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初中数学中考复习 专题24：第4章解三角形之其他类型-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 专题24：第4章解三角形之其他类型-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版），共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
24第4章解三角形之其他类型
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，两根竹竿和都斜靠在墙上，测得，则两竹竿的长度之比等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．
【详解】
根据题意：
在Rt△ABC中，，则，
在Rt△ACD中，，则，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
2．我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在 A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为( )．(参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60)
A．12千米 B．(3+4)千米 C．(3+5)千米 D．(12﹣4)千米
【答案】B
【解析】
【分析】
作BD⊥AC，在Rt△ABD中求得AD、BD，利用sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，求得tan53°的值，再在Rt△BCD中求得CD，由AC=AD+CD即可得到结论．
【详解】
如图，作BD⊥AC于点D，则∠BAD=60°、∠DBC=53°，
在Rt△ABD中，AB=6，
AD=AB==3，BD=AD=3，
∵sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，
∴tan53°=，
在Rt△BCD中，
∵tan53°=，
∴CD=BD=，
AC=AD+CD=3+(千米)，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用同角三角函数的关系求得tan53°的值是解题的关键．
3．如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知，易求得，延长交于，可得，则，再过点作，设，则，，，在中，根据，代入数值，即可求解．
【详解】
解：如图
∵ ，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，延长交于，
∴ ，则， ，
过点作，设，则，，
∴，
∴在中，，即，
解得：，
∴．
故选B．
【点睛】
本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键．
4．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】
解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：
由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．
5．如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比），山坡坡底C点到坡顶D点的距离，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（ ）
（参考数据：，，）
A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m
【答案】B
【解析】
【分析】
构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB．
【详解】
解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，
在RtDEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴＝＝，
设DE＝4x，则EC＝3x，
由勾股定理可得CD＝5x，
又CD＝45，即5x＝45，
∴x＝9，
∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，
在RtADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，
故选：B．
【点睛】
本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
6．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，BE＝2，则tan∠CDB的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，设AD=x 则AE=x-2。利用cosA=，求出x,再利用勾股定理和解直角三角形边角关系求出解即可.
【详解】
解：设菱形ABCD边长为x，
∵BE＝2，
∴AE＝x﹣2，
∵cosA＝，
∴＝，
∴＝，
∴x＝5，
∴AE＝5﹣2＝3，
∴DE＝＝4，
∴tan∠CDB＝tan∠DBE＝＝＝2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形性质，解直角三角形边角关系转化，以及勾股定理.此题利用等角的三角函数值相等进行转化求解.
7．如图，一艘快艇从O港出发，向西北方向行驶到M处，然后向正东行驶到N处，再向西南方向行驶，共经过1.5小时回到O港，已知快艇的速度是每小时50海里，则M，N之间的距离是（ ）海里
A．75﹣75 B． C．75 D．50
【答案】A
【解析】
【分析】
先证出△MON为等腰直角三角形，OM＝ON＝MN，根据题意可得OM+OM+MN＝75，由此即可求得M，N之间的距离．
【详解】
如图所示：
由题意得：∠NOC＝45°，∠MOD＝45°，
∴∠MON＝90°，
∵MN∥x轴，
∴∠MNO＝∠NOC＝45°，∠NMO＝∠MOD＝45°，
∴△MON为等腰直角三角形，
∴OM＝ON＝MN，
∵OM+OM+MN＝50×1.5＝75（海里），
∴MN+MN+MN＝75，
解得：MN＝（75﹣75）海里，
即M，N之间的距离是（75﹣75）海里；
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，根据题意证得△MON为等腰直角三角形是解决问题的关键．
二、填空题
8．2018年10月21日，河间市诗经国际马拉松比赛拉开帷幕，电视台动用无人机航拍技术全程录像．如图，是无人机观测AB两选手在某水平公路奔跑的情况，观测选手A处的俯角为，选手B处的俯角为45º．如果此时无人机镜头C处的高度CD＝20米，则AB两选手的距离是_______米．
【答案】
【解析】
【分析】
在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可；
【详解】
由已知可得，，CD=20，
∵于点D，
∴在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，准确理解和计算是解题的关键．
9．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为_____．(参考数据：tan37°≈，tan53°≈)
【答案】300m
【解析】
【分析】
如图，作CE⊥BA于E．设EC=x m，BE=y m．由题意可构建方程组求出x，y即可解决问题．
