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初中数学中考复习 专题30规律探究问题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【解析版】
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这是一份初中数学中考复习 专题30规律探究问题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【解析版】，共19页。试卷主要包含了将全体正偶数排成一个三角形数阵等内容，欢迎下载使用。
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）
专题30规律探究问题
一．选择题（共10小题）
1．（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据：，﹣，，﹣，，﹣，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】把第3个数转化为：，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是n2+1，且奇数项是正，偶数项是负，据此即可求解．
【解析】原数据可转化为：，﹣，，﹣，，﹣，…，
∴＝（﹣1）1+1，
﹣＝（﹣1）2+1，
＝（﹣1）3+1，
..．
∴第n个数为：（﹣1）n+1，
∴第10个数为：（﹣1）10+1＝﹣．
故选：A．
2．（2022•牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据给出的数据可以推算出第n个数是×（﹣1）n+1所以第12个数字把n＝12代入求值即可．
【解析】根据给出的数据特点可知第n个数是×（﹣1）n+1，
∴第12个数就是×（﹣1）12+1＝﹣．
故选：D．
3．（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．（2n﹣1）xn B．（2n+1）xn C．（n﹣1）xn D．（n+1）xn
【分析】根据题目中的单项式，可以发现系数是一些连续的奇数，x的指数是一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式．
【解析】∵单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，
∴第n个单项式为（2n﹣1）xn，
故选：A．
4．（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．104
【分析】由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，则得出前9行有45个偶数，且第45个偶数为90，得出第10行第5个数即可．
【解析】由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，
则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个偶数，
∴第9行最后一个数为90，
∴第10行第5个数是90+2×5＝100，
故选：B．
5．（2022•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
【分析】根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，得出第n个图形需要的小木棒根数即可．
【解析】由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）个小木棒，
当8n﹣2＝2022时，
解得n＝253，
故选：B．
6．（2022•玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．0
【分析】分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到A点，黑跳棋跳到F点，可得结论．
【解析】∵红跳棋从A点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，
∴红跳棋每过6秒返回到A点，
2022÷6＝337，
∴经过2022秒钟后，红跳棋跳回到A点，
∵黑跳棋从A点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，
∴黑跳棋每过18秒返回到A点，
2022÷18＝112•••6，
∴经过2022秒钟后，黑跳棋跳到E点，
连接AE，过点F作FM⊥AE，
由题意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，
∴∠FAE＝30°，
在Rt△AFM中，AM＝AF＝，
∴AE＝2AM＝2，
∴经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是2．
故选：B．
7．（2022•江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【解析】第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3＝10，
故选：B．
8．（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
【分析】根据图形的变化规律得出第n个图形中有4n+1个正方形即可．
【解析】由题知，第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，
第③个图案中有13个正方形，
第④个图案中有17个正方形，
…，
第n个图案中有4n+1个正方形，
∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，
故选：C．
9．（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
【分析】根据前面三个图案中菱形的个数，得出规律，第n个图案中菱形有（2n﹣1）个，从而得出答案．
【解析】由图形知，第①个图案中有1个菱形，
第②个图案中有3个菱形，即1+2＝3，
第③个图案中有5个菱形即1+2+2＝5，
……
则第n个图案中菱形有1+2（n﹣1）＝（2n﹣1）个，
∴第⑥个图案中有2×6﹣1＝11个菱形，
故选：C．
10．（2022•荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBn∁nDn的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接A1C1，D1B1，可知四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的一半，则S1＝ab，再根据三角形中位线定理可得C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，则S2＝C1×B1D1＝ab，依此可得规律．
【解析】如图，连接A1C1，D1B1，
∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1BCC1是矩形，
∴A1C1＝BC，A1C1∥BC，
同理，B1D1＝AB，B1D1∥AB，
∴A1C1⊥B1D1，
∴S1＝ab，
∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，
∴C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，
∴S2＝C1×B1D1＝ab，
……
依此可得Sn＝，
故选：A．
