微专题等比数列中的最值(范围)问题学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

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这是一份微专题等比数列中的最值(范围)问题学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共29页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

微专题：等比数列中的最值(范围)问题
【考点梳理】
1、等比数列的单调性
(1)当a1>0，q>1或a1＜0，0 (2)当a1>0，01时，等比数列{an}是递减数列；
(3)当q＝1时，它是一个常数列；
(4)当q<0时，它是一个摆动数列.
2、等比数列中的最值(范围)问题，要抓住基本量a1，q等，充分运用方程、函数、转化等数学思想，合理调用相关知识构造函数，再用基本不等式法、单调性法等求值域.

【题型归纳】
题型一：等比数列的单调性
1．已知数列是公比为的等比数列，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（       ）
A． B．
C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值
3．设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（       ）
A．， B．，
C． D．

题型二：求等比数列中的最大（小）项
4．已知等比数列中，，那么“”是“为数列的最大项”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；② ；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（       ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
6．设数列：，，…，，若存在公比为q的等比数列：，，…，，使得，其中，2，…，m，则称数列为数列的“等比分割数列”.若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，则数列的公比q的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

【双基达标】
7．等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8．对于有如下4个数列：（1）；（2）（3）（4）．其中满足条件的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知等比数列，下列选项能判断为递增数列的是(       )
A．， B．，
C．， D．，
10．在等比数列中，若则（       ）
A． B． C． D．
11．设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知无穷等比数列满足，其前项和为，则（       ）
A．数列为递增数列 B．数列为递减数列
C．数列有最小项 D．数列有最大项
13．等比数列中，公比为q，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
14．设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，，若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是（       ）
A．4 B．5 C．6 D．7
15．已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是（       ）
A． B． C．是递减数列 D．存在最小值
16．已知等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，则下列说法不正确的是（       ）
A．一定单调递减 B．一定单调递增
C．式子-≥0恒成立 D．可能满足=，且k≠1
17．等比数列是递增数列，若，，则公比为（        ）
A． B． C．或 D．或
18．在等比数列中，公比为.已知，则是数列单调递减的（       ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分又不必要
19．已知等比数列的公比为，则“是递增数列”的一个充分条件是（       ）
A． B．
C． D．
20．以下有四个命题：①一个等差数列中，若存在，则对于任意自然数，都有；②一个等比数列中，若存在，，则对于任意，都有；③一个等差数列中，若存在，，则对于任意，都有；④一个等比数列中，若存在自然数，使则对于任意，都有．其中正确命题的个数是（       ）
A．个 B．个 C．个 D．个
21．已知单调递减的等比数列中，，则该数列的公比的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
22．已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（       ）
A． B． C． D．
23．已知为等比数列，，，以表示的前项积，则使得达到最大值的是（       ）
A．4 B．5 C．6 D．7
24．设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
25．设等比数列{}的公比为q，其前n项和为，前 n项积为，并满足条件，，下列结论不正确的是（       ）
A． B．
C．是数列{}中的最大值 D．数列{}无最小值

