初中数学中考复习 专题02 一次方程（组）的含参及应用问题（解析版）

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专题 02一次方程（组）的含参及应用问题


【考点1】一次方程的有关定义
【例1】关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为　________　．
【答案】x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3
【解析】∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴当m＝1时，方程为x﹣2＝0，解得：x＝2；
当m＝0时，方程为﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2；
当2m﹣1＝0，即m时，方程为x﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，
故答案为：x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3．
点睛：此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
【变式1-1】（2019·四川南充·中考真题）关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．
【详解】
解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，
解得：a=3，m=2，
所以a+m=3+2=5，
故选C．
【点睛】
此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．
【变式1-2】若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝　　．
【答案】1
【解析】把代入二元一次方程ax+y＝3中，
a+2＝3，解得a＝1．
故答案是：1．
点睛：本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．
【考点2】方程组的解法
【例2】（2020·甘肃天水·中考真题）已知，，则的值为_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．
【详解】
解：①，②，
②-①得，2a+2b=2，
解得：a+b=1,
故答案为：1．
【点睛】
此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．
【变式2-1】（2020·贵州毕节·）已知是方程组的解，则的值为__．
【答案】1.
【解析】
【分析】
先把x=a，y=b，代入原方程组，再解关于a、b的二元一次方程组，代入要求的代数式即可得出答案．
【详解】
把代入方程组得：，
①+②得： ，
，
故答案为．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，先将x，y的值代入，再计算即可．
【变式2-2】（2020·湖北期末）已知关于的方程组的解为，则的平方根为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据方程组的解，可以把解代入方程组，构成新的方程组，求出m、n,再代入求平方根.
【详解】
将代入方程组得
，
解得 .
所以
所以的平方根为
故答案为：
【点睛】
考核知识点：解方程组，平方根．解方程组，理解平方根的定义是关键．
【考点3】方程组的含参问题
【例3】已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
【答案】B
【解析】将代入得：
，
∴a+b＝2；
故选：B．
点睛：本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．
【变式3-1】已知是方程组的解，则a+b的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】A
【解析】将代入，
可得：，
两式相加：a+b＝﹣1，
故选：A．
点睛：本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
【变式3-2】（2020·天津和平·）若方程组的解也是二元一次方程的一个解，则的值等于__________．
【答案】7
【解析】
【分析】
先把2x-y=1中的y用x表示出来，代入3x+2y=12求出x的值，再代入2x-y=1求出y的值，最后将所求x，y的值代入5x-my=-11解答即可．
【详解】
解：根据题意得
∴由①得：y=2x-1，
代入②用x表示y得，3x+2（2x-1）=12，
解得：x=2，代入①得，y=3，
∴将x=2，y=3，代入5x-my=-11解得，m=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程和解二元一次方程组的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1就可用含y的式子表示x的形式．
【变式3-3】（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．
【答案】答案不唯一，如x﹣y．
【解析】
【分析】
根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可.
【详解】
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
而1﹣1＝0，
∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y．
故答案为：答案不唯一，如x﹣y.
【点睛】
此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键.
【考点4】二元一次方程的方案问题
【例4】（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【解析】
【分析】
设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有4种购买方案．
【详解】
解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，
依题意，得：2x+3y＝30，
∴y＝10﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴，，，，
∴小明有4种购买方案．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二元一次方程应用中的整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【变式4-1】（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）学校计划用200元钱购买、两种奖品，种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【解析】
【分析】
设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为正整数可求出解．
【详解】
设购买了种奖品个，种奖品个，
根据题意得：，
化简整理得：，得，
∵，为非负整数，
∴，，，
∴有3种购买方案：
方案1：购买了种奖品0个，种奖品8个；
方案2：购买了种奖品5个，种奖品5个；
方案3：购买了种奖品10个，种奖品2个.
故选：B.
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为非负整数确定出x，y的值．
【考点5】一次方程组的应用问题
【例5】（2020·山西中考真题）年月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满元立减元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金元．求该电饭煲的进价．

