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专题06 一元二次方程（题型归纳）-备战 中考数学一轮复习精品课件与题型归纳专练（全国通用）
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专题06 一元二次方程
题型分析
题型演练
题型一 一元二次方程的概念判断
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
A．是二元一次方程，与题意不符；
B．是二元二次方程，与题意不符；
C．是分式方程，与题意不符；
D．是一元二次方程，符合题意；
故选D．
2．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【详解】解：A、时，不是一元二次方程，故此选项错误；
B、化简后没有二次项，不是一元二次方程，故此选项错误；
C、是一元二次方程，故此选项正确；
D、不是方程，故此选项错误；
故选：C．
3．下列方程中是一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项错误．
B、该方程是二元二次方程，故本选项错误．
C、该方程是一元二次方程，故本选项正确．
D、该方程二元三次方程，故本选项错误．
故选：C．
4．关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义：形如，（为常数，且）的方程为一元二次方程即可．
【详解】A、中系数可以大于1，故A选项不符合题意；
B、中系数可以小于1，故B选项不符合题意；
C、中系数可以不等于1，故C选项不符合题意；
D、中系数不能等于0，故D选项符合题意；
故选：D．
5．若关于的方程是一元二次方程，则的值（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的定义，可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出的值．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得，
∴的值为．
故选：C．
题型二 一元二次方程的形式判断
6．一元二次方程的一次项是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】一元二次方程中，叫做方程的一次项，由此即可得出答案．
【详解】解：一元二次方程的一次项是，
故选C．
7．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．3，， B．3，，9 C．3，5，9 D．3，5，
【答案】A
【分析】先将方程化为一般形式，再根据一元二次方程一般式的相关概念进行判断，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴
一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是3，，．
故选：A．
8．方程化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】去括号，移项，合并同类项，即可化为一元二次方程的一般形式．
【详解】解：，
，
．
故选：．
9．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】若关于x的一元二次方程的常数项为0，
则，
解得，
故选：B．
10．方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，， B．1，5，2 C．，5， D．0，，
【答案】C
【详解】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
【分析】解：方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，5，，
故选：C．
题型三 一元二次方程的解法
11．方程的根为（ ）
A．2 B．4 C．6或2 D．或4
【答案】C
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可
【详解】，
，
，
或，
解得：6或2，
故选：C
12．一元二次方程的解为（ ）
A． B．2 C．0或 D．0或2
【答案】C
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解:
∴
则
故选：D．
13．方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】方程移项后，右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：方程变形得：，
分解因式得：，
可得：或，
解得：，．
故选：C
14．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果．
【详解】解：∵
∴
即，
故选：A．
15．方程的根为_____________．
【答案】，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
∴或，
∴，．
故答案为：，．
16．方程的解是，则方程的解是_______．
【答案】
【分析】根据方程的解是，可知方程的解比方程的解小2，从而可以得到方程的解．
【详解】解：∵方程的解是，
∴方程的两个解是，
故答案为：．
17．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，；
(2)，；
【分析】（1）由公式法解一元二次方程，即可求出答案；
（2）由公式法解一元二次方程，即可求出答案；
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，；
18．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1），
，
∴，
即，
解得：；
（2），
∴，
即，
解得：
19．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)，．
(2)，．
【分析】（1）先把方程左边分解因式化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
（2）先移项，把方程左边分解因式化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴或，
解得：，．
（2），
移项得：，
∴，
∴，，
解得：，．
20．用合适的方法解以下方程.