【高分突破】
一、单选题
26．若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（       ）
A．若是递增数列，则，
B．若是递减数列，则，
C．若，则
D．若，则是等比数列
27．在等比数列{an}中，“a1 A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
28．设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论：
①；
②；
③的值是中最大的；
④使成立的最大自然数等于198
其中正确的结论是（       ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
29．设等比数列的公比为q，，则“”是“为递增数列”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
30．等比数列中，，则“”是“”的（       ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
31．记单调递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则（       ）
A． B．
C． D．
32．已知在等比数列中，，，是的前项和，则下列说法正确的是（       ）
A．数列是等比数列 B．数列是递增数列
C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍然构成等比数列
33．若为等比数列，则下列说法中正确的是（       ）
A．为等比数列
B．若则
C．若则数列为递减数列
D．若数列的前项的和则
34．已知等比数列是递增数列，是其公比，下列说法正确的是（     ）
A． B．
C． D．
三、填空题
35．等比数列为单调递减数列，写出满足上述条件的一个数列的通项公式_______.
36．等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足下面条件，，，.给出下列结论：①；②；③的值是中最大的；④成立最大的自然数等于198.其中正确的结论是__________.
37．若数列满足，则称数列为“差半递增”数列.若数列为“差半递增”数列，且其通项与前项和满足，则实数的取值范围是______.
38．已知公比为q（）的等比数列的前n项和为，给出下列命题：①若，则，；②若，则；③若，则；④.其中真命题的序号为_________.
39．在各项都为正数的等比数列中，已知，其前n项之积为，且，则取最小值时，n的值是___________．
40．下列五个命题不正确的是________.
①若等比数列的公比，则数列单调递增.
②常数列既是等差数列又是等比数列.
③在中，角A､B､C所对的边分别为a，b，c，若则且.
④在中，若，则为锐角三角形.
⑤等比数列的前n项和为，对任意正整数m，则，，，…仍成等比数列.
四、解答题
41．已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项中最大值为，最小值为，令，称数列是数列的“中程数数列”．
①求“中程数数列”的前项和；
②若（且），求所有满足条件的实数对．
42．已知等比数列是递增数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
43．已知等比数列的公比，且
（1）求的通项公式；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的最小值；若不存在，说明理由.
问题：设数列的前项和为，___________，数列的前项和为是否存在，使得
44．设公比大于1的等比数列的前项和为，且，，数列的前项和为，且，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）设，定义，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围.
45．某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1050升，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款消毒剂.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月产量的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%.
(1)求今年该消毒剂的年产量（精确到1升）；
(2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内？