二．填空题（共14小题）
11．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足+＝．则a4＝ ，a2022＝ ．
【分析】由题意可得an＝，即可求解．
【解析】由题意可得：a1＝2＝，a2＝＝，a3＝，
∵+＝，
∴2+＝7，
∴a4＝＝，
∵＝，
∴a5＝，
同理可求a6＝＝，•••
∴an＝，
∴a2022＝，
故答案为：，．
12．（2022•宿迁）按规律排列的单项式：x，﹣x3，x5，﹣x7，x9，…，则第20个单项式是 ﹣x39 ．
【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可．
【解析】根据前几项可以得出规律，奇数项为正，偶数项为负，第n项的数为（﹣1）n+1×x2n﹣1，
则第20个单项式是（﹣1）21×x39＝﹣x39，
故答案为：﹣x39．
13．（2022•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 744 ．
【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．
【解析】由图可知，
第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有3个数，
•••••••
第n行有n个数．
∴前n行共有个数．
∴前27行共有378个数，
∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．
∵这些数都是正偶数，
∴第372个数为372×2＝744．
故答案为：744．
14．（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是 （10，18） ．
【分析】根据第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n﹣1）个数即可得出答案．
【解析】∵第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n﹣1）个数，
∴99＝102﹣1在第10行倒数第二个，
第10行有：2×10﹣1＝19个数，
∴99的有序数对是（10，18）．
故答案为：（10，18）．
15．（2022•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料 根．
【分析】观察图形可得：第n个图形最底层有n根木料，据此可得答案．
【解析】由图可知：
第一个图形有木料1根，
第二个图形有木料1+2＝3（根），
第三个图形有木料1+2+3＝6（根），
第四个图形有木料1+2+3+4＝10（根），
.....．
第n个图有木料1+2+3+4+......+n＝（根），
故答案为：．
16．（2022•大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是 49 ．
【分析】从数字找规律，进行计算即可解答．
【解析】由题意得：
第一个图案中的“”的个数是：4＝4+3×0，
第二个图案中的“”的个数是：7＝4+3×1，
第三个图案中的“”的个数是：10＝4+3×2，
..．
∴第16个图案中的“”的个数是：4+3×15＝49，
故答案为：49．
17．（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为 （1+）2022 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出前几项，然后即可得到PnKn的式子，从而可以写出线段P2023K2023的长．
【解析】由题意可得，
P1K1＝OP1•tan60°＝1×＝，
P2K2＝OP2•tan60°＝（1+）×＝（1+），
P3K3＝OP3•tan60°＝（1+++3）×＝（1+）2，
P4K4＝OP4•tan60°＝[（1+++3）+（1+）2]×＝（1+）3，
…，
PnKn＝（1+）n﹣1，
∴当n＝2023时，P2023K2023＝（1+）2022，
故答案为：（1+）2022．
18．（2022•聊城）如图，线段AB＝2，以AB为直径画半圆，圆心为A1，以AA1为直径画半圆①；取A1B的中点A2，以A1A2为直径画半圆②；取A2B的中点A3，以A2A3为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为 π ．
【分析】由AB＝2，可得半圆①弧长为π，半圆②弧长为（）2π，半圆③弧长为（）3π，......半圆⑧弧长为（）8π，即可得8个小半圆的弧长之和为π+（）2π+（）3π+...+（）8π＝π．
【解析】∵AB＝2，
∴AA1＝1，半圆①弧长为＝π，
同理A1A2＝，半圆②弧长为＝（）2π，
A2A3＝，半圆③弧长为＝（）3π，
.....．
半圆⑧弧长为＝（）8π，
∴8个小半圆的弧长之和为π+（）2π+（）3π+...+（）8π＝π．
故答案为：π．
19．（2022•十堰）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，50节链条总长度为 91 cm．
【分析】先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答．
【解析】由题意得：
1节链条的长度＝2.8cm，
2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，
3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，
..．
∴50节链条总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），
故答案为：91．
20．（2022•常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；…；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 6 ．
【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增加4，如第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为2+2×2+1×2＝8＝4+4×1（边），分成两个图形；第二次，边数为：8﹣2+2×2+2×1＝12＝4+4×2，分成三个图形；……；当剪第n刀时，边数为4+4n，分成（n+1）个图形；令n＝9即可得出结论．
【解析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增加4，
第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为2+2×2+1×2＝8＝4+4×1（边），分成两个图形；
第二次，边数为：8﹣2+2×2+2×1＝12＝4+4×2，分成三个图形；……；
当剪第n刀时，边数为4+4n，分成（n+1）个图形；
∵最后得到10张纸片，设还有一张多边形纸片的边数为m，
∴令n＝9，有4+4×9＝5+3×3+5×4+m，
解得m＝6．
故答案为：6．
21．（2022•德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：
其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……
……
由此类推，图④中第五个正六边形数是 45 ．
【分析】根据前三个图形的变化寻找规律，即可解决问题．
【解析】图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……
图③的点数叫做五边形数，从上至下第一个五边形数是1，第二个五边形数是1+4＝5，第三个五边形数是1+4+7＝12，……
