备战2023年数学新中考二轮复习热点透析 疑难点拨02规律问题

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疑难点拨02 规律问题
考向分析
探究规律型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。
考点详解
规律探索题型一般可分为数的规律、式的规律、图形的规律、周期规律问题或与图形有关的操作变化过程的规律等类型；不管是哪种类型的规律问题，解决问题的实质性方法都大同小异，一个方向先将前三种、四种的结果呈现出来，通过结果发现规律；另一个方向是从前面几种结果的探索过程出现的一致性发现规律，我们简称为结果导向型和过程导向型。
一、数式规律型
数式规律型:数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律，式变化规律往往包含数的变化规律.数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题，主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式为主要内容;式的变化规律通常给定一些代数式，等式或者不等式，猜想其中蕴含的规律，一般解法是先写出代数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位里的数量关系)，找出各部分的特征，写出符合条件的格式
二、图形变化类规律型
图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律.主要是观察图形变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律.这需要有敏锐的观察能力和计算能力.
三、点的坐标规律型
此类题型主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键
四、数形结合规律型
数形结合规律型:这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力，解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”，还要有很强的“图形”意识.
五、规律探索型问题的解题技巧
(1)利用特殊点、特殊图形、特殊位置等进行归纳、概括，从特殊到一般找规律，进而得出解决问题的方法；(2)当问题的结论不能唯一确定时，则需要按可能出现的情况加以分类讨论；(3)利用一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似的问题的结论或解决方法，并加以严密论证。
真题再现
一、单选题
1．（2021·山东·乳山市教学研究中心七年级期末）如图，一个机器人从坐标原点O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点，……．按此规律走下去，当机器人走到A7点时，它的位置可表示为（        ）（单位长度为1米）

A．（-21，18）
B．（9，12）
C．（-12，12）
D．（-21，12）
【答案】C
【分析】
根据题意知：， ，，可得规律：，根据规律可以得到A7的横坐标和纵坐标.
【详解】
解：根据题意，得， ，，可得规律：，当机器人走到A7点时，其横坐标为3-9+15-21=-12；纵坐标为6-12+18=12，
故点A7坐标为（-12，12）
故选择：C.
2．（2020·福建·三明市列东中学八年级期中）如图所示，直线与y轴相交于点D，点A1在直线上，点B1在x轴，且∆OA1B1是等边三角形，记作第一个等边三角形；然后过B1作B1A2∥OA1与直线相交于点A2，点B2在x轴上，再以B1A2为边作等边三角形A2B2B1，记作第二个等边三角形；同样过B2作B2A3∥OA1与直线相交于点A3，点B3在x轴上，再以B2A3为边作等边三角形A3B3B2，记作第三个等边三角形；⋯依此类推，则第n个等边三角形的顶点A纵坐标为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
可设直线与x轴相交于C点．通过求交点C、D的坐标可求∠DCO=30°．根据题意得△COA1、△CB1A2、△CB2A3…都是等腰三角形，且腰长变化有规律．在正三角形中求高即可得解．
【详解】
解：设直线与x轴相交于C点．

令x=0，则y=；令y=0，则x=-1．
∴OC=1，OD=．
∵tan∠DCO=，
∴∠DCO=30°．
∵△OA1B1是正三角形，
∴∠A1OB1=60°．
∴∠CA1O=∠A1CO=30°，
∴OA1=OC=1．
∴第一个正三角形的高=1×sin60°=；
同理可得：第二个正三角形的边长=1+1=2，高=2×sin60°=；
第三个正三角形的边长=1+1+2=4，高=4×sin60°=2；
第四个正三角形的边长=1+1+2+4=8，高=8×sin60°=4；
…
第n个正三角形的边长=2n-1，高=2n-2×．
∴第n个正三角形顶点An的纵坐标是2n-2×．
故选：D．
3．（2022·江苏·淮安市浦东实验中学九年级开学考试）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，过点作，使．将 绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2022次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为　　


A． B．4 C． D．6
【答案】C
【分析】
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，则△BCD是等腰直角三角形，根据BC=，确定点C的坐标，第一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，确定循环节为4，计算2022÷4的余数，确定最后的坐标，利用k=横坐标×纵坐标计算即可．
【详解】
如图，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，


