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初中数学中考复习 专题16 二次函数的存在性问题（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 专题16 二次函数的存在性问题（解析版），共86页。
决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品
专题16二次函数的存在性问题
【考点1】二次函数与相似三角形问题
【例1】（2020·湖北随州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）直接写出抛物线的解析式和的度数；
（2）动点，同时从点出发，点以每秒3个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
【答案】（1），；（2）t=，D点坐标为； （3）；；； ；； ；； ； ；； ．
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴以及点B坐标可求出抛物线表达式；
（2）过点N作于E，过点D作于F，证明，得到，从而得到点D坐标，代入抛物线表达式，求出t值即可；
（3）设点P（m，），当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，根据△CPQ∽△MDB，得到，从而求出m值，再证明△CPQ∽△MDB，求出CQ长度，从而得到点Q坐标，同理可求出其余点P和点Q坐标.
【详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，
∴，则b=-3a，
∵抛物线经过点B（4，0），
∴16a+4b+1=0，将b=-3a代入，
解得：a=，b=，
抛物线的解析式为：，
令y=0，解得：x=4或-1，
令x=0，则y=1，
∴A（-1，0），C（0，1），
∴tan∠CAO=,
∴；
（2）由（1）易知，
过点N作于E，过点D作于F，
∵∠DMN=90°，
∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°，
∴∠DMF=∠ENM，
， ，
（AAS），
，
由题意得：，，，
，
，
，
，又，
故可解得：t=或0（舍），
经检验，当t=时，点均未到达终点，符合题意，
此时D点坐标为；
（3）由（2）可知：D，t=时，M（，0），B（4，0），C（0，1），
设点P（m，），
如图，当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，
过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，
则PR=m，DS=，
若△CPQ∽△MDB，
∴，则，
，解得：m=0（舍）或1或5（舍），
故点P的坐标为：，
∵△CPQ∽△MDB，
∴，
当点P时，，解得：CQ=，，
∴点Q坐标为（0，），
；
同理可得：点P和点Q的坐标为：
；；
；；
；；；；；；.
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，二次函数表达式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，难度较大，计算量较大，解题时注意结合函数图像，找出符合条件的情形.
【变式1-1】（2019·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或．
【分析】
（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【详解】
解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，，，，
过点A作AH⊥BC与点H，
，解得：，
∴CH＝
则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点或；
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点或；
综上，点或或或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【变式1-2】（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．
（3）当PH＝2时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝或；（3）点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（，4）．
【详解】
（1）点C（0，4），则c＝4，
二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）tan∠ACO＝＝，
△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，
即：tan∠FEB＝或4，
∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，
EB＝4﹣a，
则或，
解得：a＝或；
（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；
分别延长CF、HP交于点N，
∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，
∴∠FPN＝∠NFB，
∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，
∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，
∴△PNF≌△BEF（AAS），
∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，
∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4），
∵PH＝2，
即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，
解得：a＝1或或或（舍去），
故：点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（，4）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【考点2】二次函数与直角三角形问题
【例2】（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点B且与直线相交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标；
（3）点在x轴的正半轴上，点是y轴正半轴上的一动点，且满足．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
【答案】（1）；（2）或（3，）或（-2，-3）；（3）①；②0＜m＜
【分析】
（1）利用一次函数求出A和B的坐标，结合点C坐标，求出二次函数表达式；
（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，当点P在x轴下方时，AP与y轴交于点Q，求出AQ表达式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点P；
（3）①过点C作CD⊥x轴于点D，证明△MNO∽△NCD，可得，整理可得结果；
②作以MC为直径的圆E，根据圆E与线段OD的交点个数来判断M的位置，即可得到m的取值范围.
【详解】
解：（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=4，
∴A（4，0），B（0，2），
∵抛物线经过B（0，2），，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，满足，
∵，
∴，
当点P在x轴下方时，如图，AP与y轴交于点Q，
∵，
∴B，Q关于x轴对称，
∴Q（0，-2），又A（4，0），
设直线AQ的表达式为y=px+q，代入，
，解得：，
∴直线AQ的表达式为：，联立得：
，解得：x=3或-2，
∴点P的坐标为（3，）或（-2，-3），
综上，当时，点P的坐标为：或（3，）或（-2，-3）；
（3）①如图，∠MNC=90°，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠MNO+∠CND=90°，
∵∠OMN+∠MNO=90°，
∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°，
∴△MNO∽△NCD，
∴，即，
整理得：；
②如图，∵∠MNC=90°，
以MC为直径画圆E，
∵，
∴点N在线段OD上（不含O和D），即圆E与线段OD有两个交点（不含O和D），
∵点M在y轴正半轴，
当圆E与线段OD相切时，
有NE=MC，即NE2=MC2，
∵M（0，m），，
∴E（，），
∴=，
解得：m=，
当点M与点O重合时，如图，
此时圆E与线段OD（不含O和D）有一个交点，
∴当0＜m＜时，圆E与线段OD有两个交点，
故m的取值范围是：0＜m＜.
【点睛】
本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.
【变式2-1】如图，抛物线经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）存在，点M的坐标为（，－9）或（，11）．
【分析】
（1）将A（-3，0），B（5，-4）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
（2）先求得AC的长，然后取D（2，0），则AD=AC，连接BD，接下来，证明BC=BD，然后依据SSS可证明△ABC≌△ABD，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB=∠BAD；
（3）作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作AM′⊥AB，作BM⊥AB，分别交抛物线的对称轴与M′、M，依据点A和点B的坐标可得到tan∠BAE=，从而可得到tan∠M′AE=2或tan∠MBF=2，从而可得到FM和M′E的长，故此可得到点M′和点M的坐标．
【详解】
解:（1）将A（-3，0），B（5，-4）两点的坐标分别代入，
得
解得
故抛物线的表达式为y＝．
（2）证明：∵AO=3，OC=4，
∴AC==5．
取D（2，0），则AD=AC=5．
由两点间的距离公式可知BD==5．
∵C（0，-4），B（5，-4），
∴BC=5．
∴BD=BC．
在△ABC和△ABD中，AD=AC，AB=AB，BD=BC，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠CAB=∠BAD，
∴AB平分∠CAO；
（3）存在．如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．
抛物线的对称轴为x=，则AE=．
∵A（-3，0），B（5，-4），
∴tan∠EAB=．
∵∠M′AB=90°．
∴tan∠M′AE=2．
∴M′E=2AE=11，
∴M′（，11）．
同理：tan∠MBF=2．
又∵BF=，
∴FM=5，
∴M（，-9）．
∴点M的坐标为（，11）或（，-9）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM和M′E的长是解题的关键
【变式2-2】（2019·甘肃兰州·中考真题）二次函数的图象交轴于两点，交轴于点.动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接.设运动的时间为秒.
(1)求二次函数的表达式:
(2)连接，当时，求的面积:
(3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标;
(4)当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标
【答案】（1）（2）2（3）（4）或
【解析】
【分析】
（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；
（2）根据题意得出AM,OM,设的解析式为：，将点代入求出解析式，然后将分别代入和中，得：，再根据三角形面积公式，即可解答
（3）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，设，根据题意得出，根据，即可解答
（4）当时，，此时点在二次函数的对称轴上，以点为圆心，长为半径作圆，交于两点，得出，再根据（同弧所对圆周角），即可解答
【详解】
（1）将点代入，得：
解得：
所以，二次函数的表达方式为：
（2）
又
设的解析式为：，将点代入，得：
所以，直线的解析式为：.
将分别代入和中，得：.
.
（3）假设过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，
设，由题意得：
所以，点的坐标为：
（4）当时，，此时点在二次函数的对称轴上，
以点为圆心，长为半径作圆，交于两点
点在该圆上
（同弧所对圆周角）
或
【点睛】
此题考查二次函数的综合应用，解题关键在于将已知点代入解析式
【考点3】二次函数与等腰三角形问题
【例3】（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可；
（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON•xM，即可求解．
【详解】
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，
当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；
（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），
由点A、C、D的坐标得，AC＝，
同理可得：AD＝，CD＝，
①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；
故点D的坐标为（1，1）或（1，）；
（3）∵E（m，0），则设点M（m，﹣m2＋2m＋3），
设直线BM的表达式为y＝sx＋t，则，
解得：，
故直线BM的表达式为y＝﹣x＋，
当x＝0时，y＝，故点N（0，），则ON＝；
S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），
2S2＝ON•xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），
解得m＝﹣2±（舍去负值），
经检验m＝﹣2是方程的根，
故m＝﹣2．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
【变式3-1】（2020·贵州黔东南·中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；（3）存在，P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．
【分析】
（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；
（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；
（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴AC＝，
设点E（0，m），则AE＝，CE＝|m+3|，
∵△ACE是等腰三角形，
∴①当AC＝AE时，＝，
∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），
∴E（3，0），
②当AC＝CE时，＝|m+3|，
∴m＝﹣3±，
∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），
③当AE＝CE时，＝|m+3|，
∴m＝﹣，
∴E（0，﹣），
即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；
（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），
∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，
∴点Q的纵坐标为4，
设Q（t，4），
将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，
∴t＝1+2或t＝1﹣2，
∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），
分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），
∴FB＝PG＝3﹣1＝2，
∴点P的横坐标为（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，
即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．
【点睛】
此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
【变式3-2】（2019·四川眉山·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标；
(3)如图2，连接、，点在线段上(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；(2)点的横坐标为；(3)AN=1或.
【分析】
(1)根据和点可得抛物线的表达式为，可知对称轴为x=-2，代入解析式即可得出顶点坐标；(2)设点，则，，可得矩形的周长，即可求解；(3)由D为顶点，A、B为抛物线与x轴的交点可得AD=BD，即可证明∠DAB=∠DBA，根据，利用角的和差关系可得，即可证明，可得；分、、，三种情况分别求解即可．
【详解】
(1)∵抛物线经过点和点．
∴抛物线的表达式为：，
∴对称轴为：x==-2，
把x=-2代入得：y=4，
∴顶点.
(2)设点，
则，，
矩形的周长，
∵，
∴当时，矩形周长最大，此时，点的横坐标为.
