2022-2023学年河北省正定县九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年河北省正定县九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析，共43页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省正定县九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选(本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分；11～16小题，每小题2分，共42分.)
1. 某班开展1分钟仰卧起坐比赛，5名同学成绩如下（单位：个）：37、38、40、40、42．这组数据的众数是（　　）
A. 37 B. 38 C. 40 D. 42
2. 一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2
3. 大唐芙蓉园位于古都西安大雁塔东侧，是中国个展示盛唐风貌的大型园林式文化主题公园．该园占地面积约为800000m2，小明按比例尺1∶2000缩小后画出该园示意图，其面积大约相当于(　　)
A. 一个篮球场的面积
B. 一张乒乓球台面的面积
C. 《人民日报》的一个版面的面积
D. 《数学》课本封面的面积
4. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究的描述错误的是（ ）

A. AB=24m B. MN∥AB
C. △CMN∽△CAB D. CM：MA=1：2
5. 下列一元二次方程中有两个没有相等的实数根的方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B
向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得
BC=3.2m"，CA=0.8m， 则树的高度为（ ）

A. 4.8m B. 6.4m C. 8m D. 10m
7. 若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象没有第(　　)象限．
A. 四 B. 三 C. 二 D. 一
8. 南京青奥会的3人篮球赛，要求参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排5天，每天安排3场比赛．这次青奥会共有x个队参赛，则x满足的关系式为(　 　)
A. x(x＋1)＝15 B. x(x－1)＝15
C. x(x＋1)＝15 D. x(x－1)＝15
9. 如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中没有能使△ABE和△ACD相似的是(　　)

A. ∠B＝∠C B. ∠ADC＝∠AEB
C. OB·OE＝OC·OD D. AD∶AB＝AC∶AE
10. 某公司欲一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们成绩如表：
候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩（百分制）
面试
86
92
90
83
笔试
90
83
83
92
如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，公司将录取（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
11. 与是位似图形，且与位似比是，已知的面积是，则的面积是
A. B. C. D.
12. 已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两个没有相等的实数根，且满足x1＋x2＝m2，则m的值是(　　)
A. －1 B. 3 C. 3或－1 D. －3或1
13. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说确的是（　　）
动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1

A. 中位数是4，平均数是3.75 B. 众数是4，平均数是3.75
C. 中位数是4，平均数是3.8 D. 众数是2，平均数是3.8
14. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（　　）

A. （0，0） B. （0，1） C. （﹣3，2） D. （3，﹣2）
15. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )

A. B. C. 1 D.
16. 关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填 空 题(本大题共4个小题；每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上)
17. 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼．
18. 如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝acm，宽BC＝bcm，E、F分别是AB，CD的中点．将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比．则a∶b等于________．

19. 关于x的一元二次方程x2－5x＋k＝0有两个没有相等的实数根，则k可取的整数为________.
20. 如图，小红作出了面积为1的正△ABC，然后分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，作出了正△A1B1C1，用同样的方法，作出了正△A2B2C2，….由此可得，正△A8B8C8的面积是________．

三、解 答 题(本大题共6个小题；共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
21. 解方程
（1）x2+2x﹣3=0 （2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
22. 在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，其中△A′B′C′与△ABC的位似比为2；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．

23. 如图所示，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量操场旗杆的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与旗杆顶点在同一直线上，已知米，米，目测点到地面的距离米，到旗杆水平的距离米，则旗杆的高度为__________米．

24. 李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和没有可能等于48 cm2，你认为他的说确吗？请说明理由．
25. 我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．

（1）根据图示填写下表；


平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部

85

高中部
85

100
（2）两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
26. (本小题满分14分)在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．

(1)求直线AB的解析式；
(2)当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
(3)当t＝2秒时，四边形OPQB的面积为多少个平方单位？


















2022-2023学年河北省正定县九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选(本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分；11～16小题，每小题2分，共42分.)
1. 某班开展1分钟仰卧起坐比赛，5名同学的成绩如下（单位：个）：37、38、40、40、42．这组数据的众数是（　　）
A. 37 B. 38 C. 40 D. 42
【正确答案】C

