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高中数学（北师大版）必修一知识点总结
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高一数学必修一（北师大版）知识点总结
第一章:预备知识
² 1 集合
1.1 集合的概念与表示
知识点一 元素与集合
(1)集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．
(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．
知识点二 元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A
a∈A
a属于
集合A
不属
于
如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A
a∉A
a不属于
集合A
知识点三 集合中元素的特性
(1)确定性：一个集合确定后，任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了．
(2)互异性：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复．
(3)无序性：组成集合的元素间无先后顺序之分．
知识点四 常用的数集及其记法
常用的
数集
自然
数集
正整
数集
整数
集
有理
数集
实数
集
正实
数集
符号
N
N＋(N*)
Z
Q
R
R＋
知识点四 集合的表示
(1)列举法(2)描述法
按集合中的元素个数分类，不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅；含有有限个元素的集合叫作有限集；含有无限个元素的集合叫作无限集．
知识点五 区间概念
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a
(a，b)
{x|a≤x
闭区间
[a，b)
{x|a
闭区间
(a，b]
定
义
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x
符
号
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，
a)
(－∞，
＋∞)
1.2 集合的基本关系
知识点一 Venn图
用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图
概念
定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A中任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集
A⊆B(或B⊇A)读作：A包含于B(或B包含A)
或
概念
定义
符号表示
图形表示
集合
相等
如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等
A＝B⇔A⊆B且B⊆A
真子
集
如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集
AB(或BA)读作：A真包含于B(或B真包含A)
知识点三 子集的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.
(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A.
(3)若A≠∅，则∅A.
(4)若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C.
1.3 集合的基本运算
知识点一 交集
(1)交集的概念
(2)交集的运算性质
性质
说明
A∩B＝B∩A
满足交换律
A∩B⊆A
A∩B⊆B
交集是本身的子集
A∩A＝A
集合与本身的交集仍为集合本身
A∩∅＝∅
空集与任何集合的交集都为空集
知识点二 并集
1)并集的概念
(2)并集的运算性质
性质
说明
A∪B＝B∪A
满足交换律
A⊆A∪B
B⊆A∪B
集合本身是并集的子集
A∪A＝A
集合与本身的并集仍为集合本身
A∪∅＝A
任何集合与空集的并集仍为集合本身
知识点三 全集和补集
(1)概念：在研究某些集合时，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集．
(2)记法：常用符号U表示．
知识点三 补集的运算性质
性质
说明
A∪∁UA＝U
集合A与A的补集的并集是全集
A∩∁UA＝∅
集合A与A的补集的交集是空集
∁U(∁UA)＝A
集合的补集的补集是集合本身
∁UU＝∅，
∁U∅＝U
全集的补集是空集，空集的补集是全集
² 2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
知识点一 必要条件与充分条件
命题
真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出
关系
p⇒q
pq
条件
关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
知识点二 判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
知识点三 充要条件
(1)定义：如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.
(2)条件与结论的等价性：p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”．
(3)概括：如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
知识点二 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
2.2 全称量词与存在量词
知识点一 全称量词与全称量词命题
(1)全称量词：短语“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”．
(2)全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．
(3)符号表示：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
知识点二 存在量词与存在量词命题
(1)存在量词：短语“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”．
(2)存在量词命题：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．
(3)符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为：∃x∈M，p(x)．
知识点三 全称量词命题的否定
全称量词命题p
p的否定
结论
∀x∈M，x具有性质p(x)
∃x∈M，x不具有性质p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
知识点二 存在量词命题的否定
存在量词命题p
p的否定
结论
∃x∈M，x具有性质p(x)
∀x∈M，x不具有性质p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
知识点三 判断命题的否定的真假
当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题．
² 3不等式
3.1不等式的性质
知识点一 比较两个实数a，b大小的依据
知识点二 不等式的性质
性质1：a>b，b>c⇒a>c(传递性)
性质2：a>b⇒a＋c>b＋c(同加保序性)
性质3：①⇒ac>bc(乘正保序性)
②⇒ac
性质5：①⇒ac>bd(正数同向相乘保序性)
②⇒ac
性质6：a>b>0⇒>(n∈N＋，n≥2)(非负开方保序性)
3.2基本不等式
知识点 基本不等式
(1)如果a≥0，b≥0，≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值．
两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．
(2)变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
知识点 用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，则
(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
² 4一元二次函数与一元二次不等式
4.1一元二次函数
知识点一 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象
一元二次函数的图象叫作抛物线，一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到．
知识点二 一元二次函数的性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
图象
a>0
a<0
开口方向
向上
向下
对称轴
x＝－
顶点坐标
最值
当x＝－时，
y有最小值
当x＝－时，
y有最大值
增减性
在对称
轴左侧
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
在对称
轴右侧
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
4.2一元二次不等式及其解法
知识点一 一元二次不等式的概念
(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式．
(2)一元二次不等式的表达式是：ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0，其中a，b，c均为常数，且a≠0.
(3)一元二次不等式的解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
知识点二 一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根(x1
无实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|x>x2或x
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1
∅
4.3一元二次不等式的应用
知识点一 一元二次不等式的实际应用
与一元二次不等式有关的实际应用问题，经常涉及物价、路程、产值、环保等最值问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确立相应的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答．操作步骤如下：
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
知识点二 一元二次不等式恒成立中的常用结论
(1)在R上恒成立问题．
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔
(2)在给定区间上的恒成立问题．
结论1：若f(x)＝ax2＋bx＋c>0(a>0)在{x|m≤x≤n}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac<0或或
若在{x|x≤m}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac<0
或
若在{x|x≥n}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac<0或
结论2：f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在{x|m≤x≤n}上恒成立⇒
第二章 函数
² 1 生活中的变量关系
知识点 依赖关系和函数关系
依赖关系
函数关系
在某变化过程中，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化
在某变化过程中，如果变量具有依赖关系，对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应
² 2 函数
2.1 函数的概念
知识点一 函数的概念
定义
给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
函数的定义域
集合A称为函数的定义域
函数的自变量
x称为自变量
函数的值域
集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域
知识点二 同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
知识点三 函数值
在函数y＝f(x)，x∈A中，与x值对应的y值称为函数值；用f(a)表示函数f(x)当x＝a时的函数值．
已知函数的解析式，求函数的定义域
(1)本质：求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围．
(2)常见题型
①如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
②如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
③如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
④y＝x0要求x≠0.
⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．
⑥对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．
由解析式判断两个函数f(x)与g(x)是否是同一个函数的步骤
2.2 函数的表示法
知识点一 函数的表示方法
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
知识点二 函数三种表示法的优缺点
表示
方法
优点
缺点
解析法
(1)简明、全面地概括了变量间的关系，从“数”的方面揭示了函数关系；
(2)可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值
不够形象、直观，而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来
图象法
能形象直观地表示出函数的变化情况
只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大
列表法
不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
只能表示有限个数值之间的函数关系
知识点三 分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．
求函数解析式的常用方法
(1)代入法：直接代入．
(2)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．
(3)换元法：在题中，也可令t＝g(x)，再求出f(t)的解析式，然后用x代替两边所有的t即可．
(4)方程组法(又称“消去法”)：已知f(x)与f(φ(x))满足的关系式，要求f(x)时，可用φ(x)代替两边的所有的x，得到关于f(x)及f(φ(x))的方程组，解之即可求出f(x)．
(5)待定系数法：若已知函数类型，可用待定系数法求解．若f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，若f(x)是二次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出待定系数的方程组，进而求出待定的系数．
1.求分段函数函数值的方法
先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入到不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
² 3 函数的单调性和最值
知识点一 函数的单调性
前提
条件
设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D
条件
∀x1，x2∈I，x1
图示
结论
f(x)在区间I上单调递增
f(x)在区间I上单调递减
特殊
情况
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，就称函数y＝f(x)是增函数
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，就称函数y＝f(x)是减函数
知识点二 函数的单调性与单调区间
函数y＝f(x)在区间I上是单调递增
函数y＝f(x)在区间I上是单调递减
I为y＝f(x)的增区间
I为y＝f(x)的减区间
函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间
利用定义证明函数单调性的步骤
1.利用单调性比较大小的方法
利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．
2．利用单调性解不等式的方法
利用函数的单调性解不等式，实质上是单调性的逆用，即由函数值的大小得到自变量的大小．若f(x)单调递增，则当f(x1)＜f(x2)时，x1＜x2，当f(x1)＞f(x2)时，x1＞x2.若f(x)单调递减，则当f(x1)＜f(x2)时，x1＞x2，当f(x1)＞f(x2)时，x1＜x2.值得注意的是求解时不要忘了函数的定义域对参数的限制．
3．利用单调性求参数范围的方法
(1)已知单调性求参数时，视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)借助常见函数的单调性确定参数的取值．
知识点三 函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值统称为最值．
1.用图象法求最值的三个步骤
2．求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
(5)不等式法：针对解析式中典型的式子(如x2，)的特殊范围(如x2≥0，≥0)，利用不等式的性质逐步推出函数的值域．
(6)判别式法：对于典型的分式函数，去分母可以整理为关于x的一元二次方程，因为函数的定义域不是空集，所以关于x的一元二次方程就有实数根，由Δ≥0得到关于y的不等式，解不等式就可以求出函数的值域(注意讨论关于x的方程的二次项系数是否为0)
1.利用单调性求最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性写出最值．
2．利用单调性求最值的三个常用结论
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是单调递增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．
(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是单调递增函数，在区间[b，c)上是单调递减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．
(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是单调递减函数，在区间[b，c)上是单调递增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x＝m为例，区间为[a，b]．
(1)最小值：f(x)min＝
(2)最大值：f(x)max＝
当开口向下、区间不是闭区间时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系．
² 4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1 函数的奇偶性
知识点一 偶函数与奇函数的定义
偶函数
(2)奇函数
知识点二 奇偶性
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们称函数f(x)具有奇偶性．
知识点三 奇、偶函数的图象特征
(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
2．分段函数奇偶性的判断方法
分段函数奇偶性的判断，首先看定义域是否关于原点对称，再分段讨论f(－x)与f(x)的关系，只有定义域内均满足相同的关系时，才能判断其奇偶性，否则它既不是奇函数也不是偶函数．
1.利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．
2．利用奇偶性求函数值的思路
(1)已知f(a)求f(－a)：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系即可．
(2)已知两个函数的奇偶性，求由这两个函数的和、差构造出的新函数的函数值，可用－x替换x后使用奇偶性变形，进而与原函数联立，解方程组即可．
1.利用函数奇偶性求函数解析式的步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
2．利用奇偶性求函数值，应注意应用f(－x)与f(x)的关系转换，同时注意整体代换
1.奇偶性与单调性的关系
(1)奇函数在对称区间上的单调性相同．
(2)偶函数在对称区间上的单调性相反．
2．奇偶性与单调性的应用
(1)奇函数在y轴两侧连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，利用单调性可直接得到a，b的大小关系．
(2)偶函数在y轴两侧连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，应考虑|a|，|b|的关系．
4.2 简单幂函数的图像和性质
知识点一 幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二 幂函数的特征
(1)xα的系数为1；
(2)xα的底数是自变量；
(3)xα的指数为常数．
只有满足这三个条件特征，才是幂函数，对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
知识点三 五个幂函数的图象
当α＝1,2,3，，－1时，在同一平面直角坐标系内作出这五个幂函数的图象，如图所示．
知识点四 常见的幂函数的性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)
时，增；
x∈(－∞，0)时，减
增
增
x∈(0，＋∞)时，减；
x∈(－∞，0)时，减
定点
(1,1)，
(0,0)
(1,1)，
(0,0)
(1,1)，
(0,0)
(1,1)，
(0,0)
(1,1)
第三章指数运算与指数函数
² 1 指数幂的拓展
知识点一 分数指数幂
(1)定义：给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝.这就是正分数指数幂．
(2)性质：当k是正整数时，分数指数幂满足：＝ (a>0)．有时，也把写成 的形式(a>0)．
(3)意义
正分数指数幂
负分数指数幂
0的分数指数幂
前提
条件
a>0，m，n均为正整数，m，n互素
结论
＝
＝0，
无意义
知识点二 实数指数幂
(1)定义：一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，定义一个实数aα，规定a－α＝.这样，指数幂中的指数的范围就扩展到了全体实数．
(2)实数指数幂的性质
①给定一个正数a，对任意实数α，指数幂aα都大于0；
②0的任意正实数指数幂都等于0；
③0的零指数幂和任意负实数指数幂都没有意义；
④1的任意实数次幂都等于1，即1α＝1.
² 2 指数幂的运算性质
知识点一 整数指数幂的运算性质
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)m＝ambm，其中a，b是正数，m，n是正整数．
知识点二 实数指数幂的运算性质
对于任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面的运算性质：
(1)aα·aβ＝aα＋β；
(2)(aα)β＝aαβ；
(3)(ab)α＝aαbα.
一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．但化简结果，形式上要统一，不能既含根号，又含分数指数幂．
化简指数幂的一般步骤是：有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算(即先乘方、开方)，再乘除，最后加减，负指数化为正指数幂的倒数．
条件求值问题的两个步骤及一个注意点
(1)两个步骤
(2)一个注意点：若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式，注意应用平方差公式或立方差公式．
² 3 指数函数
知识点一 指数函数的概念
(1)定义：根据指数幂的定义，当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应．因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．
(2)指数函数y＝ax具有以下基本性质：
①定义域是R，函数值大于0；
②图象过定点(0,1)．
知识点二 指数函数的图象和性质
a>1
0
性质
定义域：R
值域：(0，＋∞)
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x<0时，00时，y>1
当x<0时，y>1；当x>0时，0
在R上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大
根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．
要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
1.指数型函数定义域和值域的两种求法
(1)分类讨论法：底数为字母时要注意分类讨论．
(2)图象法：求值域与定义域时能画图则画图，通过图象上点的横、纵坐标看函数的定义域与值域．
2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)且t＝f(x)的定义域与y＝af(x)的定义域相同；②求t＝f(x)的值域M；③利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
1.比较幂的大小的常用方法
2．若底数a的范围不确定，常分a＞1与0＜a＜1两类分别求解．
知识点三 不同底数的指数函数图象相对位置
性质：(1)对于函数y＝ax和y＝bx(a>b>1)：
①当x<0时，0
③当x>0时，ax>bx>1.
(2)对于函数y＝ax和y＝bx(0
②当x＝0时，ax＝bx＝1；
③当x>0时，0
知识点四 解指数方程、不等式
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助y＝ax，y＝bx的图象求解．
翻折变换：(1)函数y＝|f(x)|的图象，由函数y＝f(x)在x轴上方的图象与在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方合并而成．
(2) 函数y＝f(|x|)的图象，由函数y＝f(x)(x≥0)的图象及其关于y轴对称的图象合并而成．
解含指数式的不等式的策略
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法
当a>1时，f(x)>g(x)；
当0
复合函数的单调性、值域
(1)分层：一般分为外层y＝at，内层t＝f(x)．
(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则原函数单调递增，单调性相反则原函数单调递减．
(3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求y＝at的值域．
判定函数奇偶性要注意的问题
(1)坚持“定义域优先”的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)正确利用变形技巧：耐心分析f(x)和f(－x)的关系，必要时可利用f(x)±f(－x)＝0判定．
(3)巧用图象的特征：在解答有图象信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，进行快速判定．
第四章 对数运算与对数函数
² 1 对数的概念
2.1 对数的运算性质性质
知识点一 对数的概念
(1)如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(2)范围
底数a的范围：a>0，且a≠1.