(3)∵点D为抛物线顶点，A、B为抛物线与x轴的交点，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵D（-2，4），A（-5，0），B（1，0）
∴，，
①当时，
∵∠NAM=∠MBD，∠NMA=∠MBD，
∴，
∴，
∴=AB-AM=1；
②当时，则，
∵∠DMN=∠DBA，
∴∠NDM=∠DBA，
∵∠DAB是公共角，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，即，
∴；
③当时，
∵，而，
∴，
∴；
综上所述：或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
【考点4】二次函数与平行四边形问题
【例4】（2020·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．
【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1 （2）（，）； （3）Q，R或Q（，﹣10），R（）
【分析】
（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，则可得出答案；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，﹣），设Q（，m），分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（0，1），B（，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∵点F的横坐标为，
∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，
∴F点的坐标为（，﹣），
又∵点A在抛物线上，
∴c＝1，
对称轴为：x＝﹣，
∴b＝﹣2a，
∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，
∵四边形DBFE为平行四边形．
∴BD＝EF，
∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，
则P'（n，﹣n+1），
∴PP'＝﹣n2+n，
S△ABP＝OB•PP'＝﹣n＝﹣，
∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．
（3）∵，
∴x＝0或x＝，
∴C（，﹣），
设Q（，m），
①当AQ为对角线时，
∴R（﹣），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m+＝﹣+4，
解得m＝﹣，
∴Q，R；
②当AR为对角线时，
∴R（），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m﹣+4，
解得m＝﹣10，
∴Q（，﹣10），R（）．
综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．
【变式4-1】（2020·前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学初三期中）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①，②存在，
【分析】
（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）把代入中，得
解得
∴．
（2）设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得
∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
．
∵，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段上运动，且
∴当时，有最大值．
②∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，
∵C（0，-3）
∴MC=
∴
整理得，
∵，
∴，
解得，，
∴当时，CQ=MN=，
∴OQ=-3-()=
∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，
∴OQ=-3-(-)=
∴Q(0，)；
(ii)若，如图，
则有
整理得，
∵，
∴，
解得，，
当m=-1时，MN=CQ=2，
∴Q（0，-1），
当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
【变式4-2】（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，
【分析】
（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线过，
∴
∴
∴
（2）设，将点代入
∴
过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F
设点，则
由铅垂定理可得
∴面积最大值为
（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，
联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）；
设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，
联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；
联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，
此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，
故点E（1，−3），
综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）．
∴存在，
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
一、单选题
1．如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数（x＞0）图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．不变 D．先变大后变小
【答案】C
【解析】
【分析】
设点P（x，），作BC⊥PA可得BC=OA=x，根据S△PAB=PA•BC=••x=3可得答案．
【详解】
如图，过点B作BC⊥PA于点C，
则BC=OA，
设点P（x，），
则S△PAB=PA•BC==3，
当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会不变，始终等于3，
故选C．
2．已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（ ）
A．1 B． C．2﹣ D．2+
【答案】A
【解析】
【分析】
设B（x1，n）、C（x2，n）．因为△ABC是等腰直角三角形，作AD⊥BC，所以AD＝BC，即BC＝2AD，AD＝n﹣（﹣1）＝n+1，即：BC＝|x1-x2|＝＝＝，所以＝2（n+1），容易求出n＝1．
【详解】
设B（x1，n）、C（x2，n），作AD⊥BC，垂足为D连接AB，AC，
∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点A（2，﹣1），
AD＝n﹣（﹣1）＝n+1
∵直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、C，
∴（x﹣2）2﹣1＝n，
化简，得x2﹣4x+2﹣2n＝0，
x1+x2＝4，x1x2＝2﹣2n，
∴BC＝|x1﹣x2|＝＝＝，
∵点B、C关于对称轴直线AD对称，
∴D为线段BC的中点，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AD＝BC，
即BC＝2AD
＝2（n+1），
∴（2+2n）＝（n+1）2，
化简，得n2＝1，
∴n＝1或﹣1，
n＝﹣1时直线y＝n经过点A，不符合题意舍去，
所以n＝1．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质以及根与系数的关系，正确理解二次函数的图象性质和根与系数的关系是解题的关键．
3．二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，，，…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为( )
A．20 B． C．22 D．
【答案】C
【分析】
由于 , , ，…，都是等腰直角三角形，因此可得出直线 : ，求出，的坐标，得出的长；
利用 的坐标，得直线： ，求出 ,坐标，得出的长；用同样的的方法可求得，…的边长，然后根据各边长的的特点得出一般化规律，求得的长．
【详解】
解： 等腰直角三角形，为原点； 直线：
， ， 的坐标为（1，1），则 为（0，2）
=2
为（0，2），直线 :
（2，4），=4，则（0，6）
（0，6），直线 :
（3，9）， =6，
由上面A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加2
∴△A10B11A11的斜边长为2+10×2=22，
综上，由此可以推出=22．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合题，解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，函数的交点，等腰直角三角形性质等知识点，解答此题的难点是推知 的长．
4．已知抛物线y=﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）
A．始终不相似 B．始终相似 C．只有AB=AD时相似 D．无法确定
【答案】B
【解析】
试题分析：设A（x，-x2+1）根据题意可求出PA、PD、PE的值，从而得出，又∠APE=∠DPA，因此，△PAD∽△PEA.
故选B.
考点: 二次函数综合题.
5．二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）.
A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2
C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大
【答案】D
【解析】1、回想二次函数图象与坐标轴交点的特征，自己试着求出A、B、C三点的坐标；
2、结合A、B、C三点的坐标可得OA=OB=OC，根据两轴互相垂直的性质，利用勾股定理求出AB、AC、BC，至此判断选项A、B、C的正误；
3、找出二次函数图象的对称轴，根据开口方向判断选项D的正误.
本题解析:
根据题意可知：当x=0时，y=1
∴点C的坐标为（0，1）
故选A正确；
当y=0时，x= -1或x=1
∴AB=2
故选项B正确
∵OA=1，OB=1，OC=1
∴AC== BC= =
∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC是等腰直角三角形
故选项C正确；
由y= -x2+1可知：a= -1＜0，对称轴为x=0
∴当x＞0时，y随x增大而减小
故选项D错误
故选D
二、填空题
6．如图，直线与二次函数的图象交于点B、点C，二次函数图象的顶点为A，当是等腰直角三角形时，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】
作抛物线的对称轴，交BC于D，根据抛物线的性质和等腰直角三角形的性质得出B（n+3，n），代入解析式求得即可．
【详解】
作抛物线的对称轴，交BC于D，
∵直线y=n与二次函数y=（x-2）2-1的图象交于点B、点C，
∴BC∥x轴，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=90°，AC=BC，
∵直线CD是抛物线的对称轴，
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵抛物线的顶点为（2，-1），
∴AD=n+1，
∴B（n+3，n），
把B的坐标代入y=（x-2）2-1得，n=（n+3-2）2-1，
解得n=1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了抛物线的性质，等腰直角三角形的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，求得B点的坐标是解题的关键．
7．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出符合要求的一个二次函数解析式：___________________
【答案】y=-x2+1(答案不唯一)
【解析】
【分析】
可以在y轴取一点，x轴上取两点让它们能组成直角三角形的三个顶点，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
【详解】
根据如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个是直角三角形，
所以可以取C（0，1），A（-1，0），B（1，0）三点，
设抛物线的表达式是y=ax2+1，抛物线过（1，0），
所以a+1=0，a=-1．
抛物线是：y=-x2+1．
故答案为：y=-x2+1(答案不唯一)
【点睛】
本题是开放性题目，答案不唯一，考查了利用待定系数法求抛物线的表达式．
8．已知点P为二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若△APC为直角三角形且AC为直角边，则点P的横坐标的值为_____．
【答案】﹣1或﹣2
【分析】
分∠ACP为直角、∠PAC为直角两种情况，利用直线与抛物线的交点求解即可．
【详解】
解：对于y＝x2﹣2x﹣3①，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、B、C的坐标分别为：（3，0）、（﹣1，0）、（0，﹣3）．
①当∠ACP为直角时，如下图，
由点A、C的坐标知，OA＝OC＝3，即直线AC的与x轴负半轴的夹角为45°，
而∠ACP为直角，故直线PC的倾斜角为45°，
故设直线PC的表达式为：y＝﹣x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝﹣3，
故直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣3②，
联立①②并解得：x＝0或﹣1（舍去0），
故点P的坐标为：（﹣1，0）；
②当∠PAC为直角时，
同理可得：点P（﹣2，5）；
故答案为：﹣1或﹣2．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题的关键利用分类讨论的思想求解，避免遗漏．
9．二次函数y＝2x2+4x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若△ABC为直角三角形，则m＝_____．
【答案】﹣．
【解析】
【分析】
根据题意和勾股定理，可以求得m的值，本题得以解决．
【详解】
设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），点A在点B的左边，
∵点C（0，m），二次函数y=2x2+4x+m=2（x+1）2+m-2，
∴点C在y轴的负半轴，x1x2=，
∴m＜0，
∵△ABC为直角三角形，
∴(x2−x1)2＝(x22+m2)+(x12+m2)，
解得，m=-，
故答案为：-．
【点睛】
本题考查勾股定理、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和勾股定理解答．
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D， 其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，当a=时，△ABD是_______三角形；要使△ACB为等腰三角形，则a值为______
【答案】等腰直角 或
【解析】
解：如图1，∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，a=，∴二次函数为y=（x+1）（x﹣3），整理得y=x2﹣x﹣，∴y=（x﹣1）2﹣2，∴顶点D（1，﹣2），作DE⊥AB于E，∴DE=2，DE垂直平分AB，∵AB=3+1=4，∴AE=DE=BE，∴∠DAB=∠ADE，∠ABD=∠BDE，∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∴∠DAB=∠ADE=∠ABD=∠BDE，∴∠ADB=∠DAB+∠CBA=90°，∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，∵AO=1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c=﹣，与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；
同理当AB=AC=4时，∵AO=1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c=﹣与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；
同理当AC=BC时
在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无解．
综上，要使△ACB为等腰三角形，则a值为或；
故答案为：等腰直角，或．
点睛：本题考查了抛物线和x轴的交点，抛物线的解析式，抛物线的对称轴以及顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．二次函数y=一x2+ax+b图象与轴交于,两点，且与轴交于点.
（1）则的形状为 ；
（2）在此抛物线上一动点,使得以四点为顶点的四边形是梯形，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】
试题分析：（1）∵二次函数y＝-x2+ax+b的图象经过、B（2，0）两点，利用待定系数法就可以直接求出a、b的值，求出抛物线的解析式．
（2）在（1）题已将证得∠ACB＝90°，若A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，则有两种情况需要考虑：
①以BC、AP为底，AC为高；可先求出直线BC的解析式，进而可确定直线AP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标．
②以AC、BP为底，BC为高；方法同①．
解：（1））∵二次函数y＝-x2+ax+b的图象经过、B（2，0）两点，由题意，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为：
∴C（0，1），
∴，
CB2＝BO2+CO2＝5，
，
∴AC2+CB2＝AB2，
∴△ACB是直角三角形；
（2）存在，点或；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：；
设过点B且平行于AC的直线的解析式为，
将点代入得：，；
∴；
联立抛物线的解析式有：，解得，或；
∴点；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底，
同理可求得；
故当或时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．
（根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可）
考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）；直角梯形．
12．如图，二次函数Y=-x2-x+2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是______．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据解析式求得点A、C坐标，过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系，配方成顶点式可得其最值情况．
【详解】
解：在y=-x2-x+2中，当x=0时，y=2，
∴C（0，2），
当y=0时，有-x2-x+2=0，解得：x=-4或x=1，
∴点A（-4，0）、B（1，0），
∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，
∴D（m，-m2-m+2），
过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=-m2-m+2，AH=m+4，HO=-m，
∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，
∴S=（m+4）×（-m2-m+2）+（-m2-m+2+2）×（-m），
=-m2-4m+4
=-（m+2）2+8，（-4＜m＜0）；
则m=-2时，S取得最大值，最大值为8，
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识的综合应用，运用割补法列出面积的函数解析式是解决问题的关键．
13．二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：连接BC与AO交于点D，根据菱形的性质可得AO⊥BC，根据∠OBA=120°可得：∠AOB=30°，根据二次函数图象上的点的性质可得点B的坐标为(1，)，则OA=2OD=2，BC=2BD=2，则菱形的面积=×AO×BC=×2×2=2.
