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2022-2023学年广西省桂林市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年广西省桂林市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月4月）含解析，共50页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西省桂林市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，最小的数是( )
A. 0 B. 3 C. -3 D. -2
2. 下列计算中正确的是( )
A. · B. C. D. ·
3. 实数的值在（ ）
A 0与1之间 B. 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间
4. 如图，将一块含有60°角直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠2=50°，那么∠1的度数为（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
5. 没有等式组解集在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
6. 某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球
7. 一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是（ ）
A. 3，3，0.4 B. 2，3，2 C. 3，2，0.4 D. 3，3，2
8. 在下列中，必然是( )
A. 在足球赛中，弱队战胜强队 B. 任意画一个三角形，其内角和是360°
C. 抛掷一枚硬币，落地后反面朝上 D. 通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
9. 某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（ ）
A. 8 B. 20 C. 36 D. 18
10. 如图，正方形的边长为2，动点从点出发，在正方形的边上沿的方向运动到点停止，设点的运动路程为，在下列图象中，能表示的面积关于的函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 某市2018年初中毕业生人数约为43000人，数据43000用科学记数法表示为_________.
12. 分解因式：2x2﹣8=_______
13. 互联网“”经营已成为大众创业新途径，某平台上一件商品标价为200元，按标价五折，仍可获利20元，则这件商品的进价为_____元．
14. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号）
15. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．
16. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为_______．
三、解 答 题：（本大题共9个小题，共72分）.
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 为了提高科技创新意识，我市某中学在“2016年科技节”中举行科技比赛，包括“航模”、“机器人”、“环保”、“建模”四个类别（每个学生只能参加一个类别的比赛），各类别参赛人数统计如图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）全体参赛的学生共有 人，“建模”在扇形统计图中的圆心角是 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在比赛结果中，获得“环保”类一等奖的学生为1名男生和2名女生，获得“建模”类一等奖的学生为1名男生和1名女生，现从这两类获得一等奖的学生中各随机选取1名学生参加市级“环保建模”考察，问选取的两人中恰为1男生1女生的概率是多少？
19. 证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了没有完整的已知和求证．
已知：如图，，点P在OC上，_________
求证：________，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
20. 早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车的速度是步行速度的3倍．求小明步行的速度(单位：米/分钟)是多少.
21. 如图，函数的图象与反比例的图象相交于A（-2，1），B（，-2）两点.
(1)求反比例函数和函数的解析式；
(2) 求△ABO的面积.
22. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
23. 某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家购买这种新型产品没有超过10件时，每件按3000元；若购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的单价均降低10元，但单价均没有低于2600元．
（1）商家购买这种产品多少件时，单价恰好为2600元？
（2）设商家购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）该公司的人员发现：当商家购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将单价调整为多少元？（其它条件没有变）
24. 如图，四边形ABCD为正方形，点E在边 AB上，点F在AB的延长线上，点G在边AD上，且EF=AB，DG=AE，连接DE、FG相交于点H.
(1)若，如图(1)，求∠EHF的度数（提示：连接CG，CF）；
(2)若，如图(2)，求tan∠EHF值．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）求点A的坐标及直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的值为时，求抛物线的函数表达式．
2022-2023学年广西省桂林市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，最小的数是( )
A. 0 B. 3 C. -3 D. -2
【正确答案】C
【详解】分析：根据有理数大小比较的法则依次判断即可：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，值大的其值反而小．
详解：根据有理数大小比较的法则可直接判断出：﹣3＜﹣2＜0＜3，即C＜D＜A＜B．
故选C．
点睛：本题考查了有理数大小比较的法则，解题的关键是牢记法则，此题比较简单，易于掌握．
2. 下列计算中正确的是( )
A. · B. C. D. ·
【正确答案】D
【详解】分析：原式各项计算得到结果，即可作出判断．
详解：A．原式=a3，没有符合题意；
B．原式=2a6，没有符合题意；
C．原式=2a6，没有符合题意；
D．原式=2a2，符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了幂混合运算以及单项式除以单项式，熟练掌握公式及法则是解答本题的关键．
3. 实数的值在（ ）
A. 0与1之间 B. 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间
【正确答案】B
【分析】直接利用二次根式的估算，的值在1和，即可得出结果．
【详解】解：∵1＜＜，
∴实数的值在1与2之间．
故选：B．
此题主要考查了估算无理数大小，正确得出接近的有理数是解题关键．
4. 如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠2=50°，那么∠1的度数为（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
【正确答案】A
【详解】如图，过E作EF∥直线a，则EF∥直线b，
∴∠3=∠1，∠4=∠2，
∴∠1=60°﹣∠2=10°，
故选A．
5. 没有等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：分别求出各没有等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
详解：，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜2，
故没有等式组的解集为：﹣2≤x＜2．
在数轴上表示为：
．
故选B．
点睛：本题考查的是解一元没有等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找没有到”的原则是解答此题的关键．
6. 某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球
【正确答案】C
【详解】试题分析：由几何体的主视图、左视图可得该几何体是一个放倒的圆柱，故答案选C.
考点：根据三视图判定几何体.
7. 一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是（ ）
A. 3，3，0.4 B. 2，3，2 C. 3，2，0.4 D. 3，3，2
【正确答案】A
【详解】试题分析：依题意得：，解得：x＝3，把原数据由小到大排列为：2，3，3，3，4，所以中位数为3，众数为3，方差为：（1＋0＋1＋0＋0）＝0.4，故答案选A.
考点：中位数；众数；方差.
8. 在下列中，必然是( )
A. 在足球赛中，弱队战胜强队 B. 任意画一个三角形，其内角和是360°
C. 抛掷一枚硬币，落地后反面朝上 D. 通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
【正确答案】D
【详解】分析：根据必然的概念（必然指在一定条件下一定发生的）可判断正确答案．
详解：A．在足球赛中，弱队战胜强队，是随机；
B．任意画一个三角形，其内角和是360°，是没有可能；
C．抛掷一枚硬币，落地后反面朝上，随机；
D．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰，是必然．
故选D．
点睛：本题主要考查了必然，解决本题需要正确理解必然、没有可能、随机的概念．必然指在一定条件下一定发生的；没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的；没有确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能没有发生的．
9. 某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（ ）
A. 8 B. 20 C. 36 D. 18
【正确答案】B
【详解】试题解析：根据题意列方程得
100×（1-x%）2=100-36
解得x1=20，x2=180（没有符合题意，舍去）．
故选B．
本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
10. 如图，正方形的边长为2，动点从点出发，在正方形的边上沿的方向运动到点停止，设点的运动路程为，在下列图象中，能表示的面积关于的函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】分、两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【详解】解：当时，如图，
则，为常数；
当时，如下图，
则，为函数；
故选：D．
本题考查了动点函数图象问题，在图象中应注意自变量的取值范围，注意分类讨论．
二、填 空 题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 某市2018年初中毕业生人数约为43000人，数据43000用科学记数法表示为_________.
【正确答案】4.3×104
【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
详解：43000用科学记数法表示为4.3×104．
故答案为4.3×104．
点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 分解因式：2x2﹣8=_______
【正确答案】2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
13. 互联网“”经营已成为大众创业新途径，某平台上一件商品标价为200元，按标价的五折，仍可获利20元，则这件商品的进价为_____元．
【正确答案】80
【分析】设该商品的进价为x元，根据售价﹣进价=利润，即可得出关于x的一元方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该商品的进价为x元，根据题意得：
200×0.5﹣x=20，
解得：x=80．
故答案为80．
本题考查了一元方程的应用，根据售价﹣进价=利润，列出关于x的一元方程是解题的关键．
14. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号）
【正确答案】米
【分析】设，利用正切的定义以及角的正切值，表示出和，然后求解即可．
【详解】解：设米
在中，，则
在中，，则
，即，解得
即米
故答案为米
本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以及角的正切值．
15. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．
【正确答案】6
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17，
设内切圆半径为r，由面积法
r= 3（步），即直径为6步，
故6．
考点：三角形的内切圆与内心．
16. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为_______．
【正确答案】2.
【分析】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．先证明△ACD为直角三角形，证△ABC∽△CHD，即可得解.
【详解】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
又CD＝10，DA＝，
可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，
易证△ABC∽△CHD，
则CH＝6，DH＝8，
∴BD＝．
考点：相似三角形判定及性质；勾股定理.
三、解 答 题：（本大题共9个小题，共72分）.
17. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】9xy，9．
【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可．
【详解】解：
当
上式
本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键．
18. 为了提高科技创新意识，我市某中学在“2016年科技节”中举行科技比赛，包括“航模”、“机器人”、“环保”、“建模”四个类别（每个学生只能参加一个类别的比赛），各类别参赛人数统计如图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）全体参赛的学生共有 人，“建模”在扇形统计图中的圆心角是 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在比赛结果中，获得“环保”类一等奖学生为1名男生和2名女生，获得“建模”类一等奖的学生为1名男生和1名女生，现从这两类获得一等奖的学生中各随机选取1名学生参加市级“环保建模”考察，问选取的两人中恰为1男生1女生的概率是多少？
【正确答案】（1）60，72；（2）详见解析；（3）.