∵直线与轴、轴分别相交于点、，过点作，使，
∴A（-1，0），B（0，1），AB=，BC=，
∴OA=OB，∠ABO=∠BAO=∠CBD=∠DCB=45°，
∴DC=BD=2，
∴DC=BD=2，OD=OB+BD=3，
∴点C（-2，3），
第一次旋转的坐标为（3，2），第二次旋转坐标与点C关于原点对称为（2，-3），第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为（-3，-2），第四次回到起点，
∴循环节为4，
∴2022÷4=505…2，
∴第2022次变化后点的坐标为（2，-3），
∴k=-3×2=-6，
故选C．
4．（2022·广西·环江毛南族自治县教研室七年级期末）下表中的数字是按一定规律填写的，则的值是（       ）
1
2
3
5
8
13

34

2
3
5
8
13
21
34


A．55 B．66 C．76 D．110
【答案】C
【分析】
根据表格可以得到每行数字的排列规律，然后算出a、b的值，最后代入求出a+b的值，即可判断选项．
【详解】
观察可得：第一行从第三个数开始，每个数都等于前面两个数的和，第二行的规律与第一行相同．
∴，
∴
故选C．
5．（2022·全国·七年级）如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（       ）

A．AD B．DC C．BC D．AB
【答案】C
【分析】
设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，第二次相遇地点，第三次相遇地点，第四册相遇地点，找出规律，发现四次一循环即可解答．
【详解】
解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇；
②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在CD边的中点相遇；
③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在BC边的中点相遇；
④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AB边的中点相遇；
⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇；
……
四次一个循环，因为，所以它们第2019次相遇在边BC中点上．
故选择C．
6．（2021·河南平顶山·九年级期中）如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，CDE看作第三个黄金三角形；……以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（       ）

A．（）2018 B．（）2019
C．（）2018 D．（）2019
【答案】B
【分析】
由黄金三角形的定义得BCAB，同理：△BCD是第二个黄金三角形，△CDE看作第三个黄金三角形，则CDBC＝（）2，得出规律，即可得出结论．
【详解】
解：∵AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC是第一个黄金三角形，
∴底边与腰之比等于，
即，
∴BCAB，
同理：△BCD是第二个黄金三角形，△CDE是第三个黄金三角形，
则CDBC＝（）2，
即第一个黄金三角形的腰长为1＝（）0，第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为（）1，第三个黄金三角形的腰长为（）2，…，
∴第2020个黄金三角形的腰长是（）2020﹣1，
即（）2019，
故选：B．
7．（2021·河北·邯郸市汉光中学七年级期中）定义一种对正整数的“F”运算：①当n为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）.两种运算交替重复进行，例如，取，则第1次“”运算为，第2次“”运算为，第3次“”运算为…若，则第2021次“”运算的结果为（       ）
A．1 B．4 C．2021 D．
【答案】B
【分析】
计算出n=13时第1、2、3、4、5、6、7次运算的结果，通过计算从第4次开始，结果就只有4、1两个数循环出现，进而观察规律即可得结论．
【详解】
当n=13时，
第1次“F”运算的结果是：，
第2次“F”运算的结果是：，
第3次“F”运算的结果是：，
第4次“F”运算的结果是：，
第5次“F”运算的结果是：，
第6次“F”运算的结果是：，
第7次“F”运算的结果是：，
……
观察以上结果，从第4次开始，结果就只有1、4两个数循环出现，
且当次数为偶数时，结果是1，次数为奇数时，结果是4，
而2021为奇数，故其结果为4，
故选：B．
8．（2022·湖北随州·七年级期末）如图，下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图中黑色正方形的个数是（     ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
观察图中黑色正方形的个数，对应的个数为；对应的个数为；对应的个数为；对应的个数为；进而可推导出一般性规律．
【详解】
解：图①中有个黑色正方形；
图②中有个黑色正方形；
图③中有个黑色正方形；
图④中有个黑色正方形；
依此规律，图n中有个黑色正方形
故选D．
9．（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）找出以下图形变化的规律，则第 2022 个图形中黑色正方形的数量是（ ）

