2023届陕西省安康中学高三上学期12月月考 文科数学 （解析版）

这是一份2023届陕西省安康中学高三上学期12月月考 文科数学 （解析版），共23页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前安康中学2023届高三年级试卷数学（文科）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i为虚数单位，复数满足，则（    ）A. 2 B.  C.  D. 2. 记集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 3. 若，则（    ）A  B.  C.  D. 4. 函数图象在点处的切线方程为（    ）A.  B.  C.  D. 5. 设，则成立的一个必要不充分条件是（    ）A.  B.  C.  D. 6. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（    ）A.  B.  C.  D. 7. 南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（    ）A. 18 B. 19 C. 21 D. 228. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（    ）A. 20 B.  C. 27 D. 9. 已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ）A.  B.  C.  D. 10. 定义在R上的函数满足对任意的x恒有，且，则的值为（    ）A. 2026 B. 1015 C. 1014 D. 101311. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 12. 设等比数列满足，，记为中在区间中的项的个数，则数列的前50项和（    ）A. 109 B. 111 C. 114 D. 116二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题，使得，则为___________.14. 设数列的前n项和为，对任意都有（t为常数），则称该数列为“t数列”，若数列为“2数列”，且，则______.15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则___________.16. 若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数a的取值范围是______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）是否存在实数a，使函数最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.18. 已知等差数列的前n项的和为，.数列的前n项和为，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，求证：.19. 已知函数.（1）若在上存在最小值，求实数m取值范围；（2）当时，证明：对任意的，.20. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）若，求外接圆的面积；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.21. 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.22. 设向量，，，（）.（1）当时，求的极值；（2）当时，求函数零点的个数.    绝密★启用前数学（文科）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i为虚数单位，复数满足，则（    ）A. 2 B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数运算法则计算得到，从而求出模长.【详解】由，得，故所以.故选：B.2. 记集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式求出，从而求出交集.【详解】集合或，，所以.故选：A.3. 若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】结合诱导公式和二倍角公式求得正确答案.【详解】由，得，所以.故选：C4. 函数的图象在点处的切线方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】首先求出函数在处的切线斜率，再利用点斜式写出方程即可.【详解】，则，而，故函数在处的切线方程为，则.故选：C5. 设，则成立的一个必要不充分条件是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】成立的一个必要不充分条件就是可以推出这个条件，但是这个条件并不能推出.依次对每个选项进行分析即可.【详解】A: ,是的充分条件，A错；B：为其反例，不是必要条件，B错；C：在上递增，，是充要条件，C错；D：可得，又，可得，反之不一定成立，D对；故选：D6. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由正切函数的对称中心得到，，再对各选项逐一检验分析即可.【详解】根据题意得，，则，又，则，，对于A，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故A错误；对于B，由得，满足条件，故B正确；对于C，由得，与矛盾，故C错误；对于D，由得，与矛盾，故D错误故选：B.7. 南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（    ）A. 18 B. 19 C. 21 D. 22【答案】B【解析】【分析】由等差数列的求和公式求解即可【详解】由题意设前两站的距离为千米，第二站与第三站之间的距离为千米，…，第n站与第站之间的距离为千米，则等差数列，首项是，公差，则，解得，则站点数一共有19个.故选：B.8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（    ）A. 20 B.  C. 27 D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角形的外接圆周长求出外接圆半径，根据同角三角函数关系求出，从而得到的长，结合及正弦定理得到，从而得到三角形周长.【详解】设的外接圆半径为，则，解得：，因为，由，，可得，，所以，，因为，由正弦定理可得：，所以的周长为.故选：D.9. 已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由确定点的位置，再利用与的面积之比列方程来求得的值.【详解】由得，设，则.由于，所以A，B，D三点共线，如图所示，∵与反向共线，，∴，∴，∴.故选：D10. 定义在R上的函数满足对任意的x恒有，且，则的值为（    ）A. 2026 B. 1015 C. 1014 D. 1013【答案】B【解析】【分析】先根据递推和夹逼准则将不等条件转化为等式，再将其看成一个等差数列可得的值.【详解】根据得，又，所以，又所以是以为首项，为公差的等差数列；所以故选：B.11. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.