由此类推，图④中第五个正六边形数是1+5+9+13+17＝45．
故答案为：45．
22．（2022•遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 127 ．
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【解析】∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（个），
故答案为：127．
23．（2022•黑龙江）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有 485 ．
【分析】由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2＝17个正三角形，第三个图形中17×3+2＝53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2＝161个正三角形，第五个图形中161×3+2＝485个正三角形．
【解析】第一个图形正三角形的个数为5，
第二个图形正三角形的个数为5×3+2＝2×32﹣1＝17，
第三个图形正三角形的个数为17×3+2＝2×33﹣1＝53，
第四个图形正三角形的个数为53×3+2＝2×34﹣1＝161，
第五个图形正三角形的个数为161×3+2＝2×35﹣1＝485．
如果是第n个图，则有2×3n﹣1个
故答案为：485．
24．（2022•黑龙江）如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 OC 上．
【分析】根据规律得出每6个数为一周期．用2013除以6，根据余数来决定数2013在哪条射线上．
【解析】∵1在射线OA上，
2在射线OB上，
3在射线OC上，
4在射线OD上，
5在射线OE上，
6在射线OF上，
7在射线OA上，
…
每六个一循环，
2013÷6＝335…3，
∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，
∴所描的第2013个点在射线OC上．
故答案为：OC．
三．解答题（共2小题）
25．（2022•嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ 3×4×100+25 ；
……
（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【分析】（1）根据规律直接得出结论即可；
（2）根据＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25即可得出结论；
（3）根据题意列出方程求解即可．
【解析】（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，
故答案为：3×4×100+25；
（2）＝100a（a+1）+25，理由如下：
＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；
（3）由题知，﹣100a＝2525，
即100a2+100a+25﹣100a＝2525，
解得a＝5或﹣5（舍去），
∴a的值为5．
26．（2022•安徽）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： （2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【解析】（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，
故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；
（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，
证明：左边＝4n2+4n+1，
右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2
＝4n2+4n+1，
∴左边＝右边．
∴等式成立．
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专题30规律探究问题
一．选择题（共10小题）
1．（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据：，﹣，，﹣，，﹣，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】把第3个数转化为：，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是n2+1，且奇数项是正，偶数项是负，据此即可求解．
【解析】原数据可转化为：，﹣，，﹣，，﹣，…，
∴＝（﹣1）1+1，
﹣＝（﹣1）2+1，
＝（﹣1）3+1，
..．
∴第n个数为：（﹣1）n+1，
∴第10个数为：（﹣1）10+1＝﹣．
故选：A．
2．（2022•牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据给出的数据可以推算出第n个数是×（﹣1）n+1所以第12个数字把n＝12代入求值即可．
【解析】根据给出的数据特点可知第n个数是×（﹣1）n+1，
∴第12个数就是×（﹣1）12+1＝﹣．
故选：D．
3．（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．（2n﹣1）xn B．（2n+1）xn C．（n﹣1）xn D．（n+1）xn
【分析】根据题目中的单项式，可以发现系数是一些连续的奇数，x的指数是一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式．
【解析】∵单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，
∴第n个单项式为（2n﹣1）xn，
故选：A．
4．（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．104
【分析】由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，则得出前9行有45个偶数，且第45个偶数为90，得出第10行第5个数即可．
【解析】由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，
则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个偶数，
∴第9行最后一个数为90，
∴第10行第5个数是90+2×5＝100，
故选：B．
5．（2022•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
【分析】根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，得出第n个图形需要的小木棒根数即可．
【解析】由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）个小木棒，
当8n﹣2＝2022时，
解得n＝253，
故选：B．
6．（2022•玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．0
【分析】分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到A点，黑跳棋跳到F点，可得结论．
【解析】∵红跳棋从A点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，
