微专题 反函数 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 反函数 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共30页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

微专题：反函数
【考点梳理】
指数函数与对数函数的关系：一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线y＝x对称.


【题型归纳】
题型一： 求反函数
1．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（且）的反函数为（且）．已知函数，，则对于任意的，有恒成立，则实数k的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
2．设为指数函数（且），函数的图象与的图象关于直线对称.在，，，四点中，可能是函数与的图象的公共点的有（       ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
3．已知函数，其反函数为（       ）
A． B．
C． D．


题型二： 反函数的性质应用
4．若满足，满足，则等于（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知，分别是方程，的根，则（       ）
A．1 B．2 C． D．
6．若且）恒成立，则a的取值范围是（       ）
A．（0，1） B．（1，+∞） C． D．




【双基达标】
7．函数的反函数的图象经过点（       ）
A． B． C． D．
8．以下说法正确的有（       ）
①偶函数一定不存在反函数；
②若函数和其反函数的图象存在交点，则交点必定在直线上；
③函数和其反函数的图象的交点可能有无数个；
④定义域上严格单调的函数必存在反函数．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9．函数的反函数的图象为（       ）
A． B．
C． D．
10．已知、分别是函数、的零点，则的值为（       ）
A． B． C．2 D．4
11．设为指数函数（且），函数的图象与的图象关于直线对称．在，，，四点中，函数与的图象的公共点只可能是（       ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
12．已知（且，且），则函数与的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
13．函数是（，且）的反函数，则（       ）
A． B．
C． D．
14．已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于对称，则 （       ）
A．-7 B．-9 C．-11 D．-13
15．已知函数的图象与函数且的图象关于直线对称，函数的图象经过点与点，若，则（       ）
A． B． C． D．
16．设集合，，下列说法正确的是（       ）
A． B． C． D．
17．已知函数为R上的单调函数，是它的反函数，点和点均在函数的图象上，则不等式的解集为（       ）．
A． B． C． D．
18．设k>0，若不等式≤0在x>0时恒成立，则k的最大值为（ ）
A．e B．eln3 C．log3e D．3
19．若是方程的解，是方程的解，则等于（       ）
A． B． C． D．
20．若函数的反函数为，则等于（       ）
A．2 B．-2 C．3 D．-1
21．已知是方程的解，是方程的解，则（       ）
A． B．
C． D．
22．若直线与直线是曲线的两条切线，也是曲线的两条切线，则的值为（       ）
A． B．0 C．-1 D．
23．若关于x的方程与的根分别为m、n，则的值为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
24．设函数的图象与的图象关于直线对称，若，，，则（       ）
A． B． C． D．
25．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（       ）
A． B．
C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．已知的反函数为，若，则的值为（       ）
A． B． C．2 D．
27．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则的最大值为 （       ）
A． B． C． D．
28．若的反函数为，且，则的最小值是（       ）
A．2 B． C． D．
29．如果函数的图像与函数的图像关于直线对称，那么的解析式是（       ）.
A． B． C． D．
30．已知函数，.若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且.则实数（       ）
A． B． C．2 D．4
31．已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，若点P，Q分别在，的图象上.当a取最大值时，的最小值是（       ）
A． B．
C． D．
二、多选题
32．给出下列命题，其中正确的命题有（       ）
A．命题的否定为
B．若，则．
C．函数与函数是相同的函数
D．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
33．下列说法正确的是（       ）
A．是函数为奇函数的充要条件
B．设函数的反函数为，则
C．若函数是奇函数，当时，则当时
D．若函数是偶函数，且在上单调递增，则
34．给出下列结论，其中正确的结论是（       ）
A．函数的最大值为
B．若定义在R上的奇函数在内有100个零点，则函数有201个零点
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D．已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是
35．下面说法正确的有（　　）
A．的零点是
B．与互为反函数
C．已知，则；
D．不是偶函数
三、填空题
36．若是函数的一个零点，是函数的一个零点，已知函数，则关于的方程的解集是___________.
