还剩58页未读，
继续阅读
浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟试题（二模三模）含解析
展开
这是一份浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟试题（二模三模）含解析
浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：
1. 抛物线y=（x-2）2+5的顶点坐标是( )
A. （-2，5） B. （2，5） C. （-2，-5） D. （2，-5）
2. 风车应做成对称图形,并且没有是轴对称图形,才能在风口处平稳旋转.现有一长条矩形硬纸板(其有一个小孔)和两张全等的矩形薄纸片,将纸片黏到硬纸板上,做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车.正确的黏合方法是 ( )
A. B.
C. D.
3. 下列说法中没有正确的是（ ）.
A. 有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机
B. 某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩是必然
C. 367人中至少有2人生日（公历）相同是确定
D. 长分别为3，5，9厘米的三条线段没有能围成一个三角形是确定
4. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
5. 下列运动属于旋转的是 ( )
A. 扶梯上升 B. 一个图形沿某直线对折过程
C. 气球升空的运动 D. 钟表的钟摆的摆动
6. 若关于x的一元二次方程kx2+2x–1=0有实数根，则实数k的取值范围是
A k≥–1 B. k>–1 C. k≥–1且k≠0 D. k>–1且k≠0
7. 如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B没有重合），则∠APB＝（ ）
A 30° B. 45° C. 50° D. 60°
8. 如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且没有与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A. 变大 B. 变小 C. 没有变 D. 没有能确定
9. 函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
10. 小明在做一道正确答案是2的计算题时，由于运算符号(“＋”“－”“×”或“÷”)被墨迹污染，看见的算式是“4■2”，那么小明还能做对的概率是( )
A. B. C. D.
11. 已知、是方程的两根，且，则的值等于
A. B. C. D.
12. 某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题：
13. 若是二次函数，则＝_______．
14. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
15. 如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，绕点A旋转后得到，则CE的长度为___．
16. 如图是某市1月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择1月1日至1月8日中的某到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量是重度污染的概率是_____．
17. 如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．
18. 二次函数的图象如图所示，点A0位于坐 标原点，点A1，A2，A3，…，A2017在轴的正半轴上，点B1， B2, B3，…，B2017在二次函数位于象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2016B2017A2017都为等边三角形，则等边△A2016B2017A2017的高为_____.
三、解 答 题：
19. 解方程：
（1） ；
（2）.
20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所的路径长．
四、解 答 题：
21. 某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅没有完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5:2,请图中相关数据回答下列问题：
（1）样本容量是______________，并补全直方图；
（2）该年级共有学生800人，请估计该年级在这天里发言次数没有少于12次的人数；
（3）已知A组发言学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好都是男生的概率.
22. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价没有低于20元且没有高于28元，在过程中发现该纪念册每周的量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足函数关系：当单价为22元时，量为36本；当单价为24元时，量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的单价是多少元？
（3）设该文具店每周这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册单价定为多少元时，才能使文具店该纪念册所获利润？利润是多少？
23. 如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长 AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若平行四边形OABC的两边长是方程的两根，求平行四边形OABC的面积.
24. 根据下列要求，解答相关问题．
（1）请补全以下求没有等式的解集的过程：
① 构造函数，画出图象：根据没有等式特征构造二次函数y=；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=的图象（只画出大致图象即可）；
② 求得界点，标示所需：当时，求得方程解为 ；并用虚线标示出函数y=图象中＜0的部分；
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得没有等式＜0的解集为 ．
（2）请你利用上面求没有等式解集的过程，求没有等式-3≥0的解集．
五、解 答 题：
25. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.
（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2．则S1与S2的数量关系是 ．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDC,请直接写出相应的BF的长
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6点A（﹣3，0）和点B（2，0），直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE，求h为何值时，△AEF的面积．
（3）已知一定点M（﹣2，0），问：是否存在这样的直线y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若没有存在，请说明理由．
浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：
1. 抛物线y=（x-2）2+5的顶点坐标是( )
A. （-2，5） B. （2，5） C. （-2，-5） D. （2，-5）
【正确答案】B
【详解】∵y=（x-2）2+5是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，
顶点坐标为（2,5），
故选B．
2. 风车应做成对称图形,并且没有是轴对称图形,才能在风口处平稳旋转.现有一长条矩形硬纸板(其有一个小孔)和两张全等的矩形薄纸片,将纸片黏到硬纸板上,做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车.正确的黏合方法是 ( )
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】风车应做成对称图形，并且没有是轴对称图形，选项进行判断即可．
【详解】风车应做成对称图形，并且没有是轴对称图形，
A、是对称图形，并且没有是轴对称图形，符合题意；
B、没有是对称图形，是轴对称图形，没有符合题意；
C、是对称图形，也是轴对称图形，没有符合题意；
D、没有是对称图形，是轴对称图形，没有符合题意；
故选A．
3. 下列说法中没有正确的是（ ）.
A. 有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机
B. 某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩是必然
C. 367人中至少有2人生日（公历）相同是确定
D. 长分别为3，5，9厘米的三条线段没有能围成一个三角形是确定
【正确答案】B
【详解】试题分析：直接根据随机与确定的定义求解即可求得答案．A、有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机；故正确；B、某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩是随机；故错误；C、367人中至少有2人生日（公历）相同是必然，即是确定；故正确；D、长分别为3，5，9厘米的三条线段没有能围成一个三角形是没有可能，即是确定；故正确．故选B．
考点：随机与确定的定义．
4. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
【正确答案】A
【分析】先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2=14．
【详解】先移项得x2+6x=5，
方程两边加上9得：x2+6x+9=5+9，
所以（x+3）2=14．
故选A．
本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5. 下列运动属于旋转的是 ( )
A. 扶梯的上升 B. 一个图形沿某直线对折过程
C. 气球升空的运动 D. 钟表的钟摆的摆动
【正确答案】D
【详解】试题解析：A、扶梯的上升，是平移，故此选项错误；
B、一个图形沿某直线对折过程，是轴对称，故此选项错误；
C、气球升空的运动，也有平移，故此选项错误；
D、钟表的钟摆的摆动，属于旋转，故此选项正确．
故选D．
6. 若关于x的一元二次方程kx2+2x–1=0有实数根，则实数k的取值范围是
A. k≥–1 B. k>–1 C. k≥–1且k≠0 D. k>–1且k≠0
【正确答案】C
【详解】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个实数根，
∴△=b2﹣4ac=4+4k≥0，且k≠0，
解得：k≥﹣1且k≠0．
故选C．
此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个没有相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
7. 如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B没有重合），则∠APB＝（ ）
A. 30° B. 45° C. 50° D. 60°
【正确答案】A
详解】试题解析：由题意得，∠AOB=60°，
则∠APB=∠AOB=30°．
故选A．
8. 如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且没有与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A. 变大 B. 变小 C. 没有变 D. 没有能确定
【正确答案】C
【分析】四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的性质AB=OP=半径，所以AB长度没有变．
【详解】解：∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，
∴AB=OP=半径，
当P点在弧MN上移动时，半径一定，所以AB长度没有变，
故选：C．
本题考查了圆的认识，矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对角线相等；圆的半径相等．
9. 函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：由图可知：，所以，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，排除D，由c＞0，排除A，对称轴＞0，所以，排除B，
故选：C．
本题考查函数、二次函数、反比函数的图象及其性质．
10. 小明在做一道正确答案是2的计算题时，由于运算符号(“＋”“－”“×”或“÷”)被墨迹污染，看见的算式是“4■2”，那么小明还能做对的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题解析：因为运算符号只有“+”、“-”、“×”或“÷”有4种情况，
小明能做对是其中两种情况：“÷”或“-”，所以小明还能做对的概率是．
故选D．
点睛：概率的求法：如果一个有n种可能，而且这些的可能性相同，其中A出现m种结果，那么A的概率P（A）=．
11. 已知、是方程的两根，且，则的值等于
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根
∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1
∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3
∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8
∴（7+a）×（﹣4）=8
∴a=﹣9．
故选C．
12. 某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：S△AEF=AE×AF=，S△DEG=DG×DE=×1×（3﹣x）=，S五边形EFBCG=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG==，则y=4×（）=，∵AE＜AD，∴x＜3，综上可得：（0＜x＜3）．故选A．
考点：动点问题的函数图象；动点型．
二、填 空 题：
13. 若是二次函数，则＝_______．
【正确答案】4
【详解】试题解析：∵函数y=xm-2是二次函数，
∴m-2=2，
∴m=4．
故答案为4．
14. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
【正确答案】15
【详解】解：，
解得x1=3，x2=6，
当等腰三角形三边是3，3，6时，3+3=6，没有符合三角形的三边关系定理，∴此时没有能组成三角形；
当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15．
故答案是：15．
15. 如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，绕点A旋转后得到，则CE的长度为___．
【正确答案】2
【分析】由等边三角形的性质得出BC＝AB＝6，求出BD，由旋转的性质得出△ACE≌△ABD，得出CE＝BD，即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝6，
∵BC＝3BD，
∴BDBC＝2，
由旋转的性质得：△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝2．
故2．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的性质；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解决问题的关键．
16. 如图是某市1月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择1月1日至1月8日中的某到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量是重度污染的概率是_____．
【正确答案】
【详解】试题分析：∵9月1日至9月3日3天优良；9月2日至9月4日2天优良；9月3日至9月5日1天优良；9月4日至9月6日0天优良；9月5日至9月7日1天优良；9月6日至9月8日1天优良；9月7日至9月9日1天优良；9月8日至9月10日0天优良；
∴此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是：=．故答案为．
考点：1．概率公式；2．折线统计图．
17. 如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．
【正确答案】．
【详解】试题解析：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，
在RT△AOC中，∵OA=2，OC=1，
∴cos∠AOC=，AC=
∴∠AOC=60°，AB=2AC=2，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB
=
=，
S阴影=S半圆-2S弓形ABM
=π×22-2（）
=2．
故答案为2．
18. 二次函数的图象如图所示，点A0位于坐 标原点，点A1，A2，A3，…，A2017在轴的正半轴上，点B1， B2, B3，…，B2017在二次函数位于象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2016B2017A2017都为等边三角形，则等边△A2016B2017A2017的高为_____.
