初中数学中考复习 专题03 一元一次方程（解析版）

专题03 一元一次方程

知识点1：一元一次方程的概念

1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.

2．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.

知识点2：一元一次方程解法的一般步骤

（1）整理方程； 

（2）去分母；

（3）去括号；

（4）移项；

（5）合并同类项；

（6）系数化为1。

（检验方程的解）

知识点3：列一元一次方程解应用题

（1）读题分析法: 多用于“和，差，倍，分问题”

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.

（2）画图分析法:  多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.

   本章内容是代数学的基础核心。能做到熟练解方程、列方程。列方程是难点，需要学生综合能力。列方程解应用题需要对下面常用公式熟练掌握，在理解的基础上，灵活对公式进行变形。

（1）行程问题：  距离=速度·时间  

（2）工程问题：  工作量=工效·工时 

（3）比率问题：  部分=全体·比率  

（4）顺逆流问题：  顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；

（5）商品价格问题：  售价=定价·折· ，利润=售价-成本， ；

（6）周长、面积、体积问题：

C圆=2πR，S圆=πR2，

C长方形=2(a+b)， S长方形=ab，

C正方形=4a，S正方形=a2，

S环形=π(R2-r2),

V长方体=abc ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.

（7）其它问题。

【例题1】（2020•株洲）关于x的方程3x﹣8＝x的解为x＝　　  ．

【答案】4

【分析】方程移项、合并同类项、把x系数化为1，即可求出解．

【解析】方程3x﹣8＝x，

移项，得3x﹣x＝8，

合并同类项，得2x＝8．

解得x＝4．

【例题2】（2020•凉山州）解方程：x1．

【答案】见解析。

【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可．

【解析】去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），

去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，

移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，

合并同类项，得：﹣x＝﹣2，

系数化为1，得：x＝2．

【例题3】（2020•内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程

是（　　）

A．x＝（x﹣5）﹣5 B．x＝（x+5）+5 

C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5

【答案】A

【分析】设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【解析】设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，