(1)．
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】（1）解：方程中的，
则方程根的判别式为，
所以方程的解为，
即，．
（2）解：，
，
，
，
或，
或，
所以方程的解为，．
题型四 一元二次方程的根的应用与判别式
21．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据是关于x的一元二次方程的一个根，将代入得到，解得，从而确定答案．
【详解】解：是关于x的一元二次方程的一个根，
将代入得到，解得，
故选：A．
22．如果是关于x的一元二次方程的一个根，那么a的值是（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】将代入方程得，解之可得．
【详解】根据题意代入方程得，
解得：，
故选：A．
23．若关于的一元二次方程为的一个解是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把代入方程得到，再把变形为，利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵的解是，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
24．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式计算即可得出，即可得出结论．
【详解】∵在方程中，
，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A
25．方程的根的情况是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根 D．方程的根的情况与的取值有关
【答案】B
【分析】根据根的判别式，即可判定根的情况．
【详解】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
26．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出解集判断即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故选：C．
27．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：
（1）当时，方程为一元一次方程，必有实数根；
（2）当时，方程为一元二次方程，当时，必有实数根．
【详解】解：（1）当时，方程为一元一次方程，必有实数根；
（2）当时，方程为一元二次方程，当时，方程有实数根：
，
解得，
综上所述，．
故选：A．
28．下列一元二次方程两根之和为2的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，利用计算即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴此方程没有实数根，
不符合题意；
B、∵，
∴，
∴此方程有实数根，
根据根与系数的关系可求，
不符合题意；
C、，
∴，
∴此方程有实数根，
根据根与系数的关系可求，
符合题意；
D、∵，
∴，
∴此方程有实数根，
根据根与系数的关系可求，
不符合题意．
故选C．
29．若是方程的一个根，那么k的值等于______．
【答案】4
【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解．
【详解】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
解得：，
故答案为：4．
30．若是一元二次方程的一个实数根，那么代数式_____________．
【答案】．
【分析】将代入方程得到，进一步得到，然后整体代入即可求解．
【详解】∵是一元二次方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
31．如果关于的方程（k为常数）有两个相等的实数根，那么 _______．
【答案】
【分析】根据根的判别式为零时，有两个相等的实数根，就可以求出k的值．
【详解】解: ,
解得：
故答案为：
32．关于x的一元二次方程 根的情况是 _____．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式的值与0进行比较，进而可得出方程根的情况．
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
33．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个合适的的值______．
【答案】答案不唯一
【分析】先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
所以当取时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：答案不唯一．
34．关于的方程 有两个不相等实数根，写出一个满足条件的的值： ____．
【答案】（ 的任意实数）
【分析】根据求出k的取值范围，再确定k值即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得．
所以当（的任意实数），
方程有两个不相等的实数根．
故答案为：（的任意实数）．
题型五 一元二次方程根与系数的关系
35．设一元二次方程的两根分别是，则的值为（ ）
A．11 B．7 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式的变形，即可求解．
【详解】解：∵方程的两根分别是，
∴，
∴．
故选：A
36．已知，分别是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得，，分别是一元二次方程的两个实数根， 可以得出，进一步可以得出，根据根与系数的关系可得，即可求出代数式的值．
【详解】根据题意，得：，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
37．关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根和k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选A．
38．若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先计算出，，然后根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为．
【详解】∵，，
∴，，
∴以，为根的一元二次方程可为，
故选：B
39．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（）
A．1 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解∶是一元二次方程的两个实数根，
∴．
故选∶A．
40．若m、n是方程的两个实数根，则的值为( )
A．4 B．2 C．0 D．-1
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系及方程的解的定义即可求解．
【详解】∵m、n是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
41．已知，是方程的两个实数根，则______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
42．设，是一元二次方程的两根，则的值为____________．
【答案】0
【分析】首先把m代入方程，可得，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，然后把和整体代入代数式，据此即可求得．
【详解】解：，是一元二次方程的两根，
，，
，
故答案为：0．
43．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为______________．
【答案】
【分析】根据方程根的含义可得，可得，再根据根与系数的关系可得，然后求解即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
44．若实数，满足的值为______．
【答案】2或-11
【分析】分和两种情况，分别利用分式的性质结合一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：，满足，，
当时，
，是方程的两根，
，，
；
当时，
原式．
综上所述：或．
故答案为：或．
45．设a、b是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解定义得出，求出，再根据根与系数的关系得出，代入即可求出答案．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
46．如果关于的一元二次方程的两根分别为，那么_____．
【答案】4
【分析】根据一元二次方程的解可得，得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
题型六 一元二次方程的应用——增长率