考点：二次函数的性质
三、解答题
14．如图，已知二次函数（）的图象与轴交于点和点，与交轴于点，表示当自变量为时的函数值，对于任意实数，均有．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是线段上的动点，过点作，交于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标；
（3）若平行于轴的动直线与该抛物线交于点，与直线交于点，点的坐标为．是否存在这样的直线，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为：或或或
【分析】
（1）根据题意即可求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性即可求出点A的坐标，设二次函数的解析式为，将点C的坐标代入即可求出二次函数的解析式，化为一般式即可；
（2）设点的坐标为，过点作轴于点，根据点A、B、C的坐标即可求出OA、OB、OC、BQ和AB，根据相似三角形的判定及性质，即可用含m的式子表示EG，然后根据即可求出与m的二次函数关系式，根据二次函数求最值即可；
（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别在每种情况下求出点F的坐标，然后根据点P和点F的纵坐标相等，将点P的纵坐标代入二次函数解析式中即可求出点P的横坐标．
【详解】
解：（1）当与时函数值相等，可知抛物线的对称轴为，
由点的坐标可求得点的坐标为
设二次函数的解析式为
将点代入，得
所以，二次函数的解析式为．
（2）设点的坐标为，过点作轴于点，如图
∵（4,0），， ，
∴OA=4，OB=2，OC=4， BQ=m+2
∴AB=6
∵
∴
∵
∴
∴，即，
∴
∴
又∵
∴当时，有最大值3，此时
（3）存在．
①若，如下图所示
则，
∴∠DOF=∠DFO，∠DAF=∠DFA
∴∠DOF+∠DAF=∠DFO+∠DFA=∠OFA
∴是直角三角形，OF⊥AC
∵OA=OC=4
∴点F为AC的中点
∴根据中点坐标公式：点的坐标为
∵直线l∥x轴
∴点P的纵坐标=点F的纵坐标=2，将y=2代入二次函数解析式中，得
，
得，
此时点的坐标为：或
②若，过点作轴于点
由等腰三角形的性质得：，
∴，
在等腰直角三角形AOC中，∠OAC=45°
∴△AMF也是等腰直角三角形
∴FM=AM=3
∴
∵直线l∥x轴
∴点P的纵坐标=点F的纵坐标=3，将y=3代入二次函数解析式中，得
由，得，
此时，点的坐标为：或
③若，
∵，且
∴
∴点到的距离为
而
∴上不存在点使得
此时，不存在这样的直线，使得是等腰三角形
综上，存在这样的直线，使得是等腰三角形，所求点的坐标为：或或或
【点睛】
此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，难度系数较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、把面积最值问题转化为二次函数最值问题和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
（3）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8；（3）存在，点P的其坐标为.
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标；
（3）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．
试题解析：解：（1）设抛物线解析式为，把A、B、C三点坐标代入可得：，解得：，∴抛物线解析式为；
（2）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6，∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8；
（3）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）．
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
16．已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于和，点是线段上的动点（不与重合），过点作轴，与二次函数的图象交于点．
（1）求的值；
（2）求线段长的最大值；
（3）当为的等腰直角三角形时，求出此时点的坐标．
【答案】（1）1，3；（2）最大值为；（3）
【分析】
（1）将点分别代入一次函数解析式可求得b的值，再将点A的坐标代入二次函数可求出a的值；
（2）设，则，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PC的长关于m的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；
（3）同（2）设出点P，C的坐标，根据题意可用含m的式子表示出AC，PC的长，根据AC=PC可得关于m的方程，求得m的值，进而求出点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵在直线上，
∴，
∴．
又∵在拋物线上，
∴，
解得．
（2）设，则，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）如图，∵为的等腰三角形且轴，
∴连接，轴，
∵，
∴，
．
∵，
∴，
化简，得，
解得，（不合题意，舍去）．
当时，，
∴此时点的坐标为．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了求待定系数法求函数解析式，二次函数的最值以及等腰三角形的性质等知识，利用平行于y轴的直线上两点间的距离建立出二次函数模型求出最值是解题关键．
17．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）（2）P1（1，0）和P2（，0）
【解析】
解：（1）∵交x轴于点A，∴0=0.5x+2，解得x=－4．∴A点坐标为：（－4，0）．
∵与y轴交于点B，∴y=2．∴B点坐标为：（0，2）．
∵二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2
∴可设二次函数．
把B（0，2）代入得：a=．
∴二次函数的解析式为：，即．
（2）①当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点，
∵Rt△AOB∽Rt△BOP1，∴．
∴，解得：OP1=1．
∴P1点坐标为（1，0），
②当D为直角顶点时作P2D⊥BD，连接BP2，
将与2联立求出两函数另一交点坐标：D点坐标为：（5，），则AD=．
由A（－4，0），B（0，2）可得AB=．
∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，
∴△ABO∽△AP2D．∴．
∴，解得AP2=．
则OP2=．
∴P2点坐标为（，0）．
③当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0），
则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D得：，
∴．
∵方程无解，∴点P3不存在．
综上所述，点P的坐标为：P1（1，0）和P2（，0）．
（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数，进而求出即可．
（2）分点B为直角顶点，点D为直角顶点，点P为直角顶点三种情况讨论，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．
18．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．
①过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；
②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）①DM＝﹣，DM的最大值为；②M的坐标为（）或（，﹣）．
【分析】
（1）由直线y＝x﹣2得B（4，0）、C（0，﹣2），将B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，列方程组求出b、c即可；
（2）①过点DH∥AB，交直线y＝x﹣2于点H．则∠H＝∠OBC，OC＝2，OB＝4，BC＝2，由sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，即＝，设D（m，m2﹣m﹣2），则H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，所以DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，当m＝2时，DM的最大值为；
②分两种情况：当CM⊥DM时，过点M作ME⊥y轴于点E，点D作DF∥y轴，交EM的延长线于点F；当CD⊥DM时，过点D作DE⊥y轴于点E，点M作MF∥y轴，交ED的延长线于点F，分别求出t的值即可．
【详解】
解（1）由直线y＝x﹣2得
B（4，0）、C（0，﹣2），
将B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，
，
解得b＝，c＝﹣2，
∴二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2；
（2）①过点DH∥AB，交直线y＝x﹣2于点H．
∴∠H＝∠OBC，
∵B（4，0）、C（0，﹣2），
∴OC＝2，OB＝4，BC＝2
∴sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，
即＝，
设D（m，m2﹣m﹣2），则H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），
∴DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，
∴DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，
当m＝2时，DM的最大值为；
②Ⅰ．当CM⊥DM时，过点M作ME⊥y轴于点E，点D作DF∥y轴，交EM的延长线于点F，
∵△CDM为等腰直角三角形，易证△EMC≌△FDM，
∴EM＝DF，EC＝MF，
设M（t，t﹣2），则EM＝t，OE＝﹣t+2，
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣（﹣t+2）＝t，MF＝t，DF＝t，
EF＝EM+MF＝t+t＝，OE+DF＝﹣t+2+t＝t+2，
∴D（t，﹣t﹣2）
将D（t，﹣t﹣2）代入二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2，
，
解得t＝0（舍去）或t＝，
∴M1（）；
Ⅱ．当CD⊥DM时，过点D作DE⊥y轴于点E，点M作MF∥y轴，交ED的延长线于点F，
∵△CDM为等腰直角三角形，易证△CED≌△DFM，
∴DE＝MF，EC＝DF，
设M（t，t﹣2），则EF＝t，CE＝，DE＝t，MF＝t，OC＝t+2
∴D（t，﹣t﹣2），
将D（t，﹣t﹣2）代入二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2，
，
解得t＝0（舍去）或t＝，
∴M2（，﹣）
综上，△CDM为等腰直角三角形，点M的坐标为（）或（，﹣）．
【点睛】
本题考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟运用待定系数法求函数解析式、熟练运运用二次函数的性质以及一线三直角构建全等三角形是解题的关键．
19．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，的半径为，为上一动点．
（1）求点，的坐标？
（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）或，或或；
【分析】
（1）在抛物线解析式中令y＝0可求得B点坐标，令x＝0可求得C点坐标；
（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，根据勾股定理得到BC＝5，，过作轴于，轴于，易得，四边形是矩形，根据相似三角形的性质得到，设，，得到BE＝3−x，CF＝2x−4，于是得到，，求得，过作轴于，轴于，同理求得；②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，过作轴于，易得，根据相似三角形的性质求出，即可得到，同理可得．即可得到结论；
【详解】
（1）在中，令，解得：，令，得，
∴，；
（2）存在点，使得为直角三角形，
①当与相切时，为直角三角形，如图（2），连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
过作轴于，轴于，易得，四边形是矩形，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
过作轴于，轴于，同理求得；
②当时，为直角三角形，过作轴于，如图（2），易得，
∴，
∴，，
∴；
同理可得：；
综上所述：点的坐标为：或，或或．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，圆与直线的位置关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
20．如图，二次函数的图象经过，，三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是线段上的动点（点与线段的端点不重合），若与相似，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）点的坐标为
【分析】
（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可求得直线AC的解析式，设G（k，-2k-2），可表示出AB、BC、AG的长，由条件可知只有△AGB∽△ABC，再利用相似三角形的性质可求得k的值，从而可求得G点坐标．
【详解】
（1）∵二次函数的图象经过，两点，
∴设二次函数的解析式为．
∵二次函数的图象经过点，
，解得．
∴二次函数的解析式为，即．
（2）设直线的函数解析式为，
把的坐标代入，可得解得
∴直线的函数解析式为．
设点的坐标为．
点与点不重合，
与相似只有这一种情况．
由，得．
，，
，
解得或（舍去），
∴点的坐标为．
【点睛】
本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点．在（1）中注意二次函数解析式三种形式的灵活运用，在（2）中确定出只有△AGB∽△ABC一种情况是解题的突破口．
21．如图， 已知二次函数（，，为常数）的对称轴为，与轴的交点为，的最大值为5，顶点为，过点且平行于轴的直线与抛物线交于点，.
（1）求该二次函数的解析式和点，的坐标.
（2）点是直线上的动点，若点，点，点所构成的三角形与相似，求出所有点的坐标.
【答案】（1）y＝−x2＋2x＋4；B（−1，1）；A（3，1）（2）（3，1）或（−3，7）或（，）或（−，）
【分析】
（1）先确定顶点M的坐标，再设顶点式y＝a（x−1）2＋5，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；在计算函数值为1所对应的自变量的值即可得到A、B点的坐标；
（2）先计算出CD＝3，BD＝1，AM＝2，CM＝，AC＝3，则利用勾股定理的逆定理得到△ACM为直角三角形，∠ACM＝90°，根据相似三角形的判定，当时，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，设此时P（x，−x＋4），利用两点间的距离公式得到x2＋（−x＋4−4）2＝（3）2，求出x从而得到此时P点坐标；当时，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，利用同样方法求出对应的P点坐标．
【详解】
（1）根据题意得抛物线的顶点M的坐标为（1，5），
设抛物线的解析式为y＝a（x−1）2＋5，
把C（0，4）代入y＝a（x−1）2＋5得a＋5＝4，
解得a＝−1，
所以抛物线解析式为y＝−（x−1）2＋5，
即y＝−x2＋2x＋4；
当y＝1时，−x2＋2x＋4＝1，
解得x1＝−1，x2＝3，则B（−1，1），A（3，1）；
（2）∵，
∴CD＝3，BD＝1，
故AM＝=2，CM＝，AC=
设直线AC的解析式为y＝kx＋b
把A（3，1），C（0，4）代入得
解得
∴直线AC的解析式为y＝−x＋4，
∵CM2＋AC2＝AM2，
∴△ACM为直角三角形，∠ACM＝90°，
∴∠BDC＝∠MCP，
如图1，当时，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，
设此时P（x，−x＋4），
∴x2＋（−x＋4−4）2＝（3）2，解得x＝±3，则此时P点坐标为（3，1）或（−3，7）；
如图2，当时，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，
设此时P（x，−x＋4），
∴x2＋（−x＋4−4）2＝（）2，解得x＝±，则此时P点坐标为（，）或（−，）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（3，1）或（−3，7）或（，）或（−，）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
22．如图，已知二次函数的图像过点A(－4，3），B(4，4).