【分析】（1）由“航模”人数及其所占百分比可得总人数，用“建模”所占百分比乘以360°可得其对应圆心角度数；
（2）用总人数乘以“环保”类百分比可得其人数，用总人数减去其它三个类型的人数可得“建模”人数，即可补全条形图；
（3）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选取的两人中恰为1男生1女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）全体参赛的学生有：15÷25%=60（人），
“建模”在扇形统计图中的圆心角是（1﹣25%﹣30%﹣25%）×360°=72°；
（2）“环保”类人数为：60×25%=15（人），
“建模”类人数为：60﹣15﹣18﹣15=12（人），补全条形图如图：
（3）画树状图如图：
∵共有6种等可能结果，其中两人中恰为1男生1女生的有3种结果，
∴选取的两人中恰为1男生1女生的概率是：．
19. 证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了没有完整的已知和求证．
已知：如图，，点P在OC上，_________
求证：________，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
【正确答案】PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；PD＝PE．证明过程见解析
【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO≌△PEO，由全等三角形的性质可得结论．
【详解】解：已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD＝PE．
故PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；PD＝PE．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°．
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS）．
∴PD＝PE．
本题主要考查了命题与证明，准确判断命题的条件与结论并根据题意画出图形，并能用符号写出已知、求证及证明过程是解答此题的关键．
20. 早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车的速度是步行速度的3倍．求小明步行的速度(单位：米/分钟)是多少.
【正确答案】小明步行的速度为60米/分钟.
【详解】分析：（1）设小明步行的速度是x米/分，根据题意可得等量关系：小明步行回家的时间=骑车返回时间+10分钟，根据等量关系列出方程即可．
详解：设小明步行的速度是x米/分，由题意得：
解得：x=60，经检验：x=60是原分式方程的解．
答：小明步行的速度是60米/分．
点睛：本题主要考查了分式方程应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
21. 如图，函数的图象与反比例的图象相交于A（-2，1），B（，-2）两点.
(1)求反比例函数和函数的解析式；
(2) 求△ABO的面积.
【正确答案】（1）；（2）1.5．
【详解】分析：（1）把A（﹣2，1）代入求出反比例函数的解析式，代入求出A的坐标，把A、B的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，根据三角形的面积公式求出即可．
详解：（1）把A（﹣2，1）代入反比例函数y=得：m=﹣2×1=﹣2，∴反比例函数为y=﹣．
∵点（n，-2）在反比例函数上，∴n=1，∴B（1，﹣2），把A（﹣2，1），B（1，﹣2）代入得：，解得：k=﹣1，b=﹣1，∴函数的解析式为y=﹣x﹣1．
（2）设直线AB和x轴的交点为C，令y=0，则0=﹣x﹣1，∴x=﹣1，∴C（﹣1，0），∴OC=1，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=1.5．
点睛：本题主要考查对函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，解一元方程，解二元方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解答此题的关键．
22. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【正确答案】（1）直线BC与⊙O相切，证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．
【详解】解：（1）BC与⊙O相切．理由如下：
连接OD．∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD．
∵OD=OA
∴∠OAD=∠ODA
∴∠CAD=∠ODA
∴OD∥AC
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切；
（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2．
根据勾股定理得：，
即，
解得：x=2，即OD=OF=2
∴OB=2+2=4．
Rt△ODB中
∵OD=OB
∴∠B=30°
∴∠DOB=60°
∴S扇形DOF==
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF==．
故阴影部分的面积为．
23. 某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家购买这种新型产品没有超过10件时，每件按3000元；若购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的单价均降低10元，但单价均没有低于2600元．
（1）商家购买这种产品多少件时，单价恰好为2600元？
（2）设商家购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）该公司的人员发现：当商家购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将单价调整为多少元？（其它条件没有变）
【正确答案】(1) 商家购买这种产品50件时，单价恰好为2600元；(2) 当0≤x≤10时，y=600x；当10＜x≤50时，y =-10x2+700x；当x＞50时，y =200x；(3) 公司应将单价调整为2750元．
【详解】（1）设商家购买该产品x件时，单价恰好为2600元，
由3000-10（x-10）=2600，
解得x=50，
则商家购买该种商品50件时，单价恰好为2600元.
（2）当时，y=（3000-2400）x=600x（x为整数）；
当时，y=x［3000-10（x-10）-2400］=-10x2+700x（x为整数）；
当x>50时，y=（2600-2400）x=200x（x为整数）.
（3）因为要满足购买的数量越多，所获的利润越大，所以y应随x的增大而增大，而y=600x和y=200x均是y随着x的增大而增大；
二次函数y=-10x2+700x=-10（x-35）2+12250中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，因此x的取值范围只能为，而购买的数量为35件时的单价恰好为单价.当x=35时，单价为3000-10（35-10）=2750（元），即公司应将单价调整为2750元.
考点：二次函数的应用．
24. 如图，四边形ABCD为正方形，点E在边 AB上，点F在AB的延长线上，点G在边AD上，且EF=AB，DG=AE，连接DE、FG相交于点H.
(1)若，如图(1)，求∠EHF的度数（提示：连接CG，CF）；
(2)若，如图(2)，求tan∠EHF的值．
【正确答案】（1）45°；（2）
【详解】分析：（1）连接FC和CG（如图1），先证明△AED≌△DGC，同理△FBC≌△EAD，再证明△GFC是等腰直角三角形即可．
（2）如图2，过点F作FM∥ED交CD于M，连接GM，先证明△DGM∽△AED，得∠ADE=∠DMG，==，再证明△FMG是直角三角形即可．
详解：（1）连接FC和CG（如图1）．
∵四边形ABCD为正方形，AE=BF=GD，∴AB=BC=DC=AD，∠A=∠ABC=∠FBC=∠CDG=90°．在△EAD和△GDC中，，∴△AED≌△DGC（SAS），同理△FBC≌△EAD，∴CF=GC，∠AED=∠BFC，∠BCF=∠DCG，∴ED∥FC，∴∠EHF=∠GFC．
又∵∠BCD=90°=∠BCG+∠GCD=∠BCG+∠BCF=∠GCF，∴△GCF是等腰直角三角形，∴∠GFC=∠FGC=45°，∴∠EHF=45°；
（2）如图2，过点F作FM∥ED交CD于M，连接GM．
∵正方形ABCD中，AB∥CD，∴四边形EFMD为平行四边形，∴EF=DM，DE=FM，∴∠3=∠4，∠EHF=∠HFM=α．
∵EF=CD，GD=AE，∴．
∵∠A=∠GDM=90°，∴△DGM∽△AED，∴∠ADE=∠DMG，==
∵∠DMG+∠MGD=90°，∴∠ADE+∠DGM=90°，∴GM⊥DE．
∵ED∥FM，∴GM⊥FM，∠EHF=∠GFM，∴tan∠GFM===．
点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）求点A的坐标及直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的值为时，求抛物线的函数表达式．
【正确答案】（1）A（－1，0），y＝ax＋a；（2）y＝x2－x－．
【详解】分析：（1）由抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．
（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE=S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可．
详解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x1=﹣1，x2=3．
∵点A在点B左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，∴=．
∵CD=4AC，∴==4．
∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得：y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得：，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．
（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a），∴HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，由，得x=﹣1或x=4，即点D的横坐标为4，∴S△ADE=S△AEH+S△DEH=（﹣ax2+3ax+4a）=﹣a（x﹣）2+a，∴△ADE的面积的值为a，∴a=，解得：a=，∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣x﹣．
点睛：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．
2022-2023学年广西省桂林市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（本大题有 8个小题，每小题 3 分, 共 24 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1. 若a，b互为相反数，则下面四个等式中一定成立的是（ ）
A. a+b=0 B. a+b=1 C. |a|+|b|=0 D. |a|+b=0
2. 在一个没有透明袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 学校准备从甲、乙、丙、丁四个科技创新小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
1
1.2
1
1.8
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4. 如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB＝20米，AC＝30米，∠A＝150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（ ）
A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元
5. 某星期下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校.图中表示小强离开家的路程y(公里)和所用的时间x(分)之间的函数关系．下列说法错误的是（ ）
A. 小强从家到公共汽车在步行了2公里 B. 小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C. 公共汽车的平均速度是30公里/小时 D. 小强乘公共汽车用了20分钟
6. 如图，矩形ABCD顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是弧AF的三等分点（弧AG＞弧GF)，BG交AF于点H．若弧AB的度数为30°，则∠GHF等于( )
A. 40° B. 45° C. 55° D. 80°
7. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是
A. a＞0 B. 3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C. a+b+c=0 D. 当x＜1时，y随x的增大而减小
8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落斜边上，且与重合，则等于（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（共5小题；共15分）
9. 分解因式： ________
10. 如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________.
