第18讲 平面向量-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

第18讲 平面向量

【知识点总结】

一、向量的基本概念

1.向量概念

既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中A为起点，B为终点）.

注：谈到向量必须说明其方向与大小.

向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作或.

2.零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量

零向量：长度为零的向量，记为，其方向是不确定的.

单位向量：模为1个单位长度的向量.当时，向量是与向量共线（平行）的单位向量.

相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为.

平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.

规定零向量与任何向量平行（共线），即.

注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中平行不可以重合；③， ，不一定有，因为可能为.

二、向量的线性运算

1.向量的加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量，，在平面内任取一点A，作，，则向量叫做向量与的和（或和向量），即.

向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图所示，向量=.

2．向量的减法

（1）相反向量.

与长度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，记作.

（2）向量的减法.

向量与的相反向量的和叫做向量与的差或差向量，即=.

向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图所示，，则向量.

3.向量的数乘

（1）实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，它的长度和方向规定如下：

①

②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反；当时，方向不确定；时，方向不确定.

（2）向量数乘运算的运算律.

设、为任意向量，、为任意实数，则 ；；.

三、平面向量基本定理和性质

1.共线向量基本定理

如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.

2.平面向量基本定理

如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为.叫做向量关于基底的分解式.

3.三点共线定理

平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为平面内一点.

四、平面向量的坐标表示及坐标运算

（1）平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对（）叫做向量的坐标，记作=（）.

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有

向量（）向量点（）.

（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若=（），为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标.

（4）设A，B，则=， 即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.

五、向量的平行

设，.的充要条件是.除了坐标表示外，下面两种表达也经常使用：当时，可表示为；

当时，可表示为，即对应坐标成比例.

六、平面向量的数量积

(1) 已知两个非零向量和，作＝，＝，叫作向量与的夹角．记作，并规定.如果与的夹角是，就称与垂直，记为.

(2)叫作与的数量积，记作，即.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量与垂直的充要条件是=0.

两个非零向量与平行的充要条件是.

七、平面向量数量积的几何意义

数量积等于的长度| |与在方向上的射影| |cos θ的乘积．即＝| || |cos θ.( 在方向上的射影| |cos θ;在方向上的射影| |cosθ).

八、平面向量数量积满足的运算律

（1）（交换律）；

（2）为实数）；

（3）（分配律）。

数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律，不可约分.

九、平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量由此得到

（1）若；

（2）设两点间距离

（3）设的夹角，则

【典型例题】

例1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，的夹角为60°，，，则（    ）

A．2 B．

C． D．12

例2．（2022·全国·高三专题练习）向量不共线，点P、Q、S共线，已知，则k的值为（    ）

A． B． C． D．

例3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形 ABCD 中，，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E 为AD 的中点，若，则的值为（　　）

A． B． C．2 D．

例4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（　　）

A． B．﹣ C． D．3

例5．（2022·全国·高三专题练习）已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________．

例6．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知点D满足，若，则____________．

例7．（2022·全国·高三专题练习）已知为内一点，，则，的面积之比为______．

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量与平行，则与的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．

其中正确的命题个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2022·浙江·高三专题练习）下列说法正确的是（    ）

A．若，则、的长度相等且方向相同或相反

B．若向量、满足，且与同向，则

C．若，则与可能是共线向量

D．若非零向量与平行，则、、、四点共线

3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量满足，，，则（    ）

A．或 B． C． D．或

4．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设，，则向量等于（    ）

A． ＋ B．--

C．-＋ D．-

5．（2022·全国·高三专题练习）下列关于向量的命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

，

6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的是（    ）

A．若，，则

B．对于任意向量，，必有

C．若为实数），则

D．向量在向量上的投影向量为

7．（2022·全国·高三专题练习）设平面向量a，b不共线，若，，，则（    ）

A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线

C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线

8．（2022·全国·高三专题练习）设，为所在平面内两点，，，则（    ）

A． B．

C． D．

9．（2022·全国·高三专题练习）已知平面上不共线的四点，若，则等于（    ）

A． B． C．3 D．2

10．（2022·全国·高三专题练习）.如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为（    ）

