浙江省温州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(B卷)(含答案)

这是一份浙江省温州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(B卷)(含答案)，共12页。试卷主要包含了抛物线的光学性质，已知椭圆，设直线等内容，欢迎下载使用。

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上。
2．选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答亲写在本试题卷上无效。
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知空间的三个不共面的单位向量，，，对于空间的任意一个向量，（ ）
A．将向量，，平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上
B．总存在实数x，y，使得
C．总存在实数x，y，z，使得
D．总存在实数x，y，z，使得
3．过两点，的直线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的焦点为，，且c是a，b的等比中项，则在椭圆上使的点共有（ ）
A．0个B．2个C．4个D．8个
5．已知是公差不为0的等差数列，是其前项和，则“对于任意，都是”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．抛物线的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点（不同于顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的轴．现有抛物线：，一平行于轴的光线射向抛物线，经抛物线两次反射之后，又沿着轴方向射出，若两平行线间的距离的最小值为8，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆：，椭圆与椭圆的离心率相等，并且椭圆的短轴端点就是椭圆的长轴端点，据此类推：椭圆与椭圆的离心率相等，并且椭圆的短轴端点就是椭圆的长轴端点，由此得到一个椭圆列：，，…，，则椭圆的焦距等于（ ）
A．B．C．D．
8．正三棱柱中，，，为的中点，是棱上一动点，过作于点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．设直线：，：，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与不重合B．当时，直线与相交
C．当时，D．当时，
10．已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若在上的投影向量为，则D．若与夹角为锐角，则
11．已知为数列的前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则，，为等差数列
B．若为等比数列，则，，为等比数列
C．若为等差数列，则，，为等差数列
D．若为等比数列，则，，为等比数列
12．如图，已知点是椭圆：上第一象限内的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，圆心在轴上的动圆始终与射线，相切，切点分别为，，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．面积的最大值为
D．当点坐标为时，则直线的斜率是
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知圆与圆内切，则有序实数对可以是______．（写出一对即可）
14．11世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡克希利用几何方法推出了自然数的三次方的求和公式（如图所示），据此可知：______．
15．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角为______．
16．已知点是抛物线上的定点，，是抛物线上的动点且，若直线的斜率，则点纵坐标的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知点及圆：．
（Ⅰ）求过且与圆相切的直线方程；
（Ⅱ）以为直径的圆交圆于，两点，求．
18．（本小题满分12分）长方体中，，，点在棱上移动．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当为棱的中点时，求与面所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）已知数列满足：，．
（Ⅰ）写出，，并求的通项公式；
（Ⅱ）若数列，求数列的前项和．
20．（本小题满分12分）如图，在四棱雉中，底面为正方形，二面角为直二面角，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅱ）若平面平面，求点到直线的距离．
21．（本小题满分12分）已知椭圆：过点且与抛物线：有一个公共的焦点．
（Ⅰ）求椭圆与抛物线的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点．是否存在这样的直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）广州塔外形优美，游客都亲切地称之为“小蛮腰”，其主塔部分可近似地看成是由一个双曲面和上下两个圆面围成的．其中双曲面的构成原理如图所示：圆，所在的平面平行，垂直于圆面，为一条长度为定值的线段，其端点，分别在圆，上，当，在圆上运动时，线段形成的轨迹曲面就是双曲面．用过的任意一个平面去截双曲面得到的截面曲线都是双曲线，我们称之为截面双曲线．
已知主塔的高度m，m，设塔身最细处的圆的半径为，上、下圆面的半径分别为、，且，，成公比为的等比数列．
（Ⅰ）求与的夹角；
（Ⅱ）建立适当的坐标系，求该双曲面的截面双曲线的渐近线方程．
2022学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测
数学试题（B卷）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出得选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案不唯一，只要，且即可
14．2025 15． 16．
17．答：（Ⅰ）圆心，
当不存在时，，符合题意．1分
当存在时，设直线方程为，即
，所以
∴，即
综上所述，切线方程为或．4分
（说明：如果答案错误，出现点到线的距离公式，给2分）
（Ⅱ）以为直径的圆的方程为．6分
所以直线方程为．8分
所以到直线的距离为
∴．10分
18．方法1
由已知以为坐标原点，以，，方向为x，y，z建立空间直角坐标系，如图所示．
由已知，，，，．2分
（说明：建系正确且写出一个点的坐标就给2分）
（Ⅰ）令，3分
∴，，
∴，
∴．5分
（Ⅱ）由已知，，，
∴．7分
令面的法向量为
∴，即，令，则
所以
∴．
∴直线与面所成线面角的正弦值为．12分
19．解答：（Ⅰ）由条件代入计算得：，，2分
当时，由，得，4分，又，得，，
综上，，，的通项公式为：，6分
（Ⅱ）由，
得，8分
，10分
相减得
得．12分
20．解答（Ⅰ）
∵，
∴
∵面面
又底面为正方形，
∴，，，
∴面，面，
∴
作，，连接，
∴四边形为矩形
∵M，N分别为和的中点
∴B，M，F三点共线，B，N，D三点共线
∴面
∴就是所求的角，
∵，，
∴
∴，
∴平面与平面夹角的余弦值为；7分
解答（Ⅱ）
∵四边形为平行四边形
∴
又∵面
∴面
又面面，10分
∴到直线的距离．12分
（说明：找到交线给3分，答案2分）
21．解答：（Ⅰ）由，，得，，
解得椭圆的方程：，2分
由，得，解得抛物线的方程：．4分
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，，得，不符合；
当直线斜率存在时，设，，，，
由得，
，，
，7分
由得，，
，，，10分
由，得，，检验
故存在直线，方程为．12分
22．解答：（Ⅰ）过做圆面于点，连接，则有
在圆面上，过做于点，
根据题意：，，，3分
所以，
所以与的夹角为105°．5分
【答案对，辅助线说明不完整给5分：3个半径各1分，能在图中找到半径就可以给分】
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
又∵在直角中，
．7分
所以，
解得，8分
所以
以塔身最细处的圆的圆心为原点，以所在直线为轴，以圆的一条平行于的直径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的顶点坐标为，设双曲线方程为：
设，如图，根据相似性：，
得：即，10分
代入双曲线方程得：，解得：，
所以双曲线的渐近线方程为．12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
D
D
A
C
A
C
B
B
题号
9
10
11
12
选项
BD
ABD
ABC
AD