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：
（1）将A(－4，3），B(4，4)代人中，
， 整理得： 解得
∴二次函数的解析式为：，即：。
（2）由 整理得 ，解得。
∴C （－2，0），D 。
∴AC2=4+9 ，BC2=36+16，AC2+ BC2=13+52=65，AB2=64+1=65，
∴ AC2+ BC2=AB2 。∴△ACB是直角三角形。
（3）设（x<0），则PH=， HD=。
又∵AC=， BC=，
①当△PHD∽△ACB时有：，即：，
整理得 ，解得（舍去），此时，。
∴。
②当△DHP∽△ACB时有：， 即：，
整理 ，解得（舍去），此时，。
∴。
综上所述，满足条件的点有两个即，。
【解析】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理的应用，相似三角形的判定性质，坐标系中点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，解一元二次方程和二元一次方程组。
【分析】（1）求二次函数的解析式，也就是要求中a、b的值，只要把A(-4，3），B(4，4)代人即可。
（2）求证△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的长度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。
（3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标。
23．如图，二次函数的图像交轴于，交轴于，过画直线。
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，请判断是否存在以P、Q、O、C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在轴右侧的点在二次函数图像上，以为圆心的圆与直线相切，切点为。且△CHM∽△AOC（点与点对应），求点的坐标。
【答案】（1） （2）(2,2),( ,),(,)；（，）。
（3）或
【解析】
试题分析：解：（1）∵二次函数的图像交轴于，∴设该二次函数的解析式为：，又二次函数的图像交轴于，将代入，得，解得，，∴抛物线的解析式为，即;
（2）若OC为平行四边形的边，设P（，），Q（，），则PQ=，P、Q、O、C为顶点的四边形为平行四边形，则，∴（舍去），，；∴(2,2),( ,),(,)；若OC为平行四边形的对角线，则（，）。
（3）∵△CHM∽△AOC，点与点对应，∴
情形1：如上图，当在点下方时，∵
∴轴，∴，点在二次函数图像上，
∴ ，解得（舍去）或，∴；
情形2：如图，当在点上方时，∵，设交轴于点P，设，则，在中，
由勾股定理，得，解得，，即，
为直线与抛物线的另一交点,设直线的解析式为,把的坐标代入，得，解得，，∴,由，解得，（舍去）或
此时，∴,∴点的坐标为或
考点：二次函数在几何中的应用
点评：该题需要考虑的情况有多种，这是难点，需要学生经常练习，积累经验，结合图形找出突破口。
24．如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形.
（1）试求、的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点沿线段从到，同时动点沿线段从到都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当运动过程中能否存在？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？
②当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？
【答案】（1），；（2） ①当点运动到距离点个单位长度处，有；②当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.
【分析】
（1）根据一次函数解析式求出A和C的坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B的坐标，根据平行四边形的性质求出点D的坐标，利用待定系数法即可得出二次函数的表达式；
（2）①设点P运动了t秒，PQ⊥AC，进而求出AP、CQ和AQ的值，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，即可得出答案；
②将问题化简为△APQ的面积的最大值，根据几何关系列出关于时间的二次函数，根据二次函数的性质，求出函数的最大值，即求出△APQ的面积的最大值，进而求出四边形PDCQ面积的最小值.
【详解】
解：（1）由，
令，得，所以点；
令，得，所以点，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴点坐标为，
又∵四边形是平行四边形，
∴点坐标为，
将点、点代入二次函数，可得，
解得：，
故该二次函数解析式为：.
（2）∵，，
∴.
①设点运动了秒时，，此时，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：.
即当点运动到距离点个单位长度处，有.
②∵，且，
∴当的面积最大时，四边形的面积最小，
当动点运动秒时，，，，
设底边上的高为，作于点，
由可得：，
解得：，
∴，
∴当时，达到最大值，此时，
故当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，难度系数较大，解题关键是将四边形PDCQ面积的最小值转化为△APQ的面积的最大值并根据题意列出的函数关系式.
25．（14分）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求证：四边形ACHD是正方形；
（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线交二次函数的图象于另一点N．
①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；
②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．
【答案】（1）；（2）证明见试题解析；（3）①（﹣3＜t＜0 ）；②12或．
【解析】
试题分析：（1）根据二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），即可求出a、b的值，从而得到二次函数的表达式；
（2）先求出点C、G、H、D的坐标；然后得出AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，从而得到四边形ACHD是正方形；
（3）①作ME⊥x轴于点E，作MF⊥y轴于点F，则S=，再分别求出，即可；
②首先设点N的坐标是（，），则NI=，∴=，再根据t＜0，＞0，可得==，得到，然后求出k的值，进而求出，的值，再把它们代入S关于t的函数表达式，求出S的值是多少即可．
试题解析：（1）∵二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），∴，解得：，∴二次函数的表达式为；
（2）如图1，
，
∵二次函数的表达式为，∴点C的坐标为（0，3），∵=，∴点G的坐标是（﹣1，4），∵点C的坐标为（0，3），∴设CG所在的直线的解析式是，则﹣m+3=4，∴m=﹣1，∴CG所在的直线的解析式是，∴点H的坐标是（3，0），设点D的坐标是（0，p），则，∴p=﹣3，∵AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，∴四边形ACHD是正方形；
（3）①如图2，作ME⊥x轴于点E，作MF⊥y轴于点F，
，
∵四边形ADCM的面积为S，∴S=，∵AO=OD=3，∴S△AOD=3×3÷2=4.5，∵点M（t，p）是与在第二象限内的交点，∴点M的坐标是（t，），∵ME=，MF=﹣t，∴S四边形AOCM==，
∴=（﹣3＜t＜0 ）；
②如图3，作NI⊥x轴于点I，
，
设点N的坐标是（，），则NI=，∴=，∵t＜0，＞0，∴==，∴，联立，可得，∵、t是方程的两个根，∴，∵，∴，解得或，
（a）当时，由，解得，或（舍去）．
（b）当时，由，解得，或（舍去），
∴，或，
当时，S==，
当时，S===，
∴S的值是12或．
考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．压轴题．
26．如图，已知二次函数c为常数的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
求该二次函数的解析式及点M的坐标．
过该二次函数图象上一点P作y轴的平行线，交一边于点Q，是否存在点P，使得以点P、Q、C、O为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
点N是射线CA上的动点，若点M、C、N所构成的三角形与相似，请直接写出所有点N的坐标直接写出结果，不必写解答过程．
【答案】二次函数解析式为，点M的坐标为； 存在平行四边形，； ，，，．
【解析】
【分析】
将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；
根据平行四边形的判定对边平行且相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
由题意分析可得，则若与相似，则要进行分类讨论，分成∽或∽两种，然后利用边的对应比值求出N点坐标的横坐标，再利用自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】
把点，点代入二次函数得，
解得
二次函数解析式为，
配方得，
点M的坐标为；
由知，当时，
，
解之，或
、
令P点横坐标为m，
当PQ与BC边相交时，
，
此时不存在平行四边形．
当PQ与AC 边相交时，
由、可得直线AC解析式
，
，
，
令
，
，
，
此方程无解，
此时不存在平行四边形．
当PQ与AB 边相交时，
、
，
令
，
化简，得，
解得，
当时，，
点坐标为，
此时，存在平行四边形，；
连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为
，
，
，
把代入解得，则点P坐标为，
，，
，
，
由此可知，若点N在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点
若有∽，则有，
，，
，
，
，
若点N在y轴右侧，作轴，
，
，
把代入，解得，
；
同理可得，若点N在y轴左侧，
把代入，解得
；
若有∽，则有
，
，
若点N在y轴右侧，把代入，解得；
若点N在y轴左侧，把代入，解得
；．
所有符合题意得点N坐标有4个，分别为，，，．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解的关键是利用待定系数法；解的关键是利用平行四边形的判定得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏；解的关键是利用相似三角形的性质得出N点的横坐标，要分类讨论，以防遗漏．
27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线顶点，点是直线下方的抛物线上一动点．
（）这个二次函数的表达式为____________．
（）设直线的解析式为，则不等式的解集为___________．
（）连结、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
（）当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积．
（）若把条件“点是直线下方的抛物线上一动点．”改为“点是抛物线上的任一动点”，其它条件不变，当以、、、为顶点的四边形为梯形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）；（2）x≤0或x≥3；（3）；（4）当P（，）时，S四边形ABPC最大；（5）点P的坐标为（－2，5），（2，－3）或（4，5）．
【解析】
试题分析：（1）直接设成顶点式即可得出抛物线解析式；
（2）先确定出点B，C坐标，再根据图象直接写出范围；
（3）利用菱形的性质得出PO=PC即可得出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可得出结论；
（4）先利用坐标系中几何图形的面积的计算方法建立函数关系式即可求出面积的最大值；
（5）先求出直线BC，BC，CD的解析式，分三种情况利用梯形的性质，一组对边平行即可得出直线DP1，CP2，BP3的解析式，分别联立抛物线的解析式建立方程组求解即可．
试题解析：解：（1）∵点D（1，﹣4）是抛物线y=x2+bx+c的顶点，∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案为y=x2﹣2x﹣3；
（2）令x=0，∴y=﹣3，∴C（0，﹣3），令y=0，∴x2﹣2x﹣3=0，∴x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴不等式x2+bx+c≥kx+m的解集为x＜0或＞3．故答案为x＜0或＞3；
（3）如图1．∵四边形POP′C为菱形，∴PO=PC．∵C（0，﹣3），∴点P的纵坐标为﹣．∵P在抛物线y=x2﹣2x﹣3上，∴﹣=x2﹣2x﹣3，∴x=或x=（舍），∴P（．﹣）；
（4）如图2，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC的解析式为y=x﹣3，过点P作PE∥y轴交BC于E，设P（m，m2﹣2m﹣3），（0＜m＜3）
∴E（m，m﹣3），∴PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴S四边形ABPC=S△ABC+S△PCE+S△PBE=AB•OC+PE•|xP|+PE•|xB﹣xP|
=AB•OC+PE（|xP|+|xB﹣xP|）=×4×3+（﹣m2+3m）×（m+3﹣m）
=6+×（﹣m2+3m）=﹣（m﹣）2+
当m=时，S四边形ABPC最大=．
当m=时，m2﹣2m﹣3=，∴P（，）．
（5）如图，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），∴直线BC的解析式为y=x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6，直线CD的解析式为y=﹣x﹣3．∵以P、C、D、B为顶点的四边形为梯形．∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3①；
①当DP1∥BC时，∴直线DP1的解析式为y=x﹣5②，联立①②解得，点P1（2，﹣3），[另一个点为（1，﹣4）和点D重合，舍去]
②当CP2∥BD时，∴直线CP2的解析式为y=2x﹣3③，联立①③解得点P2（4，5）
③当BP3∥CD时，∴直线BP3∥CD的解析式为y=﹣x+3④，联立①④解得点P3（﹣2，5）．
综上所述：以P、C、D、B为顶点的四边形为梯形时，点P的坐标为（﹣2，5）、（2，﹣3）或（4，5）．
点睛：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，不规则图形的面积的计算方法，菱形的性质，梯形的性质，解答本题的关键是用方程或方程组的思想解决问题．
28．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（－1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值．
【答案】（1）y=－；（2）周长最大值为10
【分析】
（1）设二次函数表达式为：y＝a（x−1）2＋4，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）设点M的坐标为（x，−x2＋2x＋3），根据对称性得到点N（2−x，−x2＋2x＋3），再表示出矩形MNHG的周长C＝2MN＋2GM＝2（2x−2）＋2（−x2＋2x＋3）＝−2x2＋8x＋2，即可求解．
【详解】
（1）设抛物线的解析式为y=，
把B（－1，0）代入解析式得：4a＋4=0，
解得a=－1，
∴y=－=－；
（2）设点M的坐标为（x，−x2＋2x＋3），
∵二次函数对称轴为x=1，
∴点N（2−x，−x2＋2x＋3），
则MN＝x−2＋x＝2x−2，GM＝−x2＋2x＋3，
矩形MNHG的周长C＝2MN＋2GM＝2（2x−2）＋2（−x2＋2x＋3）＝−2x2＋8x＋2，
∵−2＜0，故当x＝−＝2，C有最大值，最大值为10，
故该矩形周长的最大值为10．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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专题16二次函数的存在性问题
【考点1】二次函数与相似三角形问题
【例1】（2020·湖北随州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）直接写出抛物线的解析式和的度数；
（2）动点，同时从点出发，点以每秒3个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
【答案】（1），；（2）t=，D点坐标为； （3）；；； ；； ；； ； ；； ．
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴以及点B坐标可求出抛物线表达式；
（2）过点N作于E，过点D作于F，证明，得到，从而得到点D坐标，代入抛物线表达式，求出t值即可；
（3）设点P（m，），当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，根据△CPQ∽△MDB，得到，从而求出m值，再证明△CPQ∽△MDB，求出CQ长度，从而得到点Q坐标，同理可求出其余点P和点Q坐标.