真数N的范围：N>0.
(3)常用对数：以10为底，记作lg_N.
自然对数：以无理数e＝2.718 281…为底，记作ln_N.
知识点二 对数与指数的关系
知识点三 对数的性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga1＝0(a>0且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0且a≠1)．
知识点四 对数恒等式
alogaN＝N.
1.关于指数式与对数式的互化
(1)互化的关键是，准确应用定义式．
(2)求值问题需化为指数式，利用指数运算求值．
2．对数性质在求值中的应用
此类题目一般都有多层，解题方法是利用对数的性质，从外向里逐层求值．
1.用对数基本性质求值的基本思路是：根据loga1＝0和logaa＝1，按照从外到内的顺序层层求解．
2．应用对数恒等式求解的步骤
² 2 对数的运算
知识点 指数与对数的运算性质
ab＝N
logaN＝b
as·at＝as＋t
＝as－t
(as)t＝ast
(s，t∈R)
loga(MN)＝logaM＋logaN
loga＝logaM－logaN
logaMn＝n_logaM
(M>0，N>0，n∈R)
a>0，且a≠1
底数相同的对数式的化简和求值的原则与方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
2.2 换底公式
知识点一 换底公式
换底公式
条件
logaN＝
a>0，a≠1，
c>0，c≠1，N>0
在近似计算中，通常取c＝10或c＝e.
知识点二 常用结论
(1)logab·logba＝1⇔logab＝.
(2)logambn＝logab.
应用换底公式应注意的两个方面
(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式
² 3 对数函数
3.1 对数函数的概念
知识点一 对数函数
(1)定义：函数y＝logax(a>0且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，a称为底数．
(2)基本性质
①定义域是(0，＋∞)；
②图象过定点(1,0)．
(3)两类特殊的对数函数
①常用对数函数：以10为底的对数函数为常用对数函数，记作y＝lg_x.
②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作y＝ln_x.
知识点二 反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)是对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数．
求函数定义域的三个步骤
(1)列不等式(组)：根据函数f(x)有意义列出x满足的不等式(组)．
(2)解不等式(组)：根据不等式(组)的解法步骤求出x满足的范围．
(3)结论：写出函数的定义域．
提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2) 当对数型函数的底数含字母时，在求定义域时要注意分类讨论．
反函数的求法
(1)由y＝ax(或y＝logax)，解得x＝logay(或x＝ay)．
(2)将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax(或y＝ax)．
(3)由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的定义域．
3.2 对数函数的图像和性质
知识点一 函数y＝log2x的图象和性质
图象特征
函数性质
过点(1,0)
当x＝1时，y＝0
在y轴的右侧
定义域是(0，＋∞)
向上、向下无限延伸
值域是R
在直线x＝1右侧，图象位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图象位于x轴下方
若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0
函数图象从左到右是上升的
在(0，＋∞)上是增函数
知识点二 互为反函数的函数图象间的关系
(1)函数y＝log2x与y＝2x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
(2)推广：互为反函数的两个函数，图象关于直线y＝x对称．反之，图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数．
² 4 指数函数,幂函数,对数函数增长的比较
1.y＝log2x左移1个单位长度,y＝log2(x＋1)．
2．y＝log2xy＝log2(x－1)．
3．y＝logaxy＝loga|x|.
4．y＝logaxy＝|logax|.
比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性
(1)若底数为同一常数2，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数不是2，则可以先用换底公式，再借助1,0等中间量进行比较
1.解对数不等式的技巧
2． 函数f(x)＝log2x是最基本的对数函数．它在(0，＋∞)上是单调递增的．利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小．
知识点 y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质
a>1
0
象
性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
在区间(0，＋∞)上是增函数
在区间(0，＋∞)上是减函数
当x>1时，y>0；
当0
当00
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；
当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；
当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大
1.根据对数函数的图象判断底数大小的方法
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图所示．
2．画对数函数图象时要注意的问题
(1)明确图象位置：对数函数图象都在y轴右侧，当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)强化讨论意识：画对数函数图象之前要对底数a的取值范围是a>1，还是0
对数值比较大小常用的方法
(1)同底数的利用单调性．
(2)同真数的利用图象．
(3)既不同底也不同真的借助中间量进行比较．
(4)对于有多个数值的大小比较，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的数值的大小．
(5)对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．
求与对数函数有关的函数值域的常用方法
(1)单调性法：根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．
(2)换元法：求形如y＝logaf(x)型函数值域的步骤：①换元，令u＝f(x)，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象求出y的取值范围．
数型函数模型的两种类型
(1)给出对数型函数解析式，由自变量的值求函数值，由函数值求自变量的值以及研究函数的增减性等性质．
(2)运用待定系数法，建立函数模型，求出待定系数的值，确定函数的解析式，进而研究函数的性质．
在解决实际问题时，一定要注意自变量的取值要使得实际问题有意义．
第五章 函数应用
² 1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
知识点一 函数零点
(1)定义：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
知识点二 零点存在定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解．
1.函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：画出函数y＝f(x)的图象，则图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
2．判断函数零点个数的三种常用方法
(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．
(2)用定理：零点存在定理．
(3)利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
二次方程根的分布问题的求解策略
(1)在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：①Δ与0的关系；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．
(2)设x1，x2是实系数方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系有下表：
根的分布
图象
充要条件
x1＜x2＜m
m＜x1＜x2
x1＜m＜x2
f(m)＜0
x1，x2∈(m，n)
x1，x2有且只有一个在(m，n)内且f(m)·f(n)≠0
f(m)·f(n)<0
m
1.2 利用二分法求方程的近似解
知识点一 二分法的概念
对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．
知识点二 二分法求函数零点近似值的步骤
如图所示：
(1)初始区间是一个两端点函数值异号的区间．
(2)新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．
(3)方程的解满足要求的精确度且选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．
用二分法求方程的近似解的思路和方法
(1)思路：根据函数的零点与相应方程解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，所以求方程f(x)＝0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
(2)方法：对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化为求函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解．
1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点，中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
复复做，何时止，精确度来把关口．
² 2实际问题中的函数模型
2.1 实际问题的函数刻画
解函数关系已知的应用题的步骤
(1)确定函数关系式y＝f(x)中的参数，求出具体的函数解析式y＝f(x)．
(2)讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题．
(3)给出实际问题的解，即根据在函数关系讨论中所获得的理论参数值给出答案．
2.2 用函数模型解决实际问题
知识点一 常见函数模型
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a＞0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝
第六章 统计
² 1 获取数据的途径
1.1 直接获取与间接获取数据
知识点一 直接获取与间接获取数据
概念
数据名称
直接
获取
通过社会调查或观察、试验等途径获取数据
直接数据或一手数据
间接
获取
借助各种媒介，包括报纸杂志、统计报表和年鉴、广播、电视或互联网等获取数据
间接数据或二手数据
1.2 普查和抽查
知识点二 普查和抽查
调查
方法
概念、
特点
普查
抽查
定义
为了掌握调查对象的整体情况，对全体调查对象进行研究的一种调查方式
从全体调查对象中按照一定的方法抽取一部分对象作为代表进行调查分析，并以此推断全体调查对象的状况的调查方式
优点
①所取得的资料更加全面、系统；
②调查特定时段的社会经济现象总体的信息
①迅速、及时；
②节约人力、物力、财力，对个体信息的了解更详细
缺点
耗费大量的人力、物力、财力、时间长、任务重
获取的信息不够全面、系统，其结果具有不确定性
1.普查的适用范围
普查是对要调查的所有对象都进行考查．
(1)当调查的对象很少时，普查是很好的调查方式．
(2)当调查的对象很多，且又必须掌握全体的详细信息时，也需要采用普查的方式，如我国进行的人口普查．
2．抽样调查的适用范围及特点
(1)调查对象的数量很大，需要耗费大量的人力、物力与财力，或需要较长的时间才能完成．
(2)对调查的对象具有破坏性．
1.3 总体和样本
知识点三 总体和样本
名称
定义
总体
调查对象的全体
样本
从总体中抽取的部分
样本容量(样本量)
样本中个体的数目
抽样
从总体中抽取的部分的过程
总体的分布
总体中各类数据的百分比
抽样调查中有关概念的理解与判断
(1)总体与样本：分别指调查对象的全体和被抽取的一部分．
(2)总体容量与样本容量：分别指调查对象的全体的个数和抽取样本的个数．
(3)在以上的概念中，要特别注意区分清楚总体与样本的概念，它们是指研究的对象；而总体容量和样本容量是指数字．
² 2 抽样的基本方法
2.2 简单的随机抽样
知识点一 简单随机抽样的定义及方法
(1)随机抽样的定义：在抽样调查中，每个个体被抽到的可能性均相同的抽样方法，称为随机抽样．
(2)简单随机抽样的定义：从N(N为正整数)个不同个体构成的总体中，逐个不放回地抽取n(1≤n
常用的简单随机抽样的方法有两种：抽签法和随机数法．
知识点二 抽签法
(1)概念
先把总体中的N(N为正整数)个个体编号，并把编号依次分别写在形状、大小相同的签上，再将这些号签放在同一个不透明的箱子里搅拌均匀，每次随机地从中抽取一个，然后将箱中余下的号签搅拌均匀，再进行下一次抽取．如此下去，直至抽到预先设定的样本容量．
(2)抽签法的具体步骤
①给总体中的每个个体编号；
②抽签．
知识点三 随机数法
(1)概念
先把总体中的N个个体依次编码为0,1,2，…，N－1，然后利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0,1,2，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选第几号个体，直至选到预先设定的样本容量．
(2)利用随机数表产生随机数的实施步骤
①给总体中每个个体编号；
②在随机数表中随机抽取某行某列一个数作为开始；
③规定从选定的数读取数字的方向；
④开始读取数字，若不在编号中，则跳过，若在编号中则取出，依次取下去，直到取满为止，相同的号只取一次；
⑤根据选定的号码抽取样本.