∴红跳棋每过6秒返回到A点，
2022÷6＝337，
∴经过2022秒钟后，红跳棋跳回到A点，
∵黑跳棋从A点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，
∴黑跳棋每过18秒返回到A点，
2022÷18＝112•••6，
∴经过2022秒钟后，黑跳棋跳到E点，
连接AE，过点F作FM⊥AE，
由题意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，
∴∠FAE＝30°，
在Rt△AFM中，AM＝AF＝，
∴AE＝2AM＝2，
∴经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是2．
故选：B．
7．（2022•江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【解析】第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3＝10，
故选：B．
8．（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
【分析】根据图形的变化规律得出第n个图形中有4n+1个正方形即可．
【解析】由题知，第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，
第③个图案中有13个正方形，
第④个图案中有17个正方形，
…，
第n个图案中有4n+1个正方形，
∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，
故选：C．
9．（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
【分析】根据前面三个图案中菱形的个数，得出规律，第n个图案中菱形有（2n﹣1）个，从而得出答案．
【解析】由图形知，第①个图案中有1个菱形，
第②个图案中有3个菱形，即1+2＝3，
第③个图案中有5个菱形即1+2+2＝5，
……
则第n个图案中菱形有1+2（n﹣1）＝（2n﹣1）个，
∴第⑥个图案中有2×6﹣1＝11个菱形，
故选：C．
10．（2022•荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBn∁nDn的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接A1C1，D1B1，可知四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的一半，则S1＝ab，再根据三角形中位线定理可得C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，则S2＝C1×B1D1＝ab，依此可得规律．
【解析】如图，连接A1C1，D1B1，
∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1BCC1是矩形，
∴A1C1＝BC，A1C1∥BC，
同理，B1D1＝AB，B1D1∥AB，
∴A1C1⊥B1D1，
∴S1＝ab，
∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，
∴C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，
∴S2＝C1×B1D1＝ab，
……
依此可得Sn＝，
故选：A．
二．填空题（共14小题）
11．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足+＝．则a4＝ ，a2022＝ ．
【分析】由题意可得an＝，即可求解．
【解析】由题意可得：a1＝2＝，a2＝＝，a3＝，
∵+＝，
∴2+＝7，
∴a4＝＝，
∵＝，
∴a5＝，
同理可求a6＝＝，•••
∴an＝，
∴a2022＝，
故答案为：，．
12．（2022•宿迁）按规律排列的单项式：x，﹣x3，x5，﹣x7，x9，…，则第20个单项式是 ﹣x39 ．
【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可．
【解析】根据前几项可以得出规律，奇数项为正，偶数项为负，第n项的数为（﹣1）n+1×x2n﹣1，
则第20个单项式是（﹣1）21×x39＝﹣x39，
故答案为：﹣x39．
13．（2022•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 744 ．
【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．
【解析】由图可知，
第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有3个数，
•••••••
第n行有n个数．
∴前n行共有个数．
∴前27行共有378个数，
∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．
∵这些数都是正偶数，
∴第372个数为372×2＝744．
故答案为：744．
14．（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是 （10，18） ．
【分析】根据第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n﹣1）个数即可得出答案．
【解析】∵第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n﹣1）个数，
∴99＝102﹣1在第10行倒数第二个，
第10行有：2×10﹣1＝19个数，
∴99的有序数对是（10，18）．
故答案为：（10，18）．
15．（2022•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料 根．
【分析】观察图形可得：第n个图形最底层有n根木料，据此可得答案．
【解析】由图可知：
第一个图形有木料1根，
第二个图形有木料1+2＝3（根），
第三个图形有木料1+2+3＝6（根），
第四个图形有木料1+2+3+4＝10（根），
.....．
第n个图有木料1+2+3+4+......+n＝（根），
故答案为：．
16．（2022•大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是 49 ．
【分析】从数字找规律，进行计算即可解答．
【解析】由题意得：
第一个图案中的“”的个数是：4＝4+3×0，
第二个图案中的“”的个数是：7＝4+3×1，
第三个图案中的“”的个数是：10＝4+3×2，
..．
∴第16个图案中的“”的个数是：4+3×15＝49，
故答案为：49．
17．（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为 （1+）2022 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出前几项，然后即可得到PnKn的式子，从而可以写出线段P2023K2023的长．
【解析】由题意可得，
P1K1＝OP1•tan60°＝1×＝，
P2K2＝OP2•tan60°＝（1+）×＝（1+），
P3K3＝OP3•tan60°＝（1+++3）×＝（1+）2，
P4K4＝OP4•tan60°＝[（1+++3）+（1+）2]×＝（1+）3，
…，
PnKn＝（1+）n﹣1，
∴当n＝2023时，P2023K2023＝（1+）2022，
故答案为：（1+）2022．
18．（2022•聊城）如图，线段AB＝2，以AB为直径画半圆，圆心为A1，以AA1为直径画半圆①；取A1B的中点A2，以A1A2为直径画半圆②；取A2B的中点A3，以A2A3为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为 π ．