依题意，得：x＝（x﹣5）﹣5．

《一元一次方程》单元精品检测试卷

本套试卷满分120分，答题时间90分钟

一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）

1．（2020•重庆）解一元一次方程（x+1）＝1x时，去分母正确的是（　　）

A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x 

C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x

【答案】D

【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．

【解析】方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，

2．（2020•金华）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x．则列出方程正确的是（　　）

A．3×2x+5＝2x B．3×20x+5＝10x×2 

C．3×20+x+5＝20x D．3×（20+x）+5＝10x+2

【答案】D

【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可．

【解析】设“□”内数字为x，根据题意可得：

3×（20+x）+5＝10x+2．

3.已知下列方程：①x＋1＝；②5x＝8；③＝4x＋1；④x2＋2x－3＝0；⑤x＝1；

⑥3x＋y＝6。其中是一元一次方程的个数是（   ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

【答案】B

【解析】含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程是一元一次方程，满足要求的有②③⑤。

4.检验下列各数是不是方程3x－1＝2x＋1的解。

（1）x＝4；（2）x＝2。

【答案】（1）x＝4不是；（2）x＝2是。

【解析】（1）把x＝4分别代入方程的左右两边，得：

左边＝3×4－1＝11；右边＝2×4＋1＝9，左边≠右边，

所以x＝4不是方程3x－1＝2x＋1的解。

（2）把x＝2分别代入方程的左右两边，得：

左边＝3×2－1＝5；右边＝2×2＋1＝5，左边＝右边，

所以x＝2是方程3x－1＝2x＋1的解。

5.下列等式变形正确的是（   ）

A. 如果S＝ab，那么b＝

B. 如果x＝6，那么x＝3

C. 如果x－3＝y－3，那么x－y＝0

D. 如果mx＝my，那么x＝y

【答案】C 

【解析】选项C中，由x－3＝y－3，两边都减去y－3可得x－y＝0。选项D不正确，当m≠0时，由mx＝my可得x＝y；当m＝0时，x＝y不一定成立。

6.已知x＝5是方程2x＋a＝3－x的解，求a的值。

【答案】a＝－12

【解析】由于x＝5是方程2x＋a＝3－x的解，

所以2×5＋a＝3－5，即10＋a＝－2，

解得a＝－12。

7.在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（　　）

A．2x﹣1+6x=3（3x+1）

B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）

C．2（x﹣1）+x=3（3x+1）

D．（x﹣1）+x=3（x+1）

【答案】B．

【解析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解。方程两边同时乘以6，化简得到结果，即可作出判断．

方程两边同时乘以6得：2（x﹣1）+6x=3（3x+1）

8.已知方程(m+1)x|m|+3=0是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ）

A.±1         B.1        C.－1        D.0或1

【答案】B

【解析】方程(m+1)x|m|+3=0是关于x的一元一次方程，则m+1≠0，|m|=1，所以m=1.

9.一个饲养场里的鸡的只数与猪的头数之和是70，鸡、猪的腿数之和是196，设鸡有x只，依题意可列方程（    ）

A.2x+4（70－x）=196         B.2x+4×70=196

C.4x+2（70－x）=196         D.4x+2×70=196

【答案】A 

【解析】每只鸡有2条腿，每头猪有4条腿，所以可列方程2x+4（70-x）=196.

10.家电下乡是我国应对当前国际金融危机，惠农强农，带动工业生产，促进消费，拉动内需的一项重要举措。国家规定，农民购买家电下乡产品将得到销售价格13%的补贴资金。今年5月1日，甲商场向农民销售某种家电下乡手机20部。已知从甲商场售出的这20部手机国家共发放了2340元的补贴，若设该手机的销售价格为x元，以下方程正确的是（   ）

A. 20x·13%＝2340 

B. 20x＝2340×13%

C. 20x（1－13%）＝2340 

D. 13%·x＝2340

【答案】A 

【解析】购机补贴是按手机售价的13%补贴的，每部手机售价x元，补贴为x·13%元，20部手机的补贴应为20x·13%元。

二、填空题（共10小题，每空3分，共30分）

11．（2020•衢州）一元一次方程2x+1＝3的解是x＝　　．

【答案】1

【分析】将方程移项，然后再将系数化为1即可求得一元一次方程的解．

【解答】解；将方程移项得，

2x＝2，

系数化为1得，

x＝1．

12．（2020•武威）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．

【答案】200

【分析】设广告牌上的原价为x元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解析】设广告牌上的原价为x元，

依题意，得：0.8x＝160，

解得：x＝200．

13．（2020•牡丹江）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打　　折．

【答案】8

【分析】设商店打x折，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解析】设商店打x折，

依题意，得：180120＝120×20%，

解得：x＝8．

14．（2020•铜仁市）方程2x+10＝0的解是　    　．

【答案】x＝﹣5．

【分析】方程移项，把x系数化为1，即可求出解．

【解析】方程2x+10＝0，

移项得：2x＝﹣10，

解得：x＝﹣5．

故答案为：x＝﹣5．

15．（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有　　名．

【答案】23

【分析】设女生有x名，根据某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，可以列出相应的方程，解方程即可求解．

【解析】设女生有x名，则男生人数有（2x﹣17）名，依题意有

2x﹣17+x＝52，

解得x＝23．

故女生有23名．

16．（2020•绍兴）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是　  　元．

【答案】100或85．

【分析】可设所购商品的标价是x元，根据小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，分①所购商品的标价小于90元；②所购商品的标价大于90元；列出方程即可求解．

【解析】设所购商品的标价是x元，则

①所购商品的标价小于90元，

x﹣20+x＝150，

解得x＝85；

②所购商品的标价大于90元，

x﹣20+x﹣30＝150，

解得x＝100．

故所购商品的标价是100或85元．

17.已知x=2是关于x的方程a(x+1)=a/2+x的解，则a的值是________．

【答案】4/5．

【解析】把x=2代入方程得：3a=a/2+2，

解得：a=4/5．

18．x＝9 是方程的解，那么　　　，当1时，方程的解　　　　　　　；

【答案】1，x＝9或x＝3． 

【解析】当1时，方程转化为两个一元一次方程

解得 或.

