初中数学中考复习 专题24 圆（原卷版）

专题24  圆

知识点1：圆的概念

1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
知识点2：点与圆的位置关系

圆和点的位置关系：以点P与圆O为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），

P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
知识点3：直线与圆的位置关系

直线与圆有3种位置关系：

（1）无公共点为相离；

（2）有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；

（3）圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

知识点4：圆与圆的位置关系

两圆之间有5种位置关系：

无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；

有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；

有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为L,则

（1）外离L＞R+r；

（2）外切L=R+r；

（3）相交R-r＜L＜R+r；

（4）内切L=R-r；

（5）内含L＜R-r。

知识点5：垂径定律定律

垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

知识点6：圆心角定律

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

知识点7：圆周角定律

（1）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

知识点8：圆内接多边形

1.圆内接正三角形形

2.圆内接正四边形形

3.圆内接正六边形形

知识点9：判定定理与切线的性质

1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.切线的性质：

（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
知识点10：圆的公切线

1.公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。

（1）若两圆相离，则有4条公切袭线。

（2）若两圆外切，则有3条公切线。

（3）两圆相交，则有2条公切线。

（4）若两圆内切，则有1条公切线。

（5）若两圆内含，则有0条公切线。

2.公切线性质

（1）两圆的两条外公切线长相等；

（2）两条内公切线的长也相等。

（3）两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。

知识点11：两圆公共弦定理

两圆圆心的连线垂直并且评分这两个圆的公共弦。

知识点12：扇形、圆柱和圆锥的相关计算

1. 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
   2.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。
   3.圆的计算公式：　　

（1）圆的周长C=2πR=πd

（2）圆的面积S=πR2

（3）扇形弧长L=nπR/180
 

（4）扇形面积S=nπR2/180=LR/2

（5）圆柱表面积S表=S侧 +2S底=2πRh+2πR2

（6）圆柱体的体积V=S底h=πR2h

（7）圆锥表面积S表=S侧 +S底=πRr+πr2

（8）圆锥体的体积V=πr2h/3

1.知识思维导图

2.圆中常用辅助线的添法

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

（1）见弦作弦心距

有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。

（2）见直径作圆周角

在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。

（3）见切线作半径

命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。

（4）两圆相切作公切线

对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

（5）两圆相交作公共弦

对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。

3.圆中常用辅助线的添法顺口溜（圆问题的解题技巧）

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

4.拓展知识：圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

重要结论：PA•PB=PC•PD

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

重要结论：CE2=AE•BE

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

重要结论：PA2=PC•PB

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

重要结论：PC•PB=PD•PE

5.圆问题的基本题型

类型1.圆的性质及其重要定理的考查。涉及垂径定理；同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系；圆周角定理；圆内接四边形性质等。

类型2.直线与圆的位置关系。涉及相离、内含、同心圆、内切、外切、相交。

类型3.圆与圆的位置关系。涉及相离、相交、相切。

类型4.圆与多边形计算的考查。涉及圆与多边形的关系的计算，涉及弧长、扇形面积、圆锥侧面积、全面积的计算等。

类型5.与圆有关的综合类问题的考查。涉及圆的知识与三角函数、一次函数、二次函数、反比例函数等的综合应用。

【例题1】（2020•淮安）如图所示，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（　　）

A．54° B．27° C．36° D．108°

【例题2】（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为　 　cm2．

【例题3】（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．

（1）求证：DC∥AP；

（2）求AC的长．

《圆》单元精品检测试卷

本套试卷满分120分，答题时间90分钟

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．（2020•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

2．（2020•青岛）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（　　）

A．99° B．108° C．110° D．117°

3．（2020•泸州）如图，⊙O中，，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（　　）

A．100° B．90° C．80° D．70°

4.（2020•绍兴）如图所示，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（　　）

A．45° B．60° C．75° D．90°

5．（2020•杭州）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　）

A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°

6．（2020•牡丹江）如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）

A．125° B．130° C．135° D．140°

7．（2020•德州）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．244π B．124π C．248π D．244π

8．（2020•乐山）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（　　）

A． B． C． D．π

9.（2019•山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小

为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．20°

10．(2019甘肃陇南)如图所示，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（　　）

A．22.5° B．30° C．45° D．60°

11.（2019•湖北天门）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

12.（2019•山东省德州市 ）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（　　）

A．130° B．140° C．150° D．160°

二、填空题（每空3分，共24分）

13．（2020•盐城）如图，在⊙O中，点A在上，∠BOC＝100°．则∠BAC＝　    　°．

14．（2020•天水）如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　   　．

15．（2020•攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝　   　．

16．（2020•襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于　    　°．

17．（2020•长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为　   　．

18．（2020•扬州）圆锥的底面半径为3，侧面积为12π，则这个圆锥的母线长为　   　．

19．（2020•扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝　  　cm．

20．（2020•连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝　    　°．

三、解答题（5个小题，每题12分，共60分）

21．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．

（1）试证明DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．

22．（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．

（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；

（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；

（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

23．（2020•金华）如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．

（1）求弦AB的长．

（2）求的长．

24．（2020•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若直径AB＝6，求AD的长．

25．（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．

（1）求证：DE与⊙A相切；

（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．