47．疫情期间“停课不停学”，因此王老师在线上开通公众号进行公益授课，4月份该公众号关注人数为6000，6月份该公众号关注人数达到7260，若从4月份到6月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．
【答案】该公众号关注人数的月平均增长率．
【分析】设该公众号关注人数的月平均增长率为x，利用6月份该公众号关注人数月份该公众号关注人数×（1+该公众号关注人数的月平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设该公众号关注人数的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该公众号关注人数的月平均增长率．
48．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
(1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)每次下降的百分率为；
(2)每千克水果应涨价5元，盈利6000元．
【分析】（1）设每次降价的百分率为，列出方程求解即可；
（2）设每千克涨价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设每次下降百分率为，
根据题意，得，
解得：， (不合题意，舍去)．
答：每次下降的百分率为；
（2）设每千克涨价x元，
由题意得：
解得：或，
∵商场规定每千克涨价不能超过8元，
∴，
答：每千克水果应涨价5元，盈利6000元．
49．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元．
(1)求每天收入的增长率；
(2)预计第4天收入是多少．
【答案】(1)每天收入的平均增长率为；
(2)预计第4天收入是6655元．
【分析】（1）设每天收入的平均增长率为x，根据开业第一天及第3天收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据（1）求得的平均增长率，即可得出答案．
【详解】（1）解：设每天收入的平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每天收入的平均增长率为；
（2）解：（元）．
答：预计第4天收入将达到6655元．
50．某企业2015年收入2500万元，2017年收入3600万元．
(1)求2015年至2017年该企业收入的年平均增长率：
(2)根据（1）所得的平均增长率，预计2016年该企业收入多少万元？
【答案】(1)
(2)3000万元
【分析】（1）设出平均增长率，根据题意列出一元二次方程即可求解；
（2）在求出平均增长率的前提下求出2016企业收入即可．
【详解】（1）解：设平均增长率为，
则，
解得，（舍去），
答：2015年至2017年该企业收入的年平均增长率为．
（2）解：（万元）．
答：预计2016年该企业收3000万元．
51．年，某贫困户的家庭年人均纯收入为元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到年，家庭年人均纯收入达到了元．
(1)求该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
(2)若年平均增长率保持不变，年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到元？
【答案】(1)40%
(2)能达到6800元
【分析】（1）设该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率为，利用该贫困户年家庭年人均纯收入该贫困户年家庭年人均纯收入增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用该贫困户年家庭年人均纯收入该贫困户年家庭年人均纯收入增长率，可求出该贫困户年家庭年人均纯收入，再将其与比较后即可得出结论．
【详解】（1）设该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率为；
（2）元，
，
年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到元．
题型七 一元二次方程的应用——销售问题
52．某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价3元，日销售量将减少60千克，为了每天获得6000元的利润，同时考虑顾客的利益，那么应该涨价多少元？
【答案】应该涨价5元
【分析】首先设每千克应涨价x元，由题意，得涨价后每千克盈利元，销量为千克，利用销量每千克利润总利润，根据等量关系列出方程，再解即可．
【详解】解：∵每千克涨价3元，日销售量将减少60千克，
∴每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，
∴设每千克应涨价x元，由题意，得，
∴，
解得：或，
∵为了使顾客得到实惠，
∴应该涨价5元．
53．随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．
(1)若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
(2)从六月份起，该公司决定降低租金，尽可能地让利顾客，经调查发现，租金每降价1元，全天包车数增加1．6次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？
【答案】(1)全天包车数的月平均增长率为60%
(2)当租金降价70元时，公司将获利8800元
【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，则四月份的全天包车数为；五月份的全天包车数为，又知五月份的全天包车数为64次，由此等量关系列出方程，求出x的值即可；
（2）每辆全天包车的租金全天包车数量列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设全天包车数的月平均增长率为x，
根据题意可得：，
解得：（不合题意舍去），
答：全天包车数的月平均增长率为；
（2）解：设租金降价a元，则，
化简得：，
解得：．
为了尽可能让利顾客，．
答：当租金降价70元时，公司将获利8800元．
54．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【答案】每千克应涨价5元
【分析】设每千克应涨价元，根据每千克涨价元，日销售量将减少千克，每天盈利元，列出方程，求解即可．
【详解】解：设每千克应涨价元，由题意得：
，
解得，，
要使顾客得到实惠，应取，
答：每千克应涨价5元．
55．某超市销售一款“消毒液”，这款“消毒液”的一本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，为尽快减少库存，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价）．现销售这款“消毒液”每天的实际销售利润为350元，其销售单价是多少元？
【答案】销售单价为18.5元
【分析】设销售单价降低x元，先用x表示出每瓶的销售利润和每天的销售量，再根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设销售单价降低x元，则每瓶的销售利润为元，每天的销售量为瓶，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，
又∵为尽快减少库存，
∴，
∴，
答：销售单价为18.5元．
56．超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天销量可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
(1)当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 件，每天共盈利 元；
(2)每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
(3)超市每天盈利元，请利用配方法或一元二次方程的根判别式，求商场每天盈利最高可达多少元？
【答案】(1)40，1800
(2)每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元
(3)2112.5元
【分析】（1）每降价1元平均每天可多售出2件，降价5元，可多售出10件，代入计算即可；
（2）根据日盈利=每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），列出方程求解即可；
（3）根据题意列出方程，利用配方法或一元二次方程的根判别式判断即可．
【详解】（1）∵一件商品每降价1元平均每天可多售出2件，
∴降价5元，可多售出10件，
∵每件盈利50元，平均每天销量可达到30件，
∴每天销售量可达到40件；
降价5元，则每件盈利45元，
∴每天共盈利：（元），
故答案为：40，1800；
（2）根据题意，得，
整理得
解得，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；
（3）方法一：（根判别式法）
根据题意可得，
整理得
∵关于的方程有实数根，
∴，
∴，
即，
解得
∴的最大值为2112.5
故超市每天盈利最高可以达到2112.5元.
