初中数学中考复习 专题04 一元二次方程及应用（解析版）

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专题04一元二次方程及应用


【考点1】一元二次方程的根的求值问题
【例1】（2020·甘肃金昌·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
首先把x=1代入，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值
【详解】
解：把x=1代入得：
=0，
，
解得：m1=2，m2=﹣1
∵是一元二次方程，
∴ ，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．
【变式1-1】（2020·四川内江·中考真题）已知关于x的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为_____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】
解：把x=-1代入得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，
∵(m-1)2≠0，
∴m1．
∴m=4.
∴方程为9x2+12x+3=0.
设另一个根为a,则-a=.
∴a=-.
故答案为: -．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
【变式1-2】（2020·银川唐徕回民中学初三二模）已知x=1是一元二次方程x²+ax+b=0的一个根，则代数式a²+b²+2ab的值是____________.
【答案】1
【解析】
【分析】
把x=1代入x2+ax+b=0得到1+a+b=0，易求a+b=-1，将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】
∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，
∴12+a+b=0，
∴a+b=﹣1.
∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1.
【考点2】配方法解一元二次方程
【例2】（2020·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
【详解】
解：
移项得，
二次项系数化1的，
配方得
即
故选：A
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【变式2-1】（2020·山东泰安·中考真题）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【答案】A
【解析】
【分析】
根据配方法步骤解题即可．
【详解】
解：
移项得，
配方得，
即，
∴a=-4，b=21．
故选：A
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
【考点3】因式分解法解一元二次方程
【例3】（2020·山东威海·中考真题）一元二次方程的解为__________．
【答案】x=或x=2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解法解出答案即可．
【详解】

当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x=,
故答案为:x=或x=2．
【点睛】
本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论．
【变式3-1】（2019•十堰）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　 　．
【答案】﹣3或4
【解析】根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，
（2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，
2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，
所以m1＝﹣3，m2＝4．
故答案为﹣3或4．
点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式3-2】（2020·湖南中考真题）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【解析】
【分析】
将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．
【详解】
解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．
【考点4】一元二次方程的判别式问题
【例4】（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________．
【答案】m≤5且m≠4
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△≥0且二次项系数≠0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：∵一元二次方程有实数根，
∴△=≥0且≠0，
解得：m≤5且m≠4，
故答案为：m≤5且m≠4．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
【变式4-1】（2020·黑龙江大庆·中考真题）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；
②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，∵一元二次方程，
∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；
抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；
由，则，解得：或；故④正确；
∴正确的结论有①③④；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．
【变式4-2】（2020·湖北鄂州·中考真题）已知关于x的方程有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
【答案】（1）k≤3；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，即≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范围为：k≤3．
（2）由根与系数的关系可得，
由可得，
代入x1＋x2和x1x2的值，可得：
解得：，（舍去），
经检验，是原方程的根，
故．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．
【考点5】一元二次方程的根与系数的关系问题
【例5】（2020·四川眉山·中考真题）设，是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由韦达定理可分别求出与的值，再化简要求的式子，代入即可得解．
【详解】
解：由方程可知
，
．
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理可简便运算．
【变式5-1】（2020·贵州黔南·中考真题）对于实数a，b，定义运算“”，例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_________．
【答案】0
【解析】
【分析】
求出的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
【详解】
解：，
解得：，
即，
则，
故答案为：0．
【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键．
【变式5-2】（2020·湖北随州·中考真题）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求出△的值即可证明；
（2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可．
【详解】
（1）证明：依题意可得

故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系可得：

由，得，解得．
【点睛】
本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．
【考点6】一元二次方程的增长率问题
【例6】（2020·湖南湘西·中考真题）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】（1）10%；（2）26620个
【解析】
【分析】
（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解．
（2）利用4月份平均日产量=3月份平均日产量×（1＋增长率）即可得出答案．
【详解】
解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000（1＋x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝−2.1（不合题意舍去），
∴x＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
（2）依据题意可得：
24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个），
答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个．
【点睛】
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量．
【变式6-1】（2020·上海中考真题）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【答案】（1）504万元；（2）20%．
【解析】
【分析】
(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；
(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
【详解】
解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【考点7】一元二次方程的面积问题
【例7】（2020·西藏中考真题）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．

【答案】30m，20m
【解析】
【分析】
设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．
【详解】
设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，
根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．
【变式7-1】（2020·山西中考真题）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______．

【答案】
【解析】
【分析】
根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．
【详解】
设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,
由题意得:,
解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24,
整理得:2x2－11x+18=0．
解得x=2或x=9(舍去)．
故答案为2．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程．
【考点8】一元二次方程的销售问题
【例8】（2020·山东郯城·初三零模）九龙坡区某社区开展全民读书活动，以丰富人们业余文化生活现计划筹资30000元用于购买科普书籍和文艺刊物
（1）计划购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的2倍，那么最少用多少资金购买文艺刊物？
（2）经初步了解，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．经筹委会进步宣传，自愿参加的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞50），如果每户平均集资在150元的基础上减少a%，那么实际筹资将比计划筹资多6000元，求a的值．
【答案】（1）最少用20000元购买文艺刊物；（2）a的值为100．
【解析】
【分析】
（1）设用x元购买文艺刊物，则用（30000-x）元购买科普书籍，根据购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的2倍列出不等式，解不等式即可；
（2）根据实际筹资将比计划筹资多6000元建立方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）设用x元购买文艺刊物，则用（30000﹣x）元购买科普书籍，根据题意得
x≥2（30000﹣x），
解得x≥20000．
答：最少用20000元购买文艺刊物；
（2）由题意得200（1+a%）×150（1﹣a%）=6000+30000，
解得a1=100，a2=50（不合题意舍去），
∵a＞50，
∴a=100．
答：a的值为100．
【点睛】
本题考查了一元二次方程与一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程或不等式，再求解．
【变式8-1】（2020·山东滨州·中考真题）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】（1）450千克；（2）当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；（3）当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大
【解析】
【分析】
（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；
（2）设每千克水果售价为元，根据题意列方程解答即可；
（3）设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
【详解】
解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克.
设每千克水果售价为元，由题意，得