简单随机抽样的判断策略
判断一个抽样能否用简单随机抽样，关键是看它是否满足四个特点：①总体的个体数目有限；②从总体中逐个进行抽取；③是不放回抽样；④是等可能抽样．同时还要注意以下几点：①总体的个体性质相似，无明显的层次；②总体的个体数目较少，尤其是样本容量较小；③用简单随机抽样法抽出的样本带有随机性，个体间无固定的距离．
2.3 分层随机抽样
知识点 分层随机抽样的概念
将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样．
解决分层随机抽样中的容量问题，关键是求出抽样比，即样本容量与总体容量的比．样本中从各层抽取的样本数量与该层的个体数量之比等于抽样比，即抽样比＝＝，这是求解分层抽样中有关容量问题的依据
设计分层随机抽样方案的思路
在分层随机抽样中，确定抽样比k是抽样的关键．一般地，抽样比k＝(N为总体容量，n为样本容量)，再按抽样比k在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平性．注意在每层抽样时，应采用简单随机抽样的方法．
选择抽样方法的思路
(1)判断总体是否由差异明显的几部分组成，若是，则选用分层随机抽样；否则，考虑用简单随机抽样．
(2)判断总体容量和样本容量的大小．当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大时，采用随机数法．
² 3 用样本估计总体的分布
3.1 从频数到频率
知识点一 从频数到频率
(1)频率表示频数与总数的比值．
(2)频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数，在统计中，经常用样本数据的频率去估计总体中相应的频率．
3.2 频率分布直方图
知识点二 频率分布直方图
(1)频率分布直方图
频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组的频率的大小，其画图步骤为：
(2)频率折线图
通常，在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，从而得到一条折线，这条折线称为频率折线图．
绘制频率分布直方图的注意事项
(1)可按照画频率分布直方图的一般步骤画出频率分布直方图，特别要注意的是纵坐标表示的是，而不是频率．
(2)对数据进行分组时，确定好分点是关键，通常有两种方法：
①改变数据位数，若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后有1位的数，则分点数据减去0.05，依此类推．
②不改变数据位数，但要注意分组后，每组的起点数据包含在该组内，终点数据不包含在该组内．
解决与频率分布直方图有关的计算问题的方法
由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率．
(2)各小长方形的面积之和等于1.
(3)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
(4)在频率分布直方图中，各小长方形的面积之比等于频率之比等于高度之比也等于频数之比．
² 4 用样本估计总体的数字特征
4.1 样本的数字特征
知识点一 平均数、中位数、众数、极差
知识点二 标准差与方差
(1)方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度，标准差的平方s2叫作方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
(2)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，标准差的单位与原数据单位相同．
s＝.
众数、中位数、平均数的计算及应用技巧
(1)深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用．
(2)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．
(3)平均数对极端值敏感，而中位数对极端值不敏感．因此两者结合，可较好地分析总体的情况．
4.2 分层随机抽样的均值和方差
知识点一 分层随机抽样的平均数
设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n；各层所占比例(权重)分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数＝w11＋w22＋…＋wnn
知识点二 分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝i[s＋(i－)2]，其中为样本平均数．
计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)确定1，2，…，n，s，s，…，s，w1，w2，…，wn.
(2)确定.
(3)应用公式s2＝i[s＋(i－)2]计算s2.
4.3 百分位数
(1)百分位数的定义
一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0,1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
(2)四分位数
25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数，也称为总体的四分位数．
(3)计算一组n个数据的p分位数的步骤
①按照从小到大排列原始数据．
②计算i＝np.
③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
第七章 概率
² 1 随机现象与随机事件
1.1 随机现象
知识点一 随机现象
(1)确定性现象：在一定条件下必然出现的现象．
(2)随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象．
1.2 样本空间
知识点二 样本点和样本空间
定义
字母表示
样本空间
试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间
用Ω表示样本空间
样本点
样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点
用ω表示样本点
有限样本
空间
如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间
Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
1.3 随机事件
知识点三 三种事件的定义
随机
事件
我们将样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C等表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然
事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能
事件
空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件
判断某一现象是随机现象还是确定性现象的关键是在一定条件下，现象的结果是否可以预知、确定．若在一定条件下．出现的结果是可以预知的，这类现象为确定性现象；若在一定条件下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这类现象称为随机现象．
求样本点的方法
(1)列举法
把试验的全部结果一一列举出来．列举法适合于较为简单的试验问题．
(2)列表法
将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数．列表法适用于较简单的试验的题目．
(3)树状图法
使用树状的图形把基本事件列举出来．树状图法便于分析事件间的结构关系，适用于较复杂的试验的题目．
1.4 随机事件的运算
知识点一 交(积)事件与并(和)事件
定义
表示法
图示
含义
事件的运算
积事件
由事件A与事件B都发生所构成的事件称为事件A与事件B的积事件
AB或
A∩B
A与B
同时
发生
和事件
由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A＋B
或A∪B
A与B
至少有
一个发
生
知识点二 互斥事件与对立事件
定义
表示法
图示
含义
事件关系
互斥事件
在一次试验中，不能同时发生的两个事件A与B(A∩B＝∅)称为互斥事件
A∩B
＝∅
A与B
不能同
时发生
对立事件
若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件
A∩B
＝∅，
A∪B
＝Ω
A与B
有且仅
有一个
发生
互斥事件与对立事件的判断方法
(1)利用基本概念：判断两个事件是否为互斥事件，注意看它们能否同时发生．若不同时发生，则这两个事件是互斥事件；若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件．
(2)利用集合的观点：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①若集合A∩B＝∅，则事件A与B互斥；
②若集合A∩B＝∅，且A∪B＝U(U为全集)，也即A＝∁UB或B＝∁UA，则事件A与B对立．
² 2 古典概型
2.1 古典概型的概率计算公式
知识点一 概率的定义
对于一个随机事件A，我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件A的概率．
知识点二 古典概型的定义
试验E具有如下共同特征
(1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限；
(2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等，则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型．
知识点三 古典概型的概率公式
对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝＝.