【详解】
解：如图，作CE⊥BA于E．设EC=xm，BE=ym．
在Rt△ECB中，tan53°=，即，
在Rt△AEC中，tan37°=，即，
解得x=180，y=135，
∴AC==300(m)，
故答案为：300m．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用方程思想解决问题．
10．如图，是高为30米的某一建筑，在水塘的对面有一段以为坡面的斜坡，小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为，若坡面的坡度为，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
延长CB、AD交于F点，作，由题意得：，，，，设，则，，，解出即可得出答案．
【详解】
解：延长CB、AD交于F点，作
小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为
在中，
又坡面的坡度为
则
设，则，
解得：
（米）
故答案为：．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，根据俯角、坡度的定义得出角的关系，利用特殊的三角函数值、构造直角三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
三、解答题
11．（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．
（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．
（1）数据6400000用科学记数法表示为 ；
（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】（1）6.4×106；（2）2399.54m
【解析】
【分析】
（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．解直角三角形求出DB，加上海拔高度，加上球气差即可．
【详解】
解：（1）6400000＝6.4×106，
故答案为6.4×106．
（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．
由题意AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，
在Rt△ECH中，EH＝CH•tan37°≈600（m），
∴DB＝600﹣DE+BH＝599.5（m），
由题意f＝≈0.043（m），
∴山的海拔高度＝599.5+0.043+1800≈2399.54（m）．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，科学记数法等知识，解题的关键是理解题意，学会构造直角三角形解决问题．
12．如图，我国某边防哨所树立了“祖国在我心中”建筑物，它的横截面为四边形BCNM，其中BC⊥CN，BM∥CN，建筑物顶上有一旗杆AB，士兵小明站在D处，由E点观察到旗杆顶部A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，已知旗杆AB=2.8米，DE=1.8米．（参考数据：sin52°≈0.788，tan52°≈1.280）
（1）求建筑物的高度BC；
（2）建筑物长50米，背风坡MN的坡度i=1：0.5，为提高建筑物抗风能力，士兵们在背风坡填筑土石方加固，加固后建筑物顶部加宽4.2米，背风坡GH的坡度为i=1：1.5，施工10天后，边防居民为士兵支援的机械设备终于到达，这样工作效率提高到了原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，士兵们原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
【答案】（1）建筑物的高度BC为11.8m；（2）士兵们原计划平均每天填筑土石方157立方米．
【解析】
【分析】
(1)根据题意得出EF=BF，进而利用tan∠AEF=即可得出答案；
(2)利用坡比的定义得出QN，QH的长，进而利用梯形面积求法求出总的土方量，进而得出答案．
【详解】
(1)如图所示：过点E作EF⊥BF交BC于点F，设EF=，
则根据题意可得：∠BEF=45, ∠AEF=52,
∴BF=，
同理可知tan∠AEF==≈1.28，
解得：，
即BC=10+1.8=11.8(m)．
答：建筑物的高度BC为11.8m；
(2)如图所示：过点M，G分别作MQ、GP垂直于CN，交CN于点Q、P，
∵背风坡MN的坡度i=1：0.5，背风坡GH的坡度为i=1：1.5，
∴=0.5，=1.5，
∴QN=0.5×11.8=5.9(m)，PH=1.5GP=1.5×11.8=17.7(m)，
∴NH=17.7﹣5.9=11.8(m)，
∴横截面的面积为： (MG+NH)×PG=(4.2+11.8)×11.8=94.4()，
故可得加固所需土石方为：94.4×50=4720()，
设计划平均每天填筑土石方立方米，
则根据题意可列方程：
，
解得：．
答：士兵们原计划平均每天填筑土石方157立方米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，把实际问题转化为解直角三角形问题，再正确得出QH，NH的长是解题关键．
13．如图，海岛B在海岛A的北偏东方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（1）求的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：）
【答案】（1）；（2）快艇的速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．
【解析】
【分析】
（1）过点B作于点D，作于点E，根据题意求出∠ABD和∠ADE的度数，即可求解；
（2）求出BE的长度，根据解直角三角形求出BF和EF的长度，在中，求出AD、BD的长度，证出四边形为矩形，可求得快艇的速度和CE之间的距离．
【详解】
（1）过点B作于点D，作于点E．
由题意得：，，
∵，
∴，
而
∴．
（2）（海里）
在中，，
（海里），
（海里），
在中，，
（海里），
（海里），
∵，，，∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴
，
设快艇的速度为v海里/时，则（海里时）
答：快艇的速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．
【点睛】
本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用−方位角问题，理清题中各个角的度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
14．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
（1）如图1，在四边形中，，，对角线平分．求证：是四边形的“相似对角线”；
（2）如图2，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；
（2）由题可证的，得到，过点E作，可得出EQ，根据即可求解；
【详解】
（1）证明：∵，平分，
∴，
∴．
∵，
∴．，
∴
∴是四边形ABCD的“相似对角线”．
（2）∵是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴三角形EFH与三角形HFG相似．
又，
∴，
∴，
∴．
过点E作，垂足为．
则．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相关知识是解题的关键．