【详解】试题分析：由题意得，40出现的次数至多，众数为40．故选C．
考点：众数．

2. 一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2
【正确答案】C

【详解】试题分析：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，
∴22+2p﹣2=0，
解得 p=﹣1．
故选C．
考点：一元二次方程的解
3. 大唐芙蓉园位于古都西安大雁塔东侧，是中国个展示盛唐风貌的大型园林式文化主题公园．该园占地面积约为800000m2，小明按比例尺1∶2000缩小后画出该园示意图，其面积大约相当于(　　)
A. 一个篮球场的面积
B. 一张乒乓球台面的面积
C. 《人民日报》的一个版面的面积
D. 《数学》课本封面的面积
【正确答案】C

【详解】试题解析：∵比例尺1：2000，
∴面积约为800 000m2，缩小后为800000×=0.2（m2），
∴其面积大约相当于《人民日报》一个版面的面积．
故选C．
4. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究的描述错误的是（ ）

A AB=24m B. MN∥AB
C. △CMN∽△CAB D. CM：MA=1：2
【正确答案】D

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再根据相似三角形的判定解答．
【详解】∵M、N分别是AC，BC中点
∴MN∥AB，MN=AB，
∴AB=2MN=2×12=24m
△CMN∽△CAB
∵M是AC的中点
∴CM=MA
∴CM：MA=1：1
故描述错误的是D选项．
故选D．

5. 下列一元二次方程中有两个没有相等的实数根的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B

【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可．
【详解】A、△=0，方程有两个相等的实数根；
B、△=4+76=80＞0，方程有两个没有相等的实数根；
C、△=-16＜0，方程没有实数根；
D、△=1-4=-3＜0，方程没有实数根．
故选：B．
6. 如图，身高为1.6m某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B
向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得
BC=3.2m"，CA=0.8m， 则树的高度为（ ）

A. 4.8m B. 6.4m C. 8m D. 10m
【正确答案】C

【详解】解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，
设树高x米，则，即
∴x=8
故选C．
7. 若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象没有第(　　)象限．
A. 四 B. 三 C. 二 D. 一
【正确答案】D

【详解】∵一元二次方程x2- 2x - m = 0无实数根，
∴△=4+4m<0，即m<-1，
∴函数的比例系数m+1<0，图像二四象限，
截距m-1<0，则图象与y轴交于负半轴，图像过第三象限
∴函数y =(m+1)x + m - 1的图像没有象限，
故选D．
8. 南京青奥会的3人篮球赛，要求参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排5天，每天安排3场比赛．这次青奥会共有x个队参赛，则x满足的关系式为(　 　)
A. x(x＋1)＝15 B. x(x－1)＝15
C. x(x＋1)＝15 D. x(x－1)＝15
【正确答案】B

【分析】根据“球队总数×每个球队所需比赛场数÷2=比赛总场数=每天比赛场数×天数”列方程即可．
【详解】解：由题意可得x(x－1)＝3×5
整理，得x(x－1)＝15
故选B．
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
9. 如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中没有能使△ABE和△ACD相似的是(　　)

A. ∠B＝∠C B. ∠ADC＝∠AEB
C. OB·OE＝OC·OD D. AD∶AB＝AC∶AE
【正确答案】D

【详解】试题解析：∠B=∠C或∠ADC=∠AEB，
又∠A公用，
∴△ABE∽△ACD．
由OB·OE＝OC·OD及∠BOD=∠COE
∴△BOD∽△COE
∴∠B=∠C
又∠A公用，
∴△ABE∽△ACD．
因此下列条件中没有能使△ABE和△ACD相似的是：D．
故选D．
10. 某公司欲一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表：
候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩（百分制）
面试
86
92
90
83
笔试
90
83
83
92
如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，公司将录取（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【正确答案】B

【分析】根据题意先算出甲、乙、丙、丁四位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．
【详解】解：甲的平均成绩为：（分，
乙的平均成绩为：（分，
丙的平均成绩为：（分，
丁的平均成绩为：（分，
因为乙的平均分数，
所以乙将被录取．
故选：B．
此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是注意，计算平均数时按6和4的权进行计算．

11. 与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是，则的面积是
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】利用位似比得出三角形面积比，进而得出答案．
【详解】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，
∴，
∵△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是：12．
故选A．
此题主要考查了位似变换，利用位似比得出面积比是解题关键．

12. 已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两个没有相等的实数根，且满足x1＋x2＝m2，则m的值是(　　)
A. －1 B. 3 C. 3或－1 D. －3或1
【正确答案】B