【正确答案】
【详解】试题解析：如图，
设A0A1=a，
∵△A0B1A1是等边三角形，
∴点B1的横坐标为a，纵坐标为a，
∴B1（a，a），
∵B1在二次函数y=x2位于象限的图象上，
∴×（a）2=a，
解得a=1，
∴B1，
∴△A0B1A1的高为，
同理，设A1A2=b，
则B2（b，b+1），
代入二次函数解析式得，×（b）2=b+1，
解得b=2，b=-1（舍去），
B2（，1），
所以，△A1B2A2的高为，
设A2A3=c，则B3（c，c+1+2），
代入二次函数解析式得，×（c）2=c+1+2，
解得c=3，c=-2（舍去），
所以，B3，
所以，△A2B3A3的高为，
…，
以此类推，B2017，
所以，△A2016B2017A2017的高=，
三、解 答 题：
19. 解方程：
（1） ；
（2）.
【正确答案】(1) ;(2) ，
【详解】试题分析：（1）直接开平方法求解可得；
（2）公式法求解可得．
试题解析：（1）
（2）
∴ ，
20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所的路径长．
【正确答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，路径长为．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
∵OB=，∠BOB2=90°，
∴点B旋转到点B2所的路径长为．
本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，弧长公式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
四、解 答 题：
21. 某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅没有完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5:2,请图中相关数据回答下列问题：
（1）样本容量是______________，并补全直方图；
（2）该年级共有学生800人，请估计该年级在这天里发言次数没有少于12次的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好都是男生的概率.
【正确答案】（1）50，见解析；（2）144人；（3）
【详解】试题分析：（1）求得B组所占的百分比，然后根据B组有10人即可求得总人数，即样本容量，然后求得C组的人数，从而补全直方图；
（2）利用总人数乘以对应的百分比即可求解；
（3）分别求出A、E两组的人数，确定出各组的男女生人数，然后列表或画树状图，再根据概率公式计算即可得解．
试题解析：（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，E组发言人数占8%，
∴B组发言的人数占20%，
由直方图可知B组人数为10人，
所以，被抽查的学生人数为：10÷20%=50人，
∴样本容量为50人．
故50．
F组人数为：50×(1-6%-20%-30%-26%-8%)，
=50×(1-90%)，
=50×10%，
=5（人），
C组人数为：50×30%=15（人），
E组人数为：50×8%=4人
补全直方图如图；
（2）F组发言的人数所占的百分比为：10%，
所以，估计全年级在这天里发言次数没有少于12次的人数为：800×(8%+10%)=144（人）；
（3）∵A组发言的学生为：50×6%=3人，有1位女生，
∴A组发言的有2位男生，
∵E组发言的学生：4人，
∴有2位女生，2位男生．
∴由题意可画树状图为：
∴共有12种情况，所抽两位学生恰都是男生的情况有4种，
∴所抽的两位学生恰好都是男生的概率为.
本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用、用树状图求概率，抓住观察扇形统计图和条形统计图的方法和画树状图的方法是解题的关键.
22. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价没有低于20元且没有高于28元，在过程中发现该纪念册每周的量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足函数关系：当单价为22元时，量为36本；当单价为24元时，量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的单价是多少元？
（3）设该文具店每周这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册单价定为多少元时，才能使文具店该纪念册所获利润？利润是多少？
【正确答案】（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的单价是25元；（3）该纪念册单价定为28元时，才能使文具店该纪念册所获利润，利润是192元．
【分析】（1）待定系数法列方程组求函数解析式．
（2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解．
（3）总利润=单件利润量：w＝(x-20)(-2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值．
【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b．
把(22，36)与(24，32)代入，得
解得，
∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）．
(2)设当文具店每周这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的单价是x元，
根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150．
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的单价是25元．
(3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200．
∵售价没有低于20元且没有高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)．
答：该纪念册单价定为28元时，能使文具店该纪念册所获利润，利润192元．
23. 如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长 AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若平行四边形OABC的两边长是方程的两根，求平行四边形OABC的面积.
【正确答案】（1）见解析；（2）48．
【详解】试题分析：连接OD，根据切线得出∠OEC=90°，根据OD=OA以及OC∥AD得出∠OAD=∠EOC，则∠EOC=∠DOC，OD=OE，OC=OC得出△ODC和△OEC全等，从而得出∠ODC=∠OEC=90°，得出切线；根据方程得出OC=10，OA=6，根据勾股定理得出CD=8，根据全等得出CE=8，然后计算四边形的面积．
试题解析：证明：（1）连OD，∵CE是⊙O的切线, ∠OEC=90O ，∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD,又∵OC//AD
∴∠OAD =∠EOC，∠DOC=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC, 又∵OD="OE,OC=OC," ∴△ODC≌△OEC（SAS）
∴∠ODC=∠OEC=90 O, ∴CD是⊙O的切线．
（2），，即OC=10，OA=6 在Rt△ODC, CD=8 ∵△ODC≌△OEC ，CE=CD=8
∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=6×8=48
考点：切线的性质、圆的基本性质．
24. 根据下列要求，解答相关问题．
（1）请补全以下求没有等式的解集的过程：
① 构造函数，画出图象：根据没有等式特征构造二次函数y=；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=的图象（只画出大致图象即可）；
② 求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为 ；并用虚线标示出函数y=图象中＜0的部分；
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得没有等式＜0的解集为 ．
（2）请你利用上面求没有等式解集的过程，求没有等式-3≥0的解集．
【正确答案】（1）①见解析；② ;③ ;(2) x≥3或x≤-1
【详解】试题分析：（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，利用图象法求出方程x2-2x=0，以及没有等式x2-2x＜0的解即可．
（2）画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象法即可解决问题．
试题解析：（1）二次函数y=x2-2x的图象如图1所示，
∵二次函数y=x2-2x与x轴交于O（0，0），A（2，0），
∴方程x2-2x=0的解为x=0或2．
由图象可知x2-2x＜0的解集为0＜x＜2．
故答案为x=0或2，0＜x＜2．
（2）函数y=x2-2x-3的图象如图2所示，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴没有等式x2-2x-3≥0的解集，由图象可知，x≥3或x≤-1．
五、解 答 题：
25. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.
（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2．则S1与S2的数量关系是 ．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDC,请直接写出相应的BF的长
【正确答案】解：（1）①DE∥AC．②．（2）仍然成立，证明见解析；（3）或．
【分析】
【详解】（1）①由旋转可知：AC=DC，
∵∠C=90°，∠B=∠DCE=30°，∴∠DAC=∠CDE=60°．∴△ADC是等边三角形．
∴∠DCA=60°．∴∠DCA=∠CDE=60°．∴DE∥AC．
②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．
由①可知：△ADC是等边三角形, DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM．
∴CF=EM．
∵∠C=90°，∠B =30°
∴AB=2AC．
又∵AD=AC
∴BD=AC．
∵
∴．
（2）如图，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N，
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中， ，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF1=S△BDE；
过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC=60°，F1D∥BE，
∴∠F2F1D=∠ABC=60°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2是等边三角形，
∴DF1=DF2，过点D作DG⊥BC于G，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，
∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF2=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
，
∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，
又∵BD=4，
∴BE=×4÷cos30°= ，
∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，
故BF的长为或．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6点A（﹣3，0）和点B（2，0），直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE，求h为何值时，△AEF的面积．
（3）已知一定点M（﹣2，0），问：是否存在这样的直线y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）y＝﹣x2﹣x+6；（2）当h＝3时，△AEF的面积，面积是 ．（3）存在，当h＝时，点D的坐标为；当h＝时，点D的坐标为．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）由题意可得点E的坐标为（0，h），点F的坐标为（ ，h），根据S△AEF＝•OE•FE＝•h•＝﹣（h﹣3）2+．利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）存在．分两种情形情形，分别列出方程即可解决问题．
【详解】解：如图：
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6点A（﹣3，0）和点B（2，0），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+6．
（2）∵把x＝0代入y＝﹣x2﹣x+6，得y＝6，
∴点C的坐标为（0，6），
设点A和点C的直线的解析式为y＝mx+n，则，
解得 ，
∴点A和点C的直线的解析式为：y＝2x+6，
∵点E在直线y＝h上，
∴点E的坐标为（0，h），
∴OE＝h，
∵点F在直线y＝h上，
∴点F的纵坐标为h，
把y＝h代入y＝2x+6，得h＝2x+6，
解得x＝，
∴点F的坐标为（ ，h），
∴EF＝．
∴S△AEF＝•OE•FE＝•h•＝﹣（h﹣3）2+，
∵﹣＜0且0＜h＜6，
∴当h＝3时，△AEF的面积，面积是 ．
（3）存在符合题意的直线y＝h．
∵B（2，0），C（0，6），
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+6，设D（m，﹣3m+6）．
①当BM＝BD时，（m﹣2）2+（﹣3m+6）2＝42，
解得m＝或（舍弃），
∴D，此时h＝．
②当MD＝BM时，（m+2）2+（﹣3m+6）2＝42，
解得m＝或2（舍弃），
∴D，此时h＝．
∵综上所述，存在这样的直线y＝或y＝，使△BDM是等腰三角形，当h＝时，点D的坐标为；当h＝时，点D的坐标为．
此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理函数的应用等知识，此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形思想的应用．
浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟试题
（三模）
一．选一选（共10小题，满分21分）
1. 下列四个数中，正整数（ ）
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
2. 下列数学符号中，属于对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧没有紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．若每天用水时间按2小时计算，那么中的另外22小时水龙头都在没有断的滴水．请计算，一个拧没有紧的水龙头，一个月（按30天计算）浪费水（ ）
A. 23760毫升 B. 2.376×105毫升
C. 23.8×104毫升 D. 237.6×103毫升
4. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 若，则x：y：z等于
A. 1：2：3 B. 3：2：1 C. 1：3：6 D. 6：2：1
6. 下列说确的是（ ）
A. “明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有正面朝上
C. “中奖的概率为1%”表示买100张肯定会中奖
D. “抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一发生的概率稳定在附近
7. 如图，是一个正方体纸盒展开图，若在其中三个正方形A，B，C中分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上两个数互为相反数，则填入正方形A，B，C中的三个数依次是（ ）
A. 1，﹣3，0 B. 0，﹣3，1 C. ﹣3，0，1 D. ﹣3，1，0
8. 如图，AB是⊙O的直径，点C在圆周上，连结BC、OC，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，若∠B=25°，则∠BAD的度数是（ ）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
9. 如图所示，向一个半径为、容积为的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积与容器内水深间的函数关系的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．
12. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个没有相等的实数根，且该方程与x2+mx﹣1=0有一个相同的根．当k为符合条件的整数时，m的值为 _____．
13. 如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_____．
14. 投掷一枚普通的正方体骰子，则掷得“6”概率是_____，其含义是_____．
15. 用等分圆周的方法，在半径为1的圆中画出如图所示图形，则图中阴影部分的面积为______.
