2023绵阳游仙区科学城一中高二上学期期末考试数学试题含答案
展开科学城一中高 2024 届高二上期期末考试试题 (数学)
出题人：李睿 审题人：熊晓荣
本试卷由第 Ⅰ卷 (选择题) 和第 Ⅱ卷 (非选择题) 组成，满分 150 分，考试时间 120 分钟 第 Ⅰ卷 (选择题，共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1.若抛物线y = ax2 的准线方程是y = ，则a 的值为 ( )
A. B.一 C.2 D.一 2
2.若点P(2,一3,5) 关于坐标平面xOy 及y 轴的对称点的坐标分别是(a, b, c) ，(e, f, d) ，则c 与
e 的和为 ( )
A.一 7 B.7 C.一 1 D.1
3.总体由编号为 00 ，01 ，02 ，... ，18 ，19 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 6 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则
选出来的第 6 个个体的编号为 ( )
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 97 28 01 98
32 00 92 34 49 35 82 04 36 23 48 69 69 38 74 81
A.01 B.00 C.14 D.04
4.若圆C : x2 + y 2 一 2(m 一 1)x + 2(m 一 1)y + 2m2 一 6m+ 4 = 0 过坐标原点，则实数m 的值为 ( )
A.2 或 1 B.一 2 或一 1 C.2 D.1
5.我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，验得米内夹谷，随机抽取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒，则这批米内夹谷约为 ( )
A.108 石 B.169 石 C.237 石 D.338 石
6.如图，样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体，它们
的样本平均数分别为xA 和xB ，样本标准差分别为sA 和
sB ，则 ( )
A.xA > xB , sA > sB B.xA < xB , sA < sB
C.xA > xB , sA < sB D.xA < xB , sA > sB
7.圆 C：(x-4)2+(y-5)2= 1 上的动点 P 到直线l : (1 + 3入)x + (1 + 入)y 一 2 一 4入= 0(入为任意实数)
的距离的最大值为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.在区间[- 2,2]内随机取两个数分别记为a, b ，则使得函数f(x) = x2 + 2ax - b2 + 1 有零点的概
率为 ( )
A.1 - B.1 - C.1 - D.1 -
9.抛物线x2 = ay(a > 0) 的准线l 与y 轴交于点P ，若l 绕点P 以每秒弧度的角速度按逆 时针方向旋转t 秒钟后，与抛物线第二次相切，则t 等于 ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
10.已知圆x2 + y2 = r2 在曲线| x | + | y |= 2 2 的内部，则半径r 的范围是( )
A.0 < r < 2 B.0 < r < 2 C.0 < r < 2 2 D.0 < r < 4
11.过椭圆C : + = 1(a > b > 0) 的右焦点作x 轴的垂线，交 C 于 A，B 两点，直线 l 过 C
的左焦点和上顶点．若以 AB 为直径的圆与 l 没有公共点，则 C 的离心率的取值范围是 ( )
A.(0，] B.(，1) C.(0，] D.( ,1)
12.点 P 在双曲线E : - = 1(a > 0) 的右支上，左、右焦点为 F1，F2，且| PF1 |= 2 | PF2 | ，
PM 是_F1PF2 的外角平分线，过 F2 作直线 PM 的垂线，垂足为 H，若| OH |= 9 ，则双曲线
E 的离心率是 ( )
A. B. C. D.
第 Ⅱ卷 (非选择题，共 90 分)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.过点(－4 ，0) ，倾斜角的正弦值为的直线方程为 .
14.通过随机询问110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，
得到如右表所示的信息，则我们有 (填百分比) .
的把握认为“爱好该项运动与性别有关”。
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气温 (℃) | 18 | 13 | 10 | - 1 |
用电量度 | 24 | 34 | 38 | 64 |
表，由表中数据得回归方程 x 中 2 ，预测当气温为 5 ℃时，用电量的度数约
.
16.设 M 为双曲线C : 1 右支上一点，A ，F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且△
MAF 为等边三角形，则双曲线的渐近线斜率为 .
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题 10 分) 已知 ABC 的三个顶点是A(4, 0) ， B(6, 7) ， C(0, 3) ．
( Ⅰ ) 求AC 边所在的直线方程；
( Ⅱ ) 求经过AB 边的中点，且与AC 边平行的直线l 的方程．
18. (本小题 12 分) 某校高三年级 50 名学生参加数学
竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方
图. 已知分数在[90, 100) 的矩形面积为 0. 16：
( Ⅰ )求分数在[50,60)的学生人数并计算这 50 名学生成 绩的中位数；
( Ⅱ ) 以频率估计概率，已知在全校学生中采用分层抽样在[60 ，70)和[70 ，80)范围内共 抽取了 5 人，求从这 5 人中随机选取 2 人，这 2 人来自不同组的概率。
19. (本小题 12 分) 已知圆C1 : x2 + y2 + 2x+ 2y 8 = 0 与圆C2 : x2 + y2 2x+ 10y 24 = 0 相交于
A、B 两点.
( Ⅰ ) 求圆心在直线y = x + 3 上，且过 A、B 两点的圆Q 的方程；
( Ⅱ ) 已知点M(t,0) ，N(t,0) ，t = R ，若圆Q 上存在点P ，满足PM 」PN ，求t 最大值.
20. (本小题 12 分) 某高中生参加社会实践活动，对某公司 1 月份至 6 月份销售某种机器
配件的销售量及销售单价进行了调查，销售
单价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所
示：
( Ⅰ )根据 1 至 5 月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程；
( Ⅱ ) 若由线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过 0.5 ，则认为所 得到的线性回归方程是理想的，试问 (1) 中所得到的线性回归方程是否理想？
(Ⅲ) 预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从 (1) 中的关系，若该种机器配 件的成本是 2.5 元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元/件，才能获得最大利润？ (注： 销售利润=销售收人-成本) .
参考公式 = ， = y x .参考数据：
xi yi = 392 ，
=1
x = 502.5 .
=1
21. (本小题 12 分) 已知点 A(t，2)( t>0)在抛物线E : x2 = 2py(p > 0) 上，且点 A 到F (0 ， )
的距离比点A 到 x 轴距离大2；
( Ⅰ ) 求抛物线E 的方程；
( Ⅱ ) 经过F 作互相垂直的两条直线l1 、l2 ，l1 与抛物线E 相交于P ，Q 两点，l2 与抛物线
E 相交于M ， N 两点．若C ，D 分别是线段PQ ，MN 的中点，求|FC | . | FD | 的最小值．
22. (本小题 12 分) 已知椭圆C : + = 1(a > b > 0) 的左焦点为F1 ，过原点O 的直线与 椭圆C 交于P, Q 两点，若| PF1 |= 2 | QF1 | ，且cos 三PF1Q = 一 ，椭圆C 的上顶点为D(0, )
( Ⅰ ) 求椭圆的方程；
( Ⅱ ) 不过D 的直线l 与椭圆C 交于 A，B 两点，线段AB 的中点为M ，若∠AMD = 2∠ABD ， 试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
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