A．3030 B．3031 C．3032 D．3033
【答案】D
【分析】
观察前几个图形的黑色正方形的数量2、3、5、6、8……得出变化规律： 当n为偶数时，第n个图形的黑色正方形的数量为（）个，当n为奇数时，第n个图形的黑色正方形的数量为（）个，据此规律求解即可．
【详解】
解：观察前几个图形可知：
第1个图形中黑色正方形的数量是2，
第2个图形中黑色正方形的数量是3，
第3个图形中黑色正方形的数量是5，
第4个图形中黑色正方形的数量是6，
第5个图形中黑色正方形的数量是8，
……
得出规律：
当n为偶数时，第n个图形的黑色正方形的数量为（）个，当n为奇数时，第n个图形的黑色正方形的数量为（）个，
∴第 2022 个图形中黑色正方形的数量是=3033个，
故选：D．
10．（2022·山东淄博·期末）按一定的规律排列的一组数：，，，，…，，，…（其中a，b为整数）．则的值为（       ）
A．212 B．222 C．232 D．182
【答案】B
【分析】
根据已知数的分母发现变化规律：两个相邻的正整数相乘，依次求出a与b的值即可得解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴a=90，b=132，
∴=90+132=222，
故选：B．
11．（2022·福建泉州·七年级期末）在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（        ）

A．128 B．120 C．112 D．102
【答案】A
【分析】
观察四个正方形，可得到规律，每个正方形中左上角的数为连续的偶数，右上角的数比左上角的数大3，左下角的数是右上角的数的相反数，右下角的数=右上角的数与左下角的数的绝对值的乘积+左上角的数-1，依此计算即可求解．
【详解】
解：观察四个正方形，可得到规律：
每个正方形中左上角的数为从0开始的连续的偶数，
右上角的数比左上角的数大3，
左下角的数是右上角的数的相反数，
右下角的数=右上角的数与左下角的数的绝对值的乘积+左上角的数-1，
∴m=11×+8-1=128，
故选：A．
12．（2022·山东泰安·九年级期末）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为90°的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是1cm，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意找出半径的变化规律，进而求出第8步所画扇形的半径，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，…
第6步半径为3+5=8（cm）；
第7步半径为5+8=13（cm）；
第8步半径为8+13=21（cm）；
由题意得：第8步所画扇形的半径21cm，
∴第8步所画扇形的弧长＝（cm），
故选：B．
13．（2022·北京大兴·七年级期末）如图所示，用火柴棍按如下规律拼图，若第①个图形需要4根火柴棍，则第⑩个图形需要的火柴棍根数为（       ）

A．110 B．180 C．220 D．264
【答案】C
【分析】
观察图形得：第一个图形有根火柴，第二个图形有根火柴，第三个图形有根火柴，据此规律求解即可．
【详解】
解：观察图形得：
第1个图形有根火柴，
第2个图形有根火柴，
第3个图形有根火柴，
第4个图形有根火柴，

所以第个图形有根火柴，
所以第10个图形所需要的火柴棍的根数是：
．
故选：C．
14．（2021·云南昭通·七年级期中）如图，下列图形是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第10个图形中圆的个数为（       ）

A．30 B．41 C．31 D．40
【答案】C
【分析】
由图可知第1个图形中圆的个数为4=3×1+1个，第2个图形中圆的个数为7=3×2+1个，第3个图形中圆的个数为10=3×3+1个，….；由此可得规律进行求解．
【详解】
解：由图可知第1个图形中圆的个数为4=3×1+1个，第2个图形中圆的个数为7=3×2+1个，第3个图形中圆的个数为10=3×3+1个，….；
∴第n个图形中圆的个数为（3n+1）个，
∴第10个图形中圆的个数为3×10+1=31（个）；
故选C．
15．（2021·辽宁丹东·七年级期中）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则搭建7顶这样的帐篷需要（       ）根钢管．