【详解】试题解析：根据题意得△=（2m+3）2-4m2＞0，解得m＞-；
根据根与系数的关系得x1+x2=2m+3，
则2m+3=m2，
整理得m2-2m-3=0，即（m-3）（m+1）=0，
解得m1=3，m2=-1，
则m=3．故选B
点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．
13. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说确的是（　　）
动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1

A. 中位数是4，平均数是3.75 B. 众数是4，平均数是3.75
C. 中位数是4，平均数是3.8 D. 众数是2，平均数是3.8
【正确答案】C

【详解】解：这组数据中4出现的次数至多，众数为4，
∵共有5个人，
∴第3个人的劳动时间为中位数，
故中位数为：4，
平均数为：=3.8．
故选：C．
14. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（　　）

A. （0，0） B. （0，1） C. （﹣3，2） D. （3，﹣2）
【正确答案】C

【详解】解：如图所示：P点即为所求，故P点坐标为：（﹣3，2）．
故选C．

本题考查1．位似变换；2．坐标与图形性质．
15. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )

A. B. C. 1 D.
【正确答案】C

【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC-AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
【详解】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=AM=×2=，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=，
∴AB=2+，
∴AC=AB=（2+）=2+2，
∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴，即，
∴ON=1．
故选：C．

本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质和正方形的性质，解题的关键是熟悉相关定理和性质.
16. 关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】D

【分析】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．
【详解】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；
③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，
∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，
∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选D．
本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据没有同结论灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点．
二、填 空 题(本大题共4个小题；每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上)
17. 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼．
【正确答案】1200

【详解】试题分析：先打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，求出有标记的鱼占的百分比，再根据共有30条鱼做上标记，即可得出答案．
解：∵打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，
∴有标记的鱼占×=2.5%，
∵共有30条鱼做上标记，
∴鱼塘中估计有30÷2.5%=1200（条）．
故答案为1200．
考点：用样本估计总体．
18. 如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝acm，宽BC＝bcm，E、F分别是AB，CD的中点．将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比．则a∶b等于________．

【正确答案】∶1

【详解】试题解析：∵ABCD的长AB=acm，宽BC=bcm，E、F分别是AB，CD的中点、
∴矩形AEFD的长与宽分别是b，
∴矩形AEFD的宽与长之比等于，矩形ABCD的宽与长之比．
又∵矩形AEFD的宽与长之比等于矩形ABCD的宽与长之比，即．
即b2=．
∴a：b=：1．
19. 关于x的一元二次方程x2－5x＋k＝0有两个没有相等的实数根，则k可取的整数为________.
【正确答案】6

【详解】试题分析：由已知可得：△>0
即，52-4k>0,解得k<6．25
所以k可取的整数为6
考点：根的判别式
20. 如图，小红作出了面积为1的正△ABC，然后分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，作出了正△A1B1C1，用同样的方法，作出了正△A2B2C2，….由此可得，正△A8B8C8的面积是________．

【正确答案】

【详解】试题解析：∵△ABC三边的中点A1，B1，C1，
∴B1C1=BC，A1B1=AB，A1C1=AC，
∴△A1B1C1∽△ABC，
∴S△A1B1C1=S△ABC=，
同理：S△A2B2C2=S△A1B1C1=，
∴S△AnCn=，
∴正△A8B8C8的面积是：．
三、解 答 题(本大题共6个小题；共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
21. 解方程
（1）x2+2x﹣3=0 （2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
【正确答案】（1）x1=1 x2=-3；（2）x1= x2=2．

【详解】试题分析：（1）方程左边进行因式分解，将方程化为两个一元方程，进行求解即可；
（2）移项，提取公因式（x-2）, 将方程化为两个一元方程，进行求解即可.
试题解析：(1)x2＋2x－3＝0，
∴(x＋3)(x－1)＝0，
∴x+3=0，x-1=0，
∴x1＝1，x2＝－3
(2) 3x(x－2)＝2(2－x)
3x(x－2)+2(x－2)=0
(3x＋2)(x－2)＝0，
∴3x＋2＝0或x－2＝0，
解得x1＝－，x2＝2.
22. 在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，其中△A′B′C′与△ABC的位似比为2；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．