11. 如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=________度．
12. 反比例函数图象点P（﹣1，2），则此反比例函数的解析式为________．
13. 如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是________．
三、解 答 题（共8题；共81分）
14. 计算：
15. 某超市经营的杂粮食物盒有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如下表所示，其中A型盒子正做促销：性购买三个及以上可返现8元．
型号
A
B
单个盒子的容量/升
4
6
单价/元
10
12
（1）张芳、王楠两人结伴去购物，请你根据两人的对话，判断怎样买最：
张芳：“A型盒子有促销，我正好买几个装大米用，我买4个正好够用．”
王楠：“嗯，我也买几个，没有过，我家得需要5个．”
张芳：“走，结账去．”
王楠：“等等，咱俩合计一下，怎么买最…”
（2）小红和妈妈也来买盒子，下面是两人的对话：
妈妈：“这些盒子没有错，买5个B型让孩子恰好能把咱家30升的小米都装上”
小红：“可是B型盒子没有，咱可以两种盒子搭配着买，既能每个盒子都装满，还能”
①设小红需要买A型号的盒子x个，性购买盒子的总费用为y元，求y与x的函数关系式；
②当x=3时，求小红和妈妈当天性购买盒子的总费用．
16. 电视节目“奔跑吧兄弟”播出后深受中小学生的喜爱，小刚想知道大家最喜欢哪位“兄弟”，于是在本校随机抽取了一部分学生进行抽查（每人只能选一个自己最喜欢的“兄弟”），将结果进行了整理后绘制成如图两幅没有完整的统计图，请图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次被学生有多少人．
（2）将两幅统计图补充完整．
（3）若小刚所在学校有2000名学生，请根据图中信息，估计全校喜欢“Angelababy”的人数．
（4）若从3名喜欢“李晨”的学生和2名喜欢“Angelababy”的学生中随机抽取两人参加文体，则两人都是喜欢“李晨”的学生的概率是________．
17. 如图，两座建筑物的水平距离，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，求这两座建筑物的高度.
18. 为了尽快的适应中招体考项目，现某校初二（1）班班委会准备筹集1800元购买A、B两种类型跳绳供班级集体使用．
（1）班委会决定，购买A种跳绳的资金没有少于B种跳绳资金的2倍，问至多用多少资金购买B种跳绳？
（2）经初步统计，初二（1）班有25人自愿参与购买，那么平均每生需交72元．初三（1）班了解情况后，把体考后闲置的跳绳奉送了若干给初二（1）班，这样只需班级共筹集1350元．经初二（1）班班委会进一步宣传，自愿参与购买的学生在25人的基础上增加了4a%．则每生平均交费在72元基础上减少了2.5a%，求a的值．
19. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
20. 在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（没有与点E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（没有与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．
21. 如图1，已知□ABCD，AB//x轴，AB=6，点A的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3,4），点B在第四象限，点P是□ABCD边上的一个动点．
（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标；
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标；
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）．
2022-2023学年广西省桂林市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（本大题有 8个小题，每小题 3 分, 共 24 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1. 若a，b互为相反数，则下面四个等式中一定成立的是（ ）
A. a+b=0 B. a+b=1 C. |a|+|b|=0 D. |a|+b=0
【正确答案】A
【详解】，互为相反数 ，易选B.
2. 在一个没有透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：先求出球的所有个数，再根据概率公式解答即可．
详解：∵袋子中装有4个红球和3个黑球，
∴共有7个球，其中4个红球，
∴从口袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是.
故选B.
点睛：根据随机概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
3. 学校准备从甲、乙、丙、丁四个科技创新小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
1
1.2
1
1.8
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【正确答案】C
【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
【详解】因为乙组、丙组平均数比甲组、丁组大，
而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故选：C．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．
4. 如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB＝20米，AC＝30米，∠A＝150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（ ）
A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元
【正确答案】C
【详解】如图，过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴S△ABC=AB×CD÷2=×20×15÷2=150m2，
∵草皮的售价为a元/米2，
∴购买这种草皮的价格：150a元．
故选C．
5. 某星期下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校.图中表示小强离开家的路程y(公里)和所用的时间x(分)之间的函数关系．下列说法错误的是（ ）
A. 小强从家到公共汽车在步行了2公里 B. 小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C. 公共汽车的平均速度是30公里/小时 D. 小强乘公共汽车用了20分钟
【正确答案】D
【分析】根据函数图象及速度、时间、路程的关系依次判断即可得．
【详解】解：根据图象可得：
小强从家到公共汽车步行了2公里，A选项正确；
，小强在公共汽车站等小明用了10分钟，B选项正确；
路程为17-2=15，时间为60-30=30，30分钟=0.5小时，
∴速度为：公里/小时，C选项正确；
60-30=30分钟，小强乘公共汽车用了30分钟，选项D错误；
故选：D．
题目主要考查根据函数图象获取信息，理解题意，图象求解是解题关键．
6. 如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是弧AF的三等分点（弧AG＞弧GF)，BG交AF于点H．若弧AB的度数为30°，则∠GHF等于( )
A. 40° B. 45° C. 55° D. 80°
【正确答案】A
【详解】【分析】连接BF，取BF中点O，连接OA、OG，根据90度的圆周角所对的弦是直径可得BF为⊙O的直径，再根据的度数是30°，可知的度数为150°，继而由已知G是的三等分点（)，可得到∠ABG =50°，从而即可得到∠GHF的度数.
【详解】连接BF，取BF中点O，连接OA、OG，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∴BF为⊙O的直径，
∵的度数是30°，∴的度数为150°，
∵G是的三等分点（)，
∴∠FOG=50°，∠AOG=100°，
∴∠ABG=∠AOG=50°，
∴∠AHB=90°-∠ABG=40°，
∴∠GHF=∠AHB=40°，
故选A.
本题考查了矩形的性质，90度角所对的弦是直径，圆周角定理等，正确添加辅助线，知道弧的度数与弧所对的圆心角的度数一样是解题的关键.
7. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是
A. a＞0 B. 3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C. a+b+c=0 D. 当x＜1时，y随x的增大而减小
【正确答案】B
【详解】试题分析：A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误；
B、根据对称轴为x=1，一个交点坐标为（﹣1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0），因此3是方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项正确；
C、把x=1代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中得：y=a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误；
D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误．
故选B．
8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x，在Rt△DEB中利用勾股定理解决．
【详解】解：在Rt△ABC中
∵AC＝6，BC＝8
∴AB＝=＝10
∵△ADE是由△ACD翻折
∴AC＝AE＝6，EB＝AB−AE＝10−6＝4
设CD＝DE＝x
在Rt△DEB中
∵
∴
∴x＝3
∴CD＝3
故B．
本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折没有变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．
二、填 空 题（共5小题；共15分）
9. 分解因式： ________
【正确答案】（x-2）(x+2)
【详解】【分析】直接利用平方差公式进行分解即可.
【详解】x2-4
=x2-22
=(x+2)(x-2)，
故答案（x+2）(x-2).
本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键.
10. 如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________.
【正确答案】x=0或x=4-4 或4＜x<4
【详解】以MN为底边时，可作MN的垂直平分线，与OB的必有一个交点P1 ，且MN=4，以M为圆心MN为半径画圆，以N为圆心MN为半径画圆，①如下图，当M与点O重合时，即x=0时，除了P1 ，当MN=MP，即为P3；当NP=MN时，即为P2；
只有3个点P；
②当0＜x＜4时，如下图，圆N与OB相切时，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此时MP3=4，则OM=ON-MN= NP2-4= ．
③因为MN=4，所以当x>0时，MN＜ON，则MN=NP没有存在，除了P1外，当MP=MN=4时，过点M作MD⊥OB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3，P3没有能与M,N构成三角形，故舍去，所以x=4没有满足题意；
当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM=MD=，故4≤x＜．
与OB有两个交点P2和P3，故答案为x=0或x=或4＜x＜．
考点：相交两圆的性质；分类讨论；综合题．
11. 如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=________度．
【正确答案】144
【分析】根据在同圆中等弧对的圆心角相等进行分析即可．
【详解】∵弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，
∴弧ABC：弧AmC=6：4，
∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4=144°，
故答案144．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆中等弧对的圆心角相等，一个周角为360度是解题的关键．
12. 反比例函数的图象点P（﹣1，2），则此反比例函数的解析式为________．
【正确答案】
【分析】设反比例函数的解析式为 ，由已知把（-1，2）代入解析式求得k的值，即可求出解析式．
【详解】设反比例函数的解析式为 ，
把（-1，2）代入则有，
解得：k=-2，
所以反比例函数的解析式为：y=﹣，
故答案为y=﹣．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
13. 如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是________．
【正确答案】①②③
【详解】试题解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在RT△ADE和RT△GDE中，
，
∴△AED≌△GED，故①正确，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，故②正确，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．
∵AE=FG=EG=BG，BE=AE，
∴BE＞AE，
∴AE＜，
∴CB+FG＜1.5，故④错误．
故选B.
三、解 答 题（共8题；共81分）
14. 计算：
【正确答案】
【详解】【分析】按顺序先分别进行值的化简、0次幂的计算、二次根式的化简，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】
=4+1-
=5-.
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则是关键.
15. 某超市经营的杂粮食物盒有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如下表所示，其中A型盒子正做促销：性购买三个及以上可返现8元．
型号
A
B
单个盒子的容量/升
4
6
单价/元
10
12
（1）张芳、王楠两人结伴去购物，请你根据两人的对话，判断怎样买最：
张芳：“A型盒子有促销，我正好买几个装大米用，我买4个正好够用．”
王楠：“嗯，我也买几个，没有过，我家得需要5个．”
张芳：“走，结账去．”
王楠：“等等，咱俩合计一下，怎么买最…”
（2）小红和妈妈也来买盒子，下面是两人的对话：
妈妈：“这些盒子没有错，买5个B型让孩子恰好能把咱家30升的小米都装上”
小红：“可是B型盒子没有，咱可以两种盒子搭配着买，既能每个盒子都装满，还能”
①设小红需要买A型号的盒子x个，性购买盒子的总费用为y元，求y与x的函数关系式；
②当x=3时，求小红和妈妈当天性购买盒子的总费用．
【正确答案】（1）张芳、王楠两人合在一起购买最；（2）①y=2x+60；②总费用为66元．
【详解】【分析】（1）求出张芳、王楠分开单独购买需要花费的钱数，两人合在一起买需要花费的钱数，比较即可得；
（2）①若小红买A型号的盒子x个，则小红需买B型号的盒子数为 个，根据总费用=A型的费用+B型的费用列式即可得；
②把x=3代入①中的函数解析式进行计算即可得.
