微专题 集合的基本运算 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 集合的基本运算 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共32页。

微专题：集合的基本运算
【考点梳理】
1、集合的基本运算

文字语言
符号语言
图形语言
记法
并
集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，或
x∈B}

A∪B
交
集
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，且
x∈B}

A∩B
补
集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
{x|x∈U，且
x∉A}

∁UA
2、集合运算性质
(1)并集运算性质：A∪B⊇A；A∪B⊇B；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A.
(2)交集运算性质：A∩B⊆A；A∩B⊆B；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A.
(3)补集运算性质：∁U(∁UA)＝A；∁UU＝∅；∁U∅＝U；A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U.
(4)重要等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B；A∩B＝A∪B⇔A＝B.



【题型归纳】
题型一： 交集的概念及运算
1．设集合，，则集合（       ）．
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
3．若集合，，则（       ）
A． B．
C． D．


题型二：根据交集结果求集合或参数
4．设集合．若，则实数的值为（       ）
A．1 B． C．1或 D．0或1或
5．已知集合，集合，，则的取值范围是（       ）
A． B．且
C．且 D．且且
6．已知集合，若，则的最大值为（       ）
A． B．0 C．1 D．2

题型三：根据交集结果求集合元素个数
7．已知集合，，则集合的子集个数为（       ）
A．2 B．4 C．8 D．16
8．已知集合，则的元素个数为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．设集合，，则集合的元素个数为（       ）
A．3 B．2 C．1 D．0

题型四：并集的概念及运算
10．已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
11．已知集合，，则（        ）
A． B． C． D．
12．已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．

题型五：根据并集结果求集合或参数
13．已知集合A，B满足，若则（       ）
A． B． C． D．
14．设集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
15．已知集合，，且，则m的取值范围为（       ）．
A． B．
C． D．

题型六：根据并集结果求集合元素个数
16．已知集合，，则中元素的个数是（       ）
A．4 B．5 C．6 D．7
17．已知集合，M＝P∪Q，则集合M中的元素共有（       ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个
18．定义集合的商集运算为，已知集合A={2，4，6}，B=，则集合∪B中的元素的个数为（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9

题型七： 补集的概念及运算
19．已知集合，集合，则（       ）
A． B． C． D．
20．已知集合，，则如图中阴影部分表示的集合为（       ）

A． B． C． D．
21．已知集合，则（       ）
A． B． C． D．

题型八：根据补集运算确定集合或参数
22．设集合，集合，，则实数（       ）
A． B． C． D．
23．设全集，集合，，则实数的值为（       ）
A．0 B．-1 C．2 D．0或2
24．已知全集，集合.若，则（       ）
A．4 B．3 C．2 D．0


【双基达标】
25．下图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则不能表示阴影部分的是（ ）

A．
B．
C．
D．
26．已知集合，则
A． B．，
C． D．
27．集合若，则（       ）
A． B． C． D．
28．设集合，，则（       ）
A．{1，3} B．
C． D．
29．若集合，，则
A． B． C． D．
30．若集合，集合，若，则实数的取值集合为（　　）
A． B． C． D．
31．设集合，则（       ）
A． B． C． D．
32．已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
33．对与任意集合A，下列各式①，②，③，④，正确的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
34．设集合，，则（       ）
A．或 B．
C． D．
35．设集合，，则（       ）
A． B． C． D．
36．已知集合，集合，则（       ）
A． B．
C． D．
37．已知集合，则=
A． B． C． D．
38．已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
39．已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
40．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（       ）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}