方法二：（配方法）
根据题意可得，
整理得
∴，
∵，
∴
∴，
即
∴的最大值为2112.5
故超市每天盈利最高可以达到2112.5元．
题型八 一元二次方程的应用——面积问题
57．哈市某展览馆计划将长60米，宽40米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个1500平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道．
(1)求通道的宽为多少米？
(2)若展览区用彩色地砖铺设，铺设每平方米需要80元，通道用白色地砖铺设，铺设每平方米需要60元，铺设整个展馆需要多少钱？
【答案】(1)5米；
(2)174000元．
【分析】（1）设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为米，宽为米，根据中间的矩形展览区的面积为1500平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×面积，即可求出结论．
【详解】（1）解：设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为米，宽为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：通道的宽为5米．
（2）解：
（元）．
答：铺设整个展馆需要174000元钱．
58．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段（最长可用），用总长为的篱笆（靠墙一面不用篱笆）围成一个矩形菜园．当长度为多少时，矩形菜园的面积为？
【答案】
【分析】根据题意，设长度为，则，矩形菜园的面积为，由此可列出一元二次方程，解方程并检验即可求解．
【详解】解：设当长度为时，矩形菜园的面积为，
根据题意得：，
解得：，，
∵当时，，即，不符合题意，
∴舍去，
∴当长度为时，矩形菜园的面积为．
59．如图，某小区建一长方形电动车充电棚，一边靠墙（墙长15米），另三边用总长25米的栏杆围成，留1米宽的门，若想要建成面积为80平方米的电动车充电棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？
【答案】车棚垂直于墙的一边的长为8米
【分析】设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米，根据电动车充电棚的面积为80平方米，列出一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长15米，即可得出结论．
【详解】解：设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米，
依题意得：，
整理得，
解得：．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：车棚垂直于墙的一边的长为8米．
60．某广场有一块长为100米，宽为60米的矩形空地，政府决定利用这块空地上修建一横两纵的小路方便群众通行，其他部分种植花草供群众欣赏休闲，设三条小路的宽度均为x 米．若种植花草的价格为10元/平方米，种植花草的总费用为49500元，求修建的小路的宽度。
【答案】修建的小路的宽度为5米
【分析】三条小路的宽度均为x 米，根据种植花草的总费用为49500元，列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：由三条小路的宽度均为x 米，根据题意得，
，
整理得，
解得（不合题意舍去）
∴修建的小路的宽度为5米
61．如图，用一段长为34米的篱笆围成一个一边靠墙矩形菜园，墙长为18米，若矩形菜园的面积为140米，求矩形菜园垂直于墙的边长．
【答案】10米
【分析】设矩形菜园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形菜园的面积为140，列方程求解，然后由墙长为18米检验即可．
【详解】解：设矩形菜园垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米．
，
解得：，．
当时，（不合题意，舍去）；
当时，，符合题意．
所以矩形菜园垂直于墙的边长为10米．
题型九 一元二次方程的应用——其他问题
62．去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．
(1)每轮传染中平均每头患病猪传染了几头健康猪？
(2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的猪会不会超过500头？
【答案】(1)每轮传染中平均每头猪传染了7头健康猪．
(2)患病的猪会超过500头，理由见解析．
【分析】（1）设每轮传染中平均每头猪传染了头健康猪，根据一头猪患病经过两轮传染后共有64头猪患病，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据第三轮又被感染的猪的只数经过两轮感染后患病的猪的只数，即可求出结论，再进行比较即可．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均每头猪传染了头健康猪，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每头猪传染了7头健康猪．
（2）解：（头）．
患病的猪会超过500头，
答：患病的猪会超过500头．
63．直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由．
【答案】存在五个连续正整数，它们分别为：
【分析】假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，再根据题意，得出，解出然后再根据题意，得出符合题意的的值，进而即可得出第一个正整数，再通过计算即可得出这五个正整数．
【详解】解：假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，
∴可得：，
解得：或，
∵这五个数为正整数，
∴，
∴，，，，
∴这五个正整数为：，
∴存在五个连续正整数，它们分别为：．
64．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．
【答案】(1)300
(2)5
【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解；
（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得：
，
解得：，
答：小型设备的使用时间为300小时；
（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，
根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，
∴，
整理得：，
解得：（舍去）．
即m的值为5．
65．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：？）
【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少
(2)小球滚动约用了秒
【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；