【详解】（1）若张芳、王楠分开单独购买需4×10﹣8+5×10﹣8=74元，
若张芳、王楠合在一起购买需（4+5）×10﹣8×3=66元，
故张芳、王楠两人合在一起购买最；
（2）①若小红买A型号的盒子x个，则小红需买B型号的盒子数为：即 个，
根据题意，得：y=10x+12×=2x+60，
即y=2x+60；
②当x=3时，y=2×3+60=66元，
故当x=3时，求小红和妈妈当天性购买盒子的总费用为66元．
本题考查了函数的应用，弄清题意，找到题中的数量关系是解题的关键.
16. 电视节目“奔跑吧兄弟”播出后深受中小学生的喜爱，小刚想知道大家最喜欢哪位“兄弟”，于是在本校随机抽取了一部分学生进行抽查（每人只能选一个自己最喜欢的“兄弟”），将结果进行了整理后绘制成如图两幅没有完整的统计图，请图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次被的学生有多少人．
（2）将两幅统计图补充完整．
（3）若小刚所在学校有2000名学生，请根据图中信息，估计全校喜欢“Angelababy”的人数．
（4）若从3名喜欢“李晨”的学生和2名喜欢“Angelababy”的学生中随机抽取两人参加文体，则两人都是喜欢“李晨”的学生的概率是________．
【正确答案】（1）200；（2）补图见解析（3）600人；（4）.
【分析】试题分析：（1）用喜欢“陈赫”的人数除以占的百分比得出被学生总数即可；
（2）求出喜欢“李晨”的人数，找出喜欢“Angelababy”与喜欢“黄晓明”占的百分比，补全统计图即可；
（3）用喜欢“Angelababy”的百分比乘以2000即可得到结果；
（4）列表得出所有等可能的情况数，找出两人都是喜欢“李晨”的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】试题解析：（1）根据题意得：40÷20%=200（人），
则本次被的学生有200人；
（2）喜欢“李晨”的人数为200﹣（40+20+60+30）=50（人），喜欢“Angelababy”的百分比为×=30%，喜欢其他的人有200×15%=30（人），
补全统计图，如图所示：
（3）根据题意得：2000×30%=600（人），
则全校喜欢“Angelababy”的人数为600人；
（4）列表如下：（B表示喜欢“李晨”，D表示喜欢“Angelababy”）
所有等可能的情况有20种，其中两人都是喜欢“李晨”的学生有6种，则P==．
考点：1．列表法与树状图法；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．条形统计图．
17. 如图，两座建筑物的水平距离，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，求这两座建筑物的高度.
【正确答案】两建筑物的高度分别是30和20
【分析】延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC的长即可．
详解】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，
在Rt△AED中，AE＝BC＝30m，∠EAD＝30°，
∴ED＝AEtan30°＝10m，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝30m，
∴AB＝30m，
则CD＝EC﹣ED＝AB﹣ED＝301020m．
此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
18. 为了尽快的适应中招体考项目，现某校初二（1）班班委会准备筹集1800元购买A、B两种类型跳绳供班级集体使用．
（1）班委会决定，购买A种跳绳的资金没有少于B种跳绳资金的2倍，问至多用多少资金购买B种跳绳？
（2）经初步统计，初二（1）班有25人自愿参与购买，那么平均每生需交72元．初三（1）班了解情况后，把体考后闲置的跳绳奉送了若干给初二（1）班，这样只需班级共筹集1350元．经初二（1）班班委会进一步宣传，自愿参与购买的学生在25人的基础上增加了4a%．则每生平均交费在72元基础上减少了2.5a%，求a的值．
【正确答案】（1）至多用600元购买B种跳绳；（2）a的值是25．
【详解】【分析】（1）设购买A种跳绳的为x元，则购买B种跳绳的有（1800-x）元，利用“购买A种跳绳的资金没有少于B种跳绳资金的2倍”，列出没有等式求解即可；
（2）根据“自愿参与购买的学生在25人的基础上增加了4a%，”可得人数为25（1+4a%）．根据“每生平均交费在72元基础上减少了2.5a%”可得每生平均交费：72（1-2.5a%），再根据“只需班级共筹集1350元”，列出方程求解即可．
【详解】（1）设用于购买A种跳绳的为x元，则购买B种跳绳的有（1800﹣x）元，
根据题意得：2（1800﹣x）≤x，
解得：x≥1200，
∴x取得最小值1200时，1800﹣x取得值600，
答：至多用600元购买B种跳绳；
（2）根据题意得：25（1+4a%）×72（1﹣2.5a%）=1350，
令a%=m，
则整理得：40m2﹣6m﹣1=0，
解得：m=或a=﹣（舍去），
∴a=25，
所以a的值是25．
本题考查了一元二次方程的应用及一元没有等式的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关系和没有等关系．
19. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
【正确答案】故答案为6秒、2.5秒、7秒．
【分析】根据题意P，Q和梯形ABCD的两个顶点构成平行四边形，分两种情况讨论：①可以构成四边形PQAD；②可以构成四边形PQBC两种.
【详解】解：①以PQAD构成四边形
设x秒成为平行四边形
根据题意得：
x=24﹣3x
∴x=6
∴当运动6s时成为平行四边形；
②以PQBC构成四边形
设y秒成为平行四边形
根据题意得：
10﹣y=3y
∴y=2.5
∴当运动2.5s时也成为平行四边形．
③四边形PAQC、四边形PDQB其实也可能成为平行四边形，其中，PDQB是错误的，四边形PAQC成为平行四边形时是7秒．
故答案为6秒、2.5秒、7秒．
20. 在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（没有与点E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（没有与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．
【正确答案】（1）10°．（2）∠EFD=（∠C﹣∠B），证明见解析；（3）∠EFD=（∠C﹣∠B）
【分析】
【分析】（1）由三角形内角和定理先求出∠BAC=100°，再根据AE平分∠BAC，可得∠BAE=50°，根据三角形的外角性质可得∠AEC=80°，再根据直角三角形两锐角互余即可求得∠EFD的度数；
（2）根据三角形的外角的性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，然后根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠EFD的度数；
（3）根据（2）可以得到∠AEC=90°+（∠B-∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】（1）∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=50°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，
在Rt△ADE中，∠EFD=90°﹣80°=10°；
（2）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=（180°-∠B-∠C）=90°﹣（∠C+∠B），
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°﹣（∠C+∠B）=90°+（∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C），
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）；
（3）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由如下：
如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=（180°-∠B-∠C），
∵∠DEF为△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+（180°-∠B-∠C）=90°+（∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）．
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角等于没有相邻两个内角的和是解题的关键.
21. 如图1，已知□ABCD，AB//x轴，AB=6，点A的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3,4），点B在第四象限，点P是□ABCD边上的一个动点．
（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标；
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标；
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）．
【正确答案】（1）点P的坐标为（3,4）；（2）点P的坐标为（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）；（3）点P的坐标为（2，-4）或（，3）或（，4）或（，4）.
【分析】（1）点P在BC上，要使PD=CD，只有P与C重合；
（2）首先要分点P在边AB，AD上时讨论，根据“点P关于坐标轴对称的点Q”，即还要细分“点P关于x轴的对称点Q和点P关于y轴的对称点Q”讨论，根据关于x轴、y轴对称点的特征（关于x轴对称时，点的横坐标没有变，纵坐标变成相反数；关于y轴对称时，相反；）将得到的点Q的坐标代入直线y=x-1，即可解答；
（3）在没有同边上，根据图象，点M翻折后，点M’落在x轴还是y轴，可运用相似求解．
【详解】解：（1）∵CD=6，∴点P与点C重合，∴点P的坐标是（3，4）．
（2）①当点P在边AD上时，由已知得，直线AD的函数表达式为： ，设P（a，-2a-2），且-3≤a≤1．
若点P关于x轴对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x-1上，∴2a+2=a-1，解得a=-3，此时P（-3，4）．
若点P关于y轴对称点Q2（-a，-2a-2）在直线y=x-1上，∴-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1，0）．
②当点P在边AB上时，设P（a，-4），且1≤a≤7．
若点P关于x轴对称点Q3（a，4）在直线y=x-1上，∴4=a-1，解得a=5，此时P（5，-4）．
若点P关于y轴对称点Q4（-a，-4）在直线y=x-1上，∴-4=-a-1，解得a=3，此时P（3，-4）．
综上所述，点P的坐标为（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）．
（3）因为直线AD为y=-2x-2，所以G（0，-2）．
①如图，当点P在CD边上时，可设P（m，4），且-3≤m≤3，则可得M′P=PM=4+2=6，M′G=GM=|m|，易证得△OGM′∽△HM′P，则，即，则OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，解得m=-或 ，则P（ -，4）或（ ，4）；
②如下图，当点P在AD边上时，设P（m，-2m-2），则PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|，易证得△OGM′∽△HM′P，则，即，则OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，整理得m= -，则P（-，3）；
如下图，当点P在AB边上时，设P（m，-4），此时M′在y轴上，则四边形PM′GM是正方形，所以GM=PM=4-2=2，则P（2，-4）．
综上所述，点P的坐标为（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）．
2022-2023学年广西省桂林市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，最小的数是( )
A. 0 B. 3 C. -3 D. -2
2. 下列计算中正确的是( )
A. · B. C. D. ·
3. 实数的值在（ ）
A 0与1之间 B. 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间
4. 如图，将一块含有60°角直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠2=50°，那么∠1的度数为（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
5. 没有等式组解集在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
6. 某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球
7. 一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是（ ）
A. 3，3，0.4 B. 2，3，2 C. 3，2，0.4 D. 3，3，2
8. 在下列中，必然是( )
A. 在足球赛中，弱队战胜强队 B. 任意画一个三角形，其内角和是360°
C. 抛掷一枚硬币，落地后反面朝上 D. 通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
9. 某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（ ）
A. 8 B. 20 C. 36 D. 18
10. 如图，正方形的边长为2，动点从点出发，在正方形的边上沿的方向运动到点停止，设点的运动路程为，在下列图象中，能表示的面积关于的函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 某市2018年初中毕业生人数约为43000人，数据43000用科学记数法表示为_________.
