有零点，即可求实数a的取值范围．

【详解】

解：f′（x）＝ （x＞0）

当a≤0 时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上递增，则f（x）不可能有两个相等的函数值．故a>0；

由题设f（α）＝f（β） 则 ＝

考虑到β﹣α＝1，即 2lnα﹣2lnβ+a（α+β）＝0

∴2lnα﹣2ln（α+1）+α（2 +1）＝0， ∈[1，3]

设h（x）＝2lnx﹣2ln（x+1）+α（2x+1）x∈[1，3]，a>0，

则h'（x）＝ 在 上恒成立，

∴h（x）在[1，3]上递增，h（x）在[1，3]有零点，则

，∴ ，∴

故实数a的取值范围是．

【点睛】

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值.

18．【答案】3

【解析】对函数求导，将x=代入即可得到答案.

【详解】

f’(x)=2cos2x+，

则

故答案为：3

【点睛】

本题考查导数公式的应用，考查计算能力.