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
分别取特殊等比数列和分析判断即可.
【详解】
若，满足，但，故“”是“”的不充分条件；
若，满足，但，故“”是“”的不必要条件.
故选：D.
2．D
【解析】
【分析】
根据题意可得，，所以在等比数列中，从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于.再分析每一个选项即可求解.
【详解】
因为是公比为的等比数列，且，，，
所以，，所以，所以在等比数列中，
从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于.
对于A：因为，所以，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：根据上面的分析，等比数列中每一项都为正值，所以无最大值，
所以数列无最大值，故C不正确；
对于D：因为在等比数列中，从到的每一项都大于，
从开始后面所有的项的值都小于且大于，所以是数列中的最大值，故D正确.
故选：D.
3．C
【解析】
【分析】
分析可知，分、两种情况讨论，结合递增数列的定义求出对应的的取值范围，即可得出结论.
【详解】
因为，若，则数列为摆动数列，与题意不符，所以，.
①若，则对任意的，，由可得，即；
②若，则对任意的，，由可得，此时.
所以，为递增数列的充要条件是，或，       ，
当，时，，则；
当，时，，则.
因此，数列为递增数列的充要条件是.
故选：C.
4．A
【解析】
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质判断即可
【详解】
当时，可知递减，所以为数列的最大项，
当为数列的最大项时，则，所以，解得且，
所以“”是“为数列的最大项”的充分而不必要条件，
故选：A
5．B
【解析】
【分析】
由题意可得，，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．
【详解】
，，，
，．
，故①正确；
，，故②不正确；
，是数列中的最大项，故③正确；
，，
使成立的最大自然数等于4038，故④不正确．
正确结论的序号是①③．
故选：B．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
6．C
【解析】
【分析】
由题意可得，，从而可得且，可得，再根据指数函数的单调性求出的最小值即可
【详解】
由题意可得，，
所以，且，
当时，成立；当，3，…，10时，应有成立，
因为在R上单调递增，所以随着n的增大而减小，
故，综上，q的取值范围是.
故选：C.
7．D
【解析】
【分析】
结合等比数列的单调性，根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
若，，则，，充分性不成立；
反过来，若，，则时，必要性不成立；
因此“”是“对于任意正整数n，都有”的既不充分也不必要条件.
故选：D．
8．C
【解析】
【分析】
依题意对各个数列一一判断，即可得解；
【详解】
解：对于（1），所以，显然均不成立，故（1）错误；
对于（2），易知其为递增数列，又，，，故均成立，故（2）正确；
对于（3），当为奇数和为偶数时，均为递增，故成立，而为奇数，为偶数，显然所以也成立，故（3）正确；
对于（4），，，，
当为奇数时，，为递增数列，当为偶数时，也为递增数列，所以成立，
又，，所以，所以，故（4）也成立；
故选：C
9．D
【解析】
【分析】
根据指数函数单调性和单调性的性质逐项分析即可．
【详解】
对于A，，，则单调递减，故A不符题意；
对于B，，，则会随着n取奇数或偶数发生符号改变，数列为摆动数列，故B不符题意；
对于C，，，则为常数数列，不具有单调性，故C不符题意；
对于D，，，∵，y=在R上单调递减，故为递增数列，故D符合题意．
故选：D﹒
10．B
【解析】
【分析】
根据的取值分类讨论，得出的范围后判断各选项．
【详解】
当时，，不满足题意;
当时，等式左边，所以，等式右边，不满足题意，
所以，，则中奇数项为正，偶数项为负．
故选B.
11．B
【解析】
【分析】
利用是等比数列，结合充分条件，必要条件的判断方法求解.
【详解】
因为数列是递增数列，
所以，故必要；
因为，即，
若，有，解得或，
当公比可为负数时，数列是摆动数列，不具有单调性，故不充分．
故选：B
12．C
【解析】
【分析】
由已知分析等比数列的公比范围，然后结合求和公式分析的单调性，结合选项可求．
【详解】
解：因为无穷等比数列满足，所以，即，
由，所以，又，所以
所以
当时，，递减，单调递增，所以有最小项；