12. 分解因式：2x2﹣8=_______
13. 互联网“”经营已成为大众创业新途径，某平台上一件商品标价为200元，按标价五折，仍可获利20元，则这件商品的进价为_____元．
14. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号）
15. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．
16. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为_______．
三、解 答 题：（本大题共9个小题，共72分）.
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 为了提高科技创新意识，我市某中学在“2016年科技节”中举行科技比赛，包括“航模”、“机器人”、“环保”、“建模”四个类别（每个学生只能参加一个类别的比赛），各类别参赛人数统计如图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）全体参赛的学生共有 人，“建模”在扇形统计图中的圆心角是 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在比赛结果中，获得“环保”类一等奖的学生为1名男生和2名女生，获得“建模”类一等奖的学生为1名男生和1名女生，现从这两类获得一等奖的学生中各随机选取1名学生参加市级“环保建模”考察，问选取的两人中恰为1男生1女生的概率是多少？
19. 证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了没有完整的已知和求证．
已知：如图，，点P在OC上，_________
求证：________，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
20. 早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车的速度是步行速度的3倍．求小明步行的速度(单位：米/分钟)是多少.
21. 如图，函数的图象与反比例的图象相交于A（-2，1），B（，-2）两点.
(1)求反比例函数和函数的解析式；
(2) 求△ABO的面积.
22. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
23. 某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家购买这种新型产品没有超过10件时，每件按3000元；若购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的单价均降低10元，但单价均没有低于2600元．
（1）商家购买这种产品多少件时，单价恰好为2600元？
（2）设商家购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）该公司的人员发现：当商家购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将单价调整为多少元？（其它条件没有变）
24. 如图，四边形ABCD为正方形，点E在边 AB上，点F在AB的延长线上，点G在边AD上，且EF=AB，DG=AE，连接DE、FG相交于点H.
(1)若，如图(1)，求∠EHF的度数（提示：连接CG，CF）；
(2)若，如图(2)，求tan∠EHF值．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）求点A的坐标及直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的值为时，求抛物线的函数表达式．
2022-2023学年广西省桂林市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，最小的数是( )
A. 0 B. 3 C. -3 D. -2
【正确答案】C
【详解】分析：根据有理数大小比较的法则依次判断即可：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，值大的其值反而小．
详解：根据有理数大小比较的法则可直接判断出：﹣3＜﹣2＜0＜3，即C＜D＜A＜B．
故选C．
点睛：本题考查了有理数大小比较的法则，解题的关键是牢记法则，此题比较简单，易于掌握．
2. 下列计算中正确的是( )
A. · B. C. D. ·
【正确答案】D
【详解】分析：原式各项计算得到结果，即可作出判断．
详解：A．原式=a3，没有符合题意；
B．原式=2a6，没有符合题意；
C．原式=2a6，没有符合题意；
D．原式=2a2，符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了幂混合运算以及单项式除以单项式，熟练掌握公式及法则是解答本题的关键．
3. 实数的值在（ ）
A. 0与1之间 B. 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间
【正确答案】B
【分析】直接利用二次根式的估算，的值在1和，即可得出结果．
【详解】解：∵1＜＜，
∴实数的值在1与2之间．
故选：B．
此题主要考查了估算无理数大小，正确得出接近的有理数是解题关键．
4. 如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠2=50°，那么∠1的度数为（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
【正确答案】A
【详解】如图，过E作EF∥直线a，则EF∥直线b，
∴∠3=∠1，∠4=∠2，
∴∠1=60°﹣∠2=10°，
故选A．
5. 没有等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：分别求出各没有等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
详解：，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜2，
故没有等式组的解集为：﹣2≤x＜2．
在数轴上表示为：
．
故选B．
点睛：本题考查的是解一元没有等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找没有到”的原则是解答此题的关键．
6. 某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球
【正确答案】C
【详解】试题分析：由几何体的主视图、左视图可得该几何体是一个放倒的圆柱，故答案选C.
考点：根据三视图判定几何体.
7. 一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是（ ）
A. 3，3，0.4 B. 2，3，2 C. 3，2，0.4 D. 3，3，2
【正确答案】A
【详解】试题分析：依题意得：，解得：x＝3，把原数据由小到大排列为：2，3，3，3，4，所以中位数为3，众数为3，方差为：（1＋0＋1＋0＋0）＝0.4，故答案选A.
考点：中位数；众数；方差.
8. 在下列中，必然是( )
A. 在足球赛中，弱队战胜强队 B. 任意画一个三角形，其内角和是360°
C. 抛掷一枚硬币，落地后反面朝上 D. 通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
【正确答案】D
【详解】分析：根据必然的概念（必然指在一定条件下一定发生的）可判断正确答案．
详解：A．在足球赛中，弱队战胜强队，是随机；
B．任意画一个三角形，其内角和是360°，是没有可能；
C．抛掷一枚硬币，落地后反面朝上，随机；
D．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰，是必然．
故选D．
点睛：本题主要考查了必然，解决本题需要正确理解必然、没有可能、随机的概念．必然指在一定条件下一定发生的；没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的；没有确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能没有发生的．
9. 某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（ ）
A. 8 B. 20 C. 36 D. 18
【正确答案】B
【详解】试题解析：根据题意列方程得
100×（1-x%）2=100-36
解得x1=20，x2=180（没有符合题意，舍去）．
故选B．
本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
10. 如图，正方形的边长为2，动点从点出发，在正方形的边上沿的方向运动到点停止，设点的运动路程为，在下列图象中，能表示的面积关于的函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】分、两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【详解】解：当时，如图，
则，为常数；
当时，如下图，
则，为函数；
故选：D．
本题考查了动点函数图象问题，在图象中应注意自变量的取值范围，注意分类讨论．
二、填 空 题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 某市2018年初中毕业生人数约为43000人，数据43000用科学记数法表示为_________.
【正确答案】4.3×104
【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
详解：43000用科学记数法表示为4.3×104．
故答案为4.3×104．
点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 分解因式：2x2﹣8=_______
【正确答案】2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
13. 互联网“”经营已成为大众创业新途径，某平台上一件商品标价为200元，按标价的五折，仍可获利20元，则这件商品的进价为_____元．
【正确答案】80
【分析】设该商品的进价为x元，根据售价﹣进价=利润，即可得出关于x的一元方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该商品的进价为x元，根据题意得：
200×0.5﹣x=20，
解得：x=80．
故答案为80．
本题考查了一元方程的应用，根据售价﹣进价=利润，列出关于x的一元方程是解题的关键．
14. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号）
【正确答案】米
【分析】设，利用正切的定义以及角的正切值，表示出和，然后求解即可．
【详解】解：设米
在中，，则
在中，，则
，即，解得
即米
故答案为米
本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以及角的正切值．
15. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．
【正确答案】6
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17，
设内切圆半径为r，由面积法
r= 3（步），即直径为6步，
故6．
考点：三角形的内切圆与内心．
16. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为_______．
【正确答案】2.
【分析】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．先证明△ACD为直角三角形，证△ABC∽△CHD，即可得解.
【详解】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
又CD＝10，DA＝，
可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，
易证△ABC∽△CHD，
则CH＝6，DH＝8，
∴BD＝．
考点：相似三角形判定及性质；勾股定理.
三、解 答 题：（本大题共9个小题，共72分）.
17. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】9xy，9．
【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可．
【详解】解：
当
上式
本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键．
18. 为了提高科技创新意识，我市某中学在“2016年科技节”中举行科技比赛，包括“航模”、“机器人”、“环保”、“建模”四个类别（每个学生只能参加一个类别的比赛），各类别参赛人数统计如图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）全体参赛的学生共有 人，“建模”在扇形统计图中的圆心角是 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在比赛结果中，获得“环保”类一等奖学生为1名男生和2名女生，获得“建模”类一等奖的学生为1名男生和1名女生，现从这两类获得一等奖的学生中各随机选取1名学生参加市级“环保建模”考察，问选取的两人中恰为1男生1女生的概率是多少？
【正确答案】（1）60，72；（2）详见解析；（3）.