16. 如图，抛物线y=x2在象限内的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；
②抛物线依次点A1，A2，A3…An，…．
则顶点M2018的坐标为（ ），____________）．
三．解 答 题（共2小题）
17. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=2+2，c=4，求锐角A的度数．
18. 到高中时，我们将学习虚数i，（i叫虚数单位）．规定i2=﹣1，如﹣2=2×（﹣1）=（±）2•i2=（±i）2，那么x2=﹣2的根就是：x1=i，x2=﹣i．试求方程x2+2x+3=0的根．
四．解 答 题（共4小题）
19. 如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE，AC，AE．
（1）求证：△AED≌△DCA．
（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）面积．
20. 某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用没有透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．
21. 如图所示，小王在校园上的A处正面观测一座教学楼墙上的大型标牌，测得标牌下端D处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该标牌上端C处的仰角为45°．若该楼高为16.65m，小王的眼睛离地面1.65m，大型标牌的上端与楼房的顶端平齐．求此标牌上端与下端之间的距离（≈1.732，结果到0.1m）．
22. 如图，某日的钱塘江观潮信息如表：
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数（，是常数）刻画．
（1）求的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以千米/分速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车速度为千米/分，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）．
五．解 答 题（共2小题）
23. 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为________；
②如图3，当时，则长为___________．
猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
24. 已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若没有存在，请说明理由．
浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟试题
（三模）
一．选一选（共10小题，满分21分）
1. 下列四个数中，正整数是（ ）
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
【正确答案】D
【详解】试题分析：－2、－1是负整数；0是整数，既没有是正整数，也没有是负整数；1是正整数．
故选D．
2. 下列数学符号中，属于对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：根据对称图形的定义“把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合”进行解答即可得．
详解：对称图形是指把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合的图形，只有B选项符合题意，故本题选B．
点睛：本题考查的就是对称图形的定义，属于简单题型．解题的关键就是熟记对称图形的定义．
3. 我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧没有紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．若每天用水时间按2小时计算，那么中的另外22小时水龙头都在没有断的滴水．请计算，一个拧没有紧的水龙头，一个月（按30天计算）浪费水（ ）
A. 23760毫升 B. 2.376×105毫升
C 23.8×104毫升 D. 237.6×103毫升
【正确答案】B
【详解】好样的：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值大于10时，n是正数；当原数的值小于1时，n是负数．
详解：2×0.05×（22×60×60）×30=0.1×79200×30=2.376×105毫升．
故选B．
点睛：用科学记数法表示一个数的方法是：
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1，当原数的值＜1时，n为负整数，n的值等于原数中左起个非零数前零的个数（含整数位数上零）．
4. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】试题分析：∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°
∴DE=DF
∴AD垂直平分EF
∴（4）错误；
又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，
∴（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF．
故选C．
考点：1.等腰三角形的判定与性质；2.线段垂直平分线的性质．
5. 若，则x：y：z等于
A. 1：2：3 B. 3：2：1 C. 1：3：6 D. 6：2：1
【正确答案】D
【详解】∵5x=（53）y=53y，3y=（32）z=32z，
∴x=3y，y=2z，即x=3y=6z；
设z=k，则y=2k，x=6k；（k≠0）
∴x：y：z=6k：2k：k=6：2：1．
故选D．
6. 下列说确的是（ ）
A. “明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有正面朝上
C. “中奖的概率为1%”表示买100张肯定会中奖
D. “抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一发生的概率稳定在附近
【正确答案】D
【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．
【详解】解：A. “明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A没有符合题意；
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每次抛正面朝上的概率都是，故B没有符合题意；
C. “中奖的概率为1%”表示买100张有可能中奖．故C没有符合题意；
D. “抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一发生的概率稳定在附近，故D符合题意；
故选D
本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
7. 如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中三个正方形A，B，C中分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上两个数互为相反数，则填入正方形A，B，C中的三个数依次是（ ）
A. 1，﹣3，0 B. 0，﹣3，1 C. ﹣3，0，1 D. ﹣3，1，0
【正确答案】A
【详解】使得它们折成正方体后相对的面上两个数互为相反数，则A与-1，B与3；C与0互为相反数．
解答：解：根据以上分析：填入正方形A，B，C中的三个数依次是1，-3，0．
故选A．
8. 如图，AB是⊙O的直径，点C在圆周上，连结BC、OC，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，若∠B=25°，则∠BAD的度数是（ ）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵OB=OC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=25°，
∴∠C=25°，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=50°，
∵AD∥OC，
∴∠BAD=∠AOC=50°，
故选D．
考点：1.圆周角定理；2.平行线的性质．
9. 如图所示，向一个半径为、容积为的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积与容器内水深间的函数关系的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：观察可得，只有选项B符合实际，
故答案选A.
考点:函数图象.
10. 如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】∵a＜0，
∴抛物线开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选B．
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．
【正确答案】（y﹣1）2（x﹣1）2．
【详解】解：令x+y=a，xy=b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）
=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1
=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1
=（b﹣a+1）2；
即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为（y﹣1）2（x﹣1）2．
点睛：因式分解的方法：（1）提取公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c).
（2）公式法:完全平方公式，平方差公式.
（3）十字相乘法.
因式分解的时候，要注意整体换元法的灵活应用，训练将一个式子看做一个整体,利用上述方法因式分解的能力.
12. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个没有相等的实数根，且该方程与x2+mx﹣1=0有一个相同的根．当k为符合条件的整数时，m的值为 _____．
【正确答案】0或．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个没有相等的实数根，
∴△=16﹣4k＞0，解得k＜4，
∴k的整数值是3，即k=3；
∴x2﹣4x+3=0，即（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得，x=1或x=3；
①当与x2+mx﹣1=0相同的根是x=1时，1+m﹣1=0，解得m=0；
②当与x2+mx﹣1=0相同的根是x=3时，9+3m﹣1=0，解得m=；
综合①②知，符合条件的m的值为0或．
故答案为0或．
13. 如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_____．
【正确答案】6
【详解】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴BE=CE．
∵△EDC的周长为24，
∴ED+DC+EC=24，①
∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，
∴（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）-（AE+DC+AC）-DE=12，
∴BE+BD-DE=12，②
∵BE=CE，BD=DC，
∴①-②得，DE=6．
故6
14. 投掷一枚普通的正方体骰子，则掷得“6”概率是_____，其含义是_____．
【正确答案】 ①. ， ②. 掷骰子有6种情况，则朝上的一面为6点的可能占．
【详解】掷骰子有6种情况，即1，2，3，4，5，6朝上；则朝上的一面为6点的概率是．
其含义是：掷骰子有6种情况，则朝上的一面为6点的可能占．
故答案为.
15. 用等分圆周的方法，在半径为1的圆中画出如图所示图形，则图中阴影部分的面积为______.