37．若函数的反函数的图象经过点，则__________．
38．方程的根为，方程的根为，则__________
39．若函数的反函数为，且，则________.
40．若函数的反函数的图像经过点，则____________.
41．函数的反函数为，__________.
四、解答题
42．已知函数的反函数为，且.
(1)若，求实数的值；
(2)若关于的方程在区间内有解，求实数m的取值范围.
43．已知函数.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性；
（3）求；
（4）求使的的取值范围.
44．求下列函数的反函数：
（1）；
（2）；
（3）
45．已知函数（且），为的反函数.
(1)写出函数的解析式；
(2)解关于x的不等式.
46．已知函数.
（1）求函数的反函数，并求出反函数的定义域；
（2）判断并证明的单调性.

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
依据题意构造函数为增函数，并利用导数得到关于实数k的不等式，进而求得实数k的取值范围
【详解】
由题意，的反函数．
对于任意的，有，
即，可转化为，
则函数在上单调递增．
设，则在上恒成立
即在上恒成立
又，则，
故选：D．
2．B
【解析】
【分析】
根据指数函数与对数函数的关系可知知，再将点一一代入验证即可；
【详解】
解：由题意，根据指数函数与对数函数的关系可知知.
显然不在指数函数（且）上，故错误，
又点不在对数函数（且）上，故错误，
若满足（且），则解得，
若满足（且），则解得，显然不是公共点，
若满足（且），则解得，
若满足（且），则解得，符合题意；
故仅点可能同时在两条曲线上.
故选：B.
3．D
【解析】
【分析】
利用反函数定义求解.
【详解】
的反函数为，即，故其反函数为.
故选：D
4．D
【解析】
【分析】
将所给式化简可得，，进而和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.再根据反函数的性质求解即可
【详解】
由题意，故有
故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.
根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
故曲线和曲线的图象交点关于直线对称.
即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上，
即，求得x1+x2=5，
故选：D.
5．B
【解析】
【分析】
由题意可得，分别是函数，的图象与直线交点的横坐标，由于的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，所以两交点的中点就是直线与的交点，求出交点坐标，再利用中点坐标公式可求出的值
【详解】
由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标，
因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，
所以线段的中点就是直线与的交点，
由，得，即线段的中点为，
所以，得，
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
当时，原题等价于在区间上恒成立，令，利用导数求得的单调区间和最值，分析计算，即可得答案，当，分析得不符合题意，综合即可得答案.
【详解】
当时，由题意与互为反函数，
所求等价于在区间上恒成立，
令，则，
令，解得，
当时，，则为减函数，
当时，，则为增函数，
所以在处取得极小值，也为最小值，
所以，整理可得，
因为，所以，
所以，则，
所以，则，解得；
当时，不符合题意，故舍去，
所以a的取值范围是
故选：C
7．D
【解析】
【分析】
写出函数的反函数，判断选项中的点是否满足即可.
【详解】
函数的反函数为，经过点
故选：D
8．C
【解析】
【分析】
根据反函数的知识确定正确选项.
【详解】
因为函数，是偶函数，且存在反函数，所以①错；
因为函数和函数互为反函数，且为它们图象的交点，但不在直线上，所以②错；
因为函数的反函数就是其本身，两者交点有无数个，所以③对；
根据反函数的定义，可知④对．
故选：C
9．D
【解析】
【分析】
求出函数的反函数，即可得出结论.
【详解】
由得，可得，
故函数的反函数的解析式为，
而函数的图象可由函数的图象向下平移个单位得到.
故选：D.
10．C
【解析】
【分析】
由题意为函数与的交点的横坐标，函数与的交点的横坐标，又由函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，从而交点也直线对称，可得答案.
【详解】
根据题意，已知、分别是函数、的零点，
函数的零点为函数与的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为，
函数的零点为函数与的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为，
又由函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，
而直线也关于直线对称，则点和也关于直线对称，则有，则有，
故选：C.