【分析】（1）由“航模”人数及其所占百分比可得总人数，用“建模”所占百分比乘以360°可得其对应圆心角度数；
（2）用总人数乘以“环保”类百分比可得其人数，用总人数减去其它三个类型的人数可得“建模”人数，即可补全条形图；
（3）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选取的两人中恰为1男生1女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）全体参赛的学生有：15÷25%=60（人），
“建模”在扇形统计图中的圆心角是（1﹣25%﹣30%﹣25%）×360°=72°；
（2）“环保”类人数为：60×25%=15（人），
“建模”类人数为：60﹣15﹣18﹣15=12（人），补全条形图如图：
（3）画树状图如图：
∵共有6种等可能结果，其中两人中恰为1男生1女生的有3种结果，
∴选取的两人中恰为1男生1女生的概率是：．
19. 证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了没有完整的已知和求证．
已知：如图，，点P在OC上，_________
求证：________，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
【正确答案】PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；PD＝PE．证明过程见解析
【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO≌△PEO，由全等三角形的性质可得结论．
【详解】解：已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD＝PE．
故PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；PD＝PE．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°．
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS）．
∴PD＝PE．
本题主要考查了命题与证明，准确判断命题的条件与结论并根据题意画出图形，并能用符号写出已知、求证及证明过程是解答此题的关键．
20. 早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车的速度是步行速度的3倍．求小明步行的速度(单位：米/分钟)是多少.
【正确答案】小明步行的速度为60米/分钟.
【详解】分析：（1）设小明步行的速度是x米/分，根据题意可得等量关系：小明步行回家的时间=骑车返回时间+10分钟，根据等量关系列出方程即可．
详解：设小明步行的速度是x米/分，由题意得：
解得：x=60，经检验：x=60是原分式方程的解．
答：小明步行的速度是60米/分．
点睛：本题主要考查了分式方程应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
21. 如图，函数的图象与反比例的图象相交于A（-2，1），B（，-2）两点.
(1)求反比例函数和函数的解析式；
(2) 求△ABO的面积.
【正确答案】（1）；（2）1.5．
【详解】分析：（1）把A（﹣2，1）代入求出反比例函数的解析式，代入求出A的坐标，把A、B的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，根据三角形的面积公式求出即可．
详解：（1）把A（﹣2，1）代入反比例函数y=得：m=﹣2×1=﹣2，∴反比例函数为y=﹣．
∵点（n，-2）在反比例函数上，∴n=1，∴B（1，﹣2），把A（﹣2，1），B（1，﹣2）代入得：，解得：k=﹣1，b=﹣1，∴函数的解析式为y=﹣x﹣1．
（2）设直线AB和x轴的交点为C，令y=0，则0=﹣x﹣1，∴x=﹣1，∴C（﹣1，0），∴OC=1，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=1.5．
点睛：本题主要考查对函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，解一元方程，解二元方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解答此题的关键．
22. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【正确答案】（1）直线BC与⊙O相切，证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．
【详解】解：（1）BC与⊙O相切．理由如下：
连接OD．∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD．
∵OD=OA
∴∠OAD=∠ODA
∴∠CAD=∠ODA
∴OD∥AC
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切；
（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2．
根据勾股定理得：，
即，
解得：x=2，即OD=OF=2
∴OB=2+2=4．
Rt△ODB中
∵OD=OB
∴∠B=30°
∴∠DOB=60°
∴S扇形DOF==
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF==．
故阴影部分的面积为．
23. 某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家购买这种新型产品没有超过10件时，每件按3000元；若购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的单价均降低10元，但单价均没有低于2600元．
（1）商家购买这种产品多少件时，单价恰好为2600元？
（2）设商家购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）该公司的人员发现：当商家购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将单价调整为多少元？（其它条件没有变）
【正确答案】(1) 商家购买这种产品50件时，单价恰好为2600元；(2) 当0≤x≤10时，y=600x；当10＜x≤50时，y =-10x2+700x；当x＞50时，y =200x；(3) 公司应将单价调整为2750元．
【详解】（1）设商家购买该产品x件时，单价恰好为2600元，
由3000-10（x-10）=2600，
解得x=50，
则商家购买该种商品50件时，单价恰好为2600元.
（2）当时，y=（3000-2400）x=600x（x为整数）；
当时，y=x［3000-10（x-10）-2400］=-10x2+700x（x为整数）；
当x>50时，y=（2600-2400）x=200x（x为整数）.
（3）因为要满足购买的数量越多，所获的利润越大，所以y应随x的增大而增大，而y=600x和y=200x均是y随着x的增大而增大；
二次函数y=-10x2+700x=-10（x-35）2+12250中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，因此x的取值范围只能为，而购买的数量为35件时的单价恰好为单价.当x=35时，单价为3000-10（35-10）=2750（元），即公司应将单价调整为2750元.
考点：二次函数的应用．
24. 如图，四边形ABCD为正方形，点E在边 AB上，点F在AB的延长线上，点G在边AD上，且EF=AB，DG=AE，连接DE、FG相交于点H.
(1)若，如图(1)，求∠EHF的度数（提示：连接CG，CF）；
(2)若，如图(2)，求tan∠EHF的值．
【正确答案】（1）45°；（2）
【详解】分析：（1）连接FC和CG（如图1），先证明△AED≌△DGC，同理△FBC≌△EAD，再证明△GFC是等腰直角三角形即可．
（2）如图2，过点F作FM∥ED交CD于M，连接GM，先证明△DGM∽△AED，得∠ADE=∠DMG，==，再证明△FMG是直角三角形即可．
详解：（1）连接FC和CG（如图1）．
∵四边形ABCD为正方形，AE=BF=GD，∴AB=BC=DC=AD，∠A=∠ABC=∠FBC=∠CDG=90°．在△EAD和△GDC中，，∴△AED≌△DGC（SAS），同理△FBC≌△EAD，∴CF=GC，∠AED=∠BFC，∠BCF=∠DCG，∴ED∥FC，∴∠EHF=∠GFC．
又∵∠BCD=90°=∠BCG+∠GCD=∠BCG+∠BCF=∠GCF，∴△GCF是等腰直角三角形，∴∠GFC=∠FGC=45°，∴∠EHF=45°；
（2）如图2，过点F作FM∥ED交CD于M，连接GM．
∵正方形ABCD中，AB∥CD，∴四边形EFMD为平行四边形，∴EF=DM，DE=FM，∴∠3=∠4，∠EHF=∠HFM=α．
∵EF=CD，GD=AE，∴．
∵∠A=∠GDM=90°，∴△DGM∽△AED，∴∠ADE=∠DMG，==
∵∠DMG+∠MGD=90°，∴∠ADE+∠DGM=90°，∴GM⊥DE．
∵ED∥FM，∴GM⊥FM，∠EHF=∠GFM，∴tan∠GFM===．
点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）求点A的坐标及直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的值为时，求抛物线的函数表达式．
【正确答案】（1）A（－1，0），y＝ax＋a；（2）y＝x2－x－．
【详解】分析：（1）由抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．
（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE=S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可．
详解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x1=﹣1，x2=3．
∵点A在点B左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，∴=．
∵CD=4AC，∴==4．
∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得：y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得：，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．
（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a），∴HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，由，得x=﹣1或x=4，即点D的横坐标为4，∴S△ADE=S△AEH+S△DEH=（﹣ax2+3ax+4a）=﹣a（x﹣）2+a，∴△ADE的面积的值为a，∴a=，解得：a=，∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣x﹣．
点睛：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．
2022-2023学年广西省桂林市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（本大题有 8个小题，每小题 3 分, 共 24 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1. 若a，b互为相反数，则下面四个等式中一定成立的是（ ）
A. a+b=0 B. a+b=1 C. |a|+|b|=0 D. |a|+b=0
2. 在一个没有透明袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 学校准备从甲、乙、丙、丁四个科技创新小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
1
1.2
1
1.8
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4. 如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB＝20米，AC＝30米，∠A＝150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（ ）
A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元
5. 某星期下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校.图中表示小强离开家的路程y(公里)和所用的时间x(分)之间的函数关系．下列说法错误的是（ ）
A. 小强从家到公共汽车在步行了2公里 B. 小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C. 公共汽车的平均速度是30公里/小时 D. 小强乘公共汽车用了20分钟
6. 如图，矩形ABCD顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是弧AF的三等分点（弧AG＞弧GF)，BG交AF于点H．若弧AB的度数为30°，则∠GHF等于( )
A. 40° B. 45° C. 55° D. 80°
7. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是
A. a＞0 B. 3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C. a+b+c=0 D. 当x＜1时，y随x的增大而减小
8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落斜边上，且与重合，则等于（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（共5小题；共15分）
9. 分解因式： ________
10. 如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________.