【高分突破】
一、 单选题
41．设集合，则（       ）
A． B．
C． D．
42．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（       ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
43．设集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
44．已知集合则（       ）
A． B．
C． D．
45．已知集合，，若，则实数a的值为
A．1 B． C． D．
46．已知集合P=，，则PQ=（       ）
A． B．
C． D．
47．已知集合，则的子集的个数为（       ）
A． B． C． D．
48．设集合，，则（       ）
A． B． C． D．
49．设集合，，则（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
50．已知集合，则实数取值为（       ）
A． B． C． D．
51．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（       ）
A． B． C． D．
52．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（       ）
A．是一个戴德金分割
B．没有最大元素，有一个最小元素
C．有一个最大元素，有一个最小元素
D．没有最大元素，也没有最小元素
53．已知集合，集合，则（       ）
A．Ü B．Ü C． D．
三、填空题
54．已知，，若，则实数的取值范围是______.
55．若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝，则m的取值范围是__．
56．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论:①；②；③；④“整数属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中，正确结论的个数是_______.
57．已知集合，集合，则________
58．若集合，，，则集合的子集个数为______．
59．已知全集,则的值为__________
四、解答题
60．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2 61．已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．
（1）试用列举法表示集合且；
（2）试用列举法表示集合且．
62．在“①，②”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若________（在①，②这两个条件中任选一个），求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
63．已知集合，集合.若，求实数的取值范围.
64．已知，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
首先解指数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得；
【详解】
解：由，即，解得，所以，
又，所以.
故选：C
2．B
【解析】
【分析】
求出集合和集合的具体范围，，从而可得
【详解】
因为，，所以．
故选：B．
3．A
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求出集合再与集合求交集可得答案.
【详解】
解不等式得，又，所以，
所以.
故选：A.
4．D
【解析】
【分析】
对进行分类讨论，结合求得的值.
【详解】
由题可得，，
当时，，满足；
当时， ，则或，即.
综上所述，或.
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
分析可知集合表示直线上去掉点所构成的两条射线，集合表示定点且斜率存在的直线，根据直线的位置关系可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】
集合表示直线上去掉点所构成的两条射线，
在方程中，令可得，
集合表示过定点且斜率存在的直线，
由得两直线斜率不同，则，解得．
故选：C.
6．C
【解析】
【分析】
根据几何运算的结果求出参数的范围，进而可得结果.
【详解】
因为，，
所以，即的最大值为1，
故选：C.
7．B
【解析】
【分析】
求出抛物线和曲线的交点，确定集合的元素个数，即可确定答案.
【详解】
由题意得，
当时， 联立，解得 ；当时， 联立，解得 ；
故抛物线与曲线有两个公共点，分别为，，
则集合有两个元素，所以的子集个数为，
故选:B．
8．A
【解析】
【分析】
解对数不等式求集合B，再应用集合的交运算写出的元素，即知元素的个数.
【详解】
由题设，
所以，共有3个元素.
故选：A
9．A
【解析】
【分析】
根据函数与的图象的交点个数可得答案.
【详解】
因为函数与在第二象限有唯一个交点，在第一象限有两个交点和.

