初中数学中考复习 专题34 与圆有关的位置关系【专题巩固】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）

专题34  与圆有关的位置关系

考点1：点、直线和圆的位置关系

1．（2021·陕西中考真题）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______．

【答案】

【分析】

由题意易得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，进而根据题意作图，则连接AC，交于点E，然后可得AE的长即为点A到上的点的距离为最大，由题意易得，则有△OFC是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质可得，最后问题可求解．

【详解】

解：由题意得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，如图所示：

连接AC，OF，AC交于点E，此时AE的长即为点A到上的点的距离为最大，如图所示，

∵四边形是正方形，且边长为4，

∴，

∴△OFC是等腰直角三角形，，

∵的半径为1，

∴，

∴，

∴，

∴，

即点A到上的点的距离的最大值为；

故答案为．

考点2：切线的性质与判定

2．（2021·福建中考真题）如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出即可．

【详解】

解：连接OC，

CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，

∴∠CAD=2∠CAP，

∵OA=OC

∴∠OAC＝∠ACO，

∴∠COP＝2∠CAO

∴∠COP＝∠CAD

∵

∴OC=3

在Rt△COP中，OC=3，PC=4

∴OP=5．

∴==

故选：D．

3．（2021·山西中考真题）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

连接，根据与相切易得，在中，已知，可以求出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出的度数，最后根据可得．

【详解】

如下图，连接，

∵切于点，

∴，

在中，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴．

故选：B．

4．（2021·北京中考真题）如图，是的切线，是切点．若，则______________．

【答案】130°

【分析】

由题意易得，然后根据四边形内角和可求解．

【详解】

解：∵是的切线，

∴，

∴由四边形内角和可得：，

∵，

∴；

故答案为130°．

5．（2021·浙江杭州市·中考真题）如图，已知的半径为1，点是外一点，且．若是的切线，为切点，连接，则_____．

【答案】

【分析】

根据圆的切线的性质，得，根据圆的性质，得，再通过勾股定理计算，即可得到答案．

【详解】

∵是的切线，为切点

∴

∴

∵的半径为1

∴

∴

故答案为：．

6．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）

【答案】

【分析】

连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．

【详解】

连接OC、OD，

∵分别与相切于点C，D，

∴，

∵，，

∴，

∴的长=（cm），

故答案为：．

．

7．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，在中，，AE 平分交BC于点E，点D在AB上，．是的外接圆，交AC于点F．

（1）求证：BC是的切线；

（2）若的半径为5，，求．

【答案】（1）见解析；（2）20

【分析】

（1）连接OE，由OA=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到AC与OE平行，再根据两直线平行同位角相等及∠C为直角，得到OE与BC垂直，可得出BC为圆O的切线；

（2）过E作EG垂直于OD，利用AAS得出△ACE≌△AGE，得到AC=AG=8，从而可得OG，利用勾股定理求出EG，再利用三角形面积公式可得结果．

【详解】

解：（1）证明：连接OE，

∵OA=OE，

∴∠1=∠3，

∵AE平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴OE∥AC，

∴∠OEB=∠C=90°，

则BC为圆O的切线；

（2）过E作EG⊥AB于点G，

在△ACE和△AGE中，

，

∴△ACE≌△AGE（AAS），

∴AC=AG=8，

∵圆O的半径为5，

∴AD=OA+OD=10，

∴OG=3，

∴EG==4，

∴△ADE的面积==20．

8．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，交的延长线于点E，交于点F．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）要证明DE是的切线，只要证明即可．连接OD，根据条件证明，则可推导出．

（2）根据条件，在中，求出OE的长，然后证明，从而根据相似比求解即可．

【详解】

（1）证明：如下图，连接OD，

∵,，

∴,，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴DE是的切线．

（2）解：∵AC=6，

∴，

在中，，

∴，，

∴，

又∵，

∴，

∴ ,即，

∴．

9．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若．

（1）求证：是的切线；

（2）若的半径为8，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连接OE，证明OE⊥EF即可；

（2）由证得，运用正弦的概念可得结论．

【详解】

解：（1）证明：连接OE，如图，

∵OA=OE

∴∠OAE=∠OEA．

∵EF=PF，

∴∠EPF=∠PEF

∵∠APH=∠EPF，

∴∠APH=∠EPF，

∴∠AEF=∠APH．

∵CD⊥AB，

∴∠AHC=90°．

∴∠OAE+∠APH=90°．

∴∠OEA+∠AEF=90°

∴∠OEF=90°

∴OE⊥EF．

∵OE是的半径

∴EF是圆的切线，

（2）∵CD⊥AB

∴是直角三角形

∵

∴

设，则

由勾股定理得，

由（1）得，是直角三角形

∴

∴，即

∵

∴

解得，

考点3：三角形的内心和外心

10．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（    ）

A． B．AD一定经过的重心

C． D．AD一定经过的外心

【答案】C

【分析】

根据题意易得AD平分∠BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．

【详解】

解：∵AD平分∠BAC，

∴，故C正确；

在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误；

由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过的重心，故B选项错误；

由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过的外心，故D选项错误；

故选C．

11．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

过点作于，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据正弦的定义求出，根据弧长公式计算求解．

【详解】

解：过点作于，

则，

由圆周角定理得：，

，

，

，

故选：．

12．（2021·西藏·中考真题）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（    ）

A．40° B．55° C．70° D．110°

【答案】B

【分析】

连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据垂径定理得到∠COA，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【详解】

解：连接OB，OC，

∵∠D＝70°，

∴∠BOC＝2∠D＝140°，

∵OA⊥BC，

∴∠COA，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°，

故选：B．