【详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，
∴，则b=-3a，
∵抛物线经过点B（4，0），
∴16a+4b+1=0，将b=-3a代入，
解得：a=，b=，
抛物线的解析式为：，
令y=0，解得：x=4或-1，
令x=0，则y=1，
∴A（-1，0），C（0，1），
∴tan∠CAO=,
∴；
（2）由（1）易知，
过点N作于E，过点D作于F，
∵∠DMN=90°，
∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°，
∴∠DMF=∠ENM，
， ，
（AAS），
，
由题意得：，，，
，
，
，
，又，
故可解得：t=或0（舍），
经检验，当t=时，点均未到达终点，符合题意，
此时D点坐标为；
（3）由（2）可知：D，t=时，M（，0），B（4，0），C（0，1），
设点P（m，），
如图，当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，
过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，
则PR=m，DS=，
若△CPQ∽△MDB，
∴，则，
，解得：m=0（舍）或1或5（舍），
故点P的坐标为：，
∵△CPQ∽△MDB，
∴，
当点P时，，解得：CQ=，，
∴点Q坐标为（0，），
；
同理可得：点P和点Q的坐标为：
；；
；；
；；；；；；.
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，二次函数表达式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，难度较大，计算量较大，解题时注意结合函数图像，找出符合条件的情形.
【变式1-1】（2019·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或．
【分析】
（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【详解】
解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，，，，
过点A作AH⊥BC与点H，
，解得：，
∴CH＝
则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点或；
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点或；
综上，点或或或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【变式1-2】（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．
（3）当PH＝2时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝或；（3）点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（，4）．
【详解】
（1）点C（0，4），则c＝4，
二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）tan∠ACO＝＝，
△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，
即：tan∠FEB＝或4，
∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，
EB＝4﹣a，
则或，
解得：a＝或；
（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；
分别延长CF、HP交于点N，
∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，
∴∠FPN＝∠NFB，
∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，
∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，
∴△PNF≌△BEF（AAS），
∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，
∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4），
∵PH＝2，
即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，
解得：a＝1或或或（舍去），
故：点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（，4）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【考点2】二次函数与直角三角形问题
【例2】（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点B且与直线相交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标；
（3）点在x轴的正半轴上，点是y轴正半轴上的一动点，且满足．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
【答案】（1）；（2）或（3，）或（-2，-3）；（3）①；②0＜m＜
【分析】
（1）利用一次函数求出A和B的坐标，结合点C坐标，求出二次函数表达式；
（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，当点P在x轴下方时，AP与y轴交于点Q，求出AQ表达式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点P；
（3）①过点C作CD⊥x轴于点D，证明△MNO∽△NCD，可得，整理可得结果；
②作以MC为直径的圆E，根据圆E与线段OD的交点个数来判断M的位置，即可得到m的取值范围.
【详解】
解：（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=4，
∴A（4，0），B（0，2），
∵抛物线经过B（0，2），，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，满足，
∵，
∴，
当点P在x轴下方时，如图，AP与y轴交于点Q，
∵，
∴B，Q关于x轴对称，
∴Q（0，-2），又A（4，0），
设直线AQ的表达式为y=px+q，代入，
，解得：，
∴直线AQ的表达式为：，联立得：
，解得：x=3或-2，
∴点P的坐标为（3，）或（-2，-3），
综上，当时，点P的坐标为：或（3，）或（-2，-3）；
（3）①如图，∠MNC=90°，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠MNO+∠CND=90°，
∵∠OMN+∠MNO=90°，
∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°，
∴△MNO∽△NCD，
∴，即，
整理得：；
②如图，∵∠MNC=90°，
以MC为直径画圆E，
∵，
∴点N在线段OD上（不含O和D），即圆E与线段OD有两个交点（不含O和D），
∵点M在y轴正半轴，
当圆E与线段OD相切时，
有NE=MC，即NE2=MC2，
∵M（0，m），，
∴E（，），
∴=，
解得：m=，
当点M与点O重合时，如图，
此时圆E与线段OD（不含O和D）有一个交点，
∴当0＜m＜时，圆E与线段OD有两个交点，
故m的取值范围是：0＜m＜.
【点睛】
本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.
【变式2-1】如图，抛物线经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）存在，点M的坐标为（，－9）或（，11）．
【分析】
（1）将A（-3，0），B（5，-4）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
（2）先求得AC的长，然后取D（2，0），则AD=AC，连接BD，接下来，证明BC=BD，然后依据SSS可证明△ABC≌△ABD，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB=∠BAD；
（3）作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作AM′⊥AB，作BM⊥AB，分别交抛物线的对称轴与M′、M，依据点A和点B的坐标可得到tan∠BAE=，从而可得到tan∠M′AE=2或tan∠MBF=2，从而可得到FM和M′E的长，故此可得到点M′和点M的坐标．
【详解】
解:（1）将A（-3，0），B（5，-4）两点的坐标分别代入，
得
解得
故抛物线的表达式为y＝．
（2）证明：∵AO=3，OC=4，
∴AC==5．
取D（2，0），则AD=AC=5．
由两点间的距离公式可知BD==5．
∵C（0，-4），B（5，-4），
∴BC=5．
∴BD=BC．
在△ABC和△ABD中，AD=AC，AB=AB，BD=BC，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠CAB=∠BAD，
∴AB平分∠CAO；
（3）存在．如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．
抛物线的对称轴为x=，则AE=．
∵A（-3，0），B（5，-4），
∴tan∠EAB=．
∵∠M′AB=90°．
∴tan∠M′AE=2．
∴M′E=2AE=11，
∴M′（，11）．
同理：tan∠MBF=2．
又∵BF=，
∴FM=5，
∴M（，-9）．
∴点M的坐标为（，11）或（，-9）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM和M′E的长是解题的关键
【变式2-2】（2019·甘肃兰州·中考真题）二次函数的图象交轴于两点，交轴于点.动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接.设运动的时间为秒.
(1)求二次函数的表达式:
(2)连接，当时，求的面积:
(3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标;
(4)当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标
【答案】（1）（2）2（3）（4）或
【解析】
【分析】
（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；
（2）根据题意得出AM,OM,设的解析式为：，将点代入求出解析式，然后将分别代入和中，得：，再根据三角形面积公式，即可解答
（3）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，设，根据题意得出，根据，即可解答
（4）当时，，此时点在二次函数的对称轴上，以点为圆心，长为半径作圆，交于两点，得出，再根据（同弧所对圆周角），即可解答
【详解】
（1）将点代入，得：
解得：
所以，二次函数的表达方式为：
（2）
又
设的解析式为：，将点代入，得：
所以，直线的解析式为：.
将分别代入和中，得：.
.
（3）假设过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，
设，由题意得：
所以，点的坐标为：
（4）当时，，此时点在二次函数的对称轴上，
以点为圆心，长为半径作圆，交于两点
点在该圆上
（同弧所对圆周角）
或
【点睛】
此题考查二次函数的综合应用，解题关键在于将已知点代入解析式
【考点3】二次函数与等腰三角形问题
【例3】（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可；
（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON•xM，即可求解．
【详解】
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，
当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；
（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），
由点A、C、D的坐标得，AC＝，
同理可得：AD＝，CD＝，
①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；
故点D的坐标为（1，1）或（1，）；
（3）∵E（m，0），则设点M（m，﹣m2＋2m＋3），
设直线BM的表达式为y＝sx＋t，则，
解得：，
故直线BM的表达式为y＝﹣x＋，
当x＝0时，y＝，故点N（0，），则ON＝；
S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），
2S2＝ON•xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），
解得m＝﹣2±（舍去负值），
经检验m＝﹣2是方程的根，
故m＝﹣2．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
【变式3-1】（2020·贵州黔东南·中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；（3）存在，P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．
【分析】
（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；
（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；
（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴AC＝，
设点E（0，m），则AE＝，CE＝|m+3|，
∵△ACE是等腰三角形，
∴①当AC＝AE时，＝，
∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），
∴E（3，0），
②当AC＝CE时，＝|m+3|，
∴m＝﹣3±，
∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），
③当AE＝CE时，＝|m+3|，
∴m＝﹣，
∴E（0，﹣），
即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；
（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），
∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，
∴点Q的纵坐标为4，
设Q（t，4），
将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，
∴t＝1+2或t＝1﹣2，
∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），
分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），
∴FB＝PG＝3﹣1＝2，
∴点P的横坐标为（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，
即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．
【点睛】
此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
【变式3-2】（2019·四川眉山·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标；
(3)如图2，连接、，点在线段上(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；(2)点的横坐标为；(3)AN=1或.
【分析】
(1)根据和点可得抛物线的表达式为，可知对称轴为x=-2，代入解析式即可得出顶点坐标；(2)设点，则，，可得矩形的周长，即可求解；(3)由D为顶点，A、B为抛物线与x轴的交点可得AD=BD，即可证明∠DAB=∠DBA，根据，利用角的和差关系可得，即可证明，可得；分、、，三种情况分别求解即可．
【详解】
(1)∵抛物线经过点和点．
∴抛物线的表达式为：，
∴对称轴为：x==-2，
把x=-2代入得：y=4，
∴顶点.
(2)设点，
则，，
矩形的周长，
∵，
∴当时，矩形周长最大，此时，点的横坐标为.