当时，，不具有单调性，不单调，但，，，且，所以有最小项；
故选：C
13．D
【解析】
【分析】
由等比数列的性质判断与的推出关系，结合充分、必要性的定义即可得答案.
【详解】
由，
所以或，故不一定有，充分性不成立；
当时，，当则，当则，必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分又不必要条件.
故选：D
14．A
【解析】
【分析】
由已知利用等比数列的性质可求，又，可得，解得或，分类讨论可求的值，即可求解数列的各项，即可求解．
【详解】
等比数列中，公比；由，所以，又，所以解得或；
若时，可得，可得的值为，可知数列单调递增，且各项均大于，所以不会存在使得的乘积最大(舍去)；
若时，可得，可得的值为，…，
可知数列单调递减，从第项起各项小于且为正数，前项均为正数且大于等于，
所以存在，使得的乘积最大，综上，可得的一个可能值是.
故选：A.
15．B
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质分别进行判断即可.
【详解】
A：当时，，，成立，当时，，，不成立，A选项错误；
B：成立，B选项正确；
C：当时，数列为递减数列，当时，数列为递增数列，C选项错误；
D：当时，存在最小值，当时，存在最大值，D选项错误；
故选：B.
16．D
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，前n项和的意义，可逐项分析求解.
【详解】
因为等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，
所以当时，由可得，故数列为增函数，故B正确；
由0＜q＜1，＜0知，
所以，故一定单调递减，故A正确；
因为当时，，，所以，即-，当时，
，综上，故C正确；
若=，且k≠1，则，即，因为，故，
故矛盾，所以D不正确.
故选：D
17．D
【解析】
【分析】
由题意可知且，由已知条件可得出关于实数的等式，解出的值，进一步求出的值和数列的通项公式，对数列的单调性进行验证，由此可得出结果.
【详解】
因为等比数列是递增数列，则数列的公比满足且，
所以，，即，解得或.
若，则，解得，
此时，此时数列为递增数列，合乎题意；
若，则，解得，
此时，此时数列为递增数列，合乎题意.
综上所述，或.
故选：D.
18．C
【解析】
【分析】
根据等比数列的单调性结合充分条件和必要条件的定义即可得出结论.
【详解】
解：，
当时，，
所以数列单调递减，故充分性成立，
若数列单调递减，则，即，故必要性成立，
所以是数列单调递减的充要条件.
故选：C.
19．D
【解析】
【分析】
由等比数列满足递增数列，可进行和两项关系的比较，从而确定和的大小关系.
【详解】
由等比数列是递增数列，
若，则，得；
若，则，得；
所以等比数列是递增数列，或，；
故等比数列是递增数列是递增数列的一个充分条件为，.
故选：D.
20．D
【解析】
【分析】
在等差数列中，由可知数列为递增数列，知①正确；等比数列中，由公比知数列各项符号相同或为摆动数列，从而得到②④正误；利用反例可知③错误.
【详解】
对于①，由知：公差，自第项起，数列为递增数列，
又，对于任意自然数，都有，①正确；
对于②，由，知：公比，数列各项符号相同，
即对于任意，都有，②正确；
对于③，若等差数列中，，，则公差，，③错误；
对于④，由知：公比，
等比数列为摆动数列，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同，且奇数项与偶数项异号，
对于任意，都有，④正确；
综上所述：正确的命题的个数为个.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差和等比数列的单调性和各项的符号特征；解题关键是能够根据相邻两项之间的关系确定等差或等比数列的公差或公比的正负，进而得到等差数列的单调性和等比数列各项的符号特征.
21．D
【解析】
【分析】
根据等比数列单调递减，得到，，再根据，求解.
【详解】
因为等比数列单调递减，
所以，，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
故选：D
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式的应用以及数列的单调性的应用，属于基础题.
22．D
【解析】
由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.
【详解】
等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当时，如下图所示，