2.2 古典概型的应用
知识点 互斥事件的概率加法公式
(1)在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
这一公式称为互斥事件的概率加法公式．
(2)特别地P()＝1－P(A)．
(3)如果A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
互斥事件与对立事件的概率计算的方法
解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪一公式．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是直接法：即将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是间接法：即先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件．
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．
² 3 频率与概率
知识点一 随机事件的频率
随机事件A在n次重复试验中发生了m次，则随机事件A发生的频率fn(A)＝.
知识点二 随机事件的概率
在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．显然，0≤P(A)≤1.我们通常用频率来估计概率．
理解概率意义应关注的三个方面
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
² 4 事件的独立性
知识点一 相互独立事件的定义
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件．
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生，记作：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算
公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
知识点二 相互独立事件的性质及计算公式
(1)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
(2)相互独立事件的乘法公式
①A与B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)；
②A1，A2，…，An相互独立⇔P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
判断相互独立事件的两种方法
(1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．
(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的．
(2)确定这些事件可以同时发生．
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
第一章:预备知识
² 1 集合
1.1 集合的概念与表示
知识点一 元素与集合
(1)集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．
(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．
知识点二 元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A
a∈A
a属于
集合A
不属
于
如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A
a∉A
a不属于
集合A
知识点三 集合中元素的特性
(1)确定性：一个集合确定后，任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了．
(2)互异性：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复．
(3)无序性：组成集合的元素间无先后顺序之分．
知识点四 常用的数集及其记法
常用的
数集
自然
数集
正整
数集
整数
集
有理
数集
实数
集
正实
数集
符号
N
N＋(N*)
Z
Q
R
R＋
知识点四 集合的表示
(1)列举法(2)描述法
按集合中的元素个数分类，不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅；含有有限个元素的集合叫作有限集；含有无限个元素的集合叫作无限集．
知识点五 区间概念
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a
(a，b)
{x|a≤x
闭区间
[a，b)
{x|a
闭区间
(a，b]
定
义
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x
符
号
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，
a)
(－∞，
＋∞)
1.2 集合的基本关系
知识点一 Venn图
用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图
概念
定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A中任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集
A⊆B(或B⊇A)读作：A包含于B(或B包含A)
或
概念
定义
符号表示
图形表示
集合
相等
如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等
A＝B⇔A⊆B且B⊆A
真子
集
如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集
AB(或BA)读作：A真包含于B(或B真包含A)
知识点三 子集的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.
(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A.
(3)若A≠∅，则∅A.
(4)若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C.
1.3 集合的基本运算
知识点一 交集
(1)交集的概念
(2)交集的运算性质
性质
说明
A∩B＝B∩A
满足交换律
A∩B⊆A
A∩B⊆B
交集是本身的子集
A∩A＝A
集合与本身的交集仍为集合本身
A∩∅＝∅
空集与任何集合的交集都为空集
知识点二 并集
1)并集的概念
(2)并集的运算性质
性质
说明
A∪B＝B∪A
满足交换律
A⊆A∪B
B⊆A∪B
集合本身是并集的子集
A∪A＝A
集合与本身的并集仍为集合本身
A∪∅＝A
任何集合与空集的并集仍为集合本身
知识点三 全集和补集
(1)概念：在研究某些集合时，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集．
(2)记法：常用符号U表示．
知识点三 补集的运算性质
性质
说明
A∪∁UA＝U
集合A与A的补集的并集是全集
A∩∁UA＝∅
集合A与A的补集的交集是空集
∁U(∁UA)＝A
集合的补集的补集是集合本身
∁UU＝∅，
∁U∅＝U
全集的补集是空集，空集的补集是全集
² 2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
知识点一 必要条件与充分条件
命题
真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出
关系
p⇒q
pq
条件
关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
知识点二 判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
知识点三 充要条件
(1)定义：如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.
(2)条件与结论的等价性：p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”．
(3)概括：如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
知识点二 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
2.2 全称量词与存在量词
知识点一 全称量词与全称量词命题
(1)全称量词：短语“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”．
(2)全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．
(3)符号表示：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
知识点二 存在量词与存在量词命题
(1)存在量词：短语“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”．
(2)存在量词命题：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．
(3)符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为：∃x∈M，p(x)．
知识点三 全称量词命题的否定
全称量词命题p
p的否定
结论
∀x∈M，x具有性质p(x)
∃x∈M，x不具有性质p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
知识点二 存在量词命题的否定
存在量词命题p
p的否定
结论
∃x∈M，x具有性质p(x)
∀x∈M，x不具有性质p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
知识点三 判断命题的否定的真假
当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题．
² 3不等式
3.1不等式的性质
知识点一 比较两个实数a，b大小的依据
知识点二 不等式的性质
性质1：a>b，b>c⇒a>c(传递性)
性质2：a>b⇒a＋c>b＋c(同加保序性)
性质3：①⇒ac>bc(乘正保序性)
②⇒ac
性质5：①⇒ac>bd(正数同向相乘保序性)
②⇒ac
性质6：a>b>0⇒>(n∈N＋，n≥2)(非负开方保序性)
3.2基本不等式
知识点 基本不等式
(1)如果a≥0，b≥0，≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值．
两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．
(2)变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
知识点 用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，则
(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
² 4一元二次函数与一元二次不等式
4.1一元二次函数
知识点一 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象
一元二次函数的图象叫作抛物线，一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到．
知识点二 一元二次函数的性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
图象
a>0
a<0
开口方向
向上
向下
对称轴
x＝－
顶点坐标
最值
当x＝－时，
y有最小值
当x＝－时，
y有最大值
增减性
在对称
轴左侧
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
在对称
轴右侧
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
4.2一元二次不等式及其解法
知识点一 一元二次不等式的概念
(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式．
(2)一元二次不等式的表达式是：ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0，其中a，b，c均为常数，且a≠0.
(3)一元二次不等式的解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
知识点二 一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根(x1
无实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|x>x2或x
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1
∅
4.3一元二次不等式的应用
知识点一 一元二次不等式的实际应用
与一元二次不等式有关的实际应用问题，经常涉及物价、路程、产值、环保等最值问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确立相应的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答．操作步骤如下：
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
知识点二 一元二次不等式恒成立中的常用结论
(1)在R上恒成立问题．
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔
(2)在给定区间上的恒成立问题．
结论1：若f(x)＝ax2＋bx＋c>0(a>0)在{x|m≤x≤n}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac<0或或
若在{x|x≤m}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac<0
或
若在{x|x≥n}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac<0或
结论2：f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在{x|m≤x≤n}上恒成立⇒
第二章 函数
² 1 生活中的变量关系
知识点 依赖关系和函数关系
依赖关系
函数关系
在某变化过程中，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化
在某变化过程中，如果变量具有依赖关系，对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应
² 2 函数
2.1 函数的概念
知识点一 函数的概念
定义
给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
函数的定义域
集合A称为函数的定义域
函数的自变量
x称为自变量
函数的值域
集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域
知识点二 同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
知识点三 函数值
在函数y＝f(x)，x∈A中，与x值对应的y值称为函数值；用f(a)表示函数f(x)当x＝a时的函数值．
已知函数的解析式，求函数的定义域
(1)本质：求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围．
(2)常见题型
①如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
②如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
③如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
④y＝x0要求x≠0.
⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．
⑥对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．
由解析式判断两个函数f(x)与g(x)是否是同一个函数的步骤
2.2 函数的表示法
知识点一 函数的表示方法
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
知识点二 函数三种表示法的优缺点
表示
方法
优点
缺点
解析法
(1)简明、全面地概括了变量间的关系，从“数”的方面揭示了函数关系；
(2)可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值
不够形象、直观，而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来
图象法
能形象直观地表示出函数的变化情况
只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大
列表法
不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
只能表示有限个数值之间的函数关系
知识点三 分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．
求函数解析式的常用方法
(1)代入法：直接代入．
(2)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．
(3)换元法：在题中，也可令t＝g(x)，再求出f(t)的解析式，然后用x代替两边所有的t即可．
(4)方程组法(又称“消去法”)：已知f(x)与f(φ(x))满足的关系式，要求f(x)时，可用φ(x)代替两边的所有的x，得到关于f(x)及f(φ(x))的方程组，解之即可求出f(x)．
(5)待定系数法：若已知函数类型，可用待定系数法求解．若f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，若f(x)是二次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出待定系数的方程组，进而求出待定的系数．
1.求分段函数函数值的方法
先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入到不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
² 3 函数的单调性和最值
知识点一 函数的单调性
前提
条件
设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D
条件
∀x1，x2∈I，x1
图示
结论
f(x)在区间I上单调递增
f(x)在区间I上单调递减
特殊
情况
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，就称函数y＝f(x)是增函数
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，就称函数y＝f(x)是减函数
知识点二 函数的单调性与单调区间
函数y＝f(x)在区间I上是单调递增
函数y＝f(x)在区间I上是单调递减
I为y＝f(x)的增区间
I为y＝f(x)的减区间
函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间
利用定义证明函数单调性的步骤
1.利用单调性比较大小的方法
利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．
2．利用单调性解不等式的方法
利用函数的单调性解不等式，实质上是单调性的逆用，即由函数值的大小得到自变量的大小．若f(x)单调递增，则当f(x1)＜f(x2)时，x1＜x2，当f(x1)＞f(x2)时，x1＞x2.若f(x)单调递减，则当f(x1)＜f(x2)时，x1＞x2，当f(x1)＞f(x2)时，x1＜x2.值得注意的是求解时不要忘了函数的定义域对参数的限制．
3．利用单调性求参数范围的方法
(1)已知单调性求参数时，视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)借助常见函数的单调性确定参数的取值．
知识点三 函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值统称为最值．
1.用图象法求最值的三个步骤
2．求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
(5)不等式法：针对解析式中典型的式子(如x2，)的特殊范围(如x2≥0，≥0)，利用不等式的性质逐步推出函数的值域．
(6)判别式法：对于典型的分式函数，去分母可以整理为关于x的一元二次方程，因为函数的定义域不是空集，所以关于x的一元二次方程就有实数根，由Δ≥0得到关于y的不等式，解不等式就可以求出函数的值域(注意讨论关于x的方程的二次项系数是否为0)
1.利用单调性求最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性写出最值．
2．利用单调性求最值的三个常用结论
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是单调递增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．
(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是单调递增函数，在区间[b，c)上是单调递减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．
(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是单调递减函数，在区间[b，c)上是单调递增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x＝m为例，区间为[a，b]．
(1)最小值：f(x)min＝
(2)最大值：f(x)max＝
当开口向下、区间不是闭区间时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系．
² 4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1 函数的奇偶性
知识点一 偶函数与奇函数的定义
偶函数
(2)奇函数
知识点二 奇偶性
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们称函数f(x)具有奇偶性．
知识点三 奇、偶函数的图象特征
(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
2．分段函数奇偶性的判断方法
分段函数奇偶性的判断，首先看定义域是否关于原点对称，再分段讨论f(－x)与f(x)的关系，只有定义域内均满足相同的关系时，才能判断其奇偶性，否则它既不是奇函数也不是偶函数．
1.利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．
2．利用奇偶性求函数值的思路
(1)已知f(a)求f(－a)：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系即可．
(2)已知两个函数的奇偶性，求由这两个函数的和、差构造出的新函数的函数值，可用－x替换x后使用奇偶性变形，进而与原函数联立，解方程组即可．
1.利用函数奇偶性求函数解析式的步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
2．利用奇偶性求函数值，应注意应用f(－x)与f(x)的关系转换，同时注意整体代换
1.奇偶性与单调性的关系
(1)奇函数在对称区间上的单调性相同．
(2)偶函数在对称区间上的单调性相反．
2．奇偶性与单调性的应用
(1)奇函数在y轴两侧连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，利用单调性可直接得到a，b的大小关系．
(2)偶函数在y轴两侧连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，应考虑|a|，|b|的关系．
4.2 简单幂函数的图像和性质
知识点一 幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二 幂函数的特征
(1)xα的系数为1；
(2)xα的底数是自变量；
(3)xα的指数为常数．
只有满足这三个条件特征，才是幂函数，对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
知识点三 五个幂函数的图象
当α＝1,2,3，，－1时，在同一平面直角坐标系内作出这五个幂函数的图象，如图所示．
知识点四 常见的幂函数的性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)
时，增；
x∈(－∞，0)时，减
增
增
x∈(0，＋∞)时，减；
x∈(－∞，0)时，减
定点
(1,1)，
(0,0)
(1,1)，
(0,0)
(1,1)，
(0,0)
(1,1)，
(0,0)
(1,1)
第三章指数运算与指数函数
² 1 指数幂的拓展
知识点一 分数指数幂
(1)定义：给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝.这就是正分数指数幂．
(2)性质：当k是正整数时，分数指数幂满足：＝ (a>0)．有时，也把写成 的形式(a>0)．
(3)意义
正分数指数幂
负分数指数幂
0的分数指数幂
前提
条件
a>0，m，n均为正整数，m，n互素
结论
＝
＝0，
无意义
知识点二 实数指数幂
(1)定义：一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，定义一个实数aα，规定a－α＝.这样，指数幂中的指数的范围就扩展到了全体实数．
(2)实数指数幂的性质
①给定一个正数a，对任意实数α，指数幂aα都大于0；
②0的任意正实数指数幂都等于0；
③0的零指数幂和任意负实数指数幂都没有意义；
④1的任意实数次幂都等于1，即1α＝1.
² 2 指数幂的运算性质
知识点一 整数指数幂的运算性质
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)m＝ambm，其中a，b是正数，m，n是正整数．
知识点二 实数指数幂的运算性质
对于任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面的运算性质：
(1)aα·aβ＝aα＋β；
(2)(aα)β＝aαβ；
(3)(ab)α＝aαbα.
一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．但化简结果，形式上要统一，不能既含根号，又含分数指数幂．
化简指数幂的一般步骤是：有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算(即先乘方、开方)，再乘除，最后加减，负指数化为正指数幂的倒数．
条件求值问题的两个步骤及一个注意点
(1)两个步骤
(2)一个注意点：若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式，注意应用平方差公式或立方差公式．
² 3 指数函数
知识点一 指数函数的概念
(1)定义：根据指数幂的定义，当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应．因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．
(2)指数函数y＝ax具有以下基本性质：
①定义域是R，函数值大于0；
②图象过定点(0,1)．
知识点二 指数函数的图象和性质
a>1
0
性质
定义域：R
值域：(0，＋∞)
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x<0时，0
当x<0时，y>1；当x>0时，0
在R上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大
根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．
要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
1.指数型函数定义域和值域的两种求法
(1)分类讨论法：底数为字母时要注意分类讨论．
(2)图象法：求值域与定义域时能画图则画图，通过图象上点的横、纵坐标看函数的定义域与值域．
2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)且t＝f(x)的定义域与y＝af(x)的定义域相同；②求t＝f(x)的值域M；③利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
1.比较幂的大小的常用方法
2．若底数a的范围不确定，常分a＞1与0＜a＜1两类分别求解．
知识点三 不同底数的指数函数图象相对位置
性质：(1)对于函数y＝ax和y＝bx(a>b>1)：
①当x<0时，0
③当x>0时，ax>bx>1.