(3)∵点D为抛物线顶点，A、B为抛物线与x轴的交点，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵D（-2，4），A（-5，0），B（1，0）
∴，，
①当时，
∵∠NAM=∠MBD，∠NMA=∠MBD，
∴，
∴，
∴=AB-AM=1；
②当时，则，
∵∠DMN=∠DBA，
∴∠NDM=∠DBA，
∵∠DAB是公共角，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，即，
∴；
③当时，
∵，而，
∴，
∴；
综上所述：或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
【考点4】二次函数与平行四边形问题
【例4】（2020·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．
【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1 （2）（，）； （3）Q，R或Q（，﹣10），R（）
【分析】
（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，则可得出答案；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，﹣），设Q（，m），分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（0，1），B（，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∵点F的横坐标为，
∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，
∴F点的坐标为（，﹣），
又∵点A在抛物线上，
∴c＝1，
对称轴为：x＝﹣，
∴b＝﹣2a，
∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，
∵四边形DBFE为平行四边形．
∴BD＝EF，
∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，
则P'（n，﹣n+1），
∴PP'＝﹣n2+n，
S△ABP＝OB•PP'＝﹣n＝﹣，
∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．
（3）∵，
∴x＝0或x＝，
∴C（，﹣），
设Q（，m），
①当AQ为对角线时，
∴R（﹣），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m+＝﹣+4，
解得m＝﹣，
∴Q，R；
②当AR为对角线时，
∴R（），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m﹣+4，
解得m＝﹣10，
∴Q（，﹣10），R（）．
综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．
【变式4-1】（2020·前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学初三期中）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①，②存在，
【分析】
（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）把代入中，得
解得
∴．
（2）设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得
∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
．
∵，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段上运动，且
∴当时，有最大值．
②∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，
∵C（0，-3）
∴MC=
∴
整理得，
∵，
∴，
解得，，
∴当时，CQ=MN=，
∴OQ=-3-()=
∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，
∴OQ=-3-(-)=
∴Q(0，)；
(ii)若，如图，
则有
整理得，
∵，
∴，
解得，，
当m=-1时，MN=CQ=2，
∴Q（0，-1），
当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
【变式4-2】（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，
【分析】
（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线过，
∴
∴
∴
（2）设，将点代入
∴
过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F
设点，则
由铅垂定理可得
∴面积最大值为
（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，
联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）；
设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，
联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；
联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，
此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，
故点E（1，−3），
综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）．
∴存在，
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
一、单选题
1．如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数（x＞0）图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．不变 D．先变大后变小
【答案】C
【解析】
【分析】
设点P（x，），作BC⊥PA可得BC=OA=x，根据S△PAB=PA•BC=••x=3可得答案．
【详解】
如图，过点B作BC⊥PA于点C，
则BC=OA，
设点P（x，），
则S△PAB=PA•BC==3，
当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会不变，始终等于3，
故选C．
2．已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（ ）
A．1 B． C．2﹣ D．2+
【答案】A
【解析】
【分析】
设B（x1，n）、C（x2，n）．因为△ABC是等腰直角三角形，作AD⊥BC，所以AD＝BC，即BC＝2AD，AD＝n﹣（﹣1）＝n+1，即：BC＝|x1-x2|＝＝＝，所以＝2（n+1），容易求出n＝1．
【详解】
设B（x1，n）、C（x2，n），作AD⊥BC，垂足为D连接AB，AC，
∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点A（2，﹣1），
AD＝n﹣（﹣1）＝n+1
∵直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、C，
∴（x﹣2）2﹣1＝n，
化简，得x2﹣4x+2﹣2n＝0，
x1+x2＝4，x1x2＝2﹣2n，
∴BC＝|x1﹣x2|＝＝＝，
∵点B、C关于对称轴直线AD对称，
∴D为线段BC的中点，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AD＝BC，
即BC＝2AD
＝2（n+1），
∴（2+2n）＝（n+1）2，
化简，得n2＝1，
∴n＝1或﹣1，
n＝﹣1时直线y＝n经过点A，不符合题意舍去，
所以n＝1．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质以及根与系数的关系，正确理解二次函数的图象性质和根与系数的关系是解题的关键．
3．二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，，，…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为( )
A．20 B． C．22 D．
【答案】C
【分析】
由于 , , ，…，都是等腰直角三角形，因此可得出直线 : ，求出，的坐标，得出的长；
利用 的坐标，得直线： ，求出 ,坐标，得出的长；用同样的的方法可求得，…的边长，然后根据各边长的的特点得出一般化规律，求得的长．
【详解】
解： 等腰直角三角形，为原点； 直线：
， ， 的坐标为（1，1），则 为（0，2）
=2
为（0，2），直线 :
（2，4），=4，则（0，6）
（0，6），直线 :
（3，9）， =6，
由上面A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加2
∴△A10B11A11的斜边长为2+10×2=22，
综上，由此可以推出=22．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合题，解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，函数的交点，等腰直角三角形性质等知识点，解答此题的难点是推知 的长．
4．已知抛物线y=﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）
A．始终不相似 B．始终相似 C．只有AB=AD时相似 D．无法确定
【答案】B
【解析】
试题分析：设A（x，-x2+1）根据题意可求出PA、PD、PE的值，从而得出，又∠APE=∠DPA，因此，△PAD∽△PEA.
故选B.
考点: 二次函数综合题.
5．二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）.
A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2
C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大
【答案】D
【解析】1、回想二次函数图象与坐标轴交点的特征，自己试着求出A、B、C三点的坐标；
2、结合A、B、C三点的坐标可得OA=OB=OC，根据两轴互相垂直的性质，利用勾股定理求出AB、AC、BC，至此判断选项A、B、C的正误；
3、找出二次函数图象的对称轴，根据开口方向判断选项D的正误.
本题解析:
根据题意可知：当x=0时，y=1
∴点C的坐标为（0，1）
故选A正确；
当y=0时，x= -1或x=1
∴AB=2
故选项B正确
∵OA=1，OB=1，OC=1
∴AC== BC= =
∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC是等腰直角三角形
故选项C正确；
由y= -x2+1可知：a= -1＜0，对称轴为x=0
∴当x＞0时，y随x增大而减小
故选项D错误
故选D
二、填空题
6．如图，直线与二次函数的图象交于点B、点C，二次函数图象的顶点为A，当是等腰直角三角形时，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】
作抛物线的对称轴，交BC于D，根据抛物线的性质和等腰直角三角形的性质得出B（n+3，n），代入解析式求得即可．
【详解】
作抛物线的对称轴，交BC于D，
∵直线y=n与二次函数y=（x-2）2-1的图象交于点B、点C，
∴BC∥x轴，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=90°，AC=BC，
∵直线CD是抛物线的对称轴，
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵抛物线的顶点为（2，-1），
∴AD=n+1，
∴B（n+3，n），
把B的坐标代入y=（x-2）2-1得，n=（n+3-2）2-1，
解得n=1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了抛物线的性质，等腰直角三角形的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，求得B点的坐标是解题的关键．
7．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出符合要求的一个二次函数解析式：___________________
【答案】y=-x2+1(答案不唯一)
【解析】
【分析】
可以在y轴取一点，x轴上取两点让它们能组成直角三角形的三个顶点，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
【详解】
根据如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个是直角三角形，
所以可以取C（0，1），A（-1，0），B（1，0）三点，
设抛物线的表达式是y=ax2+1，抛物线过（1，0），
所以a+1=0，a=-1．
抛物线是：y=-x2+1．
故答案为：y=-x2+1(答案不唯一)
【点睛】
本题是开放性题目，答案不唯一，考查了利用待定系数法求抛物线的表达式．
8．已知点P为二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若△APC为直角三角形且AC为直角边，则点P的横坐标的值为_____．
【答案】﹣1或﹣2
【分析】
分∠ACP为直角、∠PAC为直角两种情况，利用直线与抛物线的交点求解即可．
【详解】
解：对于y＝x2﹣2x﹣3①，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、B、C的坐标分别为：（3，0）、（﹣1，0）、（0，﹣3）．
①当∠ACP为直角时，如下图，
由点A、C的坐标知，OA＝OC＝3，即直线AC的与x轴负半轴的夹角为45°，
而∠ACP为直角，故直线PC的倾斜角为45°，
故设直线PC的表达式为：y＝﹣x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝﹣3，
故直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣3②，
联立①②并解得：x＝0或﹣1（舍去0），
故点P的坐标为：（﹣1，0）；
②当∠PAC为直角时，
同理可得：点P（﹣2，5）；
故答案为：﹣1或﹣2．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题的关键利用分类讨论的思想求解，避免遗漏．
9．二次函数y＝2x2+4x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若△ABC为直角三角形，则m＝_____．
【答案】﹣．
【解析】
【分析】
根据题意和勾股定理，可以求得m的值，本题得以解决．
【详解】
设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），点A在点B的左边，
∵点C（0，m），二次函数y=2x2+4x+m=2（x+1）2+m-2，
∴点C在y轴的负半轴，x1x2=，
∴m＜0，
∵△ABC为直角三角形，
∴(x2−x1)2＝(x22+m2)+(x12+m2)，
解得，m=-，
故答案为：-．
【点睛】
本题考查勾股定理、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和勾股定理解答．
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D， 其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，当a=时，△ABD是_______三角形；要使△ACB为等腰三角形，则a值为______
【答案】等腰直角 或
【解析】
解：如图1，∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，a=，∴二次函数为y=（x+1）（x﹣3），整理得y=x2﹣x﹣，∴y=（x﹣1）2﹣2，∴顶点D（1，﹣2），作DE⊥AB于E，∴DE=2，DE垂直平分AB，∵AB=3+1=4，∴AE=DE=BE，∴∠DAB=∠ADE，∠ABD=∠BDE，∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∴∠DAB=∠ADE=∠ABD=∠BDE，∴∠ADB=∠DAB+∠CBA=90°，∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，∵AO=1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c=﹣，与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；
同理当AB=AC=4时，∵AO=1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c=﹣与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；
同理当AC=BC时
在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无解．
综上，要使△ACB为等腰三角形，则a值为或；
故答案为：等腰直角，或．
点睛：本题考查了抛物线和x轴的交点，抛物线的解析式，抛物线的对称轴以及顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．二次函数y=一x2+ax+b图象与轴交于,两点，且与轴交于点.
（1）则的形状为 ；
（2）在此抛物线上一动点,使得以四点为顶点的四边形是梯形，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】
试题分析：（1）∵二次函数y＝-x2+ax+b的图象经过、B（2，0）两点，利用待定系数法就可以直接求出a、b的值，求出抛物线的解析式．
（2）在（1）题已将证得∠ACB＝90°，若A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，则有两种情况需要考虑：
①以BC、AP为底，AC为高；可先求出直线BC的解析式，进而可确定直线AP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标．
②以AC、BP为底，BC为高；方法同①．
解：（1））∵二次函数y＝-x2+ax+b的图象经过、B（2，0）两点，由题意，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为：
∴C（0，1），
∴，
CB2＝BO2+CO2＝5，
，
∴AC2+CB2＝AB2，
∴△ACB是直角三角形；
（2）存在，点或；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：；
设过点B且平行于AC的直线的解析式为，
将点代入得：，；
∴；
联立抛物线的解析式有：，解得，或；
∴点；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底，
同理可求得；
故当或时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．
（根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可）
考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）；直角梯形．
12．如图，二次函数Y=-x2-x+2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是______．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据解析式求得点A、C坐标，过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系，配方成顶点式可得其最值情况．
【详解】
解：在y=-x2-x+2中，当x=0时，y=2，
∴C（0，2），
当y=0时，有-x2-x+2=0，解得：x=-4或x=1，
∴点A（-4，0）、B（1，0），
∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，
∴D（m，-m2-m+2），
过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=-m2-m+2，AH=m+4，HO=-m，
∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，
∴S=（m+4）×（-m2-m+2）+（-m2-m+2+2）×（-m），
=-m2-4m+4
=-（m+2）2+8，（-4＜m＜0）；
则m=-2时，S取得最大值，最大值为8，
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识的综合应用，运用割补法列出面积的函数解析式是解决问题的关键．
13．二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：连接BC与AO交于点D，根据菱形的性质可得AO⊥BC，根据∠OBA=120°可得：∠AOB=30°，根据二次函数图象上的点的性质可得点B的坐标为(1，)，则OA=2OD=2，BC=2BD=2，则菱形的面积=×AO×BC=×2×2=2.