当公差时，如下图所示，

如图可知当时，，，，.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项.
23．A
【解析】
先求出首项和公比，得出是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论．
【详解】
为等比数列，，，
，，，，．
故是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，
以表示的前项积，则使得达到最大值的是4，
故选：．
【点评】
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
24．B
【解析】
根据等比数列通项公式分别讨论充分性与必要性即可得答案.
【详解】
解：设公比为，若，则，即，则有或，
所以当时，数列为摆动数列，故充分性不成立；
若数列为递增数列，则，由于，∴，故必要性成立.
所以“”是“数列为递增数列”的必要而不充分条件.
故选：B.
【点睛】
本题考查必要不充分条件，等比数列的单调性，是中档题.
25．B
【解析】
【分析】
由题分析出，可得出数列为正项递减数列，结合题意分析出正项数列前项都大于，而从第项起都小于，进而可判断出各选项的正误.
【详解】
当时，则，不合乎题意；
当时，对任意的，，且有，可得，
可得，此时，与题干不符，不合乎题意；
故，对任意的，，且有，可得，
此时，数列为单调递减数列，则，由可得，故，A正确；
，故B不正确；是数列{}中的最大值，C正确；
数列{}无最小值，D正确．
故选：B.
26．D
【解析】
【分析】
选项A，B，C中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项A，B，C都是错误的，选项D中，利用等比数列的定义可以证明结论正确.
【详解】
A选项中，，满足单调递增，故A错误；
B选项中，，满足单调递减，故B错误；
C选项中，若，则，故C错误；
D选项中，，所以是等比数列.故D正确.
故选：D.
27．C
【解析】
运用判断充分条件、必要条件的方法进行判断.
【详解】
当a1 由a1 若a1>0，则11，
此时，显然数列{an}是递增数列，
若a1<0，则1>q>q2，即0 此时，数列{an}也是递增数列，
反之，当数列{an}是递增数列时，显然a1 故“a1 故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查充分必要条件与等比数列的单调性结合的简单应用，本题的关键是当时，讨论和两种情况，求等比数列的公比，判断函数的单调性.
28．B
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确．利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确．利用等比数列的性质判断出③错误．利用等比数列的性质判断出④正确，从而得出结论．
【详解】
解：①，，．
，．
又，，且．，即①正确；
②，，即，故②错误；
③由于，而，故有，故③错误；
④中，
，故④正确．
正确的为①④，
故选：．
【点睛】
本题考查的知识点是等比数列的性质：若则有．其中根据已知条件得到，，是解答本题的关键，属于中档题．
29．A
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
设等比数列的首项为，即，
当时，，即数列为递增数列；
反之，当为递增数列时，也符合；
综上“”是“为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
30．C
【解析】
【分析】
由，得到，由，得到或，再利用子集思想结合充分必要条件的定义即可求解．
【详解】
解：①若时，等比数列，，，，，
②若时，等比数列，，，，或，
或，
是的充分不必要条件．
故选：．
31．BC
【解析】
根据数列的增减性由所给等式求出，写出数列的通项公式及前n项和公式，即可进行判断.
【详解】
数列{an}为单调递增的等比数列，且，
，，解得，
，即，解得或，
又数列{an}为单调递增的等比数列，取，，
，，.
故选：BC
【点睛】
本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题.
32．AC
【解析】
【分析】
由题意利用等比数列的性质、通项公式及前n项和公式，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
等比数列中，，，所以，
对于选项A：，数列依旧是等比数列，正确；
对于选项B：，显然数列是递减数列，错误；
对于选项C：，显然数列是等差数列，正确；
对于选项D：，，，显然这三项不构成等比数列，错误.
故选：AC.
33．ABC
【解析】
【分析】
利用等比数列的定义可以判定A;根据等比数列的性质可以判定B;利用等比数列的通项公式列出不等式组，根据不等式得性质进行分析，可得时，, 当时，，利用等比数列的通项公式，结合指数函数的单调性，可以判定C；利用一般数列的和与项的关系求得通项公式，根据等比数列的通项公式的性质求得的值，进而判定D错误.
【详解】
为等比数列，∴为定值，∴为常数，
∴为等比数列，故A正确；
∵,∴，又∵,∴,故B正确；
由得,
同号，∴,∴,当时，,由指数函数的性质可知是单调递减的，∴是单调递减数列，
当时，,由指数函数的性质可知是单调递增的，为单调递减数列，故C正确；
若数列的前项的和则当时，,当时，,由于等比数列的通项公式对于时也是成立的，故,故,故D错误；
故选：ABC.
【点睛】
本题考查等比数列的判定、性质，等比数列的前项和的性质，等比数列的单调性，难点是数列单调性的分析和判定，另外一般数列的和与项的关系时，,当时，一定要熟练掌握.
34．BD
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质可知，递增的等比数列包括两种情况：时或时.
【详解】
由题意知，
递增的等比数列包括两种情况：时或时.
故，，
故选：BD
35．
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质进行求解即可.
【详解】
等比数列为单调递减数列，，或，，满足上述条件的一个数列的通项公式为：
故答案为：
36．①④
【解析】
【分析】
由得，且得，①；②；③；④，，即可判断各项正误.
【详解】
①：由，得，即，又且，
∴，即，故正确；
②：由且，知：，即，故错误；
③：且，知：，故错误；
④：
，故正确.
故答案为：①④.
【点睛】
关键点点睛：应用已知条件证明、，再结合等比中项及单调性，判断各项的正误.
37．
【解析】
【分析】
根据,利用递推公式求得数列的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】
因为
所以当时,
两式相减可得,即,所以数列是以公比的等比数列
当时,
所以
则