【点睛】
关键点睛：本题考查函数零点的定义，考查互为反函数的两个函数的图像关系，解答本题的关键是函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，从而得出点和也关于直线对称，从而得出答案，属于中档题.
11．D
【解析】
【分析】
求出，将四个选项逐一代入检验，得到正确答案.
【详解】
由题意，知．逐一代入验证，
点代入中，求得：，不合要求，舍去；
点代入中，解得：，将代入中，，Q点不在上，不合要求，舍去；
点代入中，解得：，将代入中，，解得：，故与矛盾，舍去；
代入中，，解得：，将代入中，，解得：，满足题意.
故仅点N可能同时在两条曲线上．
故选：D．
12．B
【解析】
【分析】
由（且，且），得，从而得到与互为反函数，根据互为反函数的性质即可得到结果．
【详解】
∵（且，且），
∴，∴，
∴，函数与函数互为反函数，
∴函数与的图象关于直线对称，且具有相同的单调性.
故选：B．
13．B
【解析】
【分析】
先求出反函数，再验证每一个选项即可.
【详解】
∵函数是（，且）的反函数，
∴（，且），∴，故A不正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
14．C
【解析】
根据当时,函数的图象与函数的图象关于对称可求得的解析式,再根据奇偶性求解即可.
【详解】
因为当时,函数的图象与函数的图象关于对称,
故.
又函数是奇函数,故
.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了奇偶性与反函数的性质运用,需要根据题意将自变量转换到已知解析式的区间上求解,属于中档题.
15．A
【解析】
【分析】
根据函数图象关于对称，可得且，将代入求出，，再根据指数函数、对数函数的单调性即可求解.
【详解】
由题意知且，
又，则，所以，
则，，
所以.
故选：A．
16．D
【解析】
【分析】
利用因为与互为反函数，所以，互相关于对称，得到，进而得出集合的范围；对于集合，化简得，设，进而利用导数求出的最值，得出集合的范围，即可求解
【详解】
对于集合，因为与互为反函数，所以，互相关于对称，而，所以，只需要即可，因为，所以，
，得，设，得，所以，
，，单调递增；，，单调递减，所以，
，得到，所以，；
对于集合，化简得，设，，因为，
可设，，
单调递减，又，所以，当时，，，，单调递减，利用洛必达法则，
时，，
所以，，所以，；
由于，，所以，D正确
故选：D
17．C
【解析】
【分析】
根据给定条件判断函数的单调性，可得的单调性，借助单调性解不等式即可作答.
【详解】
依题意，，，而函数为R上的单调函数，则在R上单调递减，
而是的反函数，于是得函数在其定义域上是减函数，又，
由得：，即有，则，解得，
不等式的解集为.
故选：C
18．B
【解析】
【分析】
根据题意，将不等式转化为，进而通过反函数的定义发现互为反函数，而它们的图象关于直线对称，则必须满足对恒成立，然后分离参数求出答案即可.
【详解】
由题意，对恒成立.容易判断，函数互为反函数，且均在上单调递增.因为与的图象关于直线对称，所以问题等价于对恒成立，即.
记，，则时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以.
于是，，即k的最大值为.
故选：B.
19．A
【解析】
【分析】
先由题意，分别得到是函数与交点的横坐标；是函数与交点的横坐标；根据反函数的对称性，以及函数的对称性，可得，两点关于直线对称，进而可得出结果.
【详解】
因为是方程的解，所以是函数与交点的横坐标；
又是方程的解，所以是函数与交点的横坐标；
因为函数与互为反函数，所以函数与图像关于直线对称，
又的图像关于直线对称，
因此，，两点关于直线对称，所以有，
因此.
故选：A
【点睛】
本题主要考查反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型.
20．B
【解析】
【分析】
先求出反函数，直接代入即可求解.
【详解】
由得，
又，∴，∴（），∴.