【答案】该电饭煲的进价为元
【解析】
【分析】
根据满元立减元可知，打八折后的总价减去128元是实际付款数额，即可列出等式．
【详解】
解：设该电饭煲的进价为元
根据题意，得
解，得．
答；该电饭煲的进价为元
【点睛】
本题主要考察了打折销售知识点，准确找出它们之间的关系列出等式方程是解题关键．
【变式5-1】（2020·辽宁大连·中考真题）某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
【答案】每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【解析】
【分析】
设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，根据运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车，列方程组求解．
【详解】
解：设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥， 由题意得，
，
整理得：
解得：．
答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
【变式5-2】15．（2020·河北初三其他）在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．
（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？
（2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？
【答案】（1）跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为5元/个；（2）该店的商品按原价的9折销售．
【解析】
【分析】
（1）设跳绳的单价为x元/条，毽子的单件为y元/个，根据：购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元，列方程组求解即可；
（2）设该店的商品按原价的x折销售，根据：购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，列出方程求解可得．
【详解】
解：（1）设跳绳的单价为元/条，毽子的单件为元/个，可得：，
解得：，
答：跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为5元/个；
（2）设该店的商品按原价的折销售，可得：，
解得：，
答：该店的商品按原价的9折销售．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系是解题关键．
【变式5-3】（2020·平江县南江中学初三二模）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？

【答案】2元、6元
【解析】
【分析】
根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．
【详解】
解：设中性笔和笔记本的单价分别是元、元，根据题意可得：
，
解得：，
答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．