由“差半递增”数列的定义可知

化简可得
解不等式可得
即实数的取值范围为
故答案为:
【点睛】
本题考查了数列递推公式的简单应用,等比数列通项公式在新定义里的应用,属于中档题.
38．④
【解析】
对于①，由得，从而可求出的范围；对于②，作差比较即可；对于③，由，得，从而有，进而可求出的值，对于④，分和，求的值即可
【详解】
解：对于①，若，则，即，因为，所以，所以，或，，所以 ①错误；
对于②，若，，则，当时，，即，当时，，即，所以②错误；
对于③，若，则，所以，所以，所以，所以，所以③错误；
对于④，若，则，
若，则，综上，所以④正确，
故答案为：④
39．9
【解析】
由得，依题意得故时，取最小值.
【详解】
由得，即故
因为，则，由于，得
所以等比数列是递增数列，故
则取最小值时，
故答案为：9
40．①②④⑤
【解析】
【分析】
对所有选项进行逐一分析判断即可.
【详解】
对①：等比数列的单调性取决于首项和公比，即当时，若，则数列为增数列；
若，则数列为减数列，故①不正确；
对②：常数列0,0,0,是等差数列，但不是等比数列，故②不正确；
对③：若，则由正弦定理可得；由大边对大角可得；
若角A为钝角，，此时角B显然为锐角，，满足；
若角A为直角，，此时角B显然为锐角，，满足；
若角A为锐角，则角B为比A角还小的锐角，由同角三角函数关系，知.
故③正确.
对④：由，可得，由余弦定理知，
得到角A为锐角，无法证明角B和角C为锐角，故不正确；
对⑤：此为等比数列前项和的性质，但需注意，故⑤不正确.
故答案为：①②④⑤.
【点睛】
本题考查等比数列的单调性以及其它性质、同时考查了解三角形中的一些重要结论，需要重视细节.
41．（1）证明见解析，；（2）①；②．
【解析】
【分析】
（1）先利用递推关系推出，即证结论，再利用等比数列通项公式求数列的通项公式即可；
（2）①先判断数列单调性得到最大项和最小项，求得数列，再利用错位相减法求和即可；②先利用通项公式判断和，再逐一代入求解满足题意的m，即得结果.
【详解】
（1）证明：依题意，，即，
故，故数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列，
故，即；
（2）因为，即，
故时，即，时，，即，
故，故，，
所以.
①设数列的前n项和为，则，
，
两式作差得，，
即，
故；
②因为，，，
所以，即，
又因为，，，且，
可知且，即，由知，
时，，故，即，但，故符合题意；
时，，故，即，但，故无解；
时，，故，即，又，故符合题意；
综上，所有满足条件的实数对有．
42．(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）先利用等比数列的性质，可分别求出的值，从而可求出数列的通项公式；（2）利用错位相减求和法可求出数列的前项和．
【详解】
解：（1）由是递增等比数列，，
联立，解得或，
因为数列是递增数列，所以只有符合题意，
则，结合可得，
∴数列的通项公式：；
（2）由，
∴；∴；
那么，①
则，②
将②﹣①得：
．
【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前项和.
43．（1）；（2）条件①，k存在，6，理由见解析；（条件②，k存在，6，理由见解析或条件③，k不存在，理由见解析也正确）
【解析】
【分析】
（1）根据条件求得公比，写出等比数列通项即可.
（2）选择一个条件，由递推关系求得数列的通项公式，然后求得数列的前项和为根据数列单调性判断是否存在，使得，若存在则求得最小值.
【详解】
（1）由知，
则或（舍），故；
（2）（i）若选条件①，，
则，又满足，即
故，
又，则，
根据分组求和得，
易知在，单增，，，
故使的存在，且最小值为6.
（ii）若选择条件②，，
，，
则，，
，易知在，单增，
，，
故使的存在，且最小值为7.
（iii）若选条件③，，
则，，
则是以1为首项，3为公比的等比数列，
，在时，，；当，，
即，，故不存在k使
【点睛】
方法点睛：（1）递推关系中出现前n项和的表达式时，可以利用消去，从而求得数列的通项；
（2）两个数列相加减求和时采用分组求和求得前n项和.
44．（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据，，列出关于的方程，解方程求出的值，然后求出数列的通项公式；因为，所以累乘可求得数列的通项公式.（2）代入，得到，因为数列是单调递减数列，所以恒成立，解关于的不等式，求出的范围.
【详解】
（1）由，得，即，∴或（舍），
所以.
又，
∴.
（2）由（1）得，，∴，
从而，若数列是单调递减数列，
则对都成立，
即，
，
可得当或时，，所以.
【点睛】
本题考查等比数列基本量的运算，累乘法求通项公式，考查已知数列的单调性求参数的范围，考察了学生的运算能力，属于中档题.
45．(1)16173升
(2)第13个月
【解析】
【分析】
（1）设今年第n个月生产了升消毒剂，再根据，结合等比数列的求和公式求解即可；
（2）设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为升，由题意，再分析的单调性，结合求解即可
(1)
设今年第n个月生产了升消毒剂，则，，从而所求年产量为（升）.
故今年消毒剂的年产量为16173升.
(2)
设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为升.由题意，
，.
则，故当时，.
而，故从第13个月起，不合格的量将始终小于100升.
故从第13个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内.