【正确答案】（1）画图见解析；（2）A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．

【分析】（1）延长MA到A′使AA′=MA，则点A′为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）利用（1）所画图形可得到△A′B′C′的各顶点坐标．
【详解】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；

（2）A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）；
本题考查作图-位似变换．
23. 如图所示，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量操场旗杆的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与旗杆顶点在同一直线上，已知米，米，目测点到地面的距离米，到旗杆水平的距离米，则旗杆的高度为__________米．

【正确答案】11.5

【分析】根据题意可得：，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案.
【详解】由题意可得：，则，
∵米，米，，，
∴， 解得：，
故，
答：旗杆的高度为.
此题考查学生对相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
24. 李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和没有可能等于48 cm2，你认为他的说确吗？请说明理由．
【正确答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说确，理由见解析.

【详解】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm的两段；
（2）两正方形面积之和为48时，， ，∵， ∴该方程无实数解，也就是没有可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明说确．
考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．

25. 我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．

（1）根据图示填写下表；


平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部

85

高中部
85

100
（2）两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【正确答案】（1）

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
85
85
85
高中部
85
80
100
（2）初中部成绩好些（3）初中代表队选手成绩较为稳定

【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答．
（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可．
（3）分别求出初中、高中部的方差比较即可．
【详解】解：（1）初中部5名选手的成绩分别为：75，80，85，85，100，
初中部的平均数为：（分），
85出现的次数至多，所以初中部5名选手的成绩的众数为85，
高中部5名选手的成绩按从小到大排列为：70，75，80，100，100，
所以高中部5名选手的成绩的中位数为80；
填表如下：

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
85
85
85
高中部
85
80
100
（2）初中部成绩好些．
∵两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，
∴在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些．
（3）∵
，
∴＜，
因此，初中代表队选手成绩较为稳定．
此题考查了众数，中位数和平均数以及方差的求解，解题的关键是熟练掌握众数，中位数和平均数以及方差的求法．
26. (本小题满分14分)在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．

(1)求直线AB的解析式；
(2)当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
(3)当t＝2秒时，四边形OPQB的面积为多少个平方单位？
【正确答案】（1）y＝－x＋6；（2）t＝秒或秒；（3）19.2

【详解】（1）已知直线点A，B就可以利用待定系数法求出函数的解析式．
（2）以点A、P、Q为顶点的三角形△AOB相似，应分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB两种情况
讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．
（3） 过点Q作QM⊥OA于M，△AMQ∽△AOB就可以求出QM的值，就可以求出面积．



















2022-2023学年河北省正定县九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1. 化简的结果是（ ）
A. 4 B. 2 C. 3 D. 2
2. 如图，△ABC与△DEF相似，相似比为1∶2，BC的对应边是EF，若BC＝1，则EF的长是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0两个根，则αβ的值是(　　)
A. 2 B. 1 C. －2 D. －1
4. 下列式子是最简二次根式的是
A. B.
C. D.
5. 已知x=1是关于x的方程(1-k)x2+k2x-1=0的根,则常数k的值为　(　　)
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或-1
6. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）

A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1
7. 用配方法解一元二次方程x2+4x﹣1=0，此方程可变形为（ ）
A. （x+2）2=5 B. （x﹣2）2= 5
C. （x+2）2=1 D. （x﹣2）2=1
8. 如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（　　）

A. （4，2） B. （3，3） C. （4，3） D. （3，2）
9. 若关于一元二次方程有两个没有相等的实数根，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（   ）
A. （2，﹣1）或（﹣2，1） B. （8，﹣4）或（﹣8，4） C. （2，﹣1） D. （8，﹣4）
二、填 空 题（本小题共5小题，每小题5分，共15分）
11. 计算的结果是_________．
12. 一元二次方程9(x﹣1)2﹣4＝0的解是_______．
13. 若，则等于_____．
14. 已知，且关于x方程有两个相等的实数根，那么k的值等于_____．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上点F处，已知AD=3，当点F为线段OC的三等分点时，点E的坐标为_____．

三、解 答 题（本题共75分）
16. 计算：×﹣4××（1﹣）0．
17. 用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣x﹣1=0；
（2）x2﹣2x=2x+1；
（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1；
（4）（x+3）2=（1﹣2x）2．
18. 先化简，再求值：，其中满足.
19. 如图，是一个照相机成像的示意图，像高MN，景物高度AB、CD为水平视线，根据物体成像原理知：AB//MN，CD⊥MN．
（1）如果像高MN是35mm，焦距CL是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物的距离LD是多少？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高没有变，则相机的焦距应调整为多少毫米？

