2023 数学新中考二轮复习热点透析 疑难点拨05动态几何问题

疑难点拨05 动态几何问题

考向分析

动态几何问题是近三年来中考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题。随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题。一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

考点详解

解这类问题的基本策略是：

1.动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性。

2.动静互化：“静”只是“动"的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静"的关系. 

3.以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点來研究变动元素的关系• 总之，解决动态儿何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形, 把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变。这类问题与函数相结合时，注意使用分类讨论的思想，运用方程的思想.数形结合思想.转化的思想等。

4.动态几何形成的存在性问题，重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类，包括等腰(边)三角形存在问题，直角三角形存在问题，平行四边形存在问题，矩形、菱形、正方形存在问题。全等三角形存在问题，相似三角形存在问题等。

真题再现

一、单选题

1．（2021·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学二模）将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（　　）

A．3 B．8 C．2 D．

2．（2021·江苏·苏州市吴江区青云中学一模）如图，内接于，，，点为弧上一动点，直线于点．当点从点沿弧运动到点时，点经过的路径长为（       ）

A． B． C． D．

3．（2021·广西梧州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　　）

A．34 B．12 C．6+3 D．6

4．（2021·山东威海·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（       ）

A． B．

C． D．

5．（2021·山东济南·三模）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2＋t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为cm；④若△PQC与△ABC相似，则t＝秒，其中正确的说法是（　　）

A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③

6．（2021·湖北黄冈·三模）如图，正六边形的边长为，是对角线上一动点，过点作直线与垂直，动点从点出发且以的速度匀速平移至点．设直线扫过正六边形区域的面积为），点的运动时间为（），下列能反映与之间函数关系的大致图象是（ ）

A． B．C．D．

7．（2021·四川绵阳·二模）如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为（ ）

A． B． C． D．

8．（2021·江苏·镇江实验学校一模）如图①，点在直线上，射线与直线的夹角，四边形是菱形，点与点重合，线段于点．若菱形以每秒个单位长度的速度沿射线滑行，设菱形落在射线下方部分的面积为(如图②）．小丽经过研究发现与滑行时间的函数关系的图像是由四段函数图像组成的，并正确绘制了如图③所示的图像（为相邻两段图像的公共点)，则点的坐标为(     )

A． B． C． D．

9．（2020·河南驻马店·二模）如图，如图，在等腰中，，，点P从点B出发，以的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发以2cm的速度沿运动到点C停止．若的面积为y,运动时间为，则下列图象中能大致反映y与x之间关系的是（            ）

A． B．

C． D．

10．（2020·山东潍坊·一模）如图，点A（a，1），B（b，3）都在双曲线上，点P，Q分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABQP周长的最小值为（       ）

A． B． C． D．

11．（2020·湖北·武穴市第三实验中学八年级期中）如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，Q点在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒．则当△BPD与△CPQ全等时，v的值为（     ）

A．2 B．3 C．2或3 D．1或5

12．（2021·全国·七年级练习）如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（       ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

13．（2021·广东清远·二模）如图，正方形ABCD中，E在射线BC上，连AB、DE，则的最小值是_____．

14．（2022·北京四中九年级开学考试）在平面直角坐标xOy中，已知点，⊙P的半径为1，直线，给出以下四个结论：①当时，直线l与⊙P相离；②若直线l是⊙P的一条对称轴，则；③若直线l是⊙P只有一个公共点A，则；④若直线l上存在点B，⊙P上存在点N，使得，则a的最小值为，其中所有正确的结论序号是___．

15．（2022·广东·惠州一中九年级开学考试）如图，在矩形中，，，F为中点，P是线段上一点，设，连结并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段，连结、，则在点P从点B向点C的运动过程中，有下面四个结论：①当时，；②点E到边的距离为m；③直线一定经过点；④的最小值为．其中结论正确的是______．（填序号即可）

16．（2021·辽宁鞍山·九年级期中）如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得，点、分别为线段和线段上的动点，若，则下列结论：①四边形为菱形；②；③为等边三角形；④；⑤若，，则．正确的有（填序号）________．

17．（2022·四川内江·九年级期末）如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是_____．

三、解答题

18．（2021·广东·深圳市美中学校一模）如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，

(1)写出A、B、C三点的坐标．

(2)若点P为内一点，求的最小值．

(3)如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当为等腰三角形时，请直接写出CE的长．

19．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学二模）如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．

(1)求证：∠BDE＝90°；

(2)如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；

(3)如图2，AC与BE交于点F．

①请问点E在运动的过程中，CF⋅AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；

②若，求点E坐标及a的值．

20．（2022·广东佛山·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．

(1)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．

①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F，连接，若，求点P的坐标．

②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，若，则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？

(2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N，过点作轴，垂足为I，交圆N于点M，点在运动过程中，线段是否变化？若有变化，求出MI的取值范围；若不变，求出其定值．

(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设AOQ外接圆圆心为H，当的值最大时，请直接写出点H的坐标．

21．（2022·重庆南开中学九年级期末）如图，菱形ABCD，，点E为平面内一点，连接AE．

(1)如图1，点E在BC的延长线上，将AE绕点A顺时针旋转60°得AF，交EB延长线于点G，连接EF交AB延长线于点H，若，，求AE的长；

(2)如图2，点E在AC的延长线上，将AE绕点A逆时针旋转60°得AF，连接EF，点M为CE的中点，连接BM，FM，证明：；

(3)如图3，将AB沿AS翻折得，连DE交AS于点S，点T为平面内一点，当DS取得最大值时，连接TD，TE，若，AD=6，求的最大值．

22．（2022·浙江·义乌市绣湖中学教育集团九年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，过点A作轴，做直线AC平行x轴，点D是二次函数的图象与x轴的一个公共点（点D与点O不重合）．

(1)求点D的横坐标（用含b的代数式表示）

(2)求的最大值及取得最大值时的二次函数表达式．

(3)在（2）的条件下，如图2，P为OC的中点，在直线AC上取一点M，连接PM，做点C关于PM的对称点N，①连接AN，求AN的最小值．

②当点N落在抛物线的对称轴上，求直线MN的函数表达式．

23．（2022·山西大同·九年级期末）综合与探究

如图，已知抛物线与x轴相交于点A，B（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C，其顶点为点D，连接AC，BC．

（1）求点A，B，D的坐标；

（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F．若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；

（3）设点M是线段BC上的一个动点，过点M作，交AC于点N．点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（）秒，直接写出当t为何值时，为等腰直角三角形．

24．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，抛物线y＝－＋x＋2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求A，B两点的坐标；

（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；

（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．

①求点F的坐标；

②直接写出点P的坐标．