2023遂宁高二上学期期末考试数学含答案

遂宁市高中2024届第三学期教学水平监测

数学（理科）试题参考答案及评分意见

一、选择题（5×12=60分）

二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）

13. 3          14.             15.                16.

三、解答题（本大题70分）

17．(10分）

（1）边所在的直线的斜率，…………………………………………2分

因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为．……3分

又边上的高经过点，

所以边上的高所在的直线方程为，

即．…………………………………………………………………5分

（2）同理边所在的直线的斜率，……………………………………6分

所以边的垂直平分线的斜率为， …………………………………………7分

边中点E的坐标是，即， ………………………………8分

所以AC边的垂直平分线的方程是

即．……………………………………10分

18.  (12分）

（1）平面，平面，；………………………2分 

四边形为正方形，；

平面，，平面， ………………4分

又平面，；

分别为的中点,,.………6分

（2）四边形为正方形，且E，G分别为AB，DC边的中点.

………8分

由（1）知，  …………9分

又

………………………………………………………………12分

19. (12分）

解: （1）根据频率分布直方图各小长方形面积之和为1,结合题意得

×10m+0.2+0.15+0.05=1,解得m=0.032. ……………………………4分

（2）由频率分布直方图,得样本数据的平均值可估计为

35×0.04+45×0.08+55×0.16+65×0.32+75×0.20+85×0.15+95×0.05=67.1,

∴此次笔试的平均成绩可估计为67.1分. ……………………………………………8分

（3）根据题意,录取率为=0.3,故应录取成绩最高的30%的报名者,…………………9分

根据频率直方图可得,80~100分占总体的比例可估计为20%,

70~100分占总体的比例可估计为40%,故录取分数线在70~80分之间,

设录取分数线为x,则0.2+0.15+0.05=0.3,解得x=75,

∴估计该公司此次招聘的录取分数线为75分.………………………………………12分

20.  (12分）

（1）将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为A，B，标号为2的小球记为2，

则从袋子中两次不放回地随机抽取2个小球可能的结果为：共12种(4分)

事件A包含4种：，所以；………………………6分

（2）因为的最大值为4，所以事件B等价于恒成立， ………………8分

可以看做平面中的点，则全部结果所构成的区域，

事件B所构成的区域，

则.……………………………………………………………12分

21. (12分）

（1）取AB，EB中点M，N，连接CM，MN，ND，

在梯形ACDE中，且DC=EA，…………………2分

而M，N分别为BA，BE中点，

∴MN//EA，MN=EA，

∴MN//CD，MN=CD，即四边形CDNM是平行四边形，∴CM//DN，

又，N为EB中点，

∴为EN中点，又F为ED中点，

∴，故， ………………………………………………………4分

又CM平面ABC，GF平面ABC，∴平面ABC.…………………………5分

（2）在平面ABC内，过B作BH⊥AC交AC于H．

∴平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，BH平面ABC，BH⊥AC，

∴BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B-ACDE的高，

又底面ACDE面积确定，要使多面体ABCDE体积最大,即BH最大，

此时AB=BC=，，为AC的中点，………………7分

连结，易得，易知HB，HC，HF两两垂直，

以为原点建立如图所示的平面直角坐标系H-xyz，

∴，

则，

设为平面ABE的一个法向量，则，即，取，…………………………8分

设为平面DBE的一个法向量，则，即，取，…………………………10分

∴，

∴二面角A-BE-D的余弦值为.………………………………………………12分

22．(12分）

（1）设圆心为(0,a)，a>0，则圆的方程为

∴，……………………………………………………………………2分

∴a＝2，∴圆C的方程为；…………………………………………4分

（2）设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以， ………………………………………………6分

（i）若，则直线斜率不存在，则，，则， ………………………………………………………………7分

（ii）若，则直线得方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，………………………………………………9分

则……………………10分

，

当且仅当，即时，等号成立，

综上所述，因为，所以S的最大值为7．…………………………………12分