20. 已知关于x方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根；
（2）当p=2时，求该方程的根．
21. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=24，BC=12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动，如果E、F同时出发，用t（0≤t≤6）秒表示运动的时间，当t为何值时，以点E、C、F为顶点的三角形与△ACD相似？

22. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张．
（1）填空：设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是　 　元，总件数应是　 　件；
（2）商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
23. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形GBEF．
（1）观察发现：在旋转的过程中，的值没有变，这个数值是　 　；
（2）问题解决：当点G落在直线CD上时，求CE的长；
（3）数学思考：在旋转的过程中，CE是否有值，如果有，请直接写出；如果没有，试说明理由．




2022-2023学年河北省正定县九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1. 化简的结果是（ ）
A. 4 B. 2 C. 3 D. 2
【正确答案】B

【详解】试题解析.
故选B.
考点：二次根式的化简.

2. 如图，△ABC与△DEF相似，相似比为1∶2，BC的对应边是EF，若BC＝1，则EF的长是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B

【详解】试题解析：∵△ABC∽△DEF，相似比为1:2，
∴
∴EF=2BC=2.
故选B.
点睛：相似三角形对应边的比就是相似比.

3. 设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0两个根，则αβ的值是(　　)
A. 2 B. 1 C. －2 D. －1
【正确答案】D

【详解】∵α、β是一元二次方程的两个根，
∴αβ==-1，
故选：D．
4. 下列式子是最简二次根式的是
A. B.
C. D.
【正确答案】A

分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】A．是最简二次根式；
B．2，没有是最简二次根式；
C．，没有是最简二次根式；
D．，没有是最简二次根式．
故选A．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．
5. 已知x=1是关于x的方程(1-k)x2+k2x-1=0的根,则常数k的值为　(　　)
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或-1
【正确答案】C

【详解】解：当k=1时，方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0为一元方程，解为x=1；
k≠1时，方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0为一元二次方程，把x=1代入方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0可得：1﹣k+k2﹣1=0，即﹣k+k2=0，可得k（k﹣1）=0，即k=0或1（舍去）；
故选C．
点睛：该题应注意方程与一元二次方程的区别，此题1﹣k可为0，同时此题也考查了因式分解．
6. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）

A 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1
【正确答案】B

【分析】根据题意可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
7. 用配方法解一元二次方程x2+4x﹣1=0，此方程可变形为（ ）
A. （x+2）2=5 B. （x﹣2）2= 5
C. （x+2）2=1 D. （x﹣2）2=1
【正确答案】A

【分析】首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的左右两边同时加上项系数一半的平方，从而得出答案.
【详解】解：



故选A
8. 如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（　　）

A. （4，2） B. （3，3） C. （4，3） D. （3，2）
【正确答案】A

【详解】试题分析：如图，作AM⊥x轴于点M．∵正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），∴OA=OB=2，∠AOB=60°，∴OM=OA=1，AM=OM=，∴A（1，），∴直线OA的解析式为，∴当x=3时，y=，∴A′（3，），∴将点A向右平移2个单位，再向上平移个单位后可得A′，∴将点B（2，0）向右平移2个单位，再向上平移个单位后可得B′，∴点B′的坐标为（4，），故选A．

考点：1．坐标与图形变化-平移；2．等边三角形的性质．

9. 若关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B

【详解】∵方程有两个没有相等的实数根，
∴，
解得：，即异号，
当时，函数的图象过一三四象限，
当时，函数的图象过一二四象限，
故选：B．
10. 在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（   ）
A. （2，﹣1）或（﹣2，1） B. （8，﹣4）或（﹣8，4） C. （2，﹣1） D. （8，﹣4）
【正确答案】A

【分析】利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．
【详解】∵E（-4，2），位似比为1：2，
∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．
故选A．
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．

二、填 空 题（本小题共5小题，每小题5分，共15分）
11. 计算的结果是_________．
【正确答案】5．

【详解】.
故答案为5.