（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，
答：小球的滚动速度平均每秒减少．
（2）解：设小球滚动约用了秒，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不符题意，舍去，
，
答：小球滚动约用了秒．
66．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
18
62
5
24
86
根据上表数据，求规定用水量a的值
【答案】（1） ；（2）10
【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；
（2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，
元；
（2）若 ，有
，解得： ，即 ，不合题意，舍去，
∴ ，
根据题意得： ，
解得： （舍去），
答：规定用水量a的值为10吨．
专题06 一元二次方程
题型分析
题型演练
题型一 一元二次方程的概念判断
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
A．是二元一次方程，与题意不符；
B．是二元二次方程，与题意不符；
C．是分式方程，与题意不符；
D．是一元二次方程，符合题意；
故选D．
2．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【详解】解：A、时，不是一元二次方程，故此选项错误；
B、化简后没有二次项，不是一元二次方程，故此选项错误；
C、是一元二次方程，故此选项正确；
D、不是方程，故此选项错误；
故选：C．
3．下列方程中是一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项错误．
B、该方程是二元二次方程，故本选项错误．
C、该方程是一元二次方程，故本选项正确．
D、该方程二元三次方程，故本选项错误．
故选：C．
4．关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义：形如，（为常数，且）的方程为一元二次方程即可．
【详解】A、中系数可以大于1，故A选项不符合题意；
B、中系数可以小于1，故B选项不符合题意；
C、中系数可以不等于1，故C选项不符合题意；
D、中系数不能等于0，故D选项符合题意；
故选：D．
5．若关于的方程是一元二次方程，则的值（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的定义，可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出的值．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得，
∴的值为．
故选：C．
题型二 一元二次方程的形式判断
6．一元二次方程的一次项是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】一元二次方程中，叫做方程的一次项，由此即可得出答案．
【详解】解：一元二次方程的一次项是，
故选C．
7．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．3，， B．3，，9 C．3，5，9 D．3，5，
【答案】A
【分析】先将方程化为一般形式，再根据一元二次方程一般式的相关概念进行判断，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴
一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是3，，．
故选：A．
8．方程化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】去括号，移项，合并同类项，即可化为一元二次方程的一般形式．
【详解】解：，
，
．
故选：．
9．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】若关于x的一元二次方程的常数项为0，
则，
解得，
故选：B．
10．方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，， B．1，5，2 C．，5， D．0，，
【答案】C
【详解】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
【分析】解：方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，5，，
故选：C．
题型三 一元二次方程的解法
11．方程的根为（ ）
A．2 B．4 C．6或2 D．或4
【答案】C
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可
【详解】，
，
，
或，
解得：6或2，
故选：C
12．一元二次方程的解为（ ）
A． B．2 C．0或 D．0或2
【答案】C
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解:
∴
则
故选：D．
13．方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】方程移项后，右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：方程变形得：，
分解因式得：，
可得：或，
解得：，．
故选：C
14．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果．
【详解】解：∵
∴
即，
故选：A．
15．方程的根为_____________．
【答案】，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
∴或，
∴，．
故答案为：，．
16．方程的解是，则方程的解是_______．
【答案】
【分析】根据方程的解是，可知方程的解比方程的解小2，从而可以得到方程的解．
【详解】解：∵方程的解是，
∴方程的两个解是，
故答案为：．
17．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，；
(2)，；
【分析】（1）由公式法解一元二次方程，即可求出答案；
（2）由公式法解一元二次方程，即可求出答案；
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，；
18．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1），
，
∴，
即，
解得：；
（2），
∴，
即，
解得：
19．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)，．
(2)，．
【分析】（1）先把方程左边分解因式化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
（2）先移项，把方程左边分解因式化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴或，
解得：，．
（2），
移项得：，
∴，
∴，，
解得：，．
20．用合适的方法解以下方程.
