初中数学中考复习 专题02：平行线之笔尖型-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）

专题02:第1章 平行线之笔尖型

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）

A． B．

C． D．

2．如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（    ）.

A．30° B．40° C．50° D．65°

二、填空题

3．如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是______．

4．如图，已知，那么_______度．

三、解答题

5．如图1、图2，已知∠1+∠2＝180°．

（1）若图1中∠AEF＝∠HLN，试找出图中的平行线，并说明理由；

（2）如图2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，试探究∠P与∠Q的数量关系？（直接写答案，不写过程）．

6．AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．

（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；

（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；

（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．

7．（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．

小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．

（2）问题迁移：

①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，问：∠、、∠之间有何数量关系？请说明理由．

②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠、、∠间的数量关系．

8．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．

思路点拨：

小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；

小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；

小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．

问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为　   　°；

问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

9．(1)同题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．

小明想到一种方法，但是没有解答完：

如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，

∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°

∵AB//CD，∴PE//CD．

……

请你帮助小明完成剩余的解答．

(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：

如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．

10．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，A140，C165．

（1）求B的度数；

（2）当D    °时，AB∥DE？为什么？

参考答案

1．C

【解析】【分析】

过点E作EF∥AB，则EF∥CD，然后通过平行线的性质求解即可．

【详解】

解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图，
    
∵AB∥EF∥CD，
∴∠γ+∠FED=180°，
∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，
∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，
∴∠α+∠β+∠γ=360°，
故选：C．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．

2．B

【解析】【分析】

由题意过点B作直线，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案．

【详解】

解：如图，过点B作直线，

∵直线m//n，，

∴，

∴∠2+∠3=180°，

∵∠2=130°，

∴∠3=50°，

∵∠B=90°，

∴∠4=90°-50°=40°，

∵，

∴∠1=∠4=40°．

故选：B．

【点评】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．

3．540°

【解析】【分析】

分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小．

【详解】

解：如图，根据题意可知：AB∥EF，

分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，

所以AB∥CG∥DH∥EF，

则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°，

∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°，

∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°．

故答案为：540°．

【点评】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小．

4．540

【解析】【分析】

分别过E、F作AB的平行线，运用平行线的性质求解．

【详解】

作EM∥AB，FN∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD．
∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．
故答案为540°．

【点评】此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系．

5．（1）AB∥CD，EF∥HL，理由详见解析；（2）∠P＝3∠Q．

【解析】【分析】

（1），；由同旁内角互补可得；延长 交于，由平行线的性质及已知，可得，从而可判定；

（2）；作，先由平行线的性质推得，从而；同理可得；再将已知代入计算即可得解．

【详解】

解：（1），

理由如下：

，

；

延长 交于

；

（2）

理由如下：

，作，

，

，

同理可得

，

．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线三线八角的基本模型是解题的关键．

6．（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°．

【解析】【分析】

（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；

（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A−∠C；

（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即可得出答案．

【详解】

（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：

如图1所示，过点P作PQ∥AB，

∴∠A+∠APQ＝180°，

又∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠C+∠CPQ＝180°，

∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，

即∠A+∠C+∠APC＝360°；

（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：

如图2所示，过点P作PQ∥AB，

∴∠A＝∠APQ，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠C＝∠CPQ，

∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，

∴∠APC＝∠A−∠C；

（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，

∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，

∴∠PCD＝110°，

∵AB∥CD，

∴∠PQB＝∠PCD＝110°，

∵EF∥PC，

∴∠BEF＝∠PQB＝110°，

∵∠PEG＝∠PEF，

∴∠PEG＝∠FEG，

∵EH平分∠BEG，

∴∠GEH＝∠BEG，

∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH

＝∠FEG−∠BEG

＝∠BEF

＝55°．

【点评】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

7．(1)110°；（2）①；②或

【解析】【分析】

（1）过点P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行线的性质可以求得和的度数，进一步可以得到的度数；

（2）分别过P作PQ//AD，则可得PQ//BC，再由平行线的性质和角的加减运算可以得解．

【详解】

解：（1）如图，过点P作PE//AB，则由平行线的性质可得PE//CD，所以：

，所以：

，

所以，；

（2）①，理由如下：

如图，过P作PQ//AD交DC于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：

，

∵，∴；

②分两种情况讨论：

第一种情况，P在射线AM上，如图，过P作PQ//AD交射线DN于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：

；

第二种情况，点P在OB之间，如图，过P作PQ//AD交射线OD于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：

【点评】本题考查平行线性质的综合应用，在添加辅助线的基础上灵活应用平行线的性质和角的加减运算是解题关键．

8．问题解决：110°；问题迁移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由见解析

【解析】【分析】

小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°．

（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；

（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．

【详解】

解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，

∴∠APC＝50°+60°＝110°，

故答案为：110；

（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：

如图5，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；

（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；

理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；

当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．

理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．

9．(1) 110°，剩余解答见解析；(2) ∠CPD=∠α+∠β，理由见解析

【解析】【分析】

(1)过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°

(2)过P作PE∥AD交CD于E点，推出AD∥PE∥BC，根据平行线性质得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.

【详解】

解：(1)剩余过程：∠CPE+∠PCD=180°，

∴∠CPE=180°-120°=60°

∠APC=50°+60°=110°；

故答案为：110°.

(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：

如下图，过P作PE∥AD交CD于点E，

∵AD∥BC

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β

故答案为：∠CPD=∠α+∠β.

【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考察学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角.

10．（1）°；（2）140°

【解析】【分析】

（1）过点B作BM∥AF，则BM∥AF∥CD，A140，C165，进而即可求解；

（2）延长AB，DC交于点N，由∠ABC=55°，CD165,得∠C=40°，结合AB∥DE，即可得到答案．

【详解】

（1）过点B作BM∥AF，

∵AF∥CD，

∴BM∥AF∥CD，

∴∠A+∠ABM=180°，∠C+∠CBM=180°，

∵A140，C165，

∴B=∠ABM+∠CBM=360°-∠A-∠C=360°-140-165°．

（2）延长AB，DC交于点N，

∵∠ABC=55°，

∴∠NBC=125°，

∵CD165,

∴∠C165125°=40°

若AB∥DE，则∠D=180°-40°=140°．

故答案是：140°

【点评】本题主要考查平行线的性质和三角形外角的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．