19．若是2ab2c3x－1与－5ab2c6x＋3是同类项，则x＝　　　　　。

【答案】．

【解析】据同类项的意义得方程 3x－1＝ 6x＋3，

解得x＝．

20.一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，则原来的两位数为　　　　　。

【答案】48

【解析】等量关系：原两位数+36=对调后新两位数

设十位上的数字X，则个位上的数是2x，

10×2x+x=（10x+2x）+36

解得x=4，2x=8.

则原来的两位数为48

三、解答题（本大题有7道题，共60分）

21．（8分）（2020•攀枝花）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？

【答案】见解析。

【分析】设这些学生共有x人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解．

【解析】设这些学生共有x人，

根据题意得，

解得x＝48．

答：这些学生共有48人．

22．（8分）（2020•凉山州）解方程：x1．

【答案】见解析。

【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可．

【解析】去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），

去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，

移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，

合并同类项，得：﹣x＝﹣2，

系数化为1，得：x＝2．

23．（8分）（2020•杭州）以下是圆圆解方程1的解答过程．

【答案】见解析。

解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．

去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．

移项，合并同类项，得x＝﹣3．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．

【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．

【解析】圆圆的解答过程有错误，

正确的解答过程如下：

去分母，得：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．

去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．

移项，合并同类项，得x＝﹣3．

24.（8分）已知（︱k︱－1）x2＋（k－1）x＋3＝0是关于x的一元一次方程，求k的值。

【答案】k＝－1

【解析】因为原方程是关于x的一元一次方程，所以原方程中关于x的2次项系数必须等于0，一次项系数不等于0。即，解得k＝－1。

25.（10分）有一位妇女在河边洗碗，由于碗数较多，过路的人问她家中来了多少客人。她不直接回答，倒是给过路的人出了一道难题：这些客人每两人共用一个饭碗，每三人共用一个汤碗，每四人共吃一碗肉，这样不多不少，加起来共65个碗，你知道有多少客人吗？

【答案】客人有60人。

【解析】设有x位客人，饭碗有x个，汤碗有x个，肉碗有x个，相等关系为：饭碗＋汤碗＋肉碗＝65。根据题意，得：

x＋x＋x＝65，即x＝65

两边都除以，得x＝60

26.（8分）有一列数，按照一定规律排列成1，-3,9，-27,81，-243，....其中某三个相邻数的和是-1701，求这三个数。

【答案】这三个数是-243,729，-2187.

【解析】从符号和绝对值两个方面观察，可以发现这列数的排列规律是：后面的数是它前面的数与-3的乘积。如果三个相邻数中的第一个记为x，则后2个数分别为-3x，9x.

根据题意列出方程为 x+（-3x）+9x=-1701

合并同类项得7x=-1701

系数化为1得x=-243

从而-3x=729

9x=-2187

27.（10分）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：

  投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

  方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．

  方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．

（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=×100%）

（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？

【答案】见解析。

【解析】利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较；利用表示，根据二者的差是5万元，即可列方程求解．

（1）设商铺标价为x万元，则按方案一购买，则可获投资收益

（120%﹣1）•x+x•10%×5=0.7x

投资收益率为×100%=70%

按方案二购买，则可获投资收益（120%﹣0.85）•x+x•10%×（1﹣10%）×3=0.62x

投资收益率为×100%≈72.9%

∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．

（2）由题意得0.7x﹣0.62x=5

     解得x=62.5万元

∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．