(1)．
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】（1）解：方程中的，
则方程根的判别式为，
所以方程的解为，
即，．
（2）解：，
，
，
，
或，
或，
所以方程的解为，．
题型四 一元二次方程的根的应用与判别式
21．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据是关于x的一元二次方程的一个根，将代入得到，解得，从而确定答案．
【详解】解：是关于x的一元二次方程的一个根，
将代入得到，解得，
故选：A．
22．如果是关于x的一元二次方程的一个根，那么a的值是（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】将代入方程得，解之可得．
【详解】根据题意代入方程得，
解得：，
故选：A．
23．若关于的一元二次方程为的一个解是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把代入方程得到，再把变形为，利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵的解是，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
24．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式计算即可得出，即可得出结论．
【详解】∵在方程中，
，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A
25．方程的根的情况是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根 D．方程的根的情况与的取值有关
【答案】B
【分析】根据根的判别式，即可判定根的情况．
【详解】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
26．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出解集判断即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故选：C．
27．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：
（1）当时，方程为一元一次方程，必有实数根；
（2）当时，方程为一元二次方程，当时，必有实数根．
【详解】解：（1）当时，方程为一元一次方程，必有实数根；
（2）当时，方程为一元二次方程，当时，方程有实数根：
，
解得，
综上所述，．
故选：A．
28．下列一元二次方程两根之和为2的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，利用计算即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴此方程没有实数根，
不符合题意；
B、∵，
∴，
∴此方程有实数根，
根据根与系数的关系可求，
不符合题意；
C、，
∴，
∴此方程有实数根，
根据根与系数的关系可求，
符合题意；
D、∵，
∴，
∴此方程有实数根，
根据根与系数的关系可求，
不符合题意．
故选C．
29．若是方程的一个根，那么k的值等于______．
【答案】4
【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解．
【详解】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
解得：，
故答案为：4．
30．若是一元二次方程的一个实数根，那么代数式_____________．
【答案】．
【分析】将代入方程得到，进一步得到，然后整体代入即可求解．
【详解】∵是一元二次方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
31．如果关于的方程（k为常数）有两个相等的实数根，那么 _______．
【答案】
【分析】根据根的判别式为零时，有两个相等的实数根，就可以求出k的值．
【详解】解: ,
解得：
故答案为：
32．关于x的一元二次方程 根的情况是 _____．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式的值与0进行比较，进而可得出方程根的情况．
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
33．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个合适的的值______．
【答案】答案不唯一
【分析】先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
所以当取时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：答案不唯一．
34．关于的方程 有两个不相等实数根，写出一个满足条件的的值： ____．
【答案】（ 的任意实数）
【分析】根据求出k的取值范围，再确定k值即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得．
所以当（的任意实数），
方程有两个不相等的实数根．
故答案为：（的任意实数）．
题型五 一元二次方程根与系数的关系
35．设一元二次方程的两根分别是，则的值为（ ）
A．11 B．7 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式的变形，即可求解．
【详解】解：∵方程的两根分别是，
∴，
∴．
故选：A
36．已知，分别是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得，，分别是一元二次方程的两个实数根， 可以得出，进一步可以得出，根据根与系数的关系可得，即可求出代数式的值．
【详解】根据题意，得：，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
37．关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根和k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选A．
38．若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先计算出，，然后根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为．
【详解】∵，，
∴，，
∴以，为根的一元二次方程可为，
故选：B
39．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（）
A．1 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解∶是一元二次方程的两个实数根，
∴．
故选∶A．
40．若m、n是方程的两个实数根，则的值为( )
A．4 B．2 C．0 D．-1
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系及方程的解的定义即可求解．
【详解】∵m、n是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
41．已知，是方程的两个实数根，则______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
42．设，是一元二次方程的两根，则的值为____________．
【答案】0
【分析】首先把m代入方程，可得，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，然后把和整体代入代数式，据此即可求得．
【详解】解：，是一元二次方程的两根，
，，
，
故答案为：0．
43．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为______________．
【答案】
【分析】根据方程根的含义可得，可得，再根据根与系数的关系可得，然后求解即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
44．若实数，满足的值为______．
【答案】2或-11
【分析】分和两种情况，分别利用分式的性质结合一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：，满足，，
当时，
，是方程的两根，
，，
；
当时，
原式．
综上所述：或．
故答案为：或．
45．设a、b是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解定义得出，求出，再根据根与系数的关系得出，代入即可求出答案．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
46．如果关于的一元二次方程的两根分别为，那么_____．
【答案】4
【分析】根据一元二次方程的解可得，得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
题型六 一元二次方程的应用——增长率