1．（2020·湖南益阳·中考真题）同时满足二元一次方程和的，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
联立和解二元一次方程组即可．
【详解】
解：有题意得：
由①得x=9+y③
将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5
则x=9+（-5）=4
所以x=4，y=-5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用及解法，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
2．（2020·四川内江·中考真题）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设索为尺，杆子为()尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于一元一次方程．
【详解】
设索为尺，杆子为()尺，
根据题意得：()．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
3．（2020·广东南山·初三三模）关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．
【详解】
解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，
解得：a=3，m=2，
所以a+m=3+2=5，
故选C．
【点睛】
此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．
4．（2020·贵州黔南·中考真题）某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（ ）
A．7.4元 B．7.5元 C．7.6元 D．7.7元
【答案】C
【解析】
【分析】
设该商品每件的进价为x元，根据利润=售价-成本，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设该商品每件的进价为x元，
依题意，得：，
解得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2020·山东临清·初三一模）把一根长9m的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．9种
【答案】B
【解析】
【分析】
可列二元一次方程解决这个问题．
【详解】
解：设的钢管根，根据题意得：
，
、均为整数，
，，，．
故选：B．
【点睛】
本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．
6．（2020·山东东营·中考真题）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ）
A．里 B．里 C．里 D．里
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可设第一天所走的路程为，用含的式子分别把这六天的路程表示出来，相加等于总路程378，解此方程即可．
【详解】
解：设第一天的路程为里
∴
解得
∴第三天的路程为
故答案选B
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，通过每日路程之和等于总路程建立一元一次方程是解题的关键．
7．（2020·黑龙江双鸭山·初三其他）学校计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球元，一个品牌足球元．学校准备将元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】
【分析】
设购买品牌足球个，购买品牌足球个，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可求出结论．
【详解】
解：设购买品牌足球个，购买品牌足球个，
依题意，得：，
．
，均为正整数，
，，，，
该学校共有种购买方案．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的解的问题，这类题往往涉及到方案的种类，是常考点.
8．（2020·湖北恩施·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（ ）．
A． B．1 C．0 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．
【详解】
解：由题意知：，
又，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．
9．（2020·东海）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】B
【解析】
【分析】设购买篮球x个，排球y个，根据“购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数=1200”列出关于x、y的方程，由x、y均为非负整数即可得．
【详解】设购买篮球x个，排球y个，
根据题意可得120x+90y=1200，
则y=，
∵x、y均为正整数，
∴x=1、y=12或x=4、y=8或x=7、y=4，
所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有3种，
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，依据相等关系列出方程．
10．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3 B．3，－3 C． D．，－
【答案】C
【解析】
【分析】
将代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．
【详解】
解：将代入二元一次方程中，
得到：，解这个关于x和y的二元一次方程组，
两式相加，解得，将回代方程中，解得，
∴，
∴x＋2y的算术平方根为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
11．（2019·江苏南通·中考真题）已知a、b满足方程组，则a+b的值为( )
A．2 B．4 C．—2 D．—4
【答案】A
【解析】
【分析】
观察可知将两个方程相加得，化简即可求得答案.
【详解】
，
①+②，得5a+5b=10，
所以a+b=2，
故选A.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据二元一次方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题的关键.
12．（2020·甘肃天水·中考真题）已知，，则的值为_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．
【详解】
解：①，②，
②-①得，2a+2b=2，
解得：a+b=1,
故答案为：1．
【点睛】
此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．
13．（2020·贵州毕节·）已知是方程组的解，则的值为__．
【答案】1.
【解析】
【分析】
先把x=a，y=b，代入原方程组，再解关于a、b的二元一次方程组，代入要求的代数式即可得出答案．
【详解】
把代入方程组得：，
①+②得： ，
，
故答案为．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，先将x，y的值代入，再计算即可．
14．（2020·湖北期末）已知关于的方程组的解为，则的平方根为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据方程组的解，可以把解代入方程组，构成新的方程组，求出m、n,再代入求平方根.
【详解】
将代入方程组得
，
解得 .
所以
所以的平方根为
故答案为：
【点睛】
考核知识点：解方程组，平方根．解方程组，理解平方根的定义是关键．
15．（2020·山东日照·中考真题）《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x辆车，有y人，则可列方程组为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两种乘车方式，找出等量关系，由此建立方程组即可．
【详解】
由题意，可列方程组为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列二元一次方程组，依据题意，正确找出等量关系是解题关键．
16．（2020·辽宁朝阳·中考真题）已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为__________________．
【答案】5
【解析】
【分析】
①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可．
【详解】
解：，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵，
∴2-a=-3，
∴a=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
17．（2020·湖南中考真题）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次．
【答案】4
【解析】
【分析】
设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】
解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：
，
整理得：，
解得：．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组求解．
18．（2020·浙江绍兴·中考真题）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元．
【答案】100或85．
【解析】
【分析】
设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可．
【详解】
解：设所购商品的标价是x元，则
①所购商品的标价小于90元，
x﹣20+x＝150，
解得x＝85；
②所购商品的标价大于90元，
x﹣20+x﹣30＝150，
解得x＝100．
故所购商品的标价是100或85元．
故答案为100或85．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键．
19．（2019·山东淄博·中考真题）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的，两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售价-成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：



成本（单位：万元/件）
2
4
售价（单位：万元/件）
5
7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
【答案】，两种产品的销售件数分别为160件、180件．
【解析】
【分析】
设，两种产品的销售件数分别为件、件，由题意列方程组，再计算即可得到答案.
【详解】
设，两种产品的销售件数分别为件、件；
由题意得：，
解得：；
答：，两种产品的销售件数分别为160件、180件．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的实际应用.
20．（2020·河北初三其他）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表(二)所示：
类别
成本价(元/箱)
销售价(元/箱)
甲
25
35
乙
35
48
求：(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
【答案】(1)购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱；(2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．
【解析】
【分析】
（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=单箱利润×销售数量，即可求出结论．
【详解】
解：(1)设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，
依题意，得：，
解得：．
答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．
(2)(元)．
答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．