A．83 B．94 C．102 D．119
【答案】A
【分析】
先分析前几个帐篷需要的钢管数，进而找到规律，当时，每加一个帐篷需要多11根钢管，进而得出第个帐篷需要的钢管数，将代入求解即可．
【详解】
搭一个帐篷需要17根钢管，
搭两个帐篷需要根钢管，
搭三个帐篷需要根钢管，
搭四个帐篷需要根钢管，
……
搭个帐篷需要根钢管，
故时为83根．
故选A
二、填空题
16．（2021·山东泰安·模拟预测）根据表中数字的规律，则代数式的值是 __．
2
4
6
8
5
12
17
72
37
228



【答案】-398
【分析】
根据图中的规律可得，求出与可得答案．
【详解】
解：，；
，；
，；
，，．
故答案为：．
17．（2021·山东济南·八年级期中）a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为；已知，是的差倒数，是的差倒数，……以此类推，则____________．
【答案】
【分析】
根据题目中的新定义，可以求得a1＝3时的a2，a3，a4，从而发现数字的变化特点，进而可以求得a2018的值．
【详解】
解：由题意可得







故答案为：．
18．（2022·广东广州·七年级期末）一组数1，3，5，7，9，…，用含有n的式子表示这组数中的第n个数：_____．
【答案】##-1+2n
【分析】
根据题意得：第1个数为1，第2个数为，第3个数为，第4个数为，第5个数为，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：第1个数为1，
第2个数为，
第3个数为，
第4个数为，
第5个数为，
……，
由此发现，第n个数为．
故答案为：
19．（2022·山东青岛·期末）为庆祝国庆节，七年级小高同学用五角星按一定规律摆出如下图案，则第9个图案需五角星的颗数为______．

【答案】28
【分析】
设第n个图案需要an（n为正整数）颗五角星，根据各图形中五角星颗数的变化，可找出变化规律“an=3n+1（n为正整数）”，再代入n=9即可得出结论．
【详解】
解：设第n个图案需要an（n为正整数）颗五角星．
观察图形，可知：a1=3×1+1，a2=3×2+1，a3=3×3+1，…，
∴an=3n+1，
∴a9=3×9+1=28．
故答案为：28．
20．（2022·湖南郴州·七年级期末）如图是按一定规律摆放的图案，按此规律，第2021个图案与第1～4个图案中相同的是第___个．（只填数字）

【答案】1
【分析】
根据题目中的图案，可以发现图案的变化特点，从而可以得到2021个图案与第1～4个图案中相同的是第几个．
【详解】
解：由图可得，每四个图案为一个循环，
∵2021÷4=505……1，
∴第2021个图案与第1～4个图案中相同的是第1个，
故答案为：1．
21．（2022·宁夏中宁县第三中学七年级期末）用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第21个图案需要棋子_______枚．

【答案】
【分析】
图案中，黑色棋子个数为；图案中，黑色棋子个数为；图案中，黑色棋子个数为；得出规律，进而求解出图案中，黑色棋子个数．
【详解】
解：图案中，黑色棋子个数为；
图案中，黑色棋子个数为；
图案中，黑色棋子个数为；
得出规律为图案中，黑色棋子个数为；
当时，黑色棋子个数为
故答案为：．
22．（2021·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2022次旋转后，顶点的坐标为________．

【答案】
【分析】
连接AD、BD，由勾股定理可得BD，求出∠OFA=30°，得到OA的值，进而求得OB的值，得到点D的坐标，由题意可得6次一个循环，即可求出经过第2022次旋转后，顶点的坐标．
【详解】
解：如图，连接AD，BD，

在正六边形ABCDEF中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴6次一个循环，
∵，
∴经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与第一象限中D点的坐标相同，
故答案为：．
23．（2021·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律，则点的坐标是 __．

【答案】
【分析】
首先根据图形的变化得出OAn的变化规律，判断出点A2021的所在象限，再求出其坐标即可．
【详解】
解：由已知，点A每次旋转转动45°，则转动一周需转动(次)，
而，
，
，
…，
(n为正整数)，
即每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍，
，
点的在第三象限的角平分线上，
∴，
设点A2021(x,x)，其中x