12. 一元二次方程9(x﹣1)2﹣4＝0的解是_______．
【正确答案】x1=，x2= ．

【详解】试题分析：移项可得：，两边同时除以9可得：，直接开方可得：，解得：．
13. 若，则等于_____．
【正确答案】

【详解】试题分析：设n=2x，则m=3x，即．
14. 已知，且关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值等于_____．
【正确答案】3．

【详解】试题分析：∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴△==144﹣4×3k×（k+1）=0，解得k=﹣4或3，∵k＞0，∴k=3．故答案为3．
考点：根的判别式．

15. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，已知AD=3，当点F为线段OC的三等分点时，点E的坐标为_____．

【正确答案】（3，）或（3，）．

【分析】设CE=x，分两种情况讨论：①当CF=1时，OF=2；②当CF=2时，OF=1，在Rt△CEF中，依据勾股定理可得CE2+CF2=EF2，据此可得方程，即可得到CE的长，进而得出点E的坐标．
【详解】解：∵AD=OC=3=AF，而点F为线段OC的三等分点，
∴CF=1或2，
设CE=x，当CF=1时，OF=2，
在Rt△AOF中，AO=，
∴CD=，DE=-x=EF，
∵Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，
∴x2+12=（-x）2，
解得x=，
即CE=，
∴E（3，）；
②当CF=2时，OF=1，
在Rt△AOF中，AO=，
∴CD=2，DE=2-x=EF，
∵Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，
∴x2+22=（2-x）2，
解得x=，
即CE=，
∴E（3，）；
故（3，）或（3，）．
本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．解题时，设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
三、解 答 题（本题共75分）
16. 计算：×﹣4××（1﹣）0．
【正确答案】

【详解】试题分析：首先根据二次根式的化简法则将各二次根式化简成最简二次根式，然后根据有理数的减法计算法则进行计算得出答案．
试题解析：解：×﹣4××（1﹣）0===．

17. 用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣x﹣1=0；
（2）x2﹣2x=2x+1；
（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1；
（4）（x+3）2=（1﹣2x）2．
【正确答案】（1）x1=，x2=（2）x1=2+，x2=2﹣（3）x1=，x2=（4）x1=﹣，x2=4

【详解】试题分析：(1)、利用公式法来进行求解，即，将a、b、c代入进行计算即可得出答案；(2)、利用配方法进行求解，得出方程的解；(3)、首先将方程整理成一般式，然后利用公式法求出方程的解；(4)、首先根据平方差公式将方程进行因式分解，然后求出方程的解．
试题解析：（1）x2﹣x﹣1=0； 这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5． x==，
所以：x1=，x2=．
（2）移项，得x2﹣4x=1， 配方，得x2﹣4x+4=1+4， 即（x﹣2）2=5．
两边开平方，得x﹣2=±， 即x=2±， 所以x1=2+，x2=2﹣．
（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1， 整理，得2x2+2x﹣1=0， 这里a=2，b=2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=22﹣4×2×（﹣1）=12．
x===，
即原方程的根为x1=，x2=．
（4）移项，得（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，
因式分解，得（x+3+1﹣2x）[x+3﹣（1﹣2x）]=0，
整理，得（3x+2）（﹣x+4）=0， 解得x1=﹣，x2=4．
点睛：本题主要考查的就是一元二次方程的解法，属于基础题型．解一元二次的主要方法有：直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法．在利用配方法解方程时，我们首先需要将二次项系数化为1，方程的左边保留二次项和项，右边为常数项，然后在方程的左右两边同时加上项系数一半的平方，再利用直接开平方法求出方程的解．
18. 先化简，再求值：，其中满足.
【正确答案】，-

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
【详解】原式=
=
=，
∵，
∴a+1=0，b-=0，
解得：a=-1，b=，
则原式=-．

19. 如图，是一个照相机成像的示意图，像高MN，景物高度AB、CD为水平视线，根据物体成像原理知：AB//MN，CD⊥MN．
（1）如果像高MN是35mm，焦距CL是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物的距离LD是多少？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高没有变，则相机的焦距应调整为多少毫米？

【正确答案】（1）7（2）70

【分析】根据AB和MN平行，从而得出，两个题目中分别将各个数字代入等式中，从而求出未知的量得出答案．
详解】解：∵AB//MN，
∴△LMN∽△LBA，
∴．
（1）∵像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，
，解得LD=7，
∴拍摄点距离景物7米；
（2）拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高没有变，
∴，解得LC=70，
∴相机的焦距应调整为70 mm．
20. 已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根；
（2）当p=2时，求该方程的根．
【正确答案】（1）证明见解析（2）x1=，x2=