故选：B
21．C
【解析】
【分析】
在中，令，则有，则由题可知，就是直线与曲线，交点的横坐标，由反函数的性质可得，从而可得
【详解】
在中，令，则有，
因为与互为反函数，图象关于对称.
依题意可知，就是直线与曲线，交点的横坐标，
所以，所以，即.
故选：C.
22．C
【解析】
【分析】
利用和互为反函数推得两条公切线和也互为反函数，结合导数的几何意义表示出，，进而化简可得，代入化简可得答案.
【详解】
由和互为反函数可知，
两条公切线和也互为反函数，
即满足，，即，，
设直线与和分别切于点和，
可得切线方程为和，
整理得：和，则，，
由，得，且，
则，所以，
所以
,
故选：C
【点睛】
本题考查了反函数的相关知识以及导数的几何意义的应用，解答时要注意利用导数的几何意义写出切线方程并进行系数的比较，从而得出参数之间的关系式.
23．B
【解析】
【分析】
由题意得，，作出函数，，的图像（如图），由指数函数和对数函数的关系可得A、B关于直线对称，联立求解可得答案.
【详解】
解：由题意，可知，，作出函数，，的图像（如图），
A、B两点的横坐标分别为m、n，且A、B关于直线对称，AB的中点为C，联立可得点C的横坐标为2，因此．
故选：C.

24．A
【解析】
【分析】
在函数y＝f（x）的图象上取点（x，y），则关于直线y＝﹣x对称点为（﹣y，﹣x），代入y＝2x+a，结合题目条件可得答案．
【详解】
因为函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，
令f（﹣2m）＝p，f（﹣2n）＝q，则p+q＝2；
故（﹣p，2m），（﹣q，2n）在y＝2x+a的图象上，
所以2m＝2﹣p+a，2n＝2﹣q+a，即，
两式相加得m+n＝﹣（p+q）+2a，
所以2a＝m+n+p+q＝2020+2＝2022，
解得a＝1011，
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的对称性的应用，本题的关键是理解点关于的对称点是.
25．D
【解析】
【分析】
分析得出函数的解析式，即可得出的表达式.
【详解】
因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，则，
因此，.
故选：D.
26．C
【解析】
【分析】
的反函数为，代入计算得到答案.
【详解】
∵的反函数为，又，∴，∴.
故选：C.
27．A
【解析】
【分析】
由题意可得，可令，则成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到的最大值．
【详解】
不等式，
所以，
即为，
即有，
可令，
则成立，
由和互为反函数，可得图象关于直线对称，
可得有解，
则，即，
可得，导数为，
可得时，函数递减，时，函数递增，
则时，取得最大值，
可得即有，所以，
可得，
即的最大值为．
故选：A
【点睛】
关键点睛：解答本题有两个关键，其一，是得到有，想到令换元，则成立，；其二，通过转化得到有解，再利用导数解答.
28．B
【解析】
【分析】
先求解出反函数并根据条件得到的关系式，再结合基本不等式求解出的最小值.
【详解】
因为是互为反函数，所以，
又因为，所以，所以且，
又，取等号时，
所以的最小值为，
故选：B.
29．B
【解析】
【分析】
，则，，计算反函数得到答案.
【详解】
函数的图像与函数的图像关于直线对称，
即为的反函数，，则，，
故.
故选：B.
【点睛】
本题考查了求函数的反函数，属于简单题.
30．B
【解析】
【分析】
设点，点，分类讨论和两种情况，结合已知条件可以得到的关系式，分析化简知，代入化简即可得解.
【详解】
设点，点
当时，点，根据指数函数与对数函数的性质知，此时，显然满足条件；
当，，由，知，即，即（*）
又，知，即
将（*）式代入，得
由于，有
因此有，即，即
由于，所以（*）式可知不满足条件，则有
代入（*）式得
所以，故
故选：B
31．C
【解析】
【分析】
函数的图象上存在点满足条件，用t表示出a，利用导数求出a的最大值，
再在的图象上任取点，求该点到直线距离最小值即可作答.