【正确答案】π－
【详解】解：如图，设 的中点为P，连接OA，OP，AP，
△OAP的面积是：×12=，
扇形OAP的面积是：S扇形=，
AP直线和AP弧面积：S弓形=﹣，
阴影面积：3×2S弓形=π﹣．
故答案为π﹣．
本题考查扇形面积的计算．
16. 如图，抛物线y=x2在象限内的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；
②抛物线依次点A1，A2，A3…An，…．
则顶点M2018的坐标为（ ），____________）．
【正确答案】 ①. 4035 ②. 4035
【详解】试题解析：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x-a1）2+a1的顶点，
抛物线y=x2与抛物线y1=（x-a1）2+a1相交于A1，
得x2=（x-a1）2+a1，
即2a1x=a12+a1，
x=（a1+1）．
∵x为整数点
∴a1=1，
M1（1，1）；
M2（a2，a2）是抛物线y2=（x-a2）2+a2=x2-2a2x+a22+a2顶点，
抛物线y=x2与y2相交于A2，
x2=x2-2a2x+a22+a2，
∴2a2x=a22+a2，
x=（a2+1）．
∵x为整数点，
∴a2=3，
M2（3，3），
M3（a3，a3）是抛物线y2=（x-a3）2+a3=x2-2a3x+a32+a3顶点，
抛物线y=x2与y3相交于A3，
x2=x2-2a3x+a32+a3，
∴2a3x=a32+a3，
x=（a3+1）．
∵x为整数点
∴a3=5，
M3（5，5），
∴点M2014，两坐标为：2014×2-1=4027，
∴M2014（4027，4027）.
考点：二次函数图象与几何变换．
三．解 答 题（共2小题）
17. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=2+2，c=4，求锐角A的度数．
【正确答案】30°或60°.
【分析】先求出a、b、c的值，再求出∠A的三角函数值，进而求出∠A的度数．
【详解】方法一：将a+b=2+2两边平方，整理得ab=4，
又因为a+b=2+2，构造以a、b为根的一元二次方程，得：x2﹣（2+2）x+4=0，
解得：x1=2，x2=2，
则（1）sinA=时，锐角A的度数是30°，
（2）sinA=时，锐角A度数是60°，
所以∠A=30°或∠A=60°．
方法二：∵a+b=2+2，∴b=2+2－a，
由勾股定理，得：，即，
整理，得：，
解得：，，
当时，sinA=，锐角A的度数是30°，
当时，sinA=，锐角A的度数是60°；
所以∠A=30°或∠A=60°．
18. 到高中时，我们将学习虚数i，（i叫虚数单位）．规定i2=﹣1，如﹣2=2×（﹣1）=（±）2•i2=（±i）2，那么x2=﹣2的根就是：x1=i，x2=﹣i．试求方程x2+2x+3=0的根．
【正确答案】x1=﹣1+i，x2=﹣1﹣i
【详解】x2+2x+3=0，（5分）
x2+2x+1=-2，
（x+1）2=-2，x+1=±i；
x=-1±i，
所以x1=-1+i，x2=-1-i．（15分）
本题将虚数和方程求虚根，可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
四．解 答 题（共4小题）
19. 如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE，AC，AE．
（1）求证：△AED≌△DCA．
（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．
【正确答案】(1)证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，AB=AE，易证得四边形AECD是等腰梯形，即可得AC=DE，然后由SSS，即可证得：△AED≌△DCA；
（2）由DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，可求得∠EAD的度数，继而求得∠BAE的度数，然后由扇形的面积公式求得阴影部分（扇形）的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴四边形AECD是梯形，
∵AB=AE，
∴AE=CD，
∴四边形AECD是等腰梯形，
∴AC=DE，
在△AED和△DCA中，
，
∴△AED≌△DCA（SSS）；
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE，
∵四边形AECD是等腰梯形，
∴∠DAE=∠ADC=2∠ADE，
∵DE与⊙A相切于点E，
∴AE⊥DE，
即∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAE=60°，
∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠DCE=120°，
∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°，
∴S阴影=×π×22=π．
考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算．
20. 某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用没有透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，
∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是=；
（2）画树状图：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，
则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是．
21. 如图所示，小王在校园上的A处正面观测一座教学楼墙上的大型标牌，测得标牌下端D处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该标牌上端C处的仰角为45°．若该楼高为16.65m，小王的眼睛离地面1.65m，大型标牌的上端与楼房的顶端平齐．求此标牌上端与下端之间的距离（≈1.732，结果到0.1m）．
【正确答案】大型标牌上端与下端之间的距离约为3.5m．
【详解】试题分析：将题目中的仰俯角转化为直角三角形的内角的度数，分别求得CE和BE的长，然后求得DE的长，用CE的长减去DE的长即可得到上端和下端之间的距离．
试题解析：
设AB，CD 的延长线相交于点E，
∵∠CBE=45°，
CE⊥AE，
∴CE=BE，
∵CE=1665﹣1.65=15，
∴BE=15，
而AE=AB+BE=20．
∵∠DAE=30°，
∴DE＝＝11.54，
∴CD=CE﹣DE=15﹣11.54≈3.5 （m ），
答：大型标牌上端与下端之间的距离约为3.5m．
22. 如图，某日的钱塘江观潮信息如表：
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数（，是常数）刻画．
（1）求的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车速度为千米/分，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）．
【正确答案】（1）m=30；0.4千米/分钟；（2）5分钟；（3）小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需要26分钟.
【详解】试题分析：（1）由题意可知：30分钟后到达乙地，从而可知m=30，由于甲地到乙地是匀速运动，所以利用路程除以时间即可求出速度；
（2）由于潮头的速度为0.4千米/分钟，所以到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，设小红出发x分钟，根据题意列出方程即可求出x的值，
（3）先求出s的解析式，根据潮水加速阶段的关系式，求出潮头的速度达到单车速度0.48千米/分钟时所对应的时间t，从而可知潮头与乙地之间的距离s，设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h（t≥35），当t=35时，s1=s=，从而可求出h的值，潮头与小红相距1.8千米时，即s-s1=1.8，从而可求出t的值，由于小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，共需要时间为6+50-30=26分钟，
试题解析：（1）由题意可知：m=30；
∴B（30，0），
潮头从甲地到乙地的速度为：＝0.4千米/分钟；
（2）∵潮头的速度为0.4千米/分钟，
∴到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，
设小红出发x分钟与潮头相遇，
∴0.4x+0.48x=12-7.6，
∴x=5
∴小红5分钟与潮头相遇，
（3）把（30，0），C（55，15）代入s=t2+bt+c，
解得：b=-，c=-，
∴s=t2-t-
∵v0=0.4，
∴v=（t-30）+，
当潮头的速度达到单车速度0.48千米/分钟，
此时v=0.48，
∴0.48=（t-30）+，
∴t=35，
当t=35时，
s=t2-t-=，
∴从t=35分（12：15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，当小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头．
设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h（t≥35），
当t=35时，s1=s=，代入可得：h=-，
∴s1=t-
潮头与小红相距1.8千米时，即s-s1=1.8，
∴t2-t--t+=1.8
解得：t=50或t=20（没有符合题意，舍去），
∴t=50，
小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，
∴共需要时间为6+50-30=26分钟，
∴小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需要26分钟.
考点：二次函数的应用.
五．解 答 题（共2小题）
23. 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为________；
②如图3，当时，则长为___________．
猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
【正确答案】（1）①；②4；（2），见解析
【分析】（1）①根据含30°直角三角形的性质解答；②证明△AB′C′≌△ABC，根据全等三角形的性质得到B′C′=BC，根据直角三角形的性质计算；
（2）证明四边形AB′EC′是平行四边形，得到B′E=AC′，∠BAC′+∠AB′E=180°，根据全等三角形的性质得到AE=BC，得到答案．
【详解】（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，
∴∠B′AC′=120°，AB=AB′，AC=AC′，
∴AB′=AC′，
∴∠AB′D=30°，
∴AD=AB′，
∴AD=BC，
故答案为；
②∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，
∴∠B′AC′=∠BAC=90°，AB=AB′，AC=AC′，
在△AB′C′和△ABC中，
，
∴△AB′C′≌△ABC（SAS）
∴B′C′=BC=8，
∵∠B′AC′=90°，AD是△ABC“旋补中线”，
∴AD=B′C′=4，
故答案为4；
（2）猜想．
证明：如图，延长至点E使得，连接B′E、C′E，
∵AD是△AB′C’的中线，
∴B′D=C′D，
∵DE=AD，
∴四边形AB′EC′是平行四边形，
∴B′E=AC′，∠B′AC′+∠AB′E=180°，
∵α+β=180°，
∴∠B′AC′+∠BAC=180°，
∴∠EB′A=∠BAC，
在△EB′A和△CAB中，
∴△EB′A≌△CAB（SAS），
∴AE=BC，
∴AD=BC．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键．
24. 已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】(1) 抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；C（ ，﹣ ）．(2) ﹣1＜m＜0或3＜m＜4;(3)
【详解】分析：（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．
（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以-1＜m＜0，或3＜m＜4．
（3）左右平移时，使A′D+DB″最短即可，那么作出点C′关于x轴对称点的坐标为C″，得到直线P″C″的解析式，然后把A点的坐标代入即可．
详解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；
∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，
∴C（，﹣）．
（2）如图1，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB为钝角，
∴M（，0），⊙M的半径=．
∵P′是抛物线与y轴的交点，
∴OP′=2，
∴MP′=，
∴P′在⊙M上，
∴P′的对称点（3，﹣2），
∴当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．
（3）存在；
抛物线向左或向右平移，因为AB、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短，只要AC′+BP′最小；
种情况：抛物线向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，
第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知P（3，﹣2），
又∵C（，﹣）
∴C'（﹣t，﹣），P'（3﹣t，﹣2），
∵AB=5，
∴P″（﹣2﹣t，﹣2），
要使AC′+BP′最短，只要AC′+AP″最短即可，
点C′关于x轴的对称点C″（﹣t，），
设直线P″C″的解析式为：y=kx+b，
，
解得
∴直线y=，
当P″、A、C″在一条直线上时，周长最小，
∴=0
∴t=．
故将抛物线向左平移个单位连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短．
点睛：利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有两个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边.
浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：
1. 抛物线y=（x-2）2+5的顶点坐标是( )
A. （-2，5） B. （2，5） C. （-2，-5） D. （2，-5）
2. 风车应做成对称图形,并且没有是轴对称图形,才能在风口处平稳旋转.现有一长条矩形硬纸板(其有一个小孔)和两张全等的矩形薄纸片,将纸片黏到硬纸板上,做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车.正确的黏合方法是 ( )
A. B.
C. D.
3. 下列说法中没有正确的是（ ）.
A. 有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机
B. 某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩是必然
C. 367人中至少有2人生日（公历）相同是确定
D. 长分别为3，5，9厘米的三条线段没有能围成一个三角形是确定
4. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
5. 下列运动属于旋转的是 ( )
A. 扶梯上升 B. 一个图形沿某直线对折过程
C. 气球升空的运动 D. 钟表的钟摆的摆动
6. 若关于x的一元二次方程kx2+2x–1=0有实数根，则实数k的取值范围是
A k≥–1 B. k>–1 C. k≥–1且k≠0 D. k>–1且k≠0
7. 如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B没有重合），则∠APB＝（ ）
A 30° B. 45° C. 50° D. 60°
8. 如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且没有与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A. 变大 B. 变小 C. 没有变 D. 没有能确定
9. 函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
10. 小明在做一道正确答案是2的计算题时，由于运算符号(“＋”“－”“×”或“÷”)被墨迹污染，看见的算式是“4■2”，那么小明还能做对的概率是( )
A. B. C. D.
11. 已知、是方程的两根，且，则的值等于
A. B. C. D.
12. 某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题：
13. 若是二次函数，则＝_______．
14. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
15. 如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，绕点A旋转后得到，则CE的长度为___．
16. 如图是某市1月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择1月1日至1月8日中的某到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量是重度污染的概率是_____．
17. 如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．
18. 二次函数的图象如图所示，点A0位于坐 标原点，点A1，A2，A3，…，A2017在轴的正半轴上，点B1， B2, B3，…，B2017在二次函数位于象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2016B2017A2017都为等边三角形，则等边△A2016B2017A2017的高为_____.
三、解 答 题：
19. 解方程：
（1） ；
（2）.
20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所的路径长．
四、解 答 题：
21. 某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅没有完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5:2,请图中相关数据回答下列问题：
（1）样本容量是______________，并补全直方图；
（2）该年级共有学生800人，请估计该年级在这天里发言次数没有少于12次的人数；
（3）已知A组发言学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好都是男生的概率.
22. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价没有低于20元且没有高于28元，在过程中发现该纪念册每周的量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足函数关系：当单价为22元时，量为36本；当单价为24元时，量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的单价是多少元？
（3）设该文具店每周这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册单价定为多少元时，才能使文具店该纪念册所获利润？利润是多少？
23. 如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长 AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若平行四边形OABC的两边长是方程的两根，求平行四边形OABC的面积.
24. 根据下列要求，解答相关问题．
（1）请补全以下求没有等式的解集的过程：
① 构造函数，画出图象：根据没有等式特征构造二次函数y=；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=的图象（只画出大致图象即可）；
② 求得界点，标示所需：当时，求得方程解为 ；并用虚线标示出函数y=图象中＜0的部分；
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得没有等式＜0的解集为 ．
（2）请你利用上面求没有等式解集的过程，求没有等式-3≥0的解集．
五、解 答 题：
25. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.
（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2．则S1与S2的数量关系是 ．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDC,请直接写出相应的BF的长
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6点A（﹣3，0）和点B（2，0），直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE，求h为何值时，△AEF的面积．
（3）已知一定点M（﹣2，0），问：是否存在这样的直线y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若没有存在，请说明理由．
浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：
1. 抛物线y=（x-2）2+5的顶点坐标是( )
A. （-2，5） B. （2，5） C. （-2，-5） D. （2，-5）
【正确答案】B
【详解】∵y=（x-2）2+5是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，
顶点坐标为（2,5），
故选B．
2. 风车应做成对称图形,并且没有是轴对称图形,才能在风口处平稳旋转.现有一长条矩形硬纸板(其有一个小孔)和两张全等的矩形薄纸片,将纸片黏到硬纸板上,做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车.正确的黏合方法是 ( )
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】风车应做成对称图形，并且没有是轴对称图形，选项进行判断即可．
【详解】风车应做成对称图形，并且没有是轴对称图形，
A、是对称图形，并且没有是轴对称图形，符合题意；
B、没有是对称图形，是轴对称图形，没有符合题意；
C、是对称图形，也是轴对称图形，没有符合题意；
D、没有是对称图形，是轴对称图形，没有符合题意；
故选A．
3. 下列说法中没有正确的是（ ）.
A. 有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机
B. 某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩是必然
C. 367人中至少有2人生日（公历）相同是确定
D. 长分别为3，5，9厘米的三条线段没有能围成一个三角形是确定
【正确答案】B
【详解】试题分析：直接根据随机与确定的定义求解即可求得答案．A、有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机；故正确；B、某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩是随机；故错误；C、367人中至少有2人生日（公历）相同是必然，即是确定；故正确；D、长分别为3，5，9厘米的三条线段没有能围成一个三角形是没有可能，即是确定；故正确．故选B．
考点：随机与确定的定义．
4. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
【正确答案】A
【分析】先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2=14．
【详解】先移项得x2+6x=5，
方程两边加上9得：x2+6x+9=5+9，
所以（x+3）2=14．
故选A．
本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5. 下列运动属于旋转的是 ( )
A. 扶梯的上升 B. 一个图形沿某直线对折过程
C. 气球升空的运动 D. 钟表的钟摆的摆动
【正确答案】D
【详解】试题解析：A、扶梯的上升，是平移，故此选项错误；
B、一个图形沿某直线对折过程，是轴对称，故此选项错误；
C、气球升空的运动，也有平移，故此选项错误；
D、钟表的钟摆的摆动，属于旋转，故此选项正确．
故选D．
6. 若关于x的一元二次方程kx2+2x–1=0有实数根，则实数k的取值范围是
A. k≥–1 B. k>–1 C. k≥–1且k≠0 D. k>–1且k≠0
【正确答案】C
【详解】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个实数根，
∴△=b2﹣4ac=4+4k≥0，且k≠0，
解得：k≥﹣1且k≠0．
故选C．
此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个没有相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
7. 如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B没有重合），则∠APB＝（ ）
A. 30° B. 45° C. 50° D. 60°
【正确答案】A
详解】试题解析：由题意得，∠AOB=60°，
则∠APB=∠AOB=30°．
故选A．
8. 如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且没有与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A. 变大 B. 变小 C. 没有变 D. 没有能确定
【正确答案】C
【分析】四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的性质AB=OP=半径，所以AB长度没有变．
【详解】解：∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，
∴AB=OP=半径，
当P点在弧MN上移动时，半径一定，所以AB长度没有变，
故选：C．
本题考查了圆的认识，矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对角线相等；圆的半径相等．
9. 函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：由图可知：，所以，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，排除D，由c＞0，排除A，对称轴＞0，所以，排除B，
故选：C．
本题考查函数、二次函数、反比函数的图象及其性质．
10. 小明在做一道正确答案是2的计算题时，由于运算符号(“＋”“－”“×”或“÷”)被墨迹污染，看见的算式是“4■2”，那么小明还能做对的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题解析：因为运算符号只有“+”、“-”、“×”或“÷”有4种情况，
小明能做对是其中两种情况：“÷”或“-”，所以小明还能做对的概率是．
故选D．
点睛：概率的求法：如果一个有n种可能，而且这些的可能性相同，其中A出现m种结果，那么A的概率P（A）=．
11. 已知、是方程的两根，且，则的值等于
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根
∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1
∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3
∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8
∴（7+a）×（﹣4）=8
∴a=﹣9．
故选C．
12. 某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：S△AEF=AE×AF=，S△DEG=DG×DE=×1×（3﹣x）=，S五边形EFBCG=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG==，则y=4×（）=，∵AE＜AD，∴x＜3，综上可得：（0＜x＜3）．故选A．
考点：动点问题的函数图象；动点型．
二、填 空 题：
13. 若是二次函数，则＝_______．
【正确答案】4
【详解】试题解析：∵函数y=xm-2是二次函数，
∴m-2=2，
∴m=4．
故答案为4．
14. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
【正确答案】15
【详解】解：，
解得x1=3，x2=6，
当等腰三角形三边是3，3，6时，3+3=6，没有符合三角形的三边关系定理，∴此时没有能组成三角形；
当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15．
故答案是：15．
15. 如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，绕点A旋转后得到，则CE的长度为___．
【正确答案】2
【分析】由等边三角形的性质得出BC＝AB＝6，求出BD，由旋转的性质得出△ACE≌△ABD，得出CE＝BD，即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝6，
∵BC＝3BD，
∴BDBC＝2，
由旋转的性质得：△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝2．
故2．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的性质；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解决问题的关键．
16. 如图是某市1月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择1月1日至1月8日中的某到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量是重度污染的概率是_____．
【正确答案】
【详解】试题分析：∵9月1日至9月3日3天优良；9月2日至9月4日2天优良；9月3日至9月5日1天优良；9月4日至9月6日0天优良；9月5日至9月7日1天优良；9月6日至9月8日1天优良；9月7日至9月9日1天优良；9月8日至9月10日0天优良；
∴此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是：=．故答案为．
考点：1．概率公式；2．折线统计图．
17. 如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．
【正确答案】．
【详解】试题解析：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，
在RT△AOC中，∵OA=2，OC=1，
∴cos∠AOC=，AC=
∴∠AOC=60°，AB=2AC=2，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB
=
=，
S阴影=S半圆-2S弓形ABM
=π×22-2（）
=2．
故答案为2．
18. 二次函数的图象如图所示，点A0位于坐 标原点，点A1，A2，A3，…，A2017在轴的正半轴上，点B1， B2, B3，…，B2017在二次函数位于象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2016B2017A2017都为等边三角形，则等边△A2016B2017A2017的高为_____.