【分析】(1)首先求出方程的根的判别式，然后得出根的判别式为非负数，得出答案；

(2)将p=2代入方程，利用公式法求出方程的解.
【详解】（1）证明：方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=1+4p2．
∵p2≥0，
∴4p2+1＞0，即△＞0，
∴这个方程总有两个没有相等的实数根．
（2）解：当p=2时，原方程为x2﹣5x+2=0，
∴△=25﹣4×2=17，
∴x=，
∴x1=，x2=．
21. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=24，BC=12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动，如果E、F同时出发，用t（0≤t≤6）秒表示运动的时间，当t为何值时，以点E、C、F为顶点的三角形与△ACD相似？

【正确答案】当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似

【详解】试题分析：根据题意可得：EC=12-2t，FC=4t，然后根据和两种情况分别求出t的值，得出答案．
试题解析：根据题意，可分为两种情况：
①若△EFC∽△ACD，则=， 所以=， 解得t=3，
即当t=3时，△EFC∽△ACD．
②若△FEC∽△ACD， 则=， 所以=， 解得t=1.2，
即当t=1.2时，△FEC∽△ACD．
因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．
22. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张．
（1）填空：设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是　 　元，总件数应是　 　件；
（2）商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
【正确答案】（1）（0.3﹣x），500+1000x;（2）每张贺年卡应降价01元

【详解】试题分析：(1)、现在的利润=原来的利润减去降低的钱，根据题意可知降低1元，量会多1000张，则降低x元，量多1000x张，则总的数量=原来的张数+多出来的数量；(2)、根据盈利=单件利润×数量列出方程，从而求出x的值．
试题解析：（1）设每张贺年卡应降价x元，原来每张盈利0.3元，
则每件平均利润应是（0.3﹣x）元．
这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，说明降价x元，销量增加100x÷0.1=1000x件，现在的销量为(500+1000x)件．
（2）设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3﹣x）元，
根据题意，得（0.3﹣x）(500+1000x)=120，
解得x1=﹣0.3（降价没有能为负数，没有合题意，舍去），x2=0.1．
答：每张贺年卡应降价0.1元．
23. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形GBEF．
（1）观察发现：在旋转的过程中，的值没有变，这个数值是　 　；
（2）问题解决：当点G落在直线CD上时，求CE的长；
（3）数学思考：在旋转的过程中，CE是否有值，如果有，请直接写出；如果没有，试说明理由．

【正确答案】（1）（2）或 （3）6

【详解】试题分析：(1)、根据旋转图形的性质得出△ABG和△CBE相似，从而得出答案；(2)、本题分点G落在线段CD上和点G落DC的延长线上两种情况进行讨论，分别根据勾股定理求出AG的长度，然后根据△ABG和△CBE相似，从而得出CE的长度；(3)、当CE为⊙B的直径时，CE的值．
试题解析：（1）∵将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形GBEF，
∴AB=BG，BC=BE，∠CBE=∠ABG， ∴， ∴△ABG∽△CBE， ∴==；
（2）分两种情况讨论：①点G落在线段CD上时（如图1），
∵BG=AB=5，BC=3，CG==4， ∴DG=1，AG==，
∵=1，∠ABG=∠CBE， ∴△ABG∽△CBE， ∴=，
∴CE=•AG=×=；
②点G落DC的延长线上时（如图2）
BG=5，BC=3，CG=4， ∴DG=9，AG==3， ∵=1，∠ABG=∠CBE，
∴△ABG∽△CBE， ∴=， ∴CE=•AG=×3=；

（3）在旋转的过程中，CE有值，
∵C、E在以点B为圆心，BC长为半径的圆上， ∴当CE为⊙B的直径时，CE的值，
即CE的值=2BC=6．
点睛：本题主要考查的是旋转图形的性质、三角形相似的判定与应用以及分类讨论思想的应用，难度在中上．在解决这个问题的时候，关键就是要根据相似三角形的性质得出两个三角形相似，出现没有同的两种情况时，一定要根据没有同的情况画出图形，然后根据图形来分别进行计算．对于解几何的题目时，我们一定要学会去画图，根据图形来进行求值．