(2)对于函数y＝ax和y＝bx(0
②当x＝0时，ax＝bx＝1；
③当x>0时，0
知识点四 解指数方程、不等式
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助y＝ax，y＝bx的图象求解．
翻折变换：(1)函数y＝|f(x)|的图象，由函数y＝f(x)在x轴上方的图象与在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方合并而成．
(2) 函数y＝f(|x|)的图象，由函数y＝f(x)(x≥0)的图象及其关于y轴对称的图象合并而成．
解含指数式的不等式的策略
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法
当a>1时，f(x)>g(x)；
当0
复合函数的单调性、值域
(1)分层：一般分为外层y＝at，内层t＝f(x)．
(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则原函数单调递增，单调性相反则原函数单调递减．
(3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求y＝at的值域．
判定函数奇偶性要注意的问题
(1)坚持“定义域优先”的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)正确利用变形技巧：耐心分析f(x)和f(－x)的关系，必要时可利用f(x)±f(－x)＝0判定．
(3)巧用图象的特征：在解答有图象信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，进行快速判定．
第四章 对数运算与对数函数
² 1 对数的概念
2.1 对数的运算性质性质
知识点一 对数的概念
(1)如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(2)范围
底数a的范围：a>0，且a≠1.
真数N的范围：N>0.
(3)常用对数：以10为底，记作lg_N.
自然对数：以无理数e＝2.718 281…为底，记作ln_N.
知识点二 对数与指数的关系
知识点三 对数的性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga1＝0(a>0且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0且a≠1)．
知识点四 对数恒等式
alogaN＝N.
1.关于指数式与对数式的互化
(1)互化的关键是，准确应用定义式．
(2)求值问题需化为指数式，利用指数运算求值．
2．对数性质在求值中的应用
此类题目一般都有多层，解题方法是利用对数的性质，从外向里逐层求值．
1.用对数基本性质求值的基本思路是：根据loga1＝0和logaa＝1，按照从外到内的顺序层层求解．
2．应用对数恒等式求解的步骤
² 2 对数的运算
知识点 指数与对数的运算性质
ab＝N
logaN＝b
as·at＝as＋t
＝as－t
(as)t＝ast
(s，t∈R)
loga(MN)＝logaM＋logaN
loga＝logaM－logaN
logaMn＝n_logaM
(M>0，N>0，n∈R)
a>0，且a≠1
底数相同的对数式的化简和求值的原则与方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
2.2 换底公式
知识点一 换底公式
换底公式
条件
logaN＝
a>0，a≠1，
c>0，c≠1，N>0
在近似计算中，通常取c＝10或c＝e.
知识点二 常用结论
(1)logab·logba＝1⇔logab＝.
(2)logambn＝logab.
应用换底公式应注意的两个方面
(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式
² 3 对数函数
3.1 对数函数的概念
知识点一 对数函数
(1)定义：函数y＝logax(a>0且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，a称为底数．
(2)基本性质
①定义域是(0，＋∞)；
②图象过定点(1,0)．
(3)两类特殊的对数函数
①常用对数函数：以10为底的对数函数为常用对数函数，记作y＝lg_x.
②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作y＝ln_x.
知识点二 反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)是对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数．
求函数定义域的三个步骤
(1)列不等式(组)：根据函数f(x)有意义列出x满足的不等式(组)．
(2)解不等式(组)：根据不等式(组)的解法步骤求出x满足的范围．
(3)结论：写出函数的定义域．
提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2) 当对数型函数的底数含字母时，在求定义域时要注意分类讨论．
反函数的求法
(1)由y＝ax(或y＝logax)，解得x＝logay(或x＝ay)．
(2)将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax(或y＝ax)．
(3)由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的定义域．
3.2 对数函数的图像和性质
知识点一 函数y＝log2x的图象和性质
图象特征
函数性质
过点(1,0)
当x＝1时，y＝0
在y轴的右侧
定义域是(0，＋∞)
向上、向下无限延伸
值域是R
在直线x＝1右侧，图象位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图象位于x轴下方
若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0
函数图象从左到右是上升的
在(0，＋∞)上是增函数
知识点二 互为反函数的函数图象间的关系
(1)函数y＝log2x与y＝2x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
(2)推广：互为反函数的两个函数，图象关于直线y＝x对称．反之，图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数．
² 4 指数函数,幂函数,对数函数增长的比较
1.y＝log2x左移1个单位长度,y＝log2(x＋1)．
2．y＝log2xy＝log2(x－1)．
3．y＝logaxy＝loga|x|.
4．y＝logaxy＝|logax|.
比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性
(1)若底数为同一常数2，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数不是2，则可以先用换底公式，再借助1,0等中间量进行比较
1.解对数不等式的技巧
2． 函数f(x)＝log2x是最基本的对数函数．它在(0，＋∞)上是单调递增的．利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小．
知识点 y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质
a>1
0
象
性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
在区间(0，＋∞)上是增函数
在区间(0，＋∞)上是减函数
当x>1时，y>0；
当0
当0
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；
当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；
当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大
1.根据对数函数的图象判断底数大小的方法
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图所示．
2．画对数函数图象时要注意的问题
(1)明确图象位置：对数函数图象都在y轴右侧，当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)强化讨论意识：画对数函数图象之前要对底数a的取值范围是a>1，还是0
对数值比较大小常用的方法
(1)同底数的利用单调性．
(2)同真数的利用图象．
(3)既不同底也不同真的借助中间量进行比较．
(4)对于有多个数值的大小比较，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的数值的大小．
(5)对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．
求与对数函数有关的函数值域的常用方法
(1)单调性法：根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．
(2)换元法：求形如y＝logaf(x)型函数值域的步骤：①换元，令u＝f(x)，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象求出y的取值范围．
数型函数模型的两种类型
(1)给出对数型函数解析式，由自变量的值求函数值，由函数值求自变量的值以及研究函数的增减性等性质．
(2)运用待定系数法，建立函数模型，求出待定系数的值，确定函数的解析式，进而研究函数的性质．
在解决实际问题时，一定要注意自变量的取值要使得实际问题有意义．
第五章 函数应用
² 1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
知识点一 函数零点
(1)定义：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
知识点二 零点存在定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解．
1.函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：画出函数y＝f(x)的图象，则图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
2．判断函数零点个数的三种常用方法
(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．
(2)用定理：零点存在定理．
(3)利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
二次方程根的分布问题的求解策略
(1)在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：①Δ与0的关系；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．
(2)设x1，x2是实系数方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系有下表：
根的分布
图象
充要条件
x1＜x2＜m
m＜x1＜x2
x1＜m＜x2
f(m)＜0
x1，x2∈(m，n)
x1，x2有且只有一个在(m，n)内且f(m)·f(n)≠0
f(m)·f(n)<0
m
1.2 利用二分法求方程的近似解
知识点一 二分法的概念
对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．
知识点二 二分法求函数零点近似值的步骤
如图所示：
(1)初始区间是一个两端点函数值异号的区间．
(2)新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．
(3)方程的解满足要求的精确度且选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．
用二分法求方程的近似解的思路和方法