11. 如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=________度．
12. 反比例函数图象点P（﹣1，2），则此反比例函数的解析式为________．
13. 如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是________．
三、解 答 题（共8题；共81分）
14. 计算：
15. 某超市经营的杂粮食物盒有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如下表所示，其中A型盒子正做促销：性购买三个及以上可返现8元．
型号
A
B
单个盒子的容量/升
4
6
单价/元
10
12
（1）张芳、王楠两人结伴去购物，请你根据两人的对话，判断怎样买最：
张芳：“A型盒子有促销，我正好买几个装大米用，我买4个正好够用．”
王楠：“嗯，我也买几个，没有过，我家得需要5个．”
张芳：“走，结账去．”
王楠：“等等，咱俩合计一下，怎么买最…”
（2）小红和妈妈也来买盒子，下面是两人的对话：
妈妈：“这些盒子没有错，买5个B型让孩子恰好能把咱家30升的小米都装上”
小红：“可是B型盒子没有，咱可以两种盒子搭配着买，既能每个盒子都装满，还能”
①设小红需要买A型号的盒子x个，性购买盒子的总费用为y元，求y与x的函数关系式；
②当x=3时，求小红和妈妈当天性购买盒子的总费用．
16. 电视节目“奔跑吧兄弟”播出后深受中小学生的喜爱，小刚想知道大家最喜欢哪位“兄弟”，于是在本校随机抽取了一部分学生进行抽查（每人只能选一个自己最喜欢的“兄弟”），将结果进行了整理后绘制成如图两幅没有完整的统计图，请图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次被学生有多少人．
（2）将两幅统计图补充完整．
（3）若小刚所在学校有2000名学生，请根据图中信息，估计全校喜欢“Angelababy”的人数．
（4）若从3名喜欢“李晨”的学生和2名喜欢“Angelababy”的学生中随机抽取两人参加文体，则两人都是喜欢“李晨”的学生的概率是________．
17. 如图，两座建筑物的水平距离，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，求这两座建筑物的高度.
18. 为了尽快的适应中招体考项目，现某校初二（1）班班委会准备筹集1800元购买A、B两种类型跳绳供班级集体使用．
（1）班委会决定，购买A种跳绳的资金没有少于B种跳绳资金的2倍，问至多用多少资金购买B种跳绳？
（2）经初步统计，初二（1）班有25人自愿参与购买，那么平均每生需交72元．初三（1）班了解情况后，把体考后闲置的跳绳奉送了若干给初二（1）班，这样只需班级共筹集1350元．经初二（1）班班委会进一步宣传，自愿参与购买的学生在25人的基础上增加了4a%．则每生平均交费在72元基础上减少了2.5a%，求a的值．
19. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
20. 在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（没有与点E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（没有与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．
21. 如图1，已知□ABCD，AB//x轴，AB=6，点A的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3,4），点B在第四象限，点P是□ABCD边上的一个动点．
（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标；
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标；
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）．
2022-2023学年广西省桂林市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（本大题有 8个小题，每小题 3 分, 共 24 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1. 若a，b互为相反数，则下面四个等式中一定成立的是（ ）
A. a+b=0 B. a+b=1 C. |a|+|b|=0 D. |a|+b=0
【正确答案】A
【详解】，互为相反数 ，易选B.
2. 在一个没有透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：先求出球的所有个数，再根据概率公式解答即可．
详解：∵袋子中装有4个红球和3个黑球，
∴共有7个球，其中4个红球，
∴从口袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是.
故选B.
点睛：根据随机概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
3. 学校准备从甲、乙、丙、丁四个科技创新小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
1
1.2
1
1.8
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【正确答案】C
【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
【详解】因为乙组、丙组平均数比甲组、丁组大，
而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故选：C．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．
4. 如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB＝20米，AC＝30米，∠A＝150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（ ）
A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元
【正确答案】C
【详解】如图，过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴S△ABC=AB×CD÷2=×20×15÷2=150m2，
∵草皮的售价为a元/米2，
∴购买这种草皮的价格：150a元．
故选C．
5. 某星期下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校.图中表示小强离开家的路程y(公里)和所用的时间x(分)之间的函数关系．下列说法错误的是（ ）
A. 小强从家到公共汽车在步行了2公里 B. 小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C. 公共汽车的平均速度是30公里/小时 D. 小强乘公共汽车用了20分钟
【正确答案】D
【分析】根据函数图象及速度、时间、路程的关系依次判断即可得．
【详解】解：根据图象可得：
小强从家到公共汽车步行了2公里，A选项正确；
，小强在公共汽车站等小明用了10分钟，B选项正确；
路程为17-2=15，时间为60-30=30，30分钟=0.5小时，
∴速度为：公里/小时，C选项正确；
60-30=30分钟，小强乘公共汽车用了30分钟，选项D错误；
故选：D．
题目主要考查根据函数图象获取信息，理解题意，图象求解是解题关键．
6. 如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是弧AF的三等分点（弧AG＞弧GF)，BG交AF于点H．若弧AB的度数为30°，则∠GHF等于( )
A. 40° B. 45° C. 55° D. 80°
【正确答案】A
【详解】【分析】连接BF，取BF中点O，连接OA、OG，根据90度的圆周角所对的弦是直径可得BF为⊙O的直径，再根据的度数是30°，可知的度数为150°，继而由已知G是的三等分点（)，可得到∠ABG =50°，从而即可得到∠GHF的度数.
【详解】连接BF，取BF中点O，连接OA、OG，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∴BF为⊙O的直径，
∵的度数是30°，∴的度数为150°，
∵G是的三等分点（)，
∴∠FOG=50°，∠AOG=100°，
∴∠ABG=∠AOG=50°，
∴∠AHB=90°-∠ABG=40°，
∴∠GHF=∠AHB=40°，
故选A.
本题考查了矩形的性质，90度角所对的弦是直径，圆周角定理等，正确添加辅助线，知道弧的度数与弧所对的圆心角的度数一样是解题的关键.
7. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是
A. a＞0 B. 3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C. a+b+c=0 D. 当x＜1时，y随x的增大而减小
【正确答案】B
【详解】试题分析：A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误；
B、根据对称轴为x=1，一个交点坐标为（﹣1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0），因此3是方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项正确；
C、把x=1代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中得：y=a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误；
D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误．
故选B．
8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x，在Rt△DEB中利用勾股定理解决．
【详解】解：在Rt△ABC中
∵AC＝6，BC＝8
∴AB＝=＝10
∵△ADE是由△ACD翻折
∴AC＝AE＝6，EB＝AB−AE＝10−6＝4
设CD＝DE＝x
在Rt△DEB中
∵
∴
∴x＝3
∴CD＝3
故B．
本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折没有变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．
二、填 空 题（共5小题；共15分）
9. 分解因式： ________
【正确答案】（x-2）(x+2)
【详解】【分析】直接利用平方差公式进行分解即可.
【详解】x2-4
=x2-22
=(x+2)(x-2)，
故答案（x+2）(x-2).
本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键.
10. 如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________.
【正确答案】x=0或x=4-4 或4＜x<4
【详解】以MN为底边时，可作MN的垂直平分线，与OB的必有一个交点P1 ，且MN=4，以M为圆心MN为半径画圆，以N为圆心MN为半径画圆，①如下图，当M与点O重合时，即x=0时，除了P1 ，当MN=MP，即为P3；当NP=MN时，即为P2；
只有3个点P；
②当0＜x＜4时，如下图，圆N与OB相切时，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此时MP3=4，则OM=ON-MN= NP2-4= ．
③因为MN=4，所以当x>0时，MN＜ON，则MN=NP没有存在，除了P1外，当MP=MN=4时，过点M作MD⊥OB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3，P3没有能与M,N构成三角形，故舍去，所以x=4没有满足题意；
当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM=MD=，故4≤x＜．
与OB有两个交点P2和P3，故答案为x=0或x=或4＜x＜．
考点：相交两圆的性质；分类讨论；综合题．
11. 如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=________度．
【正确答案】144
【分析】根据在同圆中等弧对的圆心角相等进行分析即可．
【详解】∵弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，
∴弧ABC：弧AmC=6：4，
∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4=144°，
故答案144．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆中等弧对的圆心角相等，一个周角为360度是解题的关键．
12. 反比例函数的图象点P（﹣1，2），则此反比例函数的解析式为________．
【正确答案】
【分析】设反比例函数的解析式为 ，由已知把（-1，2）代入解析式求得k的值，即可求出解析式．
【详解】设反比例函数的解析式为 ，
把（-1，2）代入则有，
解得：k=-2，
所以反比例函数的解析式为：y=﹣，
故答案为y=﹣．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
13. 如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是________．
【正确答案】①②③
【详解】试题解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在RT△ADE和RT△GDE中，
，
∴△AED≌△GED，故①正确，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，故②正确，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．
∵AE=FG=EG=BG，BE=AE，
∴BE＞AE，
∴AE＜，
∴CB+FG＜1.5，故④错误．
故选B.
三、解 答 题（共8题；共81分）
14. 计算：
【正确答案】
【详解】【分析】按顺序先分别进行值的化简、0次幂的计算、二次根式的化简，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】
=4+1-
=5-.
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则是关键.
15. 某超市经营的杂粮食物盒有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如下表所示，其中A型盒子正做促销：性购买三个及以上可返现8元．
型号
A
B
单个盒子的容量/升
4
6
单价/元
10
12
（1）张芳、王楠两人结伴去购物，请你根据两人的对话，判断怎样买最：
张芳：“A型盒子有促销，我正好买几个装大米用，我买4个正好够用．”
王楠：“嗯，我也买几个，没有过，我家得需要5个．”
张芳：“走，结账去．”
王楠：“等等，咱俩合计一下，怎么买最…”
（2）小红和妈妈也来买盒子，下面是两人的对话：
妈妈：“这些盒子没有错，买5个B型让孩子恰好能把咱家30升的小米都装上”
小红：“可是B型盒子没有，咱可以两种盒子搭配着买，既能每个盒子都装满，还能”
①设小红需要买A型号的盒子x个，性购买盒子的总费用为y元，求y与x的函数关系式；
②当x=3时，求小红和妈妈当天性购买盒子的总费用．
【正确答案】（1）张芳、王楠两人合在一起购买最；（2）①y=2x+60；②总费用为66元．
【详解】【分析】（1）求出张芳、王楠分开单独购买需要花费的钱数，两人合在一起买需要花费的钱数，比较即可得；
（2）①若小红买A型号的盒子x个，则小红需买B型号的盒子数为 个，根据总费用=A型的费用+B型的费用列式即可得；
②把x=3代入①中的函数解析式进行计算即可得.