A． B．

C．2 D．

11．（2022·全国·高三专题练习）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（    ）

A． B．

C． D．

12．（2022·浙江·高三专题练习）在中，，，则（    ）

A． B．

C． D．

13．（2022·浙江·高三专题练习）在平行四边形中，，设，，则向量（    ）

A． B． C． D．

14．（2022·全国·高三专题练习）已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ）

A． B．10 C． D．5

15．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

16．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，D为上一点，且，设，则用和表示为（    ）

A． B． C． D．

17．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若，则锐角θ＝（    ）

A． B．

C． D．

18．（2022·江苏·高三专题练习）已知向量，且，则一定共线的三点是（    ）

A．A，B，D B．A，B，C

C．B，C，D D．A，C，D

19．（2022·全国·高三专题练习）已知两个非零向量，互相垂直，若向量，共线，则实数λ的值为（    ）

A．5 B．3

C． D．2

20．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为(    )

A． B． C．1 D．3

21．（2022·全国·高三专题练习）在中，，D是上的点，若，则实数x的值为（    ）

A． B． C． D．

22．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，若，则的值为（    ）

A．2 B．

C． D．

23．（2022·全国·高三专题练习）若，，，则（    ）

A． B．

C．2 D．-2

24．（2022·全国·高三专题练习）正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（    ）

A．3 B．5 C． D．

25．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

26．（2022·全国·高三专题练习（文））设x∈R，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且∥，则|+|＝（    ）

A． B． C． D．5

27．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，，且A，B，C三点共线，则k的值是（    ）

A． B． C． D．

28．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，，则在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

29．（2022·全国·高三专题练习）已知向量为单位向量，，且向量与向量的夹角为，则的值为（    ）

A．-2 B．- C． D．4

30．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ）

A． B．1 C． D．2

31．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量､，满足，且与的夹角为，则等于（    ）

A． B． C．8 D．

32．（2022·全国·高三专题练习）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

33．（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

34．（2022·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（　　）

A． B．﹣ C． D．3

二、多选题

35．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，满足，，，设，的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

36．（2022·江苏·高三专题练习）四边形中，，则下列表示正确的是（    ）

A． B．

C． D．

37．（2022·全国·高三专题练习）下列关于平面向量的说法中错误的是（    ）

A．若，则存在唯一的实数，使得

B．已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是

C．若且，则

D．若点为的垂心，则

，

，

38．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，且与的夹角为，则（    ）

A． B．

C． D．

39．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，，则（    ）

A． B．向量在向量上的投影向量为

C．与的夹角余弦值为 D．

40．（2022·全国·高三专题练习）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．向量，夹角为

41．（2022·全国·高三专题练习）设向量，满足，且，则（    ）

A． B． C． D．与的夹角为60°

，

三、填空题

42．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______．

43．（2022·全国·高三专题练习）已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是___________．

44．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为的正方形中，为的中点，则____________________．

45．（2022·全国·高三专题练习）在菱形中，，，，则___________.

46．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，已知，，若，则的坐标为_______.

47．（2022·全国·高三专题练习）已知点是△的边的中点，点在边上，且，则向量＝________(用表示)．

48．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则_________．

49．（2022·全国·高三专题练习）设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.

50．（2022·全国·高三专题练习）如图，在菱形中，，．已知，，，则______．

51．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，且，则___________.

52．（2022·上海·高三专题练习）设向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围________

53．（2022·全国·高三专题练习）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值是________.

54．（2022·江苏·高三专题练习）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于________________

55．（2022·浙江·高三专题练习）已知向量的夹角为60°，，则= ______ .

56．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为___________.

57．（2022·上海·高三专题练习）非零向量，满足，且，与夹角为，则___________.

58．（2022·河北·高三专题练习）已知，则与的夹角的余弦值为__________.

59．（2022·全国·高三专题练习）在中，点为的外心，，则______.

60．（2022·全国·模拟预测）已知向量，若向量的夹角为，则的值为_________.