【详解】
依题意，函数的图象上存在点，它关于直线对称的点在函数的图象上，
于是有，即，令，则，显然在上单调递增，在上单调递减，
从而得当时，，即，此时的图象即是直线，
设函数的图象上任意点，点Q到直线的距离为d，P是的图象上任意点，则必有，
，
令，则，于是得在上单调递减，在上单调递增，
当时，，即，当且仅当时取“=”，
所以的最小值是.
故选：C
【点睛】
思路点睛：直线l与函数的图象无公共点，求这两个图象上各取一点的两点距离的最小值，可以转化为曲
线的与l平行的切线到直线l的距离；也可以在曲线上任取点，求该点到直线l的距离的最小值.
32．AD
【解析】
【分析】
选项A，命题的否定修改量词否定结论；选项B可以举反例，正负不确定；选项C函数定义域不同，选项D反函数关于直线对称.
【详解】
选项A，命题的否定修改量词否定结论,所以正确；
选项B，取 ，故不正确；
选项C，函数定义域不同，的 定义域为 ，的定义域为 ,故不是相同的函数,所以不正确；
选项D,函数与是一对反函数，图象关于直线对称，所以正确.
故选：AD.
33．BD
【解析】
【分析】
利用特殊值排除AC，根据反函数确定B选项的正确性，根据函数的奇偶性和单调性确定D选项的正确性.
【详解】
A，满足，但不是奇函数，所以A选项错误.
B，函数的反函数为，，所以B选项正确.
C，，所以C选项错误.
D，函数是偶函数，且在上单调递增，所以在上递减，所以，D选项正确.
故选：BD
34．BC
【解析】
【分析】
对A，根据函数的单调性与最值求解即可；对B，根据奇函数的对称性判断即可；对C，根据反函数的性质判定即可；对D，根据对数函数的单调性与参数的关系判断即可；
【详解】
对A，，故当时，取得最小值，取得最小值，故A错误；
对B，若定义在R上的奇函数在内有100个零点，则函数在内有100个零点，又，故有201个零点，故B正确；
对C，因为函数与互为反函数，故图象关于直线对称，故C正确；
对D，函数（且）在上是减函数，则因为为减函数，故.又由定义域，在上恒为正，故，解得，故数a的取值范围是，故D错误.
故选；BC.
35．BD
【解析】
【分析】
A. 的零点是，不是，所以错误；
B. 与互为反函数，所以正确；
C. 或，所以错误；
D. 的定义域是，不关于原点对称，所以不是偶函数，所以正确.
【详解】
A. 令，所以的零点是，不是，所以错误；
B. 与互为反函数，所以正确；
C. 已知，则或，所以错误；
D. 的定义域是，不关于原点对称，所以不是偶函数，所以正确.
故选：BD
36．
【解析】
【分析】
根据题中条件，得到分别是直线与函数､函数图象交点的横坐标的值，再由和图象关于对称，求出，进而可求出对应方程的解.
【详解】
依题意，是方程的解，是方程的解，
因此分别是直线与函数､函数图象交点的横坐标的值，
又和图象关于对称，则由，所以，
则方程，即为，解得或
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于根据互为反函数的两函数的对称性求出；先由题中条件，将题中条件转化为分别是直线与函数､函数图象交点的横坐标的值，再由与互为反函数，即可求出.
37．
【解析】
【分析】
由反函数所过点求得图象所过点，由此求得的值.
【详解】
依题意函数的反函数的图象经过点，
所以的图象经过点，
所以
故答案为：
38．2
【解析】
【分析】
利用方程的根于函数图象的交点之间的关系，结合指数函数和对数函数互为反函数的关系，作出图象即可求解
【详解】
是方程的根，就是和图象交点的横坐标；
是方程的根，就是和图象交点的横坐标；
在同一坐标系中画出函数，，的图象，如图所示：

由图可知，是和图象交点的横坐标，
是和图象交点的横坐标，
因为与互为反函数，
所以图象关于直线对称，
故点，也关于直线对称，
所以点，为，，
而点，又在上，
所以，，
即，
所以，
故答案为：2
39．
【解析】
【分析】
由反函数的定义可求出的值.
