2023高三数学二轮热点题型专项突破专题03 函数背景下的不等式（新高考全国通用）

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函数、方程、不等式三者之间关系密不可分，也是高中数学考查的重点内容。函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。
考点解析
（1）数形结合解不等式（2）单调性解不等式（3）同构解不等式
题型解析
类型一、利用图像解不等式
例1-1（抽象函数作图）（2021·江西·高三月考（文））若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据函数的单调性、奇偶性、函数图象变换，结合图象求得正确答案.
【详解】
依题意是上的奇函数，且在递增，且，所以在递增，且.的图象是由的图象向右平移个单位得到，
画出的大致图象如下图所示，由图可知，满足的的取值范围为.
故选：C.
练、已知定义在R上的偶函数满足在上单调递增，，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意作出函数的草图，将，转化为，利用数形结合法求解.
【详解】
因为定义在R上的偶函数满足在内单调递增，
所以满足在内单调递减，又，
所以．
作出函数的草图如下：
由，得，
得，
所以或
所以或
解得或，
即不等式的解集为．
故选：D
练．已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由是偶函数，得函数图像关于直线对称，结合单调性求解不等式即可得到结果.
【详解】
因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，
则，
因为任意满足，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故等价于，解得.
故选：D
例1-2（周期函数作图）．（2021·山东菏泽·高三期中）定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
确定函数周期为4，关于对称，画出函数图像，根据函数图像结合奇偶性得到，解得答案.
【详解】
为偶函数，，即，函数周期为.
，函数关于对称.
和均为偶函数，故只考虑的情况，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：不等式的整数解有且仅有个，则需要满足，
解得.
故选：D.
例1-3（类周期作图）．（2021·福建·福州四中高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由可得，分段求函数的解析式，结合图象可得解．
【详解】
因为，，
∵时，，
∴时，，；
∴时，，，
当时，由解得或，
如图，
由图可知，若对任意，都有，则．
故选：B.
类型二、利用单调性解不等式
例2-1（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可
【详解】
的定义域为,
因为，
所以是奇函数，
所以不等式可化为，
因为在上均为增函数，
所以在上为增函数，
所以，解得，
故选：A.
练．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围.
【详解】
易知为R上的奇函数，且在R上单调递减，
由，得，
于是得，解得.
故选:C.
例2-2．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为( )
A．-1B．C．D．
【答案】A
【分析】
首先利用一次函数性质和对数型复合函数的性质求出上的单调性，然后再利用偶函数性质可得到不等式，然后结合一次函数性质和的范围求解即可.
【详解】
由一次函数性质可知，在上单调递减，
且对于，；
由对数型复合函数易知，在上也是单调递减的，
且对于，，
故在上单调递减，
又由，得为偶函数，且，
若要对任意的，不等式恒成立，
即对，不等式恒成立，
，即，即，
不妨令，，
由一次函数性质可知，，解得，
故实数的最小值为.
故选：A.
练、设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单调性即可求出的解集.
【详解】
解： 对任意的，都有 ，
在上是增函数，
令，
则，
为偶函数，
在上是减函数，
且，
，
当时，，
即，解得：，
当时，，
即，解得：，
综上所述：的解集为：.
故选：A.
类型三、同构法解不等式
例3-1．（2021·辽宁沈阳·高三月考）设定义域为的函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．
【详解】
解：令，则 ，
故g（x）在R递增，
不等式，
即，
故，
故x＜2x−1，解得：x＞1，
故选：D.
练（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
是定义在上的偶函数，说明奇函数，若时，，可得为增函数，若，为增函数，根据，求出不等式的解集；
【详解】
解：∵是定义在上的偶函数，当时，，
∴为增函数，为偶函数，为奇函数，
∴在上为增函数，
∵，
若，，所以；
若，，在上为增函数，可得，
综上得，不等式的解集是.
故选：C.
例3-2（指对互化同构解不等式）．（2021春•淇滨区校级月考）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，若显然不是恒大于零，故．（由4个选项也是显然，可得，
则显然在，上恒成立；
当时，，
令，，在上单调递增．
因为，，所以，即，
再设，令，则，
易得在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
所以的取值范围为．
故选：．
练．（2021春•南阳期末）若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：设，
求导可得，
在单调递增，
，
，
，，，
，
，，
，，
又在单调递增，
，即，
，
，
设，，
求导可得，
令，解得，，解得，
在单调递增，在单调递减，
在取得极小值点，也为的最小值点，
（e），即，可得
则实数的取值范围是．
故答案为：．