初中数学中考复习 考点21 直角三角形和锐角三角函数（原卷版）

这是一份初中数学中考复习 考点21 直角三角形和锐角三角函数（原卷版），共19页。
考点二十一   直角三角形和锐角三角函数【命题趋势】   在中考中，直角三角形在中考常结合勾股定理、面积法在选择题、填空题考查；锐角三角形函数常在选择题、填空题考查，并且结合实际问题考查。 【中考考查重点】一、直角三角形的性质于判定二、锐角三角函数三、30°、45°、60°的三角函数值      考点一：直角三角形的性质与判定性质两锐角之和等于90°斜边上的中线等于斜边的一半30°角所对的直角边等于斜边的一半若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明）勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b,斜边为c,则 判定  有一个角为90°的三角形时直角三角形  有两个角的和时90°的三角形是直角三角形  一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形  勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足，那么这个三角形为直角三角形。 面积公式，其中a是底边常，hs是底边上的高              1．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，42．（2021•商河县校级模拟）如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是（　　）A．35° B．55° C．60° D．70°3．（2020•南海区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（　　）A．3 B．4 C．5 D．64．（2021•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为（　　）A．3 B．4 C．5 D．2.4  5．（2021•黔东南州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的⊙O交AB于点D，则CD的长为（　　）A． B． C． D．56．（2021•荆州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则CD的值为（　　）A． B． C． D．7．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（　　）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺8．（2021•东胜区二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　）A．cm B．13cm C．cm D．cm9．（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　）A．3 B．4 C．5 D．6 考点二： 锐角三角函数Rt▲ABC在Rt▲ABC中，∠C-90°，∠A为▲ABC中一个锐角正弦∠A的正弦：余弦∠A的余弦：正切∠A的正切：     30°、45°、60°的三角函数值10．（2021•腾冲市模拟）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（　　）A． B． C． D．11．（2020•长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（　　）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．sinA＝ 12．（2018•呼和浩特）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i＝1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）  13．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．（1）求AE的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．锐角A三角函数13°28°32°sinA0.220.470.53cosA0.970.880.85tanA0.230.530.621．（2021•福建模拟）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（　　）A．，， B．32，42，52 C． D．0.3，0.4，0.52．（2021•太原三模）如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（　　）A． B． C． D．3．（2021•广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 　　．4．（2020•黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为　  　． 5．（2020•岳阳）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝　　°．6．（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　　．7．（2020•雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　　．8．（2021•玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 　　          方向航行．  9．（2021•恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径 　　寸．10．（2021•东莞市校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝　　11．（2021•饶平县校级模拟）已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于　　．12．（2021•玉州区二模）附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：　　        ．13．（2020•呼和浩特）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．（1）直接写出∠C的度数；（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可） 14．（2021•宜城市一模）在抗击“新冠病毒”期间，某路口利用探测仪对过往的物体进行检查，探测仪A测得某物体的仰角∠BAD＝35°，俯角∠DAC＝45°，探测仪到货物表面的距离AD＝3米，求货物高BC的长．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，结果精确到0.1）15．（2021•贵阳模拟）如图，建筑物AB后有一座小山，∠DCF＝30°，测得小山坡脚C点与建筑物水平距离BC＝25米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离CE＝20米，某人从建筑物顶端A点测得E点处的俯角为48°．（1）求凉亭到地面的距离；（2）求建筑物AB的高．（精确到0.1m）（参考数据：≈1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）       1．（2021•福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（　　）A．2km B．3km C．km D．4km2．（2019•朝阳）把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是（　　）A．83° B．57° C．54° D．33°3．（2020•荆门）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，AE＝AB，则△EBD的面积为（　　）A． B． C． D．   4．（2020•河南）如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（　　）A．6 B．9 C．6 D．35．（2021•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）A．1 B．2 C．3 D．46．（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（　　）A．125° B．145° C．175° D．190°7．（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）A． B． C． D．8．（2020•广西）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸9．（2021•深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（　　）A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°10．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）A．a+btanα B．a+bsinα C．a+ D．a+  1．（2021•平谷区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（　　）A．∠1+∠2＝90° B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠1＝30°2．（2021•河南模拟）将一个含30°角的直角三角板ABC与一个直尺如图放置，∠ACB＝90°，点A在直尺边MN上，点B在直尺边PQ上，BC交MN于点D．若∠ABP＝15°，AC＝6，则AD的长为（　　）A． B．8 C．6 D．63．（2021•坪山区一模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，C是BD上一点，BC＝10，∠ADB＝45°，∠ACB＝60°，则CD长为（　　）A．10﹣ B．10﹣10 C．10﹣3 D．10﹣104．（2021•长沙模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BP平分∠ABC，BP＝CP＝2，则AB的长为（　　）A．4 B．6 C．4 D．45．（2021•广西模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（　　）A．4 B．6 C．8 D．106．（2021•苏州模拟）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（　　）A．3 B．4 C．5 D．67．（2021•饶平县校级模拟）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（　　）A． B． C． D．78．（2020•安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边的中点，则点E到中线CD的距离EF的长为（　　）A．3 B．4 C． D． 9．（2021•大荔县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（　　）A．8 B．12 C．18 D．2010．（2021•岳池县模拟）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝3，BC＝4时，计算阴影部分的面积为（　　）A．6 B．6π C．10π D．1211．（2021•威宁县模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　）A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm212．（2021•浙江模拟）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（　　）A．6cm B．6cm C．2cm D．10cm 13．（2021•双阳区一模）某课外数学兴趣小组的同学进行关于测量楼房高度的综合实践活动．如图，他们在距离楼房35米的C处测得楼顶的仰角为α，则楼房AB的高为（　　）A．35sinα米 B．35tanα米 C．米 D．米14．（2021•涪城区模拟）如图，小刚同学为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点5m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为（　　）m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）A．8.2 B．9.1 C．9.5 D．10.315．（2021•河南模拟）如图，某小坡前有一幢楼房CD，坡脚A处离楼房底部D的距离为306m，斜坡AB的长度为195m，坡度i＝1：2.4，在坡顶B处观测到楼房顶部C的俯角为20°，则楼房CD的高度是多少？（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364．结果精确到0.1m）