2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点15三角形

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1、三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形．
2、三角形分类
（1）按角分类
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形．
（2）按边分类
三角形
3、三角形三边关系
三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．
推论：三角形任意两边之差小于第三边．
若三角形的两条边分别是，第三边是，则第三边的取值范围是.
4、三角形三条重要线段
（1）三角形的高
∵是的高（已知），
∴于点（或）
（2）三角形角平分线
∵是的角平分线（已知），
∴
（3）三角形中线
∵为的中线（已知），
∴（或）
注意：
①三角形的中线、角平分线、高都是一条线段；
②中线、角平分线都在三角形内部；锐角三角形高在三角形内部，直角三角形有两条高在三角形的直角边上，钝角三角形的高有两条在外部；
③三角形有三条角平分线相交于一点，该点叫做三角形的内心；三角形的三条中线相交于一点，该点叫做三角形的重心.三角形的三条高所在直线交于一点，该点叫做三角形的垂心。
5、三角形内角、外角
（1）三角形内角
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，即在中，．
注意：
①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；
②一个三角形中最少有一个角不小于；
③直角三角形两锐角互余；
④等边三角形每个角都是．
（2）三角形外角
①三角形的外角和是；
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
③三角形的任何一个外角大于与它不相邻的两个内角．
真题演练
一、单选题
1．如图，点，，在上，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
连接AB，则由∠AOB=100°、OA=OB，可求得∠OAB=∠OBA及其度数，进而可得∠ABC的度数，由圆周角定理可求得∠C的度数，在△ABC中可求得∠CAB的度数，从而可得∠OAC的度数．
【详解】
如图，连接AB
则OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=60°
∵∠C
∴在△ABC中，∠CAB=180°−∠C−∠ABC=70°
∴∠OAC=∠CAB−∠OAB=70°−40°=30°
故选：C．
2．如图，，平分．下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由已知条件，AB//CD ， AE 平分 ∠CAB， 根据平行线的性质和角平分线的性质，逐个判断即可．
【详解】
∵AB//CD，
∴∠2=∠3，∠2=∠4，故B正确，
又∵∠3=∠4，故C正确，
又∵AE 平分 ∠CAB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，故A正确，
∵∠5=∠1+∠4，
∴∠5＞∠4，故D错误；
故选：D．
3．有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【分析】
由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
【详解】
解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补
B．相等的角是对顶角
C．三角形的外角等于两个内角的和
D．若三条直线两两相交，则共有6对对顶角
【答案】D
【详解】
A、若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补，错误；
B、相等的角是对顶角，错误；
C、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故错误；
D、若三条直线两两相交，则共有6对对顶角，故正确；
故选D．
5．如图所示，△ABC中，BC边上的中线是（ ）
A．线段ADB．线段AEC．线段AFD．线段AG
【答案】B
【分析】
根据三角形中线的定义判断即可．
【详解】
解：△ABC中，BC边上的中线是线段AE，
故选：B．
6．以为边画出四边形，可以画出的四边形个数为（ ）
A．B．C．D．无限多
【答案】D
【分析】
根据三角形的三边关系和四边形的不稳定性即可得到结论．
【详解】
以AB＝2cm，BC＝3cm，CD＝2cm，DA＝4cm为边画出四边形ABCD，可以画出无限多个四边形，
故选：D．
7．如图所示，△ABC 中 AB 边上的高线是（ ）
A．线段 DAB．线段 CA
C．线段 CDD．线段 BD
【答案】C
【分析】
根据三角形高线的定义判断即可．
【详解】
解：由图可得，△ABC 中 AB 边上的高线是线段CD，
故选：C．
8．小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【答案】B
【详解】
本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选B．
9．如图，已知与的角平分线相交于点，若，设，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先利用角平分线的定义得出，然后再通过三角形内角和定理和平行线的性质得出，再根据从而找到与之间的关系即可求解.
【详解】
连接BD
∵
∴
∵BF平分,DF平分
∴



