第13讲 基本不等式-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

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第13讲 基本不等式 【知识点总结】1. 几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则 (当且仅当“”时取“”).特例：同号）.（3）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2. 均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.【典型例题】例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】设，可得圆的半径为，又由，在直角中，可得，因为，所以，当且仅当时取等号．故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习（文））若实数满足，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，又，，令，则，，即，当且仅当时，取等号，的取值范围是，．故选：A．例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为（     ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【详解】由a，b，c均为正数，abc＝4(a＋b)，得c＝，代入得a＋b＋c＝a＋b＋＝＋≥2＋2＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以a＋b＋c的最小值为8.故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习）若，，，则的取值范围是（    ）A．， B． C．， D．【答案】A【详解】因为，所以，即，当且仅当，即时取“”，所以的取值范围是，.故选：A.例5．（2021·山西大同·高三阶段练习（理））已知点在直线上，则的最小值为（    ）A．2 B． C． D．4【答案】C【详解】∵点在直线上，∴，所以当且仅当时，等号成立故选：C.例6．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））已知，，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.故选：A例7．（2021·贵州遵义·高三阶段练习（文））已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】C【详解】由，可得，，当且仅当且，即时等号成立．故选：C．例8．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知，则的最大值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：因为，所以，即，则，所以，又，所以，所以最大为3.故选：C.例9．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为、，由已知可得，因为，当且仅当时等号成立，故实数的取值范围为，故选：D．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在时取得最小值，则等于（    ）A．6 B．8 C．16 D．36【答案】D【分析】利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可【详解】因为，故，当且仅当，即时取等号，故故选：D【点睛】均值不等式：一正：，二定：为定值，三相等：当且仅当时等号成立2．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（文））三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（    ）A．如果，那么；B．如果，那么；C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；D．如果，，那么．【答案】C【分析】设图中直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为，进而可表示出阴影面积以及外围正方形的面积，由图可得结果.【详解】设图中全等的直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为.图中四个直角三角形的面积和为，外围正方形的面积为.由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以，当且仅当时，等号成立.故选：C.3．（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（    ）A．  B． C．  D． 【答案】C【分析】应用特殊值法，即可判断A、B、D的正误，作差法有，即可确定C的正误.【详解】A：当时，有，故不等式不一定成立；B：当，即时，有，故不等式不一定成立；C：恒成立；D：当时，有，故不等式不一定成立；故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（    ）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】D【分析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；【详解】，当且仅当,即等号成立.故选：D.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.5．（2022·全国·高三专题练习）若，则有（    ）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【分析】构造基本不等式即可得结果.【详解】∵，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.故选：D.【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.6．（2022·浙江·高三专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8【答案】A【分析】由题意可得（x+2y）（）4≥4+28，不等式m2+7m成立⇔m2+7m＜（）min，即可求得实数m的取值范围．【详解】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，∴（x+2y）（）4≥4+28．（当，即x＝2y时取等号），∵不等式m2+7m成立，∴m2+7m≤8，求得﹣8≤m≤1．故选：A．7．（2022·全国·高三专题练习）已知非负数满足，则的最小值是（    ）A．3 B．4 C．10 D．16【答案】B【分析】根据基本不等式，结合“1”的妙用即可得解.【详解】由，可得，当且仅当取等号，故选：B8．（2022·全国·高三专题练习）设均为正实数，且，则的最小值为（    ）A．8 B．16 C．9 D．6【答案】A【分析】根据题中条件，将所求式子化为，展开后，再利用基本不等式，即可得出结果.【详解】因为均为正实数，所以，当且仅当，即时取等号.因此的最小值为.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.9．（2022·全国·高三专题练习）若正数满足，则的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将已知条件化简得到，然后将变换成，然后化简整理结合均值不等式求解即可.【详解】由，有，所以，则，当且仅当，即时，等号成立.故选：D.10．（2022·全国·高三专题练习）若对满足的任意正数及任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求得实数的取值范围即可.【详解】∵正数满足，∴，，当且仅当，即，时，等号成立，∴，即对任意实数恒成立，∴，解得．故选：A．【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．11．（2022·全国·高三专题练习）设，为正数，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得，再利用基本等式“1”的代换进行求解.【详解】由得，，当且仅当，即时取等号，故选：D.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 二、多选题12．（2022·江苏·高三专题练习）已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用基本不等式逐一判断四个选项的正误即可得正确答案.【详解】对于选项A：，所以，当且仅当时等号成立，故选项A正确；对于选项B：，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故选项B不正确；对于选项C：，故选项C正确；对于选项D：因为，所以，，当且仅当时等号成立，故选项D正确；故选：ACD  三、填空题13．（2022·浙江·高三专题练习）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填序号）.①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.【答案】④【分析】结合基本不等式进行逐个判定，①③直接利用基本不等式可判定正误，②④通过变形可得正误.【详解】因为（当且仅当a＝b时，等号成立），即≤2，ab≤4，，故①③不成立；，故②不成立；故④成立.故答案为：④.14．（2022·全国·高三专题练习）若，则的最大值是 _______【答案】【分析】即可求得最值.【详解】，故，则，当且仅当即时取“=”，故答案为：.15．（2022·全国·高三专题练习）若正数满足，则的最大值是________．【答案】2【分析】利用基本不等式进行转化即可得解.【详解】由，得 ，当且仅当时等号成立，∴ ，即，∴ 的最大值为．故答案为：216．（2022·全国·高三专题练习）函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为___________.【答案】【分析】根据指数函数的图像性质求出A点坐标，代入直线方程，利用均值不等式即可求解.【详解】解：函数（且）的图象恒过定点A，，点A在直线上，，又，，，，当且仅当，即时等号成立，所以mn的最大值为，故答案为：.17．（2022·全国·高三专题练习）当时，的最小值为______．【答案】【分析】将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.18．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的最小值为_________【答案】【分析】将展开利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.19．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为______．【答案】18【分析】等式变形为，则根据基本不等式即可得到答案．【详解】解：已知，，且．，即：．则，当且仅当，时取等号，所以的最小值为18．故答案为：18．20．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为___________.【答案】【分析】首先根据题意得到，再利用基本不等式求解即可.【详解】由得，所以，当且仅当，即，时取等号.故答案为：21．（2022·上海·高三专题练习）若，则的最小值为____________．【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.22．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是________．【答案】【分析】将函数的解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最小值.【详解】当时，，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，函数的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求解函数的最小值，解答的关键就是对函数解析式进行化简变形，考查计算能力，属于基础题.23．（2022·全国·高三专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是__________．【答案】8【详解】解：由题意可得： ，则： ，当且仅当 时等号成立，即：的最小值是8.点睛：应用基本不等式要有两个防范意识：一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a＋b≥2，，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.24．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是_______．【答案】【分析】将函数进行化简，得到，分别对和，利用基本不等式，得到答案.【详解】函数，当，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，当时，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的值域为，故答案为.【点睛】本题考查求具体函数的值域，属于简单题.25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知实数满足，则的最大值为___________.【答案】【分析】利用基本不等式，即可求解.【详解】解：，即，(当且仅当，即时，取等号)故答案为：26．（2020·辽宁·开原市第二高级中学三模）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.
【答案】4    48    【分析】设，则，则，结合基本不等式即可得解.【详解】解：设，则，则，则，当且仅当，即时等号成立，故矩形花坛的面积最小值为．即当时，矩形花坛的面积最小，最小面积为48.故答案为：4；48.