考点：二次函数的性质
三、解答题
14．如图，已知二次函数（）的图象与轴交于点和点，与交轴于点，表示当自变量为时的函数值，对于任意实数，均有．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是线段上的动点，过点作，交于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标；
（3）若平行于轴的动直线与该抛物线交于点，与直线交于点，点的坐标为．是否存在这样的直线，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为：或或或
【分析】
（1）根据题意即可求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性即可求出点A的坐标，设二次函数的解析式为，将点C的坐标代入即可求出二次函数的解析式，化为一般式即可；
（2）设点的坐标为，过点作轴于点，根据点A、B、C的坐标即可求出OA、OB、OC、BQ和AB，根据相似三角形的判定及性质，即可用含m的式子表示EG，然后根据即可求出与m的二次函数关系式，根据二次函数求最值即可；
（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别在每种情况下求出点F的坐标，然后根据点P和点F的纵坐标相等，将点P的纵坐标代入二次函数解析式中即可求出点P的横坐标．
【详解】
解：（1）当与时函数值相等，可知抛物线的对称轴为，
由点的坐标可求得点的坐标为
设二次函数的解析式为
将点代入，得
所以，二次函数的解析式为．
（2）设点的坐标为，过点作轴于点，如图
∵（4,0），， ，
∴OA=4，OB=2，OC=4， BQ=m+2
∴AB=6
∵
∴
∵
∴
∴，即，
∴
∴
又∵
∴当时，有最大值3，此时
（3）存在．
①若，如下图所示
则，
∴∠DOF=∠DFO，∠DAF=∠DFA
∴∠DOF+∠DAF=∠DFO+∠DFA=∠OFA
∴是直角三角形，OF⊥AC
∵OA=OC=4
∴点F为AC的中点
∴根据中点坐标公式：点的坐标为
∵直线l∥x轴
∴点P的纵坐标=点F的纵坐标=2，将y=2代入二次函数解析式中，得
，
得，
此时点的坐标为：或
②若，过点作轴于点
由等腰三角形的性质得：，
∴，
在等腰直角三角形AOC中，∠OAC=45°
∴△AMF也是等腰直角三角形
∴FM=AM=3
∴
∵直线l∥x轴
∴点P的纵坐标=点F的纵坐标=3，将y=3代入二次函数解析式中，得
由，得，
此时，点的坐标为：或
③若，
∵，且
∴
∴点到的距离为
而
∴上不存在点使得
此时，不存在这样的直线，使得是等腰三角形
综上，存在这样的直线，使得是等腰三角形，所求点的坐标为：或或或
【点睛】
此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，难度系数较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、把面积最值问题转化为二次函数最值问题和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
（3）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8；（3）存在，点P的其坐标为.
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标；
（3）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．
试题解析：解：（1）设抛物线解析式为，把A、B、C三点坐标代入可得：，解得：，∴抛物线解析式为；
（2）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6，∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8；
（3）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）．
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
16．已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于和，点是线段上的动点（不与重合），过点作轴，与二次函数的图象交于点．
（1）求的值；
（2）求线段长的最大值；
（3）当为的等腰直角三角形时，求出此时点的坐标．
【答案】（1）1，3；（2）最大值为；（3）
【分析】
（1）将点分别代入一次函数解析式可求得b的值，再将点A的坐标代入二次函数可求出a的值；
（2）设，则，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PC的长关于m的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；
（3）同（2）设出点P，C的坐标，根据题意可用含m的式子表示出AC，PC的长，根据AC=PC可得关于m的方程，求得m的值，进而求出点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵在直线上，
∴，
∴．
又∵在拋物线上，
∴，
解得．
（2）设，则，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）如图，∵为的等腰三角形且轴，
∴连接，轴，
∵，
∴，
．
∵，
∴，
化简，得，
解得，（不合题意，舍去）．
当时，，
∴此时点的坐标为．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了求待定系数法求函数解析式，二次函数的最值以及等腰三角形的性质等知识，利用平行于y轴的直线上两点间的距离建立出二次函数模型求出最值是解题关键．
17．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）（2）P1（1，0）和P2（，0）
【解析】
解：（1）∵交x轴于点A，∴0=0.5x+2，解得x=－4．∴A点坐标为：（－4，0）．
∵与y轴交于点B，∴y=2．∴B点坐标为：（0，2）．
∵二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2
∴可设二次函数．
把B（0，2）代入得：a=．
∴二次函数的解析式为：，即．
（2）①当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点，
∵Rt△AOB∽Rt△BOP1，∴．
∴，解得：OP1=1．
∴P1点坐标为（1，0），
②当D为直角顶点时作P2D⊥BD，连接BP2，
将与2联立求出两函数另一交点坐标：D点坐标为：（5，），则AD=．
由A（－4，0），B（0，2）可得AB=．
∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，
∴△ABO∽△AP2D．∴．
∴，解得AP2=．
则OP2=．
∴P2点坐标为（，0）．
③当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0），
则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D得：，
∴．
∵方程无解，∴点P3不存在．
综上所述，点P的坐标为：P1（1，0）和P2（，0）．
（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数，进而求出即可．
（2）分点B为直角顶点，点D为直角顶点，点P为直角顶点三种情况讨论，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．
18．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．
①过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；
②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）①DM＝﹣，DM的最大值为；②M的坐标为（）或（，﹣）．
【分析】
（1）由直线y＝x﹣2得B（4，0）、C（0，﹣2），将B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，列方程组求出b、c即可；
（2）①过点DH∥AB，交直线y＝x﹣2于点H．则∠H＝∠OBC，OC＝2，OB＝4，BC＝2，由sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，即＝，设D（m，m2﹣m﹣2），则H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，所以DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，当m＝2时，DM的最大值为；
②分两种情况：当CM⊥DM时，过点M作ME⊥y轴于点E，点D作DF∥y轴，交EM的延长线于点F；当CD⊥DM时，过点D作DE⊥y轴于点E，点M作MF∥y轴，交ED的延长线于点F，分别求出t的值即可．
【详解】
解（1）由直线y＝x﹣2得
B（4，0）、C（0，﹣2），
将B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，
，
解得b＝，c＝﹣2，
∴二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2；
（2）①过点DH∥AB，交直线y＝x﹣2于点H．
∴∠H＝∠OBC，
∵B（4，0）、C（0，﹣2），
∴OC＝2，OB＝4，BC＝2
∴sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，
即＝，
设D（m，m2﹣m﹣2），则H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），
∴DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，
∴DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，
当m＝2时，DM的最大值为；
②Ⅰ．当CM⊥DM时，过点M作ME⊥y轴于点E，点D作DF∥y轴，交EM的延长线于点F，
∵△CDM为等腰直角三角形，易证△EMC≌△FDM，
∴EM＝DF，EC＝MF，
设M（t，t﹣2），则EM＝t，OE＝﹣t+2，
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣（﹣t+2）＝t，MF＝t，DF＝t，
EF＝EM+MF＝t+t＝，OE+DF＝﹣t+2+t＝t+2，
∴D（t，﹣t﹣2）
将D（t，﹣t﹣2）代入二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2，
，
解得t＝0（舍去）或t＝，
∴M1（）；
Ⅱ．当CD⊥DM时，过点D作DE⊥y轴于点E，点M作MF∥y轴，交ED的延长线于点F，
∵△CDM为等腰直角三角形，易证△CED≌△DFM，
∴DE＝MF，EC＝DF，
设M（t，t﹣2），则EF＝t，CE＝，DE＝t，MF＝t，OC＝t+2
∴D（t，﹣t﹣2），
将D（t，﹣t﹣2）代入二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2，
，
解得t＝0（舍去）或t＝，
∴M2（，﹣）
综上，△CDM为等腰直角三角形，点M的坐标为（）或（，﹣）．
【点睛】
本题考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟运用待定系数法求函数解析式、熟练运运用二次函数的性质以及一线三直角构建全等三角形是解题的关键．
19．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，的半径为，为上一动点．
（1）求点，的坐标？
（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）或，或或；
【分析】
（1）在抛物线解析式中令y＝0可求得B点坐标，令x＝0可求得C点坐标；
（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，根据勾股定理得到BC＝5，，过作轴于，轴于，易得，四边形是矩形，根据相似三角形的性质得到，设，，得到BE＝3−x，CF＝2x−4，于是得到，，求得，过作轴于，轴于，同理求得；②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，过作轴于，易得，根据相似三角形的性质求出，即可得到，同理可得．即可得到结论；
【详解】
（1）在中，令，解得：，令，得，
∴，；
（2）存在点，使得为直角三角形，
①当与相切时，为直角三角形，如图（2），连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
过作轴于，轴于，易得，四边形是矩形，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
过作轴于，轴于，同理求得；
②当时，为直角三角形，过作轴于，如图（2），易得，
∴，
∴，，
∴；
同理可得：；
综上所述：点的坐标为：或，或或．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，圆与直线的位置关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
20．如图，二次函数的图象经过，，三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是线段上的动点（点与线段的端点不重合），若与相似，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）点的坐标为
【分析】
（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可求得直线AC的解析式，设G（k，-2k-2），可表示出AB、BC、AG的长，由条件可知只有△AGB∽△ABC，再利用相似三角形的性质可求得k的值，从而可求得G点坐标．
【详解】
（1）∵二次函数的图象经过，两点，
∴设二次函数的解析式为．
∵二次函数的图象经过点，
，解得．
∴二次函数的解析式为，即．
（2）设直线的函数解析式为，
把的坐标代入，可得解得
∴直线的函数解析式为．
设点的坐标为．
点与点不重合，
与相似只有这一种情况．
由，得．
，，
，
解得或（舍去），
∴点的坐标为．
【点睛】
本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点．在（1）中注意二次函数解析式三种形式的灵活运用，在（2）中确定出只有△AGB∽△ABC一种情况是解题的突破口．
21．如图， 已知二次函数（，，为常数）的对称轴为，与轴的交点为，的最大值为5，顶点为，过点且平行于轴的直线与抛物线交于点，.
（1）求该二次函数的解析式和点，的坐标.
（2）点是直线上的动点，若点，点，点所构成的三角形与相似，求出所有点的坐标.
【答案】（1）y＝−x2＋2x＋4；B（−1，1）；A（3，1）（2）（3，1）或（−3，7）或（，）或（−，）
【分析】
（1）先确定顶点M的坐标，再设顶点式y＝a（x−1）2＋5，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；在计算函数值为1所对应的自变量的值即可得到A、B点的坐标；
（2）先计算出CD＝3，BD＝1，AM＝2，CM＝，AC＝3，则利用勾股定理的逆定理得到△ACM为直角三角形，∠ACM＝90°，根据相似三角形的判定，当时，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，设此时P（x，−x＋4），利用两点间的距离公式得到x2＋（−x＋4−4）2＝（3）2，求出x从而得到此时P点坐标；当时，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，利用同样方法求出对应的P点坐标．
【详解】
（1）根据题意得抛物线的顶点M的坐标为（1，5），
设抛物线的解析式为y＝a（x−1）2＋5，
把C（0，4）代入y＝a（x−1）2＋5得a＋5＝4，
解得a＝−1，
所以抛物线解析式为y＝−（x−1）2＋5，
即y＝−x2＋2x＋4；
当y＝1时，−x2＋2x＋4＝1，
解得x1＝−1，x2＝3，则B（−1，1），A（3，1）；
（2）∵，
∴CD＝3，BD＝1，
故AM＝=2，CM＝，AC=
设直线AC的解析式为y＝kx＋b
把A（3，1），C（0，4）代入得
解得
∴直线AC的解析式为y＝−x＋4，
∵CM2＋AC2＝AM2，
∴△ACM为直角三角形，∠ACM＝90°，
∴∠BDC＝∠MCP，
如图1，当时，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，
设此时P（x，−x＋4），
∴x2＋（−x＋4−4）2＝（3）2，解得x＝±3，则此时P点坐标为（3，1）或（−3，7）；
如图2，当时，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，
设此时P（x，−x＋4），
∴x2＋（−x＋4−4）2＝（）2，解得x＝±，则此时P点坐标为（，）或（−，）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（3，1）或（−3，7）或（，）或（−，）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
22．如图，已知二次函数的图像过点A(－4，3），B(4，4).
