专题38+与圆相关的张角问题-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题38 与圆相关的张角问题

【方法点拨】

1. 圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.
2. 圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.

【典型题示例】

例1   设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（      ）

A.         B.         C.          D. 

【答案】A

【分析】由圆的性质可知：圆上一点，与所组成的角，当与圆相切时，最大.所以若圆上存在点，使得，则.由和可知过且与圆相切的一条直线为，切点 ，所以在直角三角形中，，从而 .

例2    已知圆O：x2＋y2＝1，动圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【解析】由题意得圆心M(a，a－4)在直线x－y－4＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x－y－4＝0上，半径为1的圆．又因为圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB＝60°，所以OP＝2，即点P也在x2＋y2＝4上，于是2－1≤≤2＋1，即1≤≤3，解得2－≤a≤2＋，故实数a的取值范围是.

例3   已知圆C：．若直线l：上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得，则m的取值范围是（    ）

A． B．  C． D．

【答案】D

【分析】由，可求得，求出圆心到直线的距离，只要这个距离不大于即可得．

【解析】根据题意，圆C：的圆心为，半径，

过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，连接，

若，则，又由，

则，

若直线l：上存在点P，满足，

则有C到直线l的距离，

解可得：，即m的取值范围为，

故选：D．

【巩固训练】

1.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.

2.已知圆，直线为直线上一点，若圆上存在两点，使得，则点A的横坐标的取值范围是           .

3. 在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是           ．

4.已知圆与圆，圆上至少存在一点，使得圆上总存在两点，使得为钝角，则的取值范围是　　. 

5. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x＋a＋3)2＋(y－2a)2＝1(a为实数)．若圆O与圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30，则a的取值范围为       ．

   6.已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得·≤0，则线段EF长度的最大值是________．

7. 在平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于两点，点 在圆上运动．若恒为锐角，则实数的取值范围是         ．

8. 在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，点B是圆C：(x－2)2＋y2＝4上的点，点M是AB中点，若直线上存在点P，使∠OPM=30O，则实数的取值范围是      ．

【答案与提示】

1.【答案】

【提示】由解得.

2.【答案】 [1,5]

【提示】设，由解得.

3.【答案】

【提示】即，故只需

4.【答案】

【提示】易知，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.

   5.【答案】[－，0]

【提示】【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动.这里，先将Q固定不动，则点P在圆O运动时，当PQ为圆O的切线时，∠OQP最大，故满足题意，需∠OQP≥30，再将角的范围转化为O、Q间的距离问题，即需OQ≤2.再固定P不动，易得只需OM≤3即可，利用两点间距离公式(a＋3)2＋(2a)2≤9，解得－ ≤a≤ 0.

6.【答案】

【解析】由·≤0得∠APB≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB才是最大的角，不妨设切线为PM，PN，当∠APB≥90°时， ∠MPN≥90°，sin∠MPC＝≥sin 45°＝，所以PC≤2.另当过点P，C的直线与直线l：y＝x＋1垂直时，PCmin＝，以C为圆心，CP＝2为半径作圆交直线l于E，F两点，这时的线段长即为线段EF长度的最大值，所以EFmax＝2＝.

7.【答案】

【错解】考虑若为直角,则动圆与以为直径的圆相外切，故两圆相离时，满足题意，所以，解之得：.

【错因】当动圆在左侧时，此时，圆与已知直线相交，圆上存在点与两点连线构成的角为零角，需排除.还需动圆与直线相离.

8.【答案】[－2,2]

【提示】连结O、M，则OM=BC=1，问题转化为“在圆O：x2＋y2＝1存在点M，使得直线上存在点P，使∠OPM=30O”，故只需当PM为切线时，∠OPM≥30O，故只需OP≤2，即解得.

点评：

也可以用“动点转移法”求点M的轨迹方程是x2＋y2＝1.