即
整理，得
配方，得
解得
当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元
设月销售利润为元，每千克水果售价为元，
由题意，得
即
配方，得
，
当时，有最大值
当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算．

1．（2020·贵州遵义·中考真题）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5 B．10 C．11 D．13
【答案】D
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系得到再利用完全平方公式得到然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：根据题意得
所以
故选：D．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2020·辽宁营口·中考真题）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用因式分解法解方程．
【详解】
解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3．（2020·广西河池·中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】
【分析】
根据球赛问题模型列出方程即可求解．
【详解】
解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
4．（2020·甘肃金昌·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
首先把x=1代入，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值
【详解】
解：把x=1代入得：
=0，
，
解得：m1=2，m2=﹣1
∵是一元二次方程，
∴ ，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．
5．（2020·湖南衡阳·中考真题）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】
解：如图，设小道的宽为，
则种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故选C．

【点睛】
考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．
6．（2020·湖南张家界·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．2或4
【答案】A
【解析】
【分析】
解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【详解】
解：x2－6x+8=0
（x－4）（x－2）=0
解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
7．（2020·江苏南京·中考真题）关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可．
【详解】
解：，
整理得：，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为、，
∵，
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：，
8．（2020·郑州枫杨外国语学校）用配方法解一元二次方程2x2-4x-2=1的过程中，变形正确的是（    ）
A．2（x-1）2=1 B．2（x-1）2=5 C．（x-1）2= D．（x-2）2=
【答案】C
【解析】
【分析】首先将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，然后根据等式的性质，方程两边都除以2，将二次项系数化为1，再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方1，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案.
【详解】2x2-4x-2=1，
 2x2-4x=3，
x2-2x=，
x2-2x+1=+1，
，
故选C.
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.
9．（2020·贵州毕节·中考真题）关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
把方程的根代入原方程得到，解得k的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．
【详解】
∵方程是一元二次方程，
∴k+2≠0，即k≠-2；
又0是该方程的一个根，
∴，
解得，，，
由于k≠-2，
所以，k=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．
10．（2020·山东东营·中考真题）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【分析】
由一元二次方程根与系数的关键可得： 从而列不等式可得答案．
【详解】
解： 关于的一元二次方程有实数根，





故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
11．（2020·四川宜宾·中考真题）一元二次方程的两根为，则________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系表示出和即可；
【详解】
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
=，
=．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键．
12．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．
【详解】
解
（x-3m）（x-m）=0
∴x-3m=0或x-m=0
解得x1=3m,x2=m，
∴3m-m=2
解得m=1
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
13．（2020·江苏常州·中考真题）若关于x的方程有一个根是1，则_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】
解：把x=1代入方程得1+a-2=0，
解得a=1．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．（2020·四川成都·中考真题）关的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【详解】
解：由题意知，△=≥0，
∴，
故答案为．
【点睛】
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
15．（2020·江苏无锡·中考真题）解方程：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据公式法求解即可；
（2）先分别求每一个不等式，然后即可得出不等式组的解集．
【详解】
（1）由方程可得a=1，b=1，c=-1，
x===；
（2）解不等式-2x≤0，得x≥0，
解不等式4x+1<5，得x<1，
∴不等式的解集为．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程和解不等式组，掌握运算法则是解题关键．
16．（2020·山东博山·初三二模）用配方法求一元二次方程的实数根．
【答案】．
【解析】
【分析】
首先把方程化为一般形式为2x2-9x-34=0，然后变形为，然后利用配方法解方程．
【详解】
原方程化为一般形式为，
，
，
，
，
所以，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
17．（2020·湖北黄石·中考真题）已知：关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为、，且满足，求m的值．
【答案】（1）m≥0（2）9
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系可得=-，=-2，根据可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【详解】
（1）根据题意得△＝（）2−4×（−2）≥0，且m≥0，
解得m≥−8且m≥0．
故m的取值范围是m≥0；
（2）方程的两根为、，
∴=-，=-2
∵
∴
即m+8=17
解得m＝9
∴m的值为9．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1•x2＝．
18．（2020·山东蒙阴·初三一模）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；
（2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.
【详解】
解：（1）设这两年藏书的年均增长率是，
，
解得，，（舍去），
答：这两年藏书的年均增长率是20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（万册），
到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：，
答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.
19．（2019·辽宁锦州·中考真题）2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；
（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？
【答案】（1）y＝220﹣2x；（2）当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当x＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．
【解析】
【分析】
（1）根据月销量等于涨价前的月销量，减去涨价（x-60）与涨价1元每月少售出的件数2的乘积，化简可得；
（2）月销售量乘以每件的利润等于利润2250，解方程即可；
（3）根据题意列出二次函数解析式，由顶点式，可知何时取得最大值及最大值是多少．
【详解】
（1）由题意得，月销售量y＝100﹣2（x﹣60）＝220﹣2x（60≤x≤110，且x为正整数）
答：y与x之间的函数关系式为y＝220﹣2x．
（2）由题意得：（220﹣2x）（x﹣40）＝2250
化简得：x2﹣150x+5525＝0
解得x1＝65，x2＝85
答：当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元．
（3）设每个月获得利润w元，由（2）知w＝（220﹣2x）（x﹣40）＝﹣2x2+300x﹣8800
∴w＝﹣2（x﹣75）2+2450
∴当x＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题关键在于理解题意得到等量关系列出方程.