47．疫情期间“停课不停学”，因此王老师在线上开通公众号进行公益授课，4月份该公众号关注人数为6000，6月份该公众号关注人数达到7260，若从4月份到6月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．
【答案】该公众号关注人数的月平均增长率．
【分析】设该公众号关注人数的月平均增长率为x，利用6月份该公众号关注人数月份该公众号关注人数×（1+该公众号关注人数的月平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设该公众号关注人数的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该公众号关注人数的月平均增长率．
48．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
(1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)每次下降的百分率为；
(2)每千克水果应涨价5元，盈利6000元．
【分析】（1）设每次降价的百分率为，列出方程求解即可；
（2）设每千克涨价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设每次下降百分率为，
根据题意，得，
解得：， (不合题意，舍去)．
答：每次下降的百分率为；
（2）设每千克涨价x元，
由题意得：
解得：或，
∵商场规定每千克涨价不能超过8元，
∴，
答：每千克水果应涨价5元，盈利6000元．
49．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元．
(1)求每天收入的增长率；
(2)预计第4天收入是多少．
【答案】(1)每天收入的平均增长率为；
(2)预计第4天收入是6655元．
【分析】（1）设每天收入的平均增长率为x，根据开业第一天及第3天收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据（1）求得的平均增长率，即可得出答案．
【详解】（1）解：设每天收入的平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每天收入的平均增长率为；
（2）解：（元）．
答：预计第4天收入将达到6655元．
50．某企业2015年收入2500万元，2017年收入3600万元．
(1)求2015年至2017年该企业收入的年平均增长率：
(2)根据（1）所得的平均增长率，预计2016年该企业收入多少万元？
【答案】(1)
(2)3000万元
【分析】（1）设出平均增长率，根据题意列出一元二次方程即可求解；
（2）在求出平均增长率的前提下求出2016企业收入即可．
【详解】（1）解：设平均增长率为，
则，
解得，（舍去），
答：2015年至2017年该企业收入的年平均增长率为．
（2）解：（万元）．
答：预计2016年该企业收3000万元．
51．年，某贫困户的家庭年人均纯收入为元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到年，家庭年人均纯收入达到了元．
(1)求该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
(2)若年平均增长率保持不变，年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到元？
【答案】(1)40%
(2)能达到6800元
【分析】（1）设该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率为，利用该贫困户年家庭年人均纯收入该贫困户年家庭年人均纯收入增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用该贫困户年家庭年人均纯收入该贫困户年家庭年人均纯收入增长率，可求出该贫困户年家庭年人均纯收入，再将其与比较后即可得出结论．
【详解】（1）设该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率为；
（2）元，
，
年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到元．
题型七 一元二次方程的应用——销售问题
52．某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价3元，日销售量将减少60千克，为了每天获得6000元的利润，同时考虑顾客的利益，那么应该涨价多少元？
【答案】应该涨价5元
【分析】首先设每千克应涨价x元，由题意，得涨价后每千克盈利元，销量为千克，利用销量每千克利润总利润，根据等量关系列出方程，再解即可．
【详解】解：∵每千克涨价3元，日销售量将减少60千克，
∴每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，
∴设每千克应涨价x元，由题意，得，
∴，
解得：或，
∵为了使顾客得到实惠，
∴应该涨价5元．
53．随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．
(1)若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
(2)从六月份起，该公司决定降低租金，尽可能地让利顾客，经调查发现，租金每降价1元，全天包车数增加1．6次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？
【答案】(1)全天包车数的月平均增长率为60%
(2)当租金降价70元时，公司将获利8800元
【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，则四月份的全天包车数为；五月份的全天包车数为，又知五月份的全天包车数为64次，由此等量关系列出方程，求出x的值即可；
（2）每辆全天包车的租金全天包车数量列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设全天包车数的月平均增长率为x，
根据题意可得：，
解得：（不合题意舍去），
答：全天包车数的月平均增长率为；
（2）解：设租金降价a元，则，
化简得：，
解得：．
为了尽可能让利顾客，．
答：当租金降价70元时，公司将获利8800元．
54．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【答案】每千克应涨价5元
【分析】设每千克应涨价元，根据每千克涨价元，日销售量将减少千克，每天盈利元，列出方程，求解即可．
【详解】解：设每千克应涨价元，由题意得：
，
解得，，
要使顾客得到实惠，应取，
答：每千克应涨价5元．
55．某超市销售一款“消毒液”，这款“消毒液”的一本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，为尽快减少库存，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价）．现销售这款“消毒液”每天的实际销售利润为350元，其销售单价是多少元？
【答案】销售单价为18.5元
【分析】设销售单价降低x元，先用x表示出每瓶的销售利润和每天的销售量，再根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设销售单价降低x元，则每瓶的销售利润为元，每天的销售量为瓶，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，
又∵为尽快减少库存，
∴，
∴，
答：销售单价为18.5元．
56．超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天销量可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
(1)当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 件，每天共盈利 元；
(2)每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
(3)超市每天盈利元，请利用配方法或一元二次方程的根判别式，求商场每天盈利最高可达多少元？
【答案】(1)40，1800
(2)每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元
(3)2112.5元
【分析】（1）每降价1元平均每天可多售出2件，降价5元，可多售出10件，代入计算即可；
（2）根据日盈利=每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），列出方程求解即可；
（3）根据题意列出方程，利用配方法或一元二次方程的根判别式判断即可．
【详解】（1）∵一件商品每降价1元平均每天可多售出2件，
∴降价5元，可多售出10件，
∵每件盈利50元，平均每天销量可达到30件，
∴每天销售量可达到40件；
降价5元，则每件盈利45元，
∴每天共盈利：（元），
故答案为：40，1800；
（2）根据题意，得，
整理得
解得，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；
（3）方法一：（根判别式法）
根据题意可得，
整理得
∵关于的方程有实数根，
∴，
∴，
即，
解得
∴的最大值为2112.5
故超市每天盈利最高可以达到2112.5元.
