2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 12. 解三角形中的范围问题研究

解三角形中的最值问题

（2019全国3卷）的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

第一类最值：面积最值.

（2）求面积的最大值；

（3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范

解析：(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．

，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.

(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，

故，解得.

又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：

.

又因,故，

故.故的取值范围是

变式练习：

的内角对边为，（1）.求角的值；

（2）最值问题展示：

i)    若,求周长的最大值.

ii)    若,求面积的最大值.

iii)    若为锐角三角形，求的取值范围.

iv）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

iv)    若为边的中点，，求面积的最大值.

vi）若为的平分线，，求面积的最小值.

vii）若为边的高，且，求面积的最小值.

小结1.结合余弦定理：变式可得：此公式在已知的情况下，可得到和的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值.

2.结合正弦定理构建周长或者面积关于角的目标函数，利用三角函数处理最值或者范围.

3.在处理与中线，角平分线，高线有关的最值时，要注意利用相关性质和等面积的方法实现代数等量关系的构建.

解析：(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．

，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.

(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，

故，解得.

又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：

.

又因,故，

故.故的取值范围是

练习.1（2020年全国2卷）在中，

（1）求；

（2）若，求周长的最大值.

解析：（1）由正弦定理可得：，

，.

（2）方法1:由余弦定理得：，

即.

（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为.

2.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若为的中点，且，求的最大值.

解：（1）由正弦定理及得，

由知，

则，化简得，.

又，因此，.

（2）由，又为的中点，则，

等式两边平方得，

所以，

则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.

3．设的内角的对边分别为，已知.

（1）求；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

解析：（1）由题设知，，

即，所以，即，又

所以.

（2）由题设知，，

即，又为锐角三角形，所以，即

所以，即，所以的取值范围是.

4．内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）是边上一点，且，，求面积的最大值.

解析：（1）因为，由正弦定理可得，

又，所以，因为，

所以，则，

又，所以，

因为，所以；

（2）根据题意可得，

所以，

即，所以，当且仅当

等号成立

所以，面积的最大值为.