15．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）
【答案】第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地，理由见解析
【解析】
【分析】
法1：过点B作BD AC于D，在中证得，设，则，在中，，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在中，利用三角函数表示出CD的长，由AD＋CD＝AC列出方程问题得解；法2与法1辅助组相同，不同点是法2是在BCD中，利用三角定义列方程求解．
【详解】
方法1：
解：作于D．依题意得，
，，
，
．
在中，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，，
，
（或者由勾股定理得）
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
第一组用时：；第二组用时：
，
∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
方法2：
解：于点D，
依题意得：，，．
，
，
在中，，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
第一组用时：；第二组用时：
，
第二组先到达目的地．
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
16．如图，某数学活动小组要测量建筑物的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．
测量项目
测量数据
测角仪到地面的距离
点到建筑物的距离
从处观测建筑物顶部的仰角
从处观测建筑物底部的俯角
请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：．）（选择一种方法解答即可）
【答案】
【解析】
【分析】
第一种选择：选取，解直角三角形ACE求得AE，根据AE+EB即可得到结论；第二种选择：选取，先解直角三角形BCD求出BD的长，再解直角三角形ACE求出AE的长，根据AE+EB即可得到结论；第三种选择：选取，，求出CD和AE的长即可．
【详解】
解：第一种选择：
选取‘
∴四边形为矩形
在中，
答：建筑物的高度约为．
第二种选择
选取
∴四边形为矩形
在中，
在中，
答：建筑物的高度的为．
第三种选择
选取，
∴四边形为矩形
在中，
在中，
答：建筑物的高度约为．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上处的临皋亭和处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临皋亭P处的距离．
（2）求临皋亭处与遗爱亭处之间的距离（计算结果保留根号）
【答案】（1）；（2）米
【解析】
【分析】
（1）过点作于点M．设，在中，得到，在中，得到，根据得到关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值，进而A处到临皋亭的距离即可求解；
（2）过点作于点，在中，得到，在中，得到，根据求解即可．
【详解】
解：（1）依题意有．
过点作于点M．设，则
在中，．
在中，．
又，
∴点A处与点处临皋亭之间的距离为．
（2）过点作于点．
在中，．
．
在中，．
．
．
．
∴点处临亭与点处遗爱亭之间的距离为．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，作出合适的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
18．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里，（计算结果保留根号）
（1）求出此时点A到军港C的距离；
（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达A＇时，测得军港B在A＇的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．
【答案】（1）海里；（2）海里．
【解析】
【分析】
（1）延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，在中利用利用三角函数即可求解；
（2）过点A＇作A＇N⊥BC于点N，可证A＇B平分∠CBA，根据角平分线的性质、三角函数即可求解．
【详解】
解：（1）延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D
由题意可得：∠CBD，BC=120
则DC=60
故
解得：AC=
答：此时点A到军港C的距离为海里；
（2）过点A＇作A＇N⊥BC于点N
可得∠1=，∠BA＇A=
则∠2=，即A＇B平分∠CBA
设AA＇=x，则A＇E=
故CA＇=2A＇N=
∵
∴
答：此时“昆明舰”的航行距离为海里．
【点睛】
此题主要考查方向角的应用，灵活运用三角函数是解题关键．
19．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？
【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm
【解析】
【分析】
（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．
（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；
（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
【详解】
解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得：，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）正确，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度，
∴，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴，
∴AH==200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【点睛】
本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C（1，1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点为M，与x轴正半轴交于A，B两点．
（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；
（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝OC，若∠ONA＝∠OBN且tan∠BAM＝，求抛物线的解析式；
（3）如图3，已知以直线x＝为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于（0，5），交直线l：y＝kx+m（k＞0）于C，D两点，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，求k的值．
【答案】（1）；（2）y＝2x2﹣9x+8；（3）k＝．
【解析】
【分析】
（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；