方法二：（配方法）
根据题意可得，
整理得
∴，
∵，
∴
∴，
即
∴的最大值为2112.5
故超市每天盈利最高可以达到2112.5元．
题型八 一元二次方程的应用——面积问题
57．哈市某展览馆计划将长60米，宽40米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个1500平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道．
(1)求通道的宽为多少米？
(2)若展览区用彩色地砖铺设，铺设每平方米需要80元，通道用白色地砖铺设，铺设每平方米需要60元，铺设整个展馆需要多少钱？
【答案】(1)5米；
(2)174000元．
【分析】（1）设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为米，宽为米，根据中间的矩形展览区的面积为1500平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×面积，即可求出结论．
【详解】（1）解：设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为米，宽为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：通道的宽为5米．
（2）解：
（元）．
答：铺设整个展馆需要174000元钱．
58．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段（最长可用），用总长为的篱笆（靠墙一面不用篱笆）围成一个矩形菜园．当长度为多少时，矩形菜园的面积为？
【答案】
【分析】根据题意，设长度为，则，矩形菜园的面积为，由此可列出一元二次方程，解方程并检验即可求解．
【详解】解：设当长度为时，矩形菜园的面积为，
根据题意得：，
解得：，，
∵当时，，即，不符合题意，
∴舍去，
∴当长度为时，矩形菜园的面积为．
59．如图，某小区建一长方形电动车充电棚，一边靠墙（墙长15米），另三边用总长25米的栏杆围成，留1米宽的门，若想要建成面积为80平方米的电动车充电棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？
【答案】车棚垂直于墙的一边的长为8米
【分析】设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米，根据电动车充电棚的面积为80平方米，列出一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长15米，即可得出结论．
【详解】解：设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米，
依题意得：，
整理得，
解得：．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：车棚垂直于墙的一边的长为8米．
60．某广场有一块长为100米，宽为60米的矩形空地，政府决定利用这块空地上修建一横两纵的小路方便群众通行，其他部分种植花草供群众欣赏休闲，设三条小路的宽度均为x 米．若种植花草的价格为10元/平方米，种植花草的总费用为49500元，求修建的小路的宽度。
【答案】修建的小路的宽度为5米
【分析】三条小路的宽度均为x 米，根据种植花草的总费用为49500元，列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：由三条小路的宽度均为x 米，根据题意得，
，
整理得，
解得（不合题意舍去）
∴修建的小路的宽度为5米
61．如图，用一段长为34米的篱笆围成一个一边靠墙矩形菜园，墙长为18米，若矩形菜园的面积为140米，求矩形菜园垂直于墙的边长．
【答案】10米
【分析】设矩形菜园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形菜园的面积为140，列方程求解，然后由墙长为18米检验即可．
【详解】解：设矩形菜园垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米．
，
解得：，．
当时，（不合题意，舍去）；
当时，，符合题意．
所以矩形菜园垂直于墙的边长为10米．
题型九 一元二次方程的应用——其他问题
62．去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．
(1)每轮传染中平均每头患病猪传染了几头健康猪？
(2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的猪会不会超过500头？
【答案】(1)每轮传染中平均每头猪传染了7头健康猪．
(2)患病的猪会超过500头，理由见解析．
【分析】（1）设每轮传染中平均每头猪传染了头健康猪，根据一头猪患病经过两轮传染后共有64头猪患病，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据第三轮又被感染的猪的只数经过两轮感染后患病的猪的只数，即可求出结论，再进行比较即可．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均每头猪传染了头健康猪，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每头猪传染了7头健康猪．
（2）解：（头）．
患病的猪会超过500头，
答：患病的猪会超过500头．
63．直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由．
【答案】存在五个连续正整数，它们分别为：
【分析】假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，再根据题意，得出，解出然后再根据题意，得出符合题意的的值，进而即可得出第一个正整数，再通过计算即可得出这五个正整数．
【详解】解：假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，
∴可得：，
解得：或，
∵这五个数为正整数，
∴，
∴，，，，
∴这五个正整数为：，
∴存在五个连续正整数，它们分别为：．
64．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．
【答案】(1)300
(2)5
【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解；
（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得：
，
解得：，
答：小型设备的使用时间为300小时；
（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，
根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，
∴，
整理得：，
解得：（舍去）．
即m的值为5．
65．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：？）
【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少
(2)小球滚动约用了秒
【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；
（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，
答：小球的滚动速度平均每秒减少．
（2）解：设小球滚动约用了秒，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不符题意，舍去，
，
答：小球滚动约用了秒．
66．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
18
62
5
24
86
根据上表数据，求规定用水量a的值
【答案】（1） ；（2）10
【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；
（2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，
元；
（2）若 ，有
，解得： ，即 ，不合题意，舍去，
∴ ，
根据题意得： ，
解得： （舍去），
答：规定用水量a的值为10吨．
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