【详解】由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示：若使得函数有3个零点，则.故选：A.12. 设等比数列满足，，记为中在区间中的项的个数，则数列的前50项和（    ）A. 109 B. 111 C. 114 D. 116【答案】C【解析】【分析】先求出等比数列的通项公式，再结合题意得到当，2时，；当时，；当时，；当时，；从而求出数列的前50项和.【详解】设等比数列的公比为q，则，，解得，，故，因为为中在区间中的项的个数，所以当，2时，；当时，；当时，；当时，；故.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题，使得，则为___________.【答案】【解析】【分析】由存在量词命题的否定求解即可【详解】命题，使得，则为，故答案为：14. 设数列的前n项和为，对任意都有（t为常数），则称该数列为“t数列”，若数列为“2数列”，且，则______.【答案】2021【解析】【分析】利用并项求和即可.【详解】根据题意得到：，所以.故答案为：2021.15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则___________.【答案】4【解析】【分析】将化简，可得一个边角关系，然后再结合正弦定理可得答案.【详解】因为在中，若，所以，所以，即，由正弦定理得，化简得，所以.故答案为：416. 若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先根据将转化为来表示，由此化简的解析式，对进行分类讨论，根据恒成立列不等式来求得的取值范围.【详解】因为经过点和，所以，，可得，故.因为，所以，所以，当时，，可得，所以，要使恒成立，只要，即，又，从而；当时，；当时，，所以，所以，要使恒成立，只要，解得，又，从而.综上所述，a的取值范围为.故答案为：【点睛】求解不等式恒成立问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，如本题中恒成立，就转化为的值域，也即三角函数的值域来进行求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为    （2）存在，实数【解析】【分析】（1）利用求得，结合复合函数单调性同增异减求得的单调区间.（2）根据的最小值为列方程，从而求得的值.【小问1详解】∵，∴，即，，由，解得，∴函数的定义域为，∵函数在上单调递增，在上单调递减，又∵在上为增函数，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】设存在实数a，使函数的最小值为0，，∵函数的最小值为0，∴函数的最小值为1，所以①，且②，联立①②解得：，∴存在实数，使函数的最小值为0.18. 已知等差数列的前n项的和为，.数列的前n项和为，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，求证：.【答案】（1）；.    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）运用等差数列的基本公式联立方程可解出的首项和公差，进而得到通项公式；对，考虑整理说明其为等比数列可得其通项公式；（2）将的通项公式进行裂项，可以求出其和，进而证明不等式.【小问1详解】设公差为d，由题意得：解得所以，由，得，又，所以是公比为的等比数列，所以.【小问2详解】证明：，.要证，即证，因为在上为增函数，且，所以得证.19. 已知函数.（1）若在上存在最小值，求实数m取值范围；（2）当时，证明：对任意的，.【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先利用导数求出单调区间，再结合在上存在最小值，即可求解.（2）首先分别求出的最小值以及的最大值，利用即可求解.【小问1详解】因为，所以，令得，令得，则的单调递减区间为，单调递增区间为，因为在上存在最小值，所以，即，故m的取值范围是.【小问2详解】证明：当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以，即，当且仅当时等号成立，而，当时，y有最大值，即，当且仅当，时等号成立，因为，且等号不能同时取得，所以.20. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）若，求外接圆的面积；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得，利用余弦定理，求得，即可求得，再由正弦定理与圆的面积公式即可求解；（2）由（1）得，根据为锐角三角形，求得，利用正弦定理和面积公式，以及三角恒等变换的公式化简得到，进而求得面积的取值范围.【小问1详解】由题知：，由正弦定理可化为，即，由余弦定理知，又，故.设外接圆的半径为R，则，所以，所以外接圆的面积为.【小问2详解】由（1）知：，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，又由正弦定理，得，所以.又，则，所以，故面积的取值范围是.21. 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.【答案】（1）    （2），【解析】【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出，得到最小正周期，求出，再代入特殊点的坐标，求出，得到函数解析式；（2）先根据平移变换和伸缩变换得到，令，换元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到，再根据对称性得到，相加后得到，求出答案.【小问1详解】由图示得：，解得：，又，所以，所以，所以.又因为过点，所以，即，所以，解得，又，所以，所以.【小问2详解】图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，当时，，令，则，令，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，,所以时，.当时，方程恰有三个不相等的实数根.因为有三个不同的实数根，且关于对称，关于对称，则，两式相加得：，即，所以.22. 设向量，，，（）.（1）当时，求的极值；（2）当时，求函数零点的个数.【答案】（1）的极小值为，无极大值    （2）当时，函数的零点个数为1【解析】【分析】（1）将的值代入，然后求导，分析单调区间求极值即可.（2）对分类讨论，分别求函数单调区间，结合极值即可判断零点个数.【小问1详解】根据已知得，则当时，，，，由得或（舍）.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以的极小值为，无极大值.【小问2详解】因为，若，当时，；当时，；当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，有极大值，极小值，又，所以函数有1个零点.若，恒成立，函数单调递增，此时，，所以函数有1个零点；若，当时，；当时，；当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，显然极小值，又，所以函数有1个零点.综上所述，当时，函数的零点个数为1.【点睛】方法点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)利用的定义域和实根把函数的定义区间分成若干个小区间；(4)确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性