初中数学中考复习 专题9　运动型问题(2)

专题9　运动型问题(2)

三、解答题

7．如图，抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)过点E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在抛物线上．设A(t，0)，当t＝2时，AD＝4.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

解：(1)抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x；

(2)由抛物线的对称性得BE＝OA＝t，

∴AB＝10－2t，当x＝t时，AD＝－t2＋t，

∴矩形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝2[(10－2t)＋(－t2＋t)]＝－t2＋t＋20＝－(t－1)2＋，

∵－＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；

(3)如图，当t＝2时，点A，B，C，D的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)，

∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为(5，2)，

∵直线GH平分矩形的面积，∴点P是GH和BD的中点，∴DP＝PB，由平移知，PQ∥OB，∴PQ是△ODB的中位线，∴PQ＝OB＝4，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．

8．(2019·苏州)已知矩形ABCD中，AB＝5 cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2 cm.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s)，△APM的面积为S(cm2)，S与t的函数关系如图②所示．

(1)直接写出动点M的运动速度为________cm/s，BC的长度为________cm；

(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v(cm/s).已知两动点M，N经过时间x(s)在线段BC上相遇(不包含点C)，动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1(cm2)，S2(cm2).

①求动点N运动速度v(cm/s)的取值范围；

②试探究S1·S2是否存在最大值，若存在，求出S1·S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)动点M的运动速度为：＝2 cm/s，

BC＝(7.5－2.5)×2＝10(cm)；

(2)① cm/s＜v≤6 cm/s；

②过P作EF⊥AB于F，交CD于E，如图所示：则EF∥BC，EF＝BC＝10，∴＝，

∵AC＝＝5，∴＝，

解得：AF＝2，∴DE＝AF＝2，CE＝BF＝3，

PF＝＝4，∴EP＝EF－PF＝6，

∴S1＝S△APM＝S△APF＋S梯形PFBM－S△ABM＝－2x＋15，S2＝S△DPM＝S△DEP＋S梯形EPMC－S△DCM＝2x，

∴S1·S2＝(－2x＋15)×2x＝－4x2＋30x＝－4(x－)2＋，∵2.5＜＜7.5，在BC边上可取，

∴当x＝时，S1·S2的最大值为.