【正确答案】
【详解】试题解析：如图，
设A0A1=a，
∵△A0B1A1是等边三角形，
∴点B1的横坐标为a，纵坐标为a，
∴B1（a，a），
∵B1在二次函数y=x2位于象限的图象上，
∴×（a）2=a，
解得a=1，
∴B1，
∴△A0B1A1的高为，
同理，设A1A2=b，
则B2（b，b+1），
代入二次函数解析式得，×（b）2=b+1，
解得b=2，b=-1（舍去），
B2（，1），
所以，△A1B2A2的高为，
设A2A3=c，则B3（c，c+1+2），
代入二次函数解析式得，×（c）2=c+1+2，
解得c=3，c=-2（舍去），
所以，B3，
所以，△A2B3A3的高为，
…，
以此类推，B2017，
所以，△A2016B2017A2017的高=，
三、解 答 题：
19. 解方程：
（1） ；
（2）.
【正确答案】(1) ;(2) ，
【详解】试题分析：（1）直接开平方法求解可得；
（2）公式法求解可得．
试题解析：（1）
（2）
∴ ，
20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所的路径长．
【正确答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，路径长为．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
∵OB=，∠BOB2=90°，
∴点B旋转到点B2所的路径长为．
本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，弧长公式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
四、解 答 题：
21. 某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅没有完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5:2,请图中相关数据回答下列问题：
（1）样本容量是______________，并补全直方图；
（2）该年级共有学生800人，请估计该年级在这天里发言次数没有少于12次的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好都是男生的概率.
【正确答案】（1）50，见解析；（2）144人；（3）
【详解】试题分析：（1）求得B组所占的百分比，然后根据B组有10人即可求得总人数，即样本容量，然后求得C组的人数，从而补全直方图；
（2）利用总人数乘以对应的百分比即可求解；
（3）分别求出A、E两组的人数，确定出各组的男女生人数，然后列表或画树状图，再根据概率公式计算即可得解．
试题解析：（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，E组发言人数占8%，
∴B组发言的人数占20%，
由直方图可知B组人数为10人，
所以，被抽查的学生人数为：10÷20%=50人，
∴样本容量为50人．
故50．
F组人数为：50×(1-6%-20%-30%-26%-8%)，
=50×(1-90%)，
=50×10%，
=5（人），
C组人数为：50×30%=15（人），
E组人数为：50×8%=4人
补全直方图如图；
（2）F组发言的人数所占的百分比为：10%，
所以，估计全年级在这天里发言次数没有少于12次的人数为：800×(8%+10%)=144（人）；
（3）∵A组发言的学生为：50×6%=3人，有1位女生，
∴A组发言的有2位男生，
∵E组发言的学生：4人，
∴有2位女生，2位男生．
∴由题意可画树状图为：
∴共有12种情况，所抽两位学生恰都是男生的情况有4种，
∴所抽的两位学生恰好都是男生的概率为.
本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用、用树状图求概率，抓住观察扇形统计图和条形统计图的方法和画树状图的方法是解题的关键.
22. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价没有低于20元且没有高于28元，在过程中发现该纪念册每周的量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足函数关系：当单价为22元时，量为36本；当单价为24元时，量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的单价是多少元？
（3）设该文具店每周这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册单价定为多少元时，才能使文具店该纪念册所获利润？利润是多少？
【正确答案】（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的单价是25元；（3）该纪念册单价定为28元时，才能使文具店该纪念册所获利润，利润是192元．
【分析】（1）待定系数法列方程组求函数解析式．
（2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解．
（3）总利润=单件利润量：w＝(x-20)(-2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值．
【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b．
把(22，36)与(24，32)代入，得
解得，
∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）．
(2)设当文具店每周这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的单价是x元，
根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150．
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的单价是25元．
(3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200．
∵售价没有低于20元且没有高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)．
答：该纪念册单价定为28元时，能使文具店该纪念册所获利润，利润192元．
23. 如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长 AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若平行四边形OABC的两边长是方程的两根，求平行四边形OABC的面积.
【正确答案】（1）见解析；（2）48．
【详解】试题分析：连接OD，根据切线得出∠OEC=90°，根据OD=OA以及OC∥AD得出∠OAD=∠EOC，则∠EOC=∠DOC，OD=OE，OC=OC得出△ODC和△OEC全等，从而得出∠ODC=∠OEC=90°，得出切线；根据方程得出OC=10，OA=6，根据勾股定理得出CD=8，根据全等得出CE=8，然后计算四边形的面积．
试题解析：证明：（1）连OD，∵CE是⊙O的切线, ∠OEC=90O ，∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD,又∵OC//AD
∴∠OAD =∠EOC，∠DOC=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC, 又∵OD="OE,OC=OC," ∴△ODC≌△OEC（SAS）
∴∠ODC=∠OEC=90 O, ∴CD是⊙O的切线．
（2），，即OC=10，OA=6 在Rt△ODC, CD=8 ∵△ODC≌△OEC ，CE=CD=8
∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=6×8=48
考点：切线的性质、圆的基本性质．
24. 根据下列要求，解答相关问题．
（1）请补全以下求没有等式的解集的过程：
① 构造函数，画出图象：根据没有等式特征构造二次函数y=；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=的图象（只画出大致图象即可）；
② 求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为 ；并用虚线标示出函数y=图象中＜0的部分；
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得没有等式＜0的解集为 ．
（2）请你利用上面求没有等式解集的过程，求没有等式-3≥0的解集．
【正确答案】（1）①见解析；② ;③ ;(2) x≥3或x≤-1
【详解】试题分析：（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，利用图象法求出方程x2-2x=0，以及没有等式x2-2x＜0的解即可．
（2）画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象法即可解决问题．
试题解析：（1）二次函数y=x2-2x的图象如图1所示，
∵二次函数y=x2-2x与x轴交于O（0，0），A（2，0），
∴方程x2-2x=0的解为x=0或2．
由图象可知x2-2x＜0的解集为0＜x＜2．
故答案为x=0或2，0＜x＜2．
（2）函数y=x2-2x-3的图象如图2所示，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴没有等式x2-2x-3≥0的解集，由图象可知，x≥3或x≤-1．
五、解 答 题：
25. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.
（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2．则S1与S2的数量关系是 ．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDC,请直接写出相应的BF的长
【正确答案】解：（1）①DE∥AC．②．（2）仍然成立，证明见解析；（3）或．
【分析】
【详解】（1）①由旋转可知：AC=DC，
∵∠C=90°，∠B=∠DCE=30°，∴∠DAC=∠CDE=60°．∴△ADC是等边三角形．
∴∠DCA=60°．∴∠DCA=∠CDE=60°．∴DE∥AC．
②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．
由①可知：△ADC是等边三角形, DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM．
∴CF=EM．
∵∠C=90°，∠B =30°
∴AB=2AC．
又∵AD=AC
∴BD=AC．
∵
∴．
（2）如图，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N，
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中， ，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF1=S△BDE；
过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC=60°，F1D∥BE，
∴∠F2F1D=∠ABC=60°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2是等边三角形，
∴DF1=DF2，过点D作DG⊥BC于G，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，
∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF2=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
，
∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，
又∵BD=4，
∴BE=×4÷cos30°= ，
∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，
故BF的长为或．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6点A（﹣3，0）和点B（2，0），直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE，求h为何值时，△AEF的面积．
（3）已知一定点M（﹣2，0），问：是否存在这样的直线y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）y＝﹣x2﹣x+6；（2）当h＝3时，△AEF的面积，面积是 ．（3）存在，当h＝时，点D的坐标为；当h＝时，点D的坐标为．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）由题意可得点E的坐标为（0，h），点F的坐标为（ ，h），根据S△AEF＝•OE•FE＝•h•＝﹣（h﹣3）2+．利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）存在．分两种情形情形，分别列出方程即可解决问题．
【详解】解：如图：
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6点A（﹣3，0）和点B（2，0），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+6．
（2）∵把x＝0代入y＝﹣x2﹣x+6，得y＝6，
∴点C的坐标为（0，6），
设点A和点C的直线的解析式为y＝mx+n，则，
解得 ，
∴点A和点C的直线的解析式为：y＝2x+6，
∵点E在直线y＝h上，
∴点E的坐标为（0，h），
∴OE＝h，
∵点F在直线y＝h上，
∴点F的纵坐标为h，
把y＝h代入y＝2x+6，得h＝2x+6，
解得x＝，
∴点F的坐标为（ ，h），
∴EF＝．
∴S△AEF＝•OE•FE＝•h•＝﹣（h﹣3）2+，
∵﹣＜0且0＜h＜6，
∴当h＝3时，△AEF的面积，面积是 ．
（3）存在符合题意的直线y＝h．
∵B（2，0），C（0，6），
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+6，设D（m，﹣3m+6）．
①当BM＝BD时，（m﹣2）2+（﹣3m+6）2＝42，
解得m＝或（舍弃），
∴D，此时h＝．
②当MD＝BM时，（m+2）2+（﹣3m+6）2＝42，
解得m＝或2（舍弃），
∴D，此时h＝．
∵综上所述，存在这样的直线y＝或y＝，使△BDM是等腰三角形，当h＝时，点D的坐标为；当h＝时，点D的坐标为．
此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理函数的应用等知识，此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形思想的应用．
浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟试题
（三模）
一．选一选（共10小题，满分21分）
1. 下列四个数中，正整数（ ）
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
2. 下列数学符号中，属于对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧没有紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．若每天用水时间按2小时计算，那么中的另外22小时水龙头都在没有断的滴水．请计算，一个拧没有紧的水龙头，一个月（按30天计算）浪费水（ ）
A. 23760毫升 B. 2.376×105毫升
C. 23.8×104毫升 D. 237.6×103毫升
4. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 若，则x：y：z等于
A. 1：2：3 B. 3：2：1 C. 1：3：6 D. 6：2：1
6. 下列说确的是（ ）
A. “明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有正面朝上
C. “中奖的概率为1%”表示买100张肯定会中奖
D. “抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一发生的概率稳定在附近
7. 如图，是一个正方体纸盒展开图，若在其中三个正方形A，B，C中分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上两个数互为相反数，则填入正方形A，B，C中的三个数依次是（ ）
A. 1，﹣3，0 B. 0，﹣3，1 C. ﹣3，0，1 D. ﹣3，1，0
8. 如图，AB是⊙O的直径，点C在圆周上，连结BC、OC，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，若∠B=25°，则∠BAD的度数是（ ）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
9. 如图所示，向一个半径为、容积为的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积与容器内水深间的函数关系的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．
12. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个没有相等的实数根，且该方程与x2+mx﹣1=0有一个相同的根．当k为符合条件的整数时，m的值为 _____．
13. 如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_____．
14. 投掷一枚普通的正方体骰子，则掷得“6”概率是_____，其含义是_____．
15. 用等分圆周的方法，在半径为1的圆中画出如图所示图形，则图中阴影部分的面积为______.