（2）△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝4，即mn＝4…①，则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣n），MH＝|yM|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，AH═﹣m，tan∠BAM＝＝a（n﹣m）＝，化简得：a（n﹣m）＝…②，将（1，1）代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化简得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，联立①②③即可求解；
（3）抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），则k＝＝m﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，即可求解．
【详解】
（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；
（2）ON＝OC＝4，设点A、B的坐标分别为：（m，0）、（n，0），
∠ONA＝∠OBN，则△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝4，即mn＝4…①，
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣n），
过点M作MH⊥AB交AB于点H，函数的对称轴为：x＝（m+n），
则MH＝|yM|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，
AH＝xM﹣xA＝﹣m
tan∠BAM＝＝a（n﹣m）＝，
化简得：a（n﹣m）＝…②，
将（1，1）代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化简得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，
联立①②③并解得：m＝，n＝，a＝2，
则抛物线的表达式为y＝a（x﹣m）（x﹣n）＝a（x2﹣mx﹣nx+mn）＝2x2﹣9x+8；
（3）由题意得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；
设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），
则k＝＝m﹣4，
若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，
则点H（，），则HP＝HC，
即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，
化简得：3m2﹣18m+19＝0，
解得：m＝3+（不合题意的值已舍去），
k＝m﹣4＝．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、解直角三角形、三角形相似等，综合性很强，数据处理技巧多，难度大．
24第4章解三角形之其他类型
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，两根竹竿和都斜靠在墙上，测得，则两竹竿的长度之比等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．
【详解】
根据题意：
在Rt△ABC中，，则，
在Rt△ACD中，，则，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
2．我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在 A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为( )．(参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60)
A．12千米 B．(3+4)千米 C．(3+5)千米 D．(12﹣4)千米
【答案】B
【解析】
【分析】
作BD⊥AC，在Rt△ABD中求得AD、BD，利用sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，求得tan53°的值，再在Rt△BCD中求得CD，由AC=AD+CD即可得到结论．
【详解】
如图，作BD⊥AC于点D，则∠BAD=60°、∠DBC=53°，
在Rt△ABD中，AB=6，
AD=AB==3，BD=AD=3，
∵sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，
∴tan53°=，
在Rt△BCD中，
∵tan53°=，
∴CD=BD=，
AC=AD+CD=3+(千米)，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用同角三角函数的关系求得tan53°的值是解题的关键．
3．如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知，易求得，延长交于，可得，则，再过点作，设，则，，，在中，根据，代入数值，即可求解．
【详解】
解：如图
∵ ，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，延长交于，
∴ ，则， ，
过点作，设，则，，
∴，
∴在中，，即，
解得：，
∴．
故选B．
【点睛】
本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键．
4．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】
解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：
由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．
5．如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比），山坡坡底C点到坡顶D点的距离，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（ ）
（参考数据：，，）
A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m
【答案】B
【解析】
【分析】
构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB．
【详解】
解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，
在RtDEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴＝＝，
设DE＝4x，则EC＝3x，
由勾股定理可得CD＝5x，
又CD＝45，即5x＝45，
∴x＝9，
∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，
在RtADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，
故选：B．
【点睛】
本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
6．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，BE＝2，则tan∠CDB的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，设AD=x 则AE=x-2。利用cosA=，求出x,再利用勾股定理和解直角三角形边角关系求出解即可.