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：
（1）将A(－4，3），B(4，4)代人中，
， 整理得： 解得
∴二次函数的解析式为：，即：。
（2）由 整理得 ，解得。
∴C （－2，0），D 。
∴AC2=4+9 ，BC2=36+16，AC2+ BC2=13+52=65，AB2=64+1=65，
∴ AC2+ BC2=AB2 。∴△ACB是直角三角形。
（3）设（x<0），则PH=， HD=。
又∵AC=， BC=，
①当△PHD∽△ACB时有：，即：，
整理得 ，解得（舍去），此时，。
∴。
②当△DHP∽△ACB时有：， 即：，
整理 ，解得（舍去），此时，。
∴。
综上所述，满足条件的点有两个即，。
【解析】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理的应用，相似三角形的判定性质，坐标系中点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，解一元二次方程和二元一次方程组。
【分析】（1）求二次函数的解析式，也就是要求中a、b的值，只要把A(-4，3），B(4，4)代人即可。
（2）求证△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的长度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。
（3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标。
23．如图，二次函数的图像交轴于，交轴于，过画直线。
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，请判断是否存在以P、Q、O、C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在轴右侧的点在二次函数图像上，以为圆心的圆与直线相切，切点为。且△CHM∽△AOC（点与点对应），求点的坐标。
【答案】（1） （2）(2,2),( ,),(,)；（，）。
（3）或
【解析】
试题分析：解：（1）∵二次函数的图像交轴于，∴设该二次函数的解析式为：，又二次函数的图像交轴于，将代入，得，解得，，∴抛物线的解析式为，即;
（2）若OC为平行四边形的边，设P（，），Q（，），则PQ=，P、Q、O、C为顶点的四边形为平行四边形，则，∴（舍去），，；∴(2,2),( ,),(,)；若OC为平行四边形的对角线，则（，）。
（3）∵△CHM∽△AOC，点与点对应，∴
情形1：如上图，当在点下方时，∵
∴轴，∴，点在二次函数图像上，
∴ ，解得（舍去）或，∴；
情形2：如图，当在点上方时，∵，设交轴于点P，设，则，在中，
由勾股定理，得，解得，，即，
为直线与抛物线的另一交点,设直线的解析式为,把的坐标代入，得，解得，，∴,由，解得，（舍去）或
此时，∴,∴点的坐标为或
考点：二次函数在几何中的应用
点评：该题需要考虑的情况有多种，这是难点，需要学生经常练习，积累经验，结合图形找出突破口。
24．如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形.
（1）试求、的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点沿线段从到，同时动点沿线段从到都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当运动过程中能否存在？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？
②当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？
【答案】（1），；（2） ①当点运动到距离点个单位长度处，有；②当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.
【分析】
（1）根据一次函数解析式求出A和C的坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B的坐标，根据平行四边形的性质求出点D的坐标，利用待定系数法即可得出二次函数的表达式；
（2）①设点P运动了t秒，PQ⊥AC，进而求出AP、CQ和AQ的值，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，即可得出答案；
②将问题化简为△APQ的面积的最大值，根据几何关系列出关于时间的二次函数，根据二次函数的性质，求出函数的最大值，即求出△APQ的面积的最大值，进而求出四边形PDCQ面积的最小值.
【详解】
解：（1）由，
令，得，所以点；
令，得，所以点，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴点坐标为，
又∵四边形是平行四边形，
∴点坐标为，
将点、点代入二次函数，可得，
解得：，
故该二次函数解析式为：.
（2）∵，，
∴.
①设点运动了秒时，，此时，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：.
即当点运动到距离点个单位长度处，有.
②∵，且，
∴当的面积最大时，四边形的面积最小，
当动点运动秒时，，，，
设底边上的高为，作于点，
由可得：，
解得：，
∴，
∴当时，达到最大值，此时，
故当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，难度系数较大，解题关键是将四边形PDCQ面积的最小值转化为△APQ的面积的最大值并根据题意列出的函数关系式.
25．（14分）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求证：四边形ACHD是正方形；
（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线交二次函数的图象于另一点N．
①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；
②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．
【答案】（1）；（2）证明见试题解析；（3）①（﹣3＜t＜0 ）；②12或．
【解析】
试题分析：（1）根据二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），即可求出a、b的值，从而得到二次函数的表达式；
（2）先求出点C、G、H、D的坐标；然后得出AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，从而得到四边形ACHD是正方形；
（3）①作ME⊥x轴于点E，作MF⊥y轴于点F，则S=，再分别求出，即可；
②首先设点N的坐标是（，），则NI=，∴=，再根据t＜0，＞0，可得==，得到，然后求出k的值，进而求出，的值，再把它们代入S关于t的函数表达式，求出S的值是多少即可．
试题解析：（1）∵二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），∴，解得：，∴二次函数的表达式为；
（2）如图1，
，
∵二次函数的表达式为，∴点C的坐标为（0，3），∵=，∴点G的坐标是（﹣1，4），∵点C的坐标为（0，3），∴设CG所在的直线的解析式是，则﹣m+3=4，∴m=﹣1，∴CG所在的直线的解析式是，∴点H的坐标是（3，0），设点D的坐标是（0，p），则，∴p=﹣3，∵AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，∴四边形ACHD是正方形；
（3）①如图2，作ME⊥x轴于点E，作MF⊥y轴于点F，
，
∵四边形ADCM的面积为S，∴S=，∵AO=OD=3，∴S△AOD=3×3÷2=4.5，∵点M（t，p）是与在第二象限内的交点，∴点M的坐标是（t，），∵ME=，MF=﹣t，∴S四边形AOCM==，
∴=（﹣3＜t＜0 ）；
②如图3，作NI⊥x轴于点I，
，
设点N的坐标是（，），则NI=，∴=，∵t＜0，＞0，∴==，∴，联立，可得，∵、t是方程的两个根，∴，∵，∴，解得或，
（a）当时，由，解得，或（舍去）．
（b）当时，由，解得，或（舍去），
∴，或，
当时，S==，
当时，S===，
∴S的值是12或．
考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．压轴题．
26．如图，已知二次函数c为常数的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
求该二次函数的解析式及点M的坐标．
过该二次函数图象上一点P作y轴的平行线，交一边于点Q，是否存在点P，使得以点P、Q、C、O为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
点N是射线CA上的动点，若点M、C、N所构成的三角形与相似，请直接写出所有点N的坐标直接写出结果，不必写解答过程．
【答案】二次函数解析式为，点M的坐标为； 存在平行四边形，； ，，，．
【解析】
【分析】
将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；
根据平行四边形的判定对边平行且相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
由题意分析可得，则若与相似，则要进行分类讨论，分成∽或∽两种，然后利用边的对应比值求出N点坐标的横坐标，再利用自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】
把点，点代入二次函数得，
解得
二次函数解析式为，
配方得，
点M的坐标为；
由知，当时，
，
解之，或
、
令P点横坐标为m，
当PQ与BC边相交时，
，
此时不存在平行四边形．
当PQ与AC 边相交时，
由、可得直线AC解析式
，
，
，
令
，
，
，
此方程无解，
此时不存在平行四边形．
当PQ与AB 边相交时，
、
，
令
，
化简，得，
解得，
当时，，
点坐标为，
此时，存在平行四边形，；
连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为
，
，
，
把代入解得，则点P坐标为，
，，
，
，
由此可知，若点N在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点
若有∽，则有，
，，
，
，
，
若点N在y轴右侧，作轴，
，
，
把代入，解得，
；
同理可得，若点N在y轴左侧，
把代入，解得
；
若有∽，则有
，
，
若点N在y轴右侧，把代入，解得；
若点N在y轴左侧，把代入，解得
；．
所有符合题意得点N坐标有4个，分别为，，，．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解的关键是利用待定系数法；解的关键是利用平行四边形的判定得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏；解的关键是利用相似三角形的性质得出N点的横坐标，要分类讨论，以防遗漏．
27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线顶点，点是直线下方的抛物线上一动点．
（）这个二次函数的表达式为____________．
（）设直线的解析式为，则不等式的解集为___________．
（）连结、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
（）当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积．
（）若把条件“点是直线下方的抛物线上一动点．”改为“点是抛物线上的任一动点”，其它条件不变，当以、、、为顶点的四边形为梯形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）；（2）x≤0或x≥3；（3）；（4）当P（，）时，S四边形ABPC最大；（5）点P的坐标为（－2，5），（2，－3）或（4，5）．
【解析】
试题分析：（1）直接设成顶点式即可得出抛物线解析式；
（2）先确定出点B，C坐标，再根据图象直接写出范围；
（3）利用菱形的性质得出PO=PC即可得出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可得出结论；
（4）先利用坐标系中几何图形的面积的计算方法建立函数关系式即可求出面积的最大值；
（5）先求出直线BC，BC，CD的解析式，分三种情况利用梯形的性质，一组对边平行即可得出直线DP1，CP2，BP3的解析式，分别联立抛物线的解析式建立方程组求解即可．
试题解析：解：（1）∵点D（1，﹣4）是抛物线y=x2+bx+c的顶点，∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案为y=x2﹣2x﹣3；
（2）令x=0，∴y=﹣3，∴C（0，﹣3），令y=0，∴x2﹣2x﹣3=0，∴x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴不等式x2+bx+c≥kx+m的解集为x＜0或＞3．故答案为x＜0或＞3；
（3）如图1．∵四边形POP′C为菱形，∴PO=PC．∵C（0，﹣3），∴点P的纵坐标为﹣．∵P在抛物线y=x2﹣2x﹣3上，∴﹣=x2﹣2x﹣3，∴x=或x=（舍），∴P（．﹣）；
（4）如图2，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC的解析式为y=x﹣3，过点P作PE∥y轴交BC于E，设P（m，m2﹣2m﹣3），（0＜m＜3）
∴E（m，m﹣3），∴PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴S四边形ABPC=S△ABC+S△PCE+S△PBE=AB•OC+PE•|xP|+PE•|xB﹣xP|
=AB•OC+PE（|xP|+|xB﹣xP|）=×4×3+（﹣m2+3m）×（m+3﹣m）
=6+×（﹣m2+3m）=﹣（m﹣）2+
当m=时，S四边形ABPC最大=．
当m=时，m2﹣2m﹣3=，∴P（，）．
（5）如图，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），∴直线BC的解析式为y=x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6，直线CD的解析式为y=﹣x﹣3．∵以P、C、D、B为顶点的四边形为梯形．∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3①；
①当DP1∥BC时，∴直线DP1的解析式为y=x﹣5②，联立①②解得，点P1（2，﹣3），[另一个点为（1，﹣4）和点D重合，舍去]
②当CP2∥BD时，∴直线CP2的解析式为y=2x﹣3③，联立①③解得点P2（4，5）
③当BP3∥CD时，∴直线BP3∥CD的解析式为y=﹣x+3④，联立①④解得点P3（﹣2，5）．
综上所述：以P、C、D、B为顶点的四边形为梯形时，点P的坐标为（﹣2，5）、（2，﹣3）或（4，5）．
点睛：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，不规则图形的面积的计算方法，菱形的性质，梯形的性质，解答本题的关键是用方程或方程组的思想解决问题．
28．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（－1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值．
【答案】（1）y=－；（2）周长最大值为10
【分析】
（1）设二次函数表达式为：y＝a（x−1）2＋4，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）设点M的坐标为（x，−x2＋2x＋3），根据对称性得到点N（2−x，−x2＋2x＋3），再表示出矩形MNHG的周长C＝2MN＋2GM＝2（2x−2）＋2（−x2＋2x＋3）＝−2x2＋8x＋2，即可求解．
【详解】
（1）设抛物线的解析式为y=，
把B（－1，0）代入解析式得：4a＋4=0，
解得a=－1，
∴y=－=－；
（2）设点M的坐标为（x，−x2＋2x＋3），
∵二次函数对称轴为x=1，
∴点N（2−x，−x2＋2x＋3），
则MN＝x−2＋x＝2x−2，GM＝−x2＋2x＋3，
矩形MNHG的周长C＝2MN＋2GM＝2（2x−2）＋2（−x2＋2x＋3）＝−2x2＋8x＋2，
∵−2＜0，故当x＝−＝2，C有最大值，最大值为10，
故该矩形周长的最大值为10．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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