16. 如图，抛物线y=x2在象限内的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；
②抛物线依次点A1，A2，A3…An，…．
则顶点M2018的坐标为（ ），____________）．
三．解 答 题（共2小题）
17. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=2+2，c=4，求锐角A的度数．
18. 到高中时，我们将学习虚数i，（i叫虚数单位）．规定i2=﹣1，如﹣2=2×（﹣1）=（±）2•i2=（±i）2，那么x2=﹣2的根就是：x1=i，x2=﹣i．试求方程x2+2x+3=0的根．
四．解 答 题（共4小题）
19. 如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE，AC，AE．
（1）求证：△AED≌△DCA．
（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）面积．
20. 某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用没有透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．
21. 如图所示，小王在校园上的A处正面观测一座教学楼墙上的大型标牌，测得标牌下端D处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该标牌上端C处的仰角为45°．若该楼高为16.65m，小王的眼睛离地面1.65m，大型标牌的上端与楼房的顶端平齐．求此标牌上端与下端之间的距离（≈1.732，结果到0.1m）．
22. 如图，某日的钱塘江观潮信息如表：
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数（，是常数）刻画．
（1）求的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以千米/分速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车速度为千米/分，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）．
五．解 答 题（共2小题）
23. 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为________；
②如图3，当时，则长为___________．
猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
24. 已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若没有存在，请说明理由．
浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟试题
（三模）
一．选一选（共10小题，满分21分）
1. 下列四个数中，正整数是（ ）
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
【正确答案】D
【详解】试题分析：－2、－1是负整数；0是整数，既没有是正整数，也没有是负整数；1是正整数．
故选D．
2. 下列数学符号中，属于对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：根据对称图形的定义“把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合”进行解答即可得．
详解：对称图形是指把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合的图形，只有B选项符合题意，故本题选B．
点睛：本题考查的就是对称图形的定义，属于简单题型．解题的关键就是熟记对称图形的定义．
3. 我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧没有紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．若每天用水时间按2小时计算，那么中的另外22小时水龙头都在没有断的滴水．请计算，一个拧没有紧的水龙头，一个月（按30天计算）浪费水（ ）
A. 23760毫升 B. 2.376×105毫升
C 23.8×104毫升 D. 237.6×103毫升
【正确答案】B
【详解】好样的：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值大于10时，n是正数；当原数的值小于1时，n是负数．
详解：2×0.05×（22×60×60）×30=0.1×79200×30=2.376×105毫升．
故选B．
点睛：用科学记数法表示一个数的方法是：
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1，当原数的值＜1时，n为负整数，n的值等于原数中左起个非零数前零的个数（含整数位数上零）．
4. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】试题分析：∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°
∴DE=DF
∴AD垂直平分EF
∴（4）错误；
又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，
∴（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF．
故选C．
考点：1.等腰三角形的判定与性质；2.线段垂直平分线的性质．
5. 若，则x：y：z等于
A. 1：2：3 B. 3：2：1 C. 1：3：6 D. 6：2：1
【正确答案】D
【详解】∵5x=（53）y=53y，3y=（32）z=32z，
∴x=3y，y=2z，即x=3y=6z；
设z=k，则y=2k，x=6k；（k≠0）
∴x：y：z=6k：2k：k=6：2：1．
故选D．
6. 下列说确的是（ ）
A. “明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有正面朝上
C. “中奖的概率为1%”表示买100张肯定会中奖
D. “抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一发生的概率稳定在附近
【正确答案】D
【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．
【详解】解：A. “明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A没有符合题意；
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每次抛正面朝上的概率都是，故B没有符合题意；
C. “中奖的概率为1%”表示买100张有可能中奖．故C没有符合题意；
D. “抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一发生的概率稳定在附近，故D符合题意；
故选D
本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
7. 如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中三个正方形A，B，C中分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上两个数互为相反数，则填入正方形A，B，C中的三个数依次是（ ）
A. 1，﹣3，0 B. 0，﹣3，1 C. ﹣3，0，1 D. ﹣3，1，0
【正确答案】A
【详解】使得它们折成正方体后相对的面上两个数互为相反数，则A与-1，B与3；C与0互为相反数．
解答：解：根据以上分析：填入正方形A，B，C中的三个数依次是1，-3，0．
故选A．
8. 如图，AB是⊙O的直径，点C在圆周上，连结BC、OC，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，若∠B=25°，则∠BAD的度数是（ ）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵OB=OC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=25°，
∴∠C=25°，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=50°，
∵AD∥OC，
∴∠BAD=∠AOC=50°，
故选D．
考点：1.圆周角定理；2.平行线的性质．
9. 如图所示，向一个半径为、容积为的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积与容器内水深间的函数关系的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：观察可得，只有选项B符合实际，
故答案选A.
考点:函数图象.
10. 如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】∵a＜0，
∴抛物线开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选B．
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．
【正确答案】（y﹣1）2（x﹣1）2．
【详解】解：令x+y=a，xy=b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）
=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1
=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1
=（b﹣a+1）2；
即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为（y﹣1）2（x﹣1）2．
点睛：因式分解的方法：（1）提取公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c).
（2）公式法:完全平方公式，平方差公式.
（3）十字相乘法.
因式分解的时候，要注意整体换元法的灵活应用，训练将一个式子看做一个整体,利用上述方法因式分解的能力.
12. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个没有相等的实数根，且该方程与x2+mx﹣1=0有一个相同的根．当k为符合条件的整数时，m的值为 _____．
【正确答案】0或．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个没有相等的实数根，
∴△=16﹣4k＞0，解得k＜4，
∴k的整数值是3，即k=3；
∴x2﹣4x+3=0，即（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得，x=1或x=3；
①当与x2+mx﹣1=0相同的根是x=1时，1+m﹣1=0，解得m=0；
②当与x2+mx﹣1=0相同的根是x=3时，9+3m﹣1=0，解得m=；
综合①②知，符合条件的m的值为0或．
故答案为0或．
13. 如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_____．
【正确答案】6
【详解】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴BE=CE．
∵△EDC的周长为24，
∴ED+DC+EC=24，①
∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，
∴（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）-（AE+DC+AC）-DE=12，
∴BE+BD-DE=12，②
∵BE=CE，BD=DC，
∴①-②得，DE=6．
故6
14. 投掷一枚普通的正方体骰子，则掷得“6”概率是_____，其含义是_____．
【正确答案】 ①. ， ②. 掷骰子有6种情况，则朝上的一面为6点的可能占．
【详解】掷骰子有6种情况，即1，2，3，4，5，6朝上；则朝上的一面为6点的概率是．
其含义是：掷骰子有6种情况，则朝上的一面为6点的可能占．
故答案为.
15. 用等分圆周的方法，在半径为1的圆中画出如图所示图形，则图中阴影部分的面积为______.
【正确答案】π－
【详解】解：如图，设 的中点为P，连接OA，OP，AP，
△OAP的面积是：×12=，
扇形OAP的面积是：S扇形=，
AP直线和AP弧面积：S弓形=﹣，
阴影面积：3×2S弓形=π﹣．
故答案为π﹣．
本题考查扇形面积的计算．
16. 如图，抛物线y=x2在象限内的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；
②抛物线依次点A1，A2，A3…An，…．
则顶点M2018的坐标为（ ），____________）．
【正确答案】 ①. 4035 ②. 4035
【详解】试题解析：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x-a1）2+a1的顶点，
抛物线y=x2与抛物线y1=（x-a1）2+a1相交于A1，
得x2=（x-a1）2+a1，
即2a1x=a12+a1，
x=（a1+1）．
∵x为整数点
∴a1=1，
M1（1，1）；
M2（a2，a2）是抛物线y2=（x-a2）2+a2=x2-2a2x+a22+a2顶点，
抛物线y=x2与y2相交于A2，
x2=x2-2a2x+a22+a2，
∴2a2x=a22+a2，
x=（a2+1）．
∵x为整数点，
∴a2=3，
M2（3，3），
M3（a3，a3）是抛物线y2=（x-a3）2+a3=x2-2a3x+a32+a3顶点，
抛物线y=x2与y3相交于A3，
x2=x2-2a3x+a32+a3，
∴2a3x=a32+a3，
x=（a3+1）．
∵x为整数点
∴a3=5，
M3（5，5），
∴点M2014，两坐标为：2014×2-1=4027，
∴M2014（4027，4027）.