【详解】
解：设菱形ABCD边长为x，
∵BE＝2，
∴AE＝x﹣2，
∵cosA＝，
∴＝，
∴＝，
∴x＝5，
∴AE＝5﹣2＝3，
∴DE＝＝4，
∴tan∠CDB＝tan∠DBE＝＝＝2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形性质，解直角三角形边角关系转化，以及勾股定理.此题利用等角的三角函数值相等进行转化求解.
7．如图，一艘快艇从O港出发，向西北方向行驶到M处，然后向正东行驶到N处，再向西南方向行驶，共经过1.5小时回到O港，已知快艇的速度是每小时50海里，则M，N之间的距离是（ ）海里
A．75﹣75 B． C．75 D．50
【答案】A
【解析】
【分析】
先证出△MON为等腰直角三角形，OM＝ON＝MN，根据题意可得OM+OM+MN＝75，由此即可求得M，N之间的距离．
【详解】
如图所示：
由题意得：∠NOC＝45°，∠MOD＝45°，
∴∠MON＝90°，
∵MN∥x轴，
∴∠MNO＝∠NOC＝45°，∠NMO＝∠MOD＝45°，
∴△MON为等腰直角三角形，
∴OM＝ON＝MN，
∵OM+OM+MN＝50×1.5＝75（海里），
∴MN+MN+MN＝75，
解得：MN＝（75﹣75）海里，
即M，N之间的距离是（75﹣75）海里；
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，根据题意证得△MON为等腰直角三角形是解决问题的关键．
二、填空题
8．2018年10月21日，河间市诗经国际马拉松比赛拉开帷幕，电视台动用无人机航拍技术全程录像．如图，是无人机观测AB两选手在某水平公路奔跑的情况，观测选手A处的俯角为，选手B处的俯角为45º．如果此时无人机镜头C处的高度CD＝20米，则AB两选手的距离是_______米．
【答案】
【解析】
【分析】
在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可；
【详解】
由已知可得，，CD=20，
∵于点D，
∴在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，准确理解和计算是解题的关键．
9．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为_____．(参考数据：tan37°≈，tan53°≈)
【答案】300m
【解析】
【分析】
如图，作CE⊥BA于E．设EC=x m，BE=y m．由题意可构建方程组求出x，y即可解决问题．
【详解】
解：如图，作CE⊥BA于E．设EC=xm，BE=ym．
在Rt△ECB中，tan53°=，即，
在Rt△AEC中，tan37°=，即，
解得x=180，y=135，
∴AC==300(m)，
故答案为：300m．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用方程思想解决问题．
10．如图，是高为30米的某一建筑，在水塘的对面有一段以为坡面的斜坡，小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为，若坡面的坡度为，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
延长CB、AD交于F点，作，由题意得：，，，，设，则，，，解出即可得出答案．
【详解】
解：延长CB、AD交于F点，作
小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为
在中，
又坡面的坡度为
则
设，则，
解得：
（米）
故答案为：．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，根据俯角、坡度的定义得出角的关系，利用特殊的三角函数值、构造直角三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
三、解答题
11．（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．
（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．
（1）数据6400000用科学记数法表示为 ；
（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】（1）6.4×106；（2）2399.54m
【解析】
【分析】
（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．解直角三角形求出DB，加上海拔高度，加上球气差即可．
【详解】
解：（1）6400000＝6.4×106，
故答案为6.4×106．
（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．
由题意AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，
在Rt△ECH中，EH＝CH•tan37°≈600（m），
∴DB＝600﹣DE+BH＝599.5（m），
由题意f＝≈0.043（m），
∴山的海拔高度＝599.5+0.043+1800≈2399.54（m）．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，科学记数法等知识，解题的关键是理解题意，学会构造直角三角形解决问题．
12．如图，我国某边防哨所树立了“祖国在我心中”建筑物，它的横截面为四边形BCNM，其中BC⊥CN，BM∥CN，建筑物顶上有一旗杆AB，士兵小明站在D处，由E点观察到旗杆顶部A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，已知旗杆AB=2.8米，DE=1.8米．（参考数据：sin52°≈0.788，tan52°≈1.280）
（1）求建筑物的高度BC；
（2）建筑物长50米，背风坡MN的坡度i=1：0.5，为提高建筑物抗风能力，士兵们在背风坡填筑土石方加固，加固后建筑物顶部加宽4.2米，背风坡GH的坡度为i=1：1.5，施工10天后，边防居民为士兵支援的机械设备终于到达，这样工作效率提高到了原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，士兵们原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
【答案】（1）建筑物的高度BC为11.8m；（2）士兵们原计划平均每天填筑土石方157立方米．
【解析】
【分析】
(1)根据题意得出EF=BF，进而利用tan∠AEF=即可得出答案；
(2)利用坡比的定义得出QN，QH的长，进而利用梯形面积求法求出总的土方量，进而得出答案．
【详解】
(1)如图所示：过点E作EF⊥BF交BC于点F，设EF=，
则根据题意可得：∠BEF=45, ∠AEF=52,
∴BF=，
同理可知tan∠AEF==≈1.28，
解得：，
即BC=10+1.8=11.8(m)．
答：建筑物的高度BC为11.8m；
(2)如图所示：过点M，G分别作MQ、GP垂直于CN，交CN于点Q、P，