【详解】
解：对于函数，当时，，又的反函数为，
所以当时，，即.
故答案为:
【点睛】
本题考查了反函数的概念，属于基础题.
40．4
【解析】
【分析】
由题意可得，由此可求得实数的值，进而可得，即可得解.
【详解】
由于函数的反函数的图象经过点，
则，解得，
∴函数，
∴.
故答案为：4.
41．
【解析】
【分析】
根据互为反函数的函数间的关系，求反函数值问题可转化为原函数求自变量求解.
【详解】
由的反函数为，
令，
解得，
所以
故答案为：
42．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求得函数的反函数，再利用对数的运算法则求解；
（2）将关于的方程在区间内有解，在区间内有解，令，利用复合函数的单调性得到的单调性求解.
(1)
解：因为函数的反函数为，且，
所以，
所以，
则，
解得；
(2)
因为关于的方程在区间内有解，
所以在区间内有解，
令，
令 ，且在上递增
又 在 上递减，在 上递增，
所以在 上递减，在上递增，
所以当时，，当或0时，，
所以实数m的取值范围是.
43．（1）或；（2）奇函数；（3）（）；（4）.
【解析】
【分析】
（1）解不等式即可求解；
（2）先判断的定义域关于原点对称，再比较与的关系即可求解；
（3）反解，再交换和，注明定义域即可求解；
（4）根据对数函数的单调性可得，再解不等式即可求解.
【详解】
（1）因为，即，解得：或，
所以的定义域为或；
（2）因为的定义域关于原点对称，
且，
所以为奇函数；
（3）因为令，则，可得，
所以，
交换其中的和，可得：，
所以（）.
（4）由可得，
所以，即，所以，
解得：.
所以使的的取值范围为.
44．（1）.
（2）.（3）
【解析】
【分析】
通常情况下，求一个函数的反函数相当于把看成关于x的方程，其中y看成常数，解出，然后将x与y互换，得到所要求的反函数.反函数的定义域为原函数的值域.
【详解】
（1）函数的值域为.
，，∴.
所以该函数的反函数为.
（2）.∵，∴.
∴.所以，该函数的值域为.
又.
所以该函数的反函数为.
（3）当时，，则；
当时，，则.
所以该函数的反函数为
【点睛】
本题考查了反函数的求解.注意， ①根据反函数的定义，不是所有的函数都存在反函数，例如函数就没有反函数.如何判断函数是否存在反函数？可以通过判断对任意函数值y是否存在唯一的自变量x与之对应.这在解方程的过程中也能体现出来，若由解得的的表达式是唯一的，那么函数存在反函数，否则不存在；②函数的反函数的定义域就是原函数的值域，而不是根据的解析式自身确定，因此在求反函数的过程中一般先求原函数的值域.
45．(1)（且）
(2)当时，解集为，当时，解集为
【解析】
【分析】
（1）根据指数函数与对数函数互为反函数，即可求解；
（2）根据题意，得到不等式，分和分类讨论，结合单调性，列出不等式组，即可求解.
(1)
解：因为函数（且），
由指数函数与对数函数互为反函数，可得的反函数为（且）.
(2)
解：由（1）知，可得，
当时，因为函数在上为增函数，
所以，解得；
当时，因为函数在上为减函数，
所以，解得.
综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.
46．（1），定义域为；（2）在区间上单调递增，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用反函数的定义以及函数值域的求法即可求解.
（2）利用函数的单调性定义即可求解.
【详解】
（1）解析：∵，开平方得，
整理得，
∴，定义域为.
（2）在区间上单调递增，证明如下：
任取，且，
则


，
因为，，，
所以，即