所以集合的元素个数为.
故选：A.
10．A
【解析】
【分析】
解得集合，直接求得并集即可.
【详解】
由已知得，，则.
故选：A.
11．D
【解析】
【分析】
先确定集合，再根据集合并集的定义计算．
【详解】
，，．
故选：D．
12．C
【解析】
【分析】
解不等式确定集合，然后由集合运算，集合间的关系判断．
【详解】
由已知或，
，A错；或，B错；，C正确；D错．
故选：C．
13．D
【解析】
【分析】
根据并集的定义求解．
【详解】
由题意，所以．
故选：D．
14．C
【解析】
【分析】
根据题意可得，，结合并集理解则分析处理．
【详解】
，，
∵，即，
所以，解得．
故选：C．
15．C
【解析】
【分析】
化简集合，结合并集的定义，列不等式可求m的取值范围.
【详解】
因为的解集为，
所以，
又，，
所以，则．
故选：C.
16．A
【解析】
【分析】
求出集合，再根据并集的定义即可求出答案.
【详解】
,
所以.所以中元素的个数是.
故选：A.
17．B
【解析】
【分析】
求出集合P中元素，然后求出即可得答案.
【详解】
由已知，
又，则
集合M中的元素共有6个
故选：B
18．B
【解析】
先求得集合B，从而得到，然后利用集合的并集运算求解.
【详解】
因为集合A={2，4，6}，B=，
所以B={0,1,2}，则=,
所以∪B=，
所以集合∪B中共有7个元素.
故选：B.
19．D
【解析】
【分析】
确定集合中元素，再由补集定义得结论．
【详解】
由已知，所以．
故选：D．
20．D
【解析】
【分析】
解不等式，求出，求对数函数定义域得到，从而求出阴影部分表示的集合.
【详解】
，解得：或，所以，
由对数函数真数大于0可得：，解得：，所以，
则，
则阴影部分表示的集合为
故选：D
21．B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式化简集合，再根据补集、交集的定义计算即可.
【详解】
因为解得或.
所以，
所以.
故选：B.
22．B
【解析】
【分析】
由补集运算可求得，则是方程的两根，由韦达定理求得结果.
【详解】
，，，
即是方程的两根，.
故选：B.
23．A
【解析】
【分析】
利用给定条件，结合元素的互异性直接列式计算作答.
【详解】
由集合知，，即，而，全集，
因此，，解得，经验证满足条件，
所以实数的值为0.
故选：A
24．A
【解析】
【分析】
首先用列举法表示全集，再根据补集的结果得到，即可得到，从而得解；
【详解】
解：因为，又，
所以，即且，又，所以；
故选：A
25．C
【解析】
【分析】
根据韦恩图，分U为全集，B为全集，为全集时，讨论求解.
【详解】
由图知：当U为全集时，阴影部分表示集合A的补集与集合B的交集，即
当B为全集时，阴影部分表示的补集，即
当为全集时，阴影部分表示A的补集，即
故选：C
26．D
【解析】
【分析】
首先明确两个集合都是点集，然后计算方程组的解作为的结果，同时要注意点集的表示..
【详解】
∵，
∴.
故选D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算以及集合的表示，难度较易.当一个集合为点集且点的个数有限时，可通过描述法或列举法表示集合，例如：或、.
27．B
【解析】
【分析】
根据并集运算，结合集合的元素种类数，求得a的值.
【详解】
由知，
，解得
故选：B
28．C
【解析】
【分析】
利用集合的交集运算即可.
【详解】
∵集合，，
所以，
故选：C.
29．B
【解析】
【分析】
求出集合、，再利用交集的定义可求得集合.
【详解】
由题意得集合，
，
因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，同时也考查了指数不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
30．D
【解析】
【分析】
由题中条件可得或，解方程即可.
【详解】
因为，，，
所以或，
解得或，
所以实数的取值集合为.
故选：D.
31．B
【解析】
【分析】
根据交集、补集的定义可求.
【详解】
由题设可得，故，
故选：B.
32．D
【解析】
【分析】
根据已知集合，应用集合的并运算，求即可.
【详解】
由，，
∴.
故选：D.
33．C
【解析】
【分析】
根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断.
【详解】
易知①，②，③，正确
④，不正确，应该是
故选：C.
34．C
【解析】
【分析】
求出集合，再由集合的补运算即可求解.
【详解】
，
，
所以.
故选：C
35．C
【解析】
【分析】
分别解两个不等式，再根据集合运算求交集即可.
【详解】
解：解不等式得，故，
解不等式得，故，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，集合的交集运算，是基础题.
36．D
【解析】
【分析】
求出两个集合的交集和并集，可得答案.
【详解】
因为，，
所以，.
故选：D.
【点睛】
本题考查了集合的交集和并集的运算，属于基础题.
37．C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
38．D
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法和函数定义域的定义，求得集合，集合集合并集的运算，即可求解.
【详解】
由不等式，解得或，所以集合或，
又由，解得，所以集合，
所以.
故选：D.
39．C
【解析】
【分析】
分析可得，由此可得出结论.
【详解】
任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
40．D
【解析】
【分析】
根据交集的定义写出A∩B即可．
【详解】
集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，
则A∩B＝{1，2}，
故选：D
41．B
【解析】
【分析】
根据交集定义运算即可
【详解】
因为，所以,
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
42．B
【解析】
【分析】
由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】
求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
43．B
【解析】
【分析】
先解出集合，再直接计算交集.
【详解】
因为，，所以．
故选：B．
44．D
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.
【详解】
由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：D.
【点睛】
本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.
45．B
【解析】
【分析】
根据集合元素的互异性和交集的定义，可得方程组或即可得答案；
【详解】
由题意可得或
，
故选：B.
【点睛】
本题考查根据交集的结果求参数，考查运算求解能力，求解时注意集合元素的互异性.
46．B
【解析】
【分析】
根据集合交集定义求解.
【详解】