∵背风坡MN的坡度i=1：0.5，背风坡GH的坡度为i=1：1.5，
∴=0.5，=1.5，
∴QN=0.5×11.8=5.9(m)，PH=1.5GP=1.5×11.8=17.7(m)，
∴NH=17.7﹣5.9=11.8(m)，
∴横截面的面积为： (MG+NH)×PG=(4.2+11.8)×11.8=94.4()，
故可得加固所需土石方为：94.4×50=4720()，
设计划平均每天填筑土石方立方米，
则根据题意可列方程：
，
解得：．
答：士兵们原计划平均每天填筑土石方157立方米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，把实际问题转化为解直角三角形问题，再正确得出QH，NH的长是解题关键．
13．如图，海岛B在海岛A的北偏东方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（1）求的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：）
【答案】（1）；（2）快艇的速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．
【解析】
【分析】
（1）过点B作于点D，作于点E，根据题意求出∠ABD和∠ADE的度数，即可求解；
（2）求出BE的长度，根据解直角三角形求出BF和EF的长度，在中，求出AD、BD的长度，证出四边形为矩形，可求得快艇的速度和CE之间的距离．
【详解】
（1）过点B作于点D，作于点E．
由题意得：，，
∵，
∴，
而
∴．
（2）（海里）
在中，，
（海里），
（海里），
在中，，
（海里），
（海里），
∵，，，∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴
，
设快艇的速度为v海里/时，则（海里时）
答：快艇的速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．
【点睛】
本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用−方位角问题，理清题中各个角的度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
14．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
（1）如图1，在四边形中，，，对角线平分．求证：是四边形的“相似对角线”；
（2）如图2，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；
（2）由题可证的，得到，过点E作，可得出EQ，根据即可求解；
【详解】
（1）证明：∵，平分，
∴，
∴．
∵，
∴．，
∴
∴是四边形ABCD的“相似对角线”．
（2）∵是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴三角形EFH与三角形HFG相似．
又，
∴，
∴，
∴．
过点E作，垂足为．
则．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相关知识是解题的关键．
15．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）
【答案】第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地，理由见解析
【解析】
【分析】
法1：过点B作BD AC于D，在中证得，设，则，在中，，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在中，利用三角函数表示出CD的长，由AD＋CD＝AC列出方程问题得解；法2与法1辅助组相同，不同点是法2是在BCD中，利用三角定义列方程求解．
【详解】
方法1：
解：作于D．依题意得，
，，
，
．
在中，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，，
，
（或者由勾股定理得）
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
第一组用时：；第二组用时：
，
∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
方法2：
解：于点D，
依题意得：，，．
，
，
在中，，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
第一组用时：；第二组用时：
，
第二组先到达目的地．
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
16．如图，某数学活动小组要测量建筑物的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．
测量项目
测量数据
测角仪到地面的距离
点到建筑物的距离
从处观测建筑物顶部的仰角
从处观测建筑物底部的俯角
请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：．）（选择一种方法解答即可）
【答案】
【解析】
【分析】
第一种选择：选取，解直角三角形ACE求得AE，根据AE+EB即可得到结论；第二种选择：选取，先解直角三角形BCD求出BD的长，再解直角三角形ACE求出AE的长，根据AE+EB即可得到结论；第三种选择：选取，，求出CD和AE的长即可．
【详解】
解：第一种选择：
选取‘
∴四边形为矩形
在中，
答：建筑物的高度约为．
第二种选择
选取
∴四边形为矩形
在中，
在中，
答：建筑物的高度的为．
第三种选择
选取，
∴四边形为矩形
在中，
在中，
答：建筑物的高度约为．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上处的临皋亭和处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临皋亭P处的距离．
（2）求临皋亭处与遗爱亭处之间的距离（计算结果保留根号）
【答案】（1）；（2）米
【解析】
【分析】
（1）过点作于点M．设，在中，得到，在中，得到，根据得到关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值，进而A处到临皋亭的距离即可求解；
（2）过点作于点，在中，得到，在中，得到，根据求解即可．
【详解】
解：（1）依题意有．
过点作于点M．设，则
在中，．
在中，．
又，
∴点A处与点处临皋亭之间的距离为．
（2）过点作于点．
在中，．
．
在中，．
．
．
．
∴点处临亭与点处遗爱亭之间的距离为．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，作出合适的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
18．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里，（计算结果保留根号）