【分析】由AB＝2，可得半圆①弧长为π，半圆②弧长为（）2π，半圆③弧长为（）3π，......半圆⑧弧长为（）8π，即可得8个小半圆的弧长之和为π+（）2π+（）3π+...+（）8π＝π．
【解析】∵AB＝2，
∴AA1＝1，半圆①弧长为＝π，
同理A1A2＝，半圆②弧长为＝（）2π，
A2A3＝，半圆③弧长为＝（）3π，
.....．
半圆⑧弧长为＝（）8π，
∴8个小半圆的弧长之和为π+（）2π+（）3π+...+（）8π＝π．
故答案为：π．
19．（2022•十堰）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，50节链条总长度为 91 cm．
【分析】先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答．
【解析】由题意得：
1节链条的长度＝2.8cm，
2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，
3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，
..．
∴50节链条总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），
故答案为：91．
20．（2022•常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；…；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 6 ．
【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增加4，如第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为2+2×2+1×2＝8＝4+4×1（边），分成两个图形；第二次，边数为：8﹣2+2×2+2×1＝12＝4+4×2，分成三个图形；……；当剪第n刀时，边数为4+4n，分成（n+1）个图形；令n＝9即可得出结论．
【解析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增加4，
第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为2+2×2+1×2＝8＝4+4×1（边），分成两个图形；
第二次，边数为：8﹣2+2×2+2×1＝12＝4+4×2，分成三个图形；……；
当剪第n刀时，边数为4+4n，分成（n+1）个图形；
∵最后得到10张纸片，设还有一张多边形纸片的边数为m，
∴令n＝9，有4+4×9＝5+3×3+5×4+m，
解得m＝6．
故答案为：6．
21．（2022•德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：
其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……
……
由此类推，图④中第五个正六边形数是 45 ．
【分析】根据前三个图形的变化寻找规律，即可解决问题．
【解析】图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……
图③的点数叫做五边形数，从上至下第一个五边形数是1，第二个五边形数是1+4＝5，第三个五边形数是1+4+7＝12，……
由此类推，图④中第五个正六边形数是1+5+9+13+17＝45．
故答案为：45．
22．（2022•遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 127 ．
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【解析】∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（个），
故答案为：127．
23．（2022•黑龙江）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有 485 ．
【分析】由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2＝17个正三角形，第三个图形中17×3+2＝53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2＝161个正三角形，第五个图形中161×3+2＝485个正三角形．
【解析】第一个图形正三角形的个数为5，
第二个图形正三角形的个数为5×3+2＝2×32﹣1＝17，
第三个图形正三角形的个数为17×3+2＝2×33﹣1＝53，
第四个图形正三角形的个数为53×3+2＝2×34﹣1＝161，
第五个图形正三角形的个数为161×3+2＝2×35﹣1＝485．
如果是第n个图，则有2×3n﹣1个
故答案为：485．
24．（2022•黑龙江）如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 OC 上．
【分析】根据规律得出每6个数为一周期．用2013除以6，根据余数来决定数2013在哪条射线上．
【解析】∵1在射线OA上，
2在射线OB上，
3在射线OC上，
4在射线OD上，
5在射线OE上，
6在射线OF上，
7在射线OA上，
…
每六个一循环，
2013÷6＝335…3，
∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，
∴所描的第2013个点在射线OC上．
故答案为：OC．
三．解答题（共2小题）
25．（2022•嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ 3×4×100+25 ；
……
（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【分析】（1）根据规律直接得出结论即可；
（2）根据＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25即可得出结论；
（3）根据题意列出方程求解即可．
【解析】（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，
故答案为：3×4×100+25；
（2）＝100a（a+1）+25，理由如下：
＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；
（3）由题知，﹣100a＝2525，
即100a2+100a+25﹣100a＝2525，
解得a＝5或﹣5（舍去），
∴a的值为5．
26．（2022•安徽）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： （2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【解析】（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，
故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；
（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，
证明：左边＝4n2+4n+1，
右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2
＝4n2+4n+1，
∴左边＝右边．
∴等式成立．
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