考点：二次函数图象与几何变换．
三．解 答 题（共2小题）
17. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=2+2，c=4，求锐角A的度数．
【正确答案】30°或60°.
【分析】先求出a、b、c的值，再求出∠A的三角函数值，进而求出∠A的度数．
【详解】方法一：将a+b=2+2两边平方，整理得ab=4，
又因为a+b=2+2，构造以a、b为根的一元二次方程，得：x2﹣（2+2）x+4=0，
解得：x1=2，x2=2，
则（1）sinA=时，锐角A的度数是30°，
（2）sinA=时，锐角A度数是60°，
所以∠A=30°或∠A=60°．
方法二：∵a+b=2+2，∴b=2+2－a，
由勾股定理，得：，即，
整理，得：，
解得：，，
当时，sinA=，锐角A的度数是30°，
当时，sinA=，锐角A的度数是60°；
所以∠A=30°或∠A=60°．
18. 到高中时，我们将学习虚数i，（i叫虚数单位）．规定i2=﹣1，如﹣2=2×（﹣1）=（±）2•i2=（±i）2，那么x2=﹣2的根就是：x1=i，x2=﹣i．试求方程x2+2x+3=0的根．
【正确答案】x1=﹣1+i，x2=﹣1﹣i
【详解】x2+2x+3=0，（5分）
x2+2x+1=-2，
（x+1）2=-2，x+1=±i；
x=-1±i，
所以x1=-1+i，x2=-1-i．（15分）
本题将虚数和方程求虚根，可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
四．解 答 题（共4小题）
19. 如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE，AC，AE．
（1）求证：△AED≌△DCA．
（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．
【正确答案】(1)证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，AB=AE，易证得四边形AECD是等腰梯形，即可得AC=DE，然后由SSS，即可证得：△AED≌△DCA；
（2）由DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，可求得∠EAD的度数，继而求得∠BAE的度数，然后由扇形的面积公式求得阴影部分（扇形）的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴四边形AECD是梯形，
∵AB=AE，
∴AE=CD，
∴四边形AECD是等腰梯形，
∴AC=DE，
在△AED和△DCA中，
，
∴△AED≌△DCA（SSS）；
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE，
∵四边形AECD是等腰梯形，
∴∠DAE=∠ADC=2∠ADE，
∵DE与⊙A相切于点E，
∴AE⊥DE，
即∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAE=60°，
∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠DCE=120°，
∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°，
∴S阴影=×π×22=π．
考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算．
20. 某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用没有透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，
∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是=；
（2）画树状图：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，
则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是．
21. 如图所示，小王在校园上的A处正面观测一座教学楼墙上的大型标牌，测得标牌下端D处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该标牌上端C处的仰角为45°．若该楼高为16.65m，小王的眼睛离地面1.65m，大型标牌的上端与楼房的顶端平齐．求此标牌上端与下端之间的距离（≈1.732，结果到0.1m）．
【正确答案】大型标牌上端与下端之间的距离约为3.5m．
【详解】试题分析：将题目中的仰俯角转化为直角三角形的内角的度数，分别求得CE和BE的长，然后求得DE的长，用CE的长减去DE的长即可得到上端和下端之间的距离．
试题解析：
设AB，CD 的延长线相交于点E，
∵∠CBE=45°，
CE⊥AE，
∴CE=BE，
∵CE=1665﹣1.65=15，
∴BE=15，
而AE=AB+BE=20．
∵∠DAE=30°，
∴DE＝＝11.54，
∴CD=CE﹣DE=15﹣11.54≈3.5 （m ），
答：大型标牌上端与下端之间的距离约为3.5m．
22. 如图，某日的钱塘江观潮信息如表：
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数（，是常数）刻画．
（1）求的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车速度为千米/分，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）．
【正确答案】（1）m=30；0.4千米/分钟；（2）5分钟；（3）小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需要26分钟.
【详解】试题分析：（1）由题意可知：30分钟后到达乙地，从而可知m=30，由于甲地到乙地是匀速运动，所以利用路程除以时间即可求出速度；
（2）由于潮头的速度为0.4千米/分钟，所以到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，设小红出发x分钟，根据题意列出方程即可求出x的值，
（3）先求出s的解析式，根据潮水加速阶段的关系式，求出潮头的速度达到单车速度0.48千米/分钟时所对应的时间t，从而可知潮头与乙地之间的距离s，设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h（t≥35），当t=35时，s1=s=，从而可求出h的值，潮头与小红相距1.8千米时，即s-s1=1.8，从而可求出t的值，由于小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，共需要时间为6+50-30=26分钟，
试题解析：（1）由题意可知：m=30；
∴B（30，0），
潮头从甲地到乙地的速度为：＝0.4千米/分钟；
（2）∵潮头的速度为0.4千米/分钟，
∴到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，
设小红出发x分钟与潮头相遇，
∴0.4x+0.48x=12-7.6，
∴x=5
∴小红5分钟与潮头相遇，
（3）把（30，0），C（55，15）代入s=t2+bt+c，
解得：b=-，c=-，
∴s=t2-t-
∵v0=0.4，
∴v=（t-30）+，
当潮头的速度达到单车速度0.48千米/分钟，
此时v=0.48，
∴0.48=（t-30）+，
∴t=35，
当t=35时，
s=t2-t-=，
∴从t=35分（12：15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，当小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头．
设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h（t≥35），
当t=35时，s1=s=，代入可得：h=-，
∴s1=t-
潮头与小红相距1.8千米时，即s-s1=1.8，
∴t2-t--t+=1.8
解得：t=50或t=20（没有符合题意，舍去），
∴t=50，
小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，
∴共需要时间为6+50-30=26分钟，
∴小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需要26分钟.
考点：二次函数的应用.
五．解 答 题（共2小题）
23. 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为________；
②如图3，当时，则长为___________．
猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
【正确答案】（1）①；②4；（2），见解析
【分析】（1）①根据含30°直角三角形的性质解答；②证明△AB′C′≌△ABC，根据全等三角形的性质得到B′C′=BC，根据直角三角形的性质计算；
（2）证明四边形AB′EC′是平行四边形，得到B′E=AC′，∠BAC′+∠AB′E=180°，根据全等三角形的性质得到AE=BC，得到答案．
【详解】（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，
∴∠B′AC′=120°，AB=AB′，AC=AC′，
∴AB′=AC′，
∴∠AB′D=30°，
∴AD=AB′，
∴AD=BC，
故答案为；
②∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，
∴∠B′AC′=∠BAC=90°，AB=AB′，AC=AC′，
在△AB′C′和△ABC中，
，
∴△AB′C′≌△ABC（SAS）
∴B′C′=BC=8，
∵∠B′AC′=90°，AD是△ABC“旋补中线”，
∴AD=B′C′=4，
故答案为4；
（2）猜想．
证明：如图，延长至点E使得，连接B′E、C′E，
∵AD是△AB′C’的中线，
∴B′D=C′D，
∵DE=AD，
∴四边形AB′EC′是平行四边形，
∴B′E=AC′，∠B′AC′+∠AB′E=180°，
∵α+β=180°，
∴∠B′AC′+∠BAC=180°，
∴∠EB′A=∠BAC，
在△EB′A和△CAB中，
∴△EB′A≌△CAB（SAS），
∴AE=BC，
∴AD=BC．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键．
24. 已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】(1) 抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；C（ ，﹣ ）．(2) ﹣1＜m＜0或3＜m＜4;(3)
【详解】分析：（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．
（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以-1＜m＜0，或3＜m＜4．
（3）左右平移时，使A′D+DB″最短即可，那么作出点C′关于x轴对称点的坐标为C″，得到直线P″C″的解析式，然后把A点的坐标代入即可．
详解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；
∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，
∴C（，﹣）．
（2）如图1，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB为钝角，
∴M（，0），⊙M的半径=．
∵P′是抛物线与y轴的交点，
∴OP′=2，
∴MP′=，
∴P′在⊙M上，
∴P′的对称点（3，﹣2），
∴当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．
（3）存在；
抛物线向左或向右平移，因为AB、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短，只要AC′+BP′最小；
种情况：抛物线向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，
第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知P（3，﹣2），
又∵C（，﹣）
∴C'（﹣t，﹣），P'（3﹣t，﹣2），
∵AB=5，
∴P″（﹣2﹣t，﹣2），
要使AC′+BP′最短，只要AC′+AP″最短即可，
点C′关于x轴的对称点C″（﹣t，），
设直线P″C″的解析式为：y=kx+b，
，
解得
∴直线y=，
当P″、A、C″在一条直线上时，周长最小，
∴=0
∴t=．
故将抛物线向左平移个单位连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短．
点睛：利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有两个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边.
相关试卷
【中考数学】2022-2023学年浙江省杭州市专项提升仿真模拟卷（一模二模）含答案： 这是一份【中考数学】2022-2023学年浙江省杭州市专项提升仿真模拟卷（一模二模）含答案，共61页。
浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析： 这是一份浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析
浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析： 这是一份浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析