即


即

故选：C.
10．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠2=∠3C．∠1＞∠4+∠5D．∠2＜∠5
【答案】A
【分析】
根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B选项为∠2＞∠3，
C选项为∠1=∠4+∠5，
D选项为∠2＞∠5．
故选：A．
二、填空题
11．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）
【答案】1.9
【分析】
过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【详解】
解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
（cm2）．
故答案为1.9．
12．如图，在△ABC中，点D，点E分别是BC，AB的中点，若△AED的面积为1，则△ABC的面积为_____．
【答案】4
【分析】
根据线段中点的概念、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵点E是AB的中点，△AED的面积为1，
∴△ABD的面积=△AED的面积×2=2，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积=△ABD的面积×2=4，
故答案为：4．
13．如图是由射线、、和线段、组成的平面图形，且，则______．
【答案】180°
【分析】
延长DE交BA的延长线于点F，根据平行线的性质，对顶角相等以及三角形内角和定理可得结论．
【详解】
解：延长DE交BA的延长线于点F，如图，
∵
∴
又
∴
故答案为：180°
14．将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则_______．
【答案】
【分析】
先根据等腰直角三角形，求出∠DAE，再求出∠FAE，利用三角形外角性质即可求解．
【详解】
解：∵△ADE为等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠E=45°，
又∵∠CAB=30°，
∴∠FAE=∠DAE-∠CAB=45°-30°=15°，
∴∠BFE=∠E+∠FAE=45°+15°=60°．
故答案为：60°．
15．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C是网格线交点，那么______．
【答案】135
【分析】
过点A作AD⊥BC，垂足为点D，求出∠ABC，再运用三角形内角和定理可得结论．
【详解】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，
则AD=BD
∴
∵
∴
故答案为：135．
三、解答题
16．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）根据题意，推导得DE＝BC，DE∥BC，从而得BCDE是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质，证明BE＝DE，即可解决问题；
（2）结合题意，根据特殊角度三角函数的性质，得∠ADB＝30°，根据直角三角形两锐角互余的性质，得；再结合菱形及三角形内角和性质，得直角△ACD，通过三角函数性质计算，即可解决问题．
【详解】
∵AD＝2BC，E为AD的中点，
∴DE＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，AE＝DE，
∴BE＝DE，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）连接AC
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，
∴AB＝BC＝1，
∵AD＝2BC＝2，
∴sin∠ADB＝
∴∠ADB＝30°，
∴ ,∠ADC＝2∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴
∵在Rt△ACD中， AD＝2BC＝2，
∴AC＝＝．
17．在中，，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作于点M，过点B作于点N．
（1）求证：CM＝BN；
（2）取AB中点O，连接OM、ON，依题意补全图形，猜想线段BN、AM、OM的数量关系，并证明；
【答案】（1）见解析；（2）AM＝BN＋，见解析
【分析】
（1）补全图形，由题意结合图形可知∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，即证明∠2＝∠3，即利用“AAS”即可证明△ACM≌△CBN，得出结论CM＝BN．
（2）补全图形，并连接连接OC，根据题意易得OC＝OB，∠3＝∠4＝45°．由全等三角形的性质可得AM＝CN，∠1＋∠3＝∠4＋∠2，从而证明出∠1＝∠2．即利用“SAS”即可证明△OCM≌△OBN，得出结论OM＝ON，∠5＝∠6．由，即可证明，即，即可证明．
【详解】
（1）补全图形如下，
证明：∵AM⊥CP，BN⊥CP，
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠2＝∠3．
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN．
（2）依题意补全图形
结论：．
证明：连接OC，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB中点，
∴OC＝OB，∠3＝∠4＝45°．
∵△ACM≌△CBN，
∴AM＝CN，∠1＋∠3＝∠4＋∠2，
∴∠1＝∠2．
∵CM＝BN，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM＝ON，∠5＝∠6．
∵∠5＋∠7＝90°，
∴∠6＋∠7＝90°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F.
（1）在图1中，依题意补全图形；
（2）记（），求的大小；（用含的式子表示）
（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）BC=2EF，证明见解析.
【分析】
（1）根据题意画图即可补全图形；
（2）如图3，连接AE、DE，根据轴对称的性质可得：AE=AC，∠EAD=，进而可用α的代数式表示出∠BAF，然后在等腰△ABE中利用三角形的内角和即可求出；
（3）如图4，设AF、CE交于点G，由△ACE是等边三角形可得∠EAC=60°，CE=AC，然后根据轴对称的性质可得AF⊥CE，∠FAE=，进而可得∠BAF=60°，CE=2EG，易证△EFG为等腰直角三角形，从而可得，而，进一步即可得出结论.
【详解】
解：（1）补全图形如图2：
（2）如图3，连接AE、DE，
∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴AE=AC，∠EAD=，
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AB=AE，，
∴；
（3）猜想：BC=2EF.
证明：如图4，设AF、CE交于点G，
∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，CE=AC，
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AF⊥CE，∠FAE=，∴∠BAF=60°，CE=2EG，
由（2）题知，∠ABF=45°+30°=75°，则在△ABF中，∠AFB=180°－∠ABF－∠BAF=45°，
∴∠GEF=45°，∴，
又∵AB=AC，∠BAC=90°，∴，
∴.