2022届陕西省安康中学（安康市）高三下学期4月第三次联合考试文科数学试题含解析

安康市2022届高三下学期4月第三次联合考试

数学（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（    ）

A． B． C． D．8

4．已知数列的前n项和为，且，则（    ）

A．129 B．132 C．381 D．384

5．在边长为4的正方形内任取一点，则该点到此正方形的各顶点的距离大于1的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．若，则（    ）

A． B． C． D．

7．在正方体中，M是正方形ABCD的中心，则直线与直线所成角的大小为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

8．2022年3月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地展开．某地交警部门加强执法管理期间，对某路口不带头盔的骑行者进行了统计，得到如下数据（其中y表示第x天不戴头盔的人数）：

若y关于x的回归方程为，则（    ）

A．4 B．-4 C．6 D．-6

9．若点为圆的弦AB的一个三等分点，则弦AB的长度为（    ）

A． B．4 C． D．

10．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（    ）

A．  B．

C．  D．

11．已知斜率为k的直线过抛物线的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为4，则k的值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知直线分别与直线、曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为（    ）

A．2 B． C．4 D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知平面向量，，若与垂直，则实数______．

14．已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，B是虚轴的一个端点，若点F到直线AB的距离为，则双曲线的离心率为______．

15．直三棱柱的各个顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，，若球O的表面积为，则这个三棱柱的体积是______．

16．已知为等差数列的前n项和，，，设，且数列的前n项和为，则使恒成立的实数的取值范围是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角B的大小；

（2）若，求△ABC的周长的取值范围．

18．（本小题满分12分）

在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，平面平面ABCD，，，点E为CD的中点．

（1）求证：平面平面PAC；

（2）求点E到平面PAC的距离．

19．（本小题满分12分）

大豆是我国重要的农作物，种植历史悠久．某种子实验基地培育出某大豆新品种，为检验其最佳播种日期，在A，B两块试验田上进行实验（两地块的土质等情况一致）．6月25日在A试验田播种该品种大豆，7月10日在B试验田播种该品种大豆．收获大豆时，从中随机抽取20份（每份1千粒），并测量出每份的质量（单位：克），按照，，进行分组，得到如下表格：

把千粒质量不低于200克的大豆视为籽粒饱满，否则为籽粒不饱满．

（1）判断是否有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关？

（2）用分层抽样的方法从A，B两块实验田抽取的千粒质量在的样本中抽取5份样本，再从这5份样本中任取2份，求所抽取的2份来自不同试验田的概率．

参考公式：，．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的右焦点为，点在C上，c为椭圆C的半焦距．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若经过F的直线l与C交于A，B（异于P）两点，与直线交于点M，设PA，PB，PM的斜率分别为，，，求证：．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；

（2）若函数存在极值，且这些极值的和大于，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l和曲线C相交于A，B两点，求的值．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围．

\

安康市2022届高三下学期4月第三次联合考试

数学（文科）

参考答案、提示及评分细则

1．C  由得，所以，所以，故选C．

2．D  ，则，在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点位于第四象限．故选D．

3．A  由题可知，是该函数的周期的整数倍，即，解得，又，故其最小值为．故选A．

4．C  当时，由，得；当时，由，得，

故，此时．故选C．

5．B  如图，该点落在正方形内虚线外的区域时，满足到此正方形的各顶点的距离大于1，正方形的面积为，四个圆的面积和为，所以该点到此正方形的各顶点的距离大于1的概率为．故选B．

6．C  ．故选C．

7．A  设正方体的棱长为，连接，MC，MB．因为，故或其补角为直线与直线所成的角．而，，，

故，所以，所以，

故直线与直线所成角的大小为30°．故选A．

8．D  由题意：设，则y关于的回归方程为，

易知，，所以．

故选D．

9．A  不妨设P为靠近A的一个三等分点，设AB的中点为Q，原点为O，，则，

由，得，

所以，故．故选A．

10．D  当时，，所以，因为，所以，

即，

所以函数在上单调递增，又因为函数为R上的偶函数，

所以函数在上单调递减．则不等式，

即等价于，

所以或．故选D．

11．B  由已知和抛物线定义知：，

设直线AB的倾斜角为，则，，所以，

解得，所以，故选B．

12．C  令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以．

所以直线在曲线的上方，由，则，

由，则，则．

令，则，

令，解得，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，．故选C．

13．1  因为与垂直，所以，即，，解得．

14．2  设，则，不妨取，

所以直线AB的方程为，即，

所以点F到AB的距离为．

因为，所以，所以，所以．

15．  因为AB=AC=1，，所以，所以直三棱柱外接球的球心O即为侧面的中心．

设球O的半径为r，则，解得，即，

所以直三棱柱的高，

所以直三棱柱体积．

16．  设的公差为，由得解得

故数列的通项公式为，

所以．

则①，②，

由①-②得，所以．

因为等价于恒成立，而，所以．

17．解：（1）∵，

∴由正弦定理得：，又，∴，

∴，即，

∴．

∵△ABC为锐角三角形，

∴，

∴即．

（2）∵，，

∴由正弦定理有：，

∴，，．

∵，，

∴

．

∵△ABC为锐角三角形，

∴，，

∴，

∴，，

∴，即△ABC的周长的取值范围是．

18．（1）证明：∵平面平面ABCD，且平面平面ABCD=AB，，平面ABCD，

∴平面PAB．

又平面PAB，∴，

又，且，PB，平面PBC，

所以PA平面PBC．

又平面PAC，∴平面PAC平面PBC．

（2）解：在△PAB中，PA=PB，取AB的中点O，连接PO，则POAB，PO=1．

∵平面PAB平面ABCD，且平面平面ABCD=AB，平面PAB，

∴PO平面ABCD．

由（1）知PA平面PBC，又平面PBC，所以PAPC．

在△PAC中，，，所以，．

又，设点E到平面PAC的距离是h，

由，得，

所以．

所以点E到平面PAC的距离为．

19．解：（l）列联表为

，

所以有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关．

（2）用分层抽样的方法从A试验田抽取份数为，记为M，N；从B试验田抽取的份数为，记为x，y，z．

从5份中抽2份所含基本事件有MN，，，，，，，xy，xz，yz，基本事件总数为10．

来自不同试验田的基本事件有，，，，，，基本事件数为6．

所以所求概率．

20．（1）解：因为椭圆的右焦点为，

所以．①

因为点在C上，所以②．

又，③

由①②③，解得，．

故椭圆的标准方程为．

（2）证明：，设，，直线，

则．

由消去y得，

所以，，

所以．

．

又因为，

所以，命题得证．

21．解：（1）由题意知：的定义域为，

，令，则．

所以有，单调递增，

有，单调递减，且．

所以要使在定义域上单调，则即可，

故．

（2）因为存在极值，所以不单调，由（1）知：．

所以有，有，

所以方程分别在，上有根，，

即的两个根为，，且．

所以，．

而，即为的两个极值，

所以依题意有

，

所以．

22．解：（1）由消去t得．

由得，

因为，，

所以即．

所以直线l的普通方程为，

曲线C的直角坐标方程为．

（2）因为直线l的标准参数方程为代入，

消去x，y得．

设点A，B对应的参数为，，则，，

所以．

23．解：（l）即为，

①当时，得，即，此不等式无解；

②当时，得，解得，舍去；

③当时，得，解得（舍去）或．

故不等式的解集为．

（2）当时，则，

所以．

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，所以，

当时，，

当时，，即．

因为时，有最大值0，所以．

因此实数的取值范围是．