2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点06二元一次方程组

考点06二元一次方程组

考点总结

1．二元一次方程及解

含有  两个未知数  ，并且含有未知数的项的次数都是  1  ，像这样的方程叫做二元一次方程.

一般地，使二元一次方程两边的值  相等  的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

2．二元一次方程组及方程组的解

如果方程组中含有  两个未知数  ，含未知数的项的次数都是  1  ，并且一共有  两个方程  ，像这样的方程组叫做二元一次方程组．

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

3．二元一次方程组的解法

代入消元法：把方程组中一个方程的一个未知数用含有另外的未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求得这个方程组的解．

加减消元法：将方程组中的同一未知数的系数变成相反数或相等的数，再把这样的方程相加或相减，就能消去这个未知数，进而求出方程组的解．

真题演练

一、单选题

1．方程组的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用加减消元法求出解即可．

【详解】

解：，

①+②得：，

解得：，

把代入到①中得：，

解得：，

则方程组的解是：，

故选：B．

2．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《磁不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据译文可知“人数×8-3=钱数和人数×7+4=钱数”即可列出方程组．

【详解】

解：由题意可得，，

故选：B．

3．以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】

先求出方程组的解，然后即可判断点的位置．

【详解】

解：解方程组，得，

∴点（1.5，0.5）在第一象限．

故选：A．

4．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，根据题意列方程组正确的是(　　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得：；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：；组成方程组即可．

【详解】

解：如果设木条长尺，绳子长尺，

根据题意得：．

故选：．

5．方程组的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

方程组利用加减消元法求出解即可．

【详解】

解：

①+②得：，

解得：，

把代入到①中得：，

解得：，

则方程组的解是：，

故选：A．

6．方程组的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

方程组利用加减消元法求解即可．

【详解】

①×2﹣②得

解得：

把代入①得

解得

则方程组的解为

故选：A．

7．《九章算术》中记载:“今有上禾三秉,益实六斗,当下禾十秉.下禾五秉,益实一斗,当上禾二秉.问上、下禾实一秉各几何?”其大意是:今有上等稻子三捆,若打出来的谷子再加六斗,则相当于十捆下等稻子打出来的谷子.有下等稻子五捆,若打出来的谷子再加一斗,则相当于两捆上等稻子打出来的谷子.问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子?设上等稻子每捆能打x斗谷子,下等稻子每捆能打y斗谷子,根据题意,可列方程组为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意，明确等量关系，列出方程组即可.

【详解】

根据“今有上等稻子三捆,若打出来的谷子再加六斗,则相当于十捆下等稻子打出来的谷子”，得，

“有下等稻子五捆,若打出来的谷子再加一斗,则相当于两捆上等稻子打出来的谷子”，得，

∴

故选：A.

8．若二元一次方程组的解为则a+b的值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【分析】

根据方程组的解的定义得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案．

【详解】

解：把代入方程组得：，

解得：，

则a+b＝2，

故选：C．

9．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．

【详解】

解：设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为：

故选D

10．小明在学习之余去买文具，打算购买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如图：1支笔和1本笔记本应付(    )

A．10元 B．11元 C．12元 D．13元

【答案】C

【分析】

设1支签字笔的价格为x元，1本笔记本的价格为y元，根据小明与售货员的对话，列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可．

【详解】

解：设1支签字笔的价格为x元，1本笔记本的价格为y元，

根据题意得：，

解得： ，

8＋4＝12（元），

即1支笔和1本笔记本应付12元，

故选：C．

二、填空题

11．某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为______________．

【答案】2∶3       

【分析】

设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．

【详解】

解：设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：

，解得：，

∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），

∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；

∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，

∵加工时间相同，

∴，

解得：，

∴；

故答案为，．

12．某校举办数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖．下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：3分）其中甲的部分信息不小心被涂黑了．

据悉，甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为20分．如果甲获得了大赛一等奖，那么甲的“数学应用”项目至少获得______分．

【答案】90分

【分析】

设趣题巧解按x折分，数学应用按y折分，且甲的数学应用至少得m分，构造方程组，

根据甲是一等奖获得者，建立不等式95x+my≥85-20，求解即可．

【详解】

设趣题巧解按x折分，数学应用按y折分，根据题意，

得，

解得

设甲的数学应用至少得m分，根据题意，得95×0.4+m×0.3≥85-20，

解得m≥90，

故答案为：90．

13．方程组的解为________．

【答案】

【分析】

利用加减消元法解方程组求出解即可．

【详解】

解：，

①+②得：，

解得：，

把代入②得：，

则方程组的解为．

故答案为：．

14．4月23日是世界读书日，甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量．设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为___________．

【答案】

【分析】

根据题意分别列出二元一次方程，组成方程组即可．

【详解】

由题意得：，

故答案为：．

15．若二元一次方程组的解为，则的值是______．

【答案】2

【分析】

根据方程组的解的定义得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案．

【详解】

解：把代入，得

解得：

故答案为：．

三、解答题

16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题:“今有大器五、小器一容三斛；大器-、小器五容二斛.向大、小器各容几何?”

译文:“今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛.向大容器、小容器的容积各是多少斛？”

【答案】大器容斛，小器容斛.

【分析】

设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】

解：设大器容斛，小器容斛，根据题意，列出方程组

解得：

答：大器容斛，小器容斛.

17．为了更好的治理西流湖水质，保护环境，市治污公司决定购买 10 台污水处理设备．现有 A、B 两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：

经调查：购买一台 A 型设备比购买一台 B 型设备多 2 万元，购买 2 台 A 型设备比购买 3 台 B 型设备少 6 万元．

（1）求 a，b 的值；

（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过 105 万元，你认为该公司 有哪几种购买方案；

（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理西流湖的污水量不低于 2040 吨，为了节 约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．

【答案】（1）；（2）①A型设备0台，B型设备10台；②A型设备1台，B型设备9台；③A型设备2台，B型设备8台. ；（3）为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台.

【分析】

（1）根据“购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”即可列出方程组，继而进行求解；

（2）可设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10-x）台，则有12x+10（10-x）≤105，解之确定x的值，即可确定方案；

（3）因为每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，所以有240x+200（10-x）≥2040，解之即可由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择．

【详解】

(1)根据题意得： ，

∴ ；

(2)设购买污水处理设备A型设备x台,B型设备(10−x)台，

则：12x+10(10−x)⩽105，

∴x⩽2.5，

∵x取非负整数，

∴x=0，1，2，

∴有三种购买方案：

①A型设备0台，B型设备10台；

②A型设备1台，B型设备9台；

③A型设备2台，B型设备8台. 

(3)由题意：240x+200(10−x)⩾2040，

∴x⩾1，

又∵x⩽2.5，x取非负整数，

∴x为1，2.      

当x=1时,购买资金为：12×1+10×9=102(万元)，

当x=2时,购买资金为：12×2+10×8=104(万元)，

∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台.

18．解方程组：．

【答案】

【分析】

由②得x＝3+y③，把③代入①得到一个关于y的一元一次方程，求出y，把y的值代入③求出x即可．

【详解】

由题意可知：

由②得：x＝3+y③，

把③代入①得  2(3+y)+3y＝1，

解得    y＝﹣1．

把y＝﹣1代入③得  x＝2．

∴原方程组的解是．