【详解】（1）若张芳、王楠分开单独购买需4×10﹣8+5×10﹣8=74元，
若张芳、王楠合在一起购买需（4+5）×10﹣8×3=66元，
故张芳、王楠两人合在一起购买最；
（2）①若小红买A型号的盒子x个，则小红需买B型号的盒子数为：即 个，
根据题意，得：y=10x+12×=2x+60，
即y=2x+60；
②当x=3时，y=2×3+60=66元，
故当x=3时，求小红和妈妈当天性购买盒子的总费用为66元．
本题考查了函数的应用，弄清题意，找到题中的数量关系是解题的关键.
16. 电视节目“奔跑吧兄弟”播出后深受中小学生的喜爱，小刚想知道大家最喜欢哪位“兄弟”，于是在本校随机抽取了一部分学生进行抽查（每人只能选一个自己最喜欢的“兄弟”），将结果进行了整理后绘制成如图两幅没有完整的统计图，请图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次被的学生有多少人．
（2）将两幅统计图补充完整．
（3）若小刚所在学校有2000名学生，请根据图中信息，估计全校喜欢“Angelababy”的人数．
（4）若从3名喜欢“李晨”的学生和2名喜欢“Angelababy”的学生中随机抽取两人参加文体，则两人都是喜欢“李晨”的学生的概率是________．
【正确答案】（1）200；（2）补图见解析（3）600人；（4）.
【分析】试题分析：（1）用喜欢“陈赫”的人数除以占的百分比得出被学生总数即可；
（2）求出喜欢“李晨”的人数，找出喜欢“Angelababy”与喜欢“黄晓明”占的百分比，补全统计图即可；
（3）用喜欢“Angelababy”的百分比乘以2000即可得到结果；
（4）列表得出所有等可能的情况数，找出两人都是喜欢“李晨”的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】试题解析：（1）根据题意得：40÷20%=200（人），
则本次被的学生有200人；
（2）喜欢“李晨”的人数为200﹣（40+20+60+30）=50（人），喜欢“Angelababy”的百分比为×=30%，喜欢其他的人有200×15%=30（人），
补全统计图，如图所示：
（3）根据题意得：2000×30%=600（人），
则全校喜欢“Angelababy”的人数为600人；
（4）列表如下：（B表示喜欢“李晨”，D表示喜欢“Angelababy”）
所有等可能的情况有20种，其中两人都是喜欢“李晨”的学生有6种，则P==．
考点：1．列表法与树状图法；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．条形统计图．
17. 如图，两座建筑物的水平距离，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，求这两座建筑物的高度.
【正确答案】两建筑物的高度分别是30和20
【分析】延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC的长即可．
详解】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，
在Rt△AED中，AE＝BC＝30m，∠EAD＝30°，
∴ED＝AEtan30°＝10m，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝30m，
∴AB＝30m，
则CD＝EC﹣ED＝AB﹣ED＝301020m．
此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
18. 为了尽快的适应中招体考项目，现某校初二（1）班班委会准备筹集1800元购买A、B两种类型跳绳供班级集体使用．
（1）班委会决定，购买A种跳绳的资金没有少于B种跳绳资金的2倍，问至多用多少资金购买B种跳绳？
（2）经初步统计，初二（1）班有25人自愿参与购买，那么平均每生需交72元．初三（1）班了解情况后，把体考后闲置的跳绳奉送了若干给初二（1）班，这样只需班级共筹集1350元．经初二（1）班班委会进一步宣传，自愿参与购买的学生在25人的基础上增加了4a%．则每生平均交费在72元基础上减少了2.5a%，求a的值．
【正确答案】（1）至多用600元购买B种跳绳；（2）a的值是25．
【详解】【分析】（1）设购买A种跳绳的为x元，则购买B种跳绳的有（1800-x）元，利用“购买A种跳绳的资金没有少于B种跳绳资金的2倍”，列出没有等式求解即可；
（2）根据“自愿参与购买的学生在25人的基础上增加了4a%，”可得人数为25（1+4a%）．根据“每生平均交费在72元基础上减少了2.5a%”可得每生平均交费：72（1-2.5a%），再根据“只需班级共筹集1350元”，列出方程求解即可．
【详解】（1）设用于购买A种跳绳的为x元，则购买B种跳绳的有（1800﹣x）元，
根据题意得：2（1800﹣x）≤x，
解得：x≥1200，
∴x取得最小值1200时，1800﹣x取得值600，
答：至多用600元购买B种跳绳；
（2）根据题意得：25（1+4a%）×72（1﹣2.5a%）=1350，
令a%=m，
则整理得：40m2﹣6m﹣1=0，
解得：m=或a=﹣（舍去），
∴a=25，
所以a的值是25．
本题考查了一元二次方程的应用及一元没有等式的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关系和没有等关系．
19. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
【正确答案】故答案为6秒、2.5秒、7秒．
【分析】根据题意P，Q和梯形ABCD的两个顶点构成平行四边形，分两种情况讨论：①可以构成四边形PQAD；②可以构成四边形PQBC两种.
【详解】解：①以PQAD构成四边形
设x秒成为平行四边形
根据题意得：
x=24﹣3x
∴x=6
∴当运动6s时成为平行四边形；
②以PQBC构成四边形
设y秒成为平行四边形
根据题意得：
10﹣y=3y
∴y=2.5
∴当运动2.5s时也成为平行四边形．
③四边形PAQC、四边形PDQB其实也可能成为平行四边形，其中，PDQB是错误的，四边形PAQC成为平行四边形时是7秒．
故答案为6秒、2.5秒、7秒．
20. 在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（没有与点E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（没有与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．
【正确答案】（1）10°．（2）∠EFD=（∠C﹣∠B），证明见解析；（3）∠EFD=（∠C﹣∠B）
【分析】
【分析】（1）由三角形内角和定理先求出∠BAC=100°，再根据AE平分∠BAC，可得∠BAE=50°，根据三角形的外角性质可得∠AEC=80°，再根据直角三角形两锐角互余即可求得∠EFD的度数；
（2）根据三角形的外角的性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，然后根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠EFD的度数；
（3）根据（2）可以得到∠AEC=90°+（∠B-∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】（1）∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=50°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，
在Rt△ADE中，∠EFD=90°﹣80°=10°；
（2）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=（180°-∠B-∠C）=90°﹣（∠C+∠B），
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°﹣（∠C+∠B）=90°+（∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C），
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）；
（3）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由如下：
如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=（180°-∠B-∠C），
∵∠DEF为△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+（180°-∠B-∠C）=90°+（∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）．
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角等于没有相邻两个内角的和是解题的关键.
21. 如图1，已知□ABCD，AB//x轴，AB=6，点A的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3,4），点B在第四象限，点P是□ABCD边上的一个动点．
（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标；
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标；
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）．
【正确答案】（1）点P的坐标为（3,4）；（2）点P的坐标为（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）；（3）点P的坐标为（2，-4）或（，3）或（，4）或（，4）.
【分析】（1）点P在BC上，要使PD=CD，只有P与C重合；
（2）首先要分点P在边AB，AD上时讨论，根据“点P关于坐标轴对称的点Q”，即还要细分“点P关于x轴的对称点Q和点P关于y轴的对称点Q”讨论，根据关于x轴、y轴对称点的特征（关于x轴对称时，点的横坐标没有变，纵坐标变成相反数；关于y轴对称时，相反；）将得到的点Q的坐标代入直线y=x-1，即可解答；
（3）在没有同边上，根据图象，点M翻折后，点M’落在x轴还是y轴，可运用相似求解．
【详解】解：（1）∵CD=6，∴点P与点C重合，∴点P的坐标是（3，4）．
（2）①当点P在边AD上时，由已知得，直线AD的函数表达式为： ，设P（a，-2a-2），且-3≤a≤1．
若点P关于x轴对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x-1上，∴2a+2=a-1，解得a=-3，此时P（-3，4）．
若点P关于y轴对称点Q2（-a，-2a-2）在直线y=x-1上，∴-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1，0）．
②当点P在边AB上时，设P（a，-4），且1≤a≤7．
若点P关于x轴对称点Q3（a，4）在直线y=x-1上，∴4=a-1，解得a=5，此时P（5，-4）．
若点P关于y轴对称点Q4（-a，-4）在直线y=x-1上，∴-4=-a-1，解得a=3，此时P（3，-4）．
综上所述，点P的坐标为（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）．
（3）因为直线AD为y=-2x-2，所以G（0，-2）．
①如图，当点P在CD边上时，可设P（m，4），且-3≤m≤3，则可得M′P=PM=4+2=6，M′G=GM=|m|，易证得△OGM′∽△HM′P，则，即，则OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，解得m=-或 ，则P（ -，4）或（ ，4）；
②如下图，当点P在AD边上时，设P（m，-2m-2），则PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|，易证得△OGM′∽△HM′P，则，即，则OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，整理得m= -，则P（-，3）；
如下图，当点P在AB边上时，设P（m，-4），此时M′在y轴上，则四边形PM′GM是正方形，所以GM=PM=4-2=2，则P（2，-4）．
综上所述，点P的坐标为（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）．
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