（1）求出此时点A到军港C的距离；
（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达A＇时，测得军港B在A＇的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．
【答案】（1）海里；（2）海里．
【解析】
【分析】
（1）延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，在中利用利用三角函数即可求解；
（2）过点A＇作A＇N⊥BC于点N，可证A＇B平分∠CBA，根据角平分线的性质、三角函数即可求解．
【详解】
解：（1）延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D
由题意可得：∠CBD，BC=120
则DC=60
故
解得：AC=
答：此时点A到军港C的距离为海里；
（2）过点A＇作A＇N⊥BC于点N
可得∠1=，∠BA＇A=
则∠2=，即A＇B平分∠CBA
设AA＇=x，则A＇E=
故CA＇=2A＇N=
∵
∴
答：此时“昆明舰”的航行距离为海里．
【点睛】
此题主要考查方向角的应用，灵活运用三角函数是解题关键．
19．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？
【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm
【解析】
【分析】
（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．
（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；
（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
【详解】
解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得：，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）正确，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度，
∴，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴，
∴AH==200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【点睛】
本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C（1，1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点为M，与x轴正半轴交于A，B两点．
（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；
（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝OC，若∠ONA＝∠OBN且tan∠BAM＝，求抛物线的解析式；
（3）如图3，已知以直线x＝为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于（0，5），交直线l：y＝kx+m（k＞0）于C，D两点，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，求k的值．
【答案】（1）；（2）y＝2x2﹣9x+8；（3）k＝．
【解析】
【分析】
（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；
（2）△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝4，即mn＝4…①，则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣n），MH＝|yM|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，AH═﹣m，tan∠BAM＝＝a（n﹣m）＝，化简得：a（n﹣m）＝…②，将（1，1）代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化简得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，联立①②③即可求解；
（3）抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），则k＝＝m﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，即可求解．
【详解】
（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；
（2）ON＝OC＝4，设点A、B的坐标分别为：（m，0）、（n，0），
∠ONA＝∠OBN，则△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝4，即mn＝4…①，
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣n），
过点M作MH⊥AB交AB于点H，函数的对称轴为：x＝（m+n），
则MH＝|yM|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，
AH＝xM﹣xA＝﹣m
tan∠BAM＝＝a（n﹣m）＝，
化简得：a（n﹣m）＝…②，
将（1，1）代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化简得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，
联立①②③并解得：m＝，n＝，a＝2，
则抛物线的表达式为y＝a（x﹣m）（x﹣n）＝a（x2﹣mx﹣nx+mn）＝2x2﹣9x+8；
（3）由题意得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；
设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），
则k＝＝m﹣4，
若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，
则点H（，），则HP＝HC，
即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，
化简得：3m2﹣18m+19＝0，
解得：m＝3+（不合题意的值已舍去），
k＝m﹣4＝．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、解直角三角形、三角形相似等，综合性很强，数据处理技巧多，难度大．
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