故选：B
【点睛】
本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
47．D
【解析】
【分析】
根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可．
【详解】
由题意，因此它的子集个数为4．
故选：D．
48．B
【解析】
【分析】
根据交集定义求解．
【详解】
由题意知，
故选：B．
【点睛】
本题考查交集定义，属于简单题．
49．B
【解析】
【分析】
化简集合B，再利用交集的定义求解.
【详解】
由题得，
所以.
故选：B
50．ABD
【解析】
先求集合A，由得，然后分和两种情况求解即可
【详解】
解：由，得或，
所以，
因为，所以，
当时，方程无解，则，
当时，即，方程的解为，
因为，所以或，解得或，
综上，或，或，
故选：ABD
【点睛】
此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题
51．BC
【解析】
根据集合中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】
对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误.
对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确.
对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.
对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.
故选：BC
【点睛】
本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.
52．BD
【解析】
根据题意举出实例依次判断选项即可得到答案.
【详解】
对选项A，因为，，，
故A错误；
对选项B，设，，满足戴德金分割，
则中没有最大元素，有一个最小元素，故B正确；
对选项C，若有一个最大元素，有一个最小元素，
则不能同时满足，，故C错误；
对选项D，设，，满足戴德金分割，
此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查集合的新定义，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.
53．AD
【解析】
【分析】
将集合，，再由集合的包含关系以及集合的交、并运算即可求解.
【详解】
由题意知，集合，
集合，
为偶数，为整数，
所以，，.
故选：AD.
54．或
【解析】
根据即可讨论时，；时，或，然后解出的范围即可.
【详解】
解：∵ ，
∴ ① 时，，
解得；
② 时，或，
解得或，
∴的取值范围是或 .
故答案为：或.
55．m＞﹣4．
【解析】
根据题意可得A是空集或A中的元素都是小于等于零的，然后再利用判别式以及韦达定理求解即可.
【详解】
解：A∩R+＝知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，
若A＝，则＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0 ，①
若A≠，则＝（m +2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，
又A中的元素都小于等于零
∵两根之积为1，
∴A中的元素都小于，
∴两根之和﹣（m +2）＜0，解得m＞﹣2
∴m≥0，②
由①②知，m＞﹣4，
故答案为：m＞﹣4．
【点睛】
易错点点睛：本题考查利用交集的结果求参数，本题在求解中容易忽略的讨论，导致错解，同时本题也可以采取反面考虑结合补集思想求解.
56．3
【解析】
【分析】
根据2015被5除的余数为0，可判断①；将，可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4，可判断③；令，，根据“类”的定理可证明④的真假.
【详解】
①由，所以，故①正确；
②由， 所以，故②错误；
③整数集就是由被5除所得余数为的整数构成，故③正确；
④假设，，，要是同类.
则 ，即，所以，
反之若，即，所以，则是同类， ④正确；
故答案为：3
【点睛】
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解新定义“类”是解答的关键，以及进行简单的合情推理，属中档题.
57．
【解析】
由交集定义计算．
【详解】
由题意．
故答案为：．
58．4
【解析】
【分析】
根据交集的运算求出集合，然后根据集合中有n个元素，则子集个数为即可得出答案.
【详解】
解：∵集合，，，
∴，
∴集合的子集个数为：．
故答案为：4．
59．2
【解析】
【分析】
要求a的值，需正确理解原集和补集的含义，由于参数a为未知数，此题应该进行分类讨论
【详解】
由补集概念及集合中元素互异性知a应满足

分两种情况进行讨论：
在A中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去．
在B中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍去，a=2能满足②③④，故a=2符合题意．
答案为：2
【点睛】
本题重点考查了集合的互异性，对于存在参数无法确定的元素，应根据分类讨论思想，按照集合中元素一一对应的关系来进行求解，在解出参数时，需将参数还原到集合中进行检验，排除不合理的答案
60．，或，.
【解析】
【分析】
根据集合的交并补运算性质即可得出答案.
【详解】
解：因为全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2 则或，
或，
所以A∩B＝{x|－2 ＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；
＝{x|2 61．(1) ；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出集合，则，即可求出；
（2）根据集合中元素的特征，即可写出.
【详解】
由题意，，.
（1）.
（2）.且

【点睛】
本题考查集合的表示法和集合的运算，属于基础题.
62．（1）；（2）若选①，；若选②，
【解析】
【分析】
（1）由得到，然后利用并集运算求解.
（2）若选，分和两种情况讨论求解； 若选，则由求解.
【详解】
（1）当时，，；
所以
（2）若选①，，
当时，，解得，
当时，或，解得：或，
综上：实数的取值范围．
若选②，，
则，即，解得：，
所以实数的取值范围．
【点睛】
易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.
63．
【解析】
【分析】
求得集合，从反面入手，，然后分类讨论求得的范围，最后再求其在中的补集即得．
【详解】
若，则，又∵，
∴集合有以下三种情况：
①当时，，即，∴或，
②当是单元素集时，，∴或，
若，则不是的子集，若，则，∴，
③当时，、是方程的两根，
∴，∴，
综上可得，时，的取值范围为或或，
∴满足的实数的取值范围为.
64．（1）；（2）.
【解析】
（1）将代入求出集合，即可求出.
（2）由得，列出不等式求解即可.
【详解】
解：（1），
当时，，
；
（2）由得，
，解得，
实数的取值范围是．