(1)思路：根据函数的零点与相应方程解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，所以求方程f(x)＝0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
(2)方法：对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化为求函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解．
1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点，中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
复复做，何时止，精确度来把关口．
² 2实际问题中的函数模型
2.1 实际问题的函数刻画
解函数关系已知的应用题的步骤
(1)确定函数关系式y＝f(x)中的参数，求出具体的函数解析式y＝f(x)．
(2)讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题．
(3)给出实际问题的解，即根据在函数关系讨论中所获得的理论参数值给出答案．
2.2 用函数模型解决实际问题
知识点一 常见函数模型
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a＞0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝
第六章 统计
² 1 获取数据的途径
1.1 直接获取与间接获取数据
知识点一 直接获取与间接获取数据
概念
数据名称
直接
获取
通过社会调查或观察、试验等途径获取数据
直接数据或一手数据
间接
获取
借助各种媒介，包括报纸杂志、统计报表和年鉴、广播、电视或互联网等获取数据
间接数据或二手数据
1.2 普查和抽查
知识点二 普查和抽查
调查
方法
概念、
特点
普查
抽查
定义
为了掌握调查对象的整体情况，对全体调查对象进行研究的一种调查方式
从全体调查对象中按照一定的方法抽取一部分对象作为代表进行调查分析，并以此推断全体调查对象的状况的调查方式
优点
①所取得的资料更加全面、系统；
②调查特定时段的社会经济现象总体的信息
①迅速、及时；
②节约人力、物力、财力，对个体信息的了解更详细
缺点
耗费大量的人力、物力、财力、时间长、任务重
获取的信息不够全面、系统，其结果具有不确定性
1.普查的适用范围
普查是对要调查的所有对象都进行考查．
(1)当调查的对象很少时，普查是很好的调查方式．
(2)当调查的对象很多，且又必须掌握全体的详细信息时，也需要采用普查的方式，如我国进行的人口普查．
2．抽样调查的适用范围及特点
(1)调查对象的数量很大，需要耗费大量的人力、物力与财力，或需要较长的时间才能完成．
(2)对调查的对象具有破坏性．
1.3 总体和样本
知识点三 总体和样本
名称
定义
总体
调查对象的全体
样本
从总体中抽取的部分
样本容量(样本量)
样本中个体的数目
抽样
从总体中抽取的部分的过程
总体的分布
总体中各类数据的百分比
抽样调查中有关概念的理解与判断
(1)总体与样本：分别指调查对象的全体和被抽取的一部分．
(2)总体容量与样本容量：分别指调查对象的全体的个数和抽取样本的个数．
(3)在以上的概念中，要特别注意区分清楚总体与样本的概念，它们是指研究的对象；而总体容量和样本容量是指数字．
² 2 抽样的基本方法
2.2 简单的随机抽样
知识点一 简单随机抽样的定义及方法
(1)随机抽样的定义：在抽样调查中，每个个体被抽到的可能性均相同的抽样方法，称为随机抽样．
(2)简单随机抽样的定义：从N(N为正整数)个不同个体构成的总体中，逐个不放回地抽取n(1≤n
常用的简单随机抽样的方法有两种：抽签法和随机数法．
知识点二 抽签法
(1)概念
先把总体中的N(N为正整数)个个体编号，并把编号依次分别写在形状、大小相同的签上，再将这些号签放在同一个不透明的箱子里搅拌均匀，每次随机地从中抽取一个，然后将箱中余下的号签搅拌均匀，再进行下一次抽取．如此下去，直至抽到预先设定的样本容量．
(2)抽签法的具体步骤
①给总体中的每个个体编号；
②抽签．
知识点三 随机数法
(1)概念
先把总体中的N个个体依次编码为0,1,2，…，N－1，然后利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0,1,2，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选第几号个体，直至选到预先设定的样本容量．
(2)利用随机数表产生随机数的实施步骤
①给总体中每个个体编号；
②在随机数表中随机抽取某行某列一个数作为开始；
③规定从选定的数读取数字的方向；
④开始读取数字，若不在编号中，则跳过，若在编号中则取出，依次取下去，直到取满为止，相同的号只取一次；
⑤根据选定的号码抽取样本.
简单随机抽样的判断策略
判断一个抽样能否用简单随机抽样，关键是看它是否满足四个特点：①总体的个体数目有限；②从总体中逐个进行抽取；③是不放回抽样；④是等可能抽样．同时还要注意以下几点：①总体的个体性质相似，无明显的层次；②总体的个体数目较少，尤其是样本容量较小；③用简单随机抽样法抽出的样本带有随机性，个体间无固定的距离．
2.3 分层随机抽样
知识点 分层随机抽样的概念
将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样．
解决分层随机抽样中的容量问题，关键是求出抽样比，即样本容量与总体容量的比．样本中从各层抽取的样本数量与该层的个体数量之比等于抽样比，即抽样比＝＝，这是求解分层抽样中有关容量问题的依据
设计分层随机抽样方案的思路
在分层随机抽样中，确定抽样比k是抽样的关键．一般地，抽样比k＝(N为总体容量，n为样本容量)，再按抽样比k在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平性．注意在每层抽样时，应采用简单随机抽样的方法．
选择抽样方法的思路
(1)判断总体是否由差异明显的几部分组成，若是，则选用分层随机抽样；否则，考虑用简单随机抽样．
(2)判断总体容量和样本容量的大小．当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大时，采用随机数法．
² 3 用样本估计总体的分布
3.1 从频数到频率
知识点一 从频数到频率
(1)频率表示频数与总数的比值．
(2)频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数，在统计中，经常用样本数据的频率去估计总体中相应的频率．
3.2 频率分布直方图
知识点二 频率分布直方图
(1)频率分布直方图
频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组的频率的大小，其画图步骤为：
(2)频率折线图
通常，在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，从而得到一条折线，这条折线称为频率折线图．
绘制频率分布直方图的注意事项
(1)可按照画频率分布直方图的一般步骤画出频率分布直方图，特别要注意的是纵坐标表示的是，而不是频率．
(2)对数据进行分组时，确定好分点是关键，通常有两种方法：
①改变数据位数，若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后有1位的数，则分点数据减去0.05，依此类推．
②不改变数据位数，但要注意分组后，每组的起点数据包含在该组内，终点数据不包含在该组内．
解决与频率分布直方图有关的计算问题的方法
由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率．
(2)各小长方形的面积之和等于1.
(3)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
(4)在频率分布直方图中，各小长方形的面积之比等于频率之比等于高度之比也等于频数之比．
² 4 用样本估计总体的数字特征
4.1 样本的数字特征
知识点一 平均数、中位数、众数、极差
知识点二 标准差与方差
(1)方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度，标准差的平方s2叫作方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
(2)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，标准差的单位与原数据单位相同．
s＝.
众数、中位数、平均数的计算及应用技巧
(1)深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用．
(2)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．
(3)平均数对极端值敏感，而中位数对极端值不敏感．因此两者结合，可较好地分析总体的情况．
4.2 分层随机抽样的均值和方差
知识点一 分层随机抽样的平均数
设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n；各层所占比例(权重)分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数＝w11＋w22＋…＋wnn
知识点二 分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝i[s＋(i－)2]，其中为样本平均数．
计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)确定1，2，…，n，s，s，…，s，w1，w2，…，wn.
(2)确定.
(3)应用公式s2＝i[s＋(i－)2]计算s2.
4.3 百分位数
(1)百分位数的定义
一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0,1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
(2)四分位数
25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数，也称为总体的四分位数．
(3)计算一组n个数据的p分位数的步骤
①按照从小到大排列原始数据．
②计算i＝np.
③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
第七章 概率
² 1 随机现象与随机事件
1.1 随机现象
知识点一 随机现象
(1)确定性现象：在一定条件下必然出现的现象．
(2)随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象．
1.2 样本空间
知识点二 样本点和样本空间
定义
字母表示
样本空间
试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间
用Ω表示样本空间
样本点
样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点
用ω表示样本点
有限样本
空间
如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间
Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
1.3 随机事件
知识点三 三种事件的定义
随机
事件
我们将样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C等表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然
事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能
事件
空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件
判断某一现象是随机现象还是确定性现象的关键是在一定条件下，现象的结果是否可以预知、确定．若在一定条件下．出现的结果是可以预知的，这类现象为确定性现象；若在一定条件下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这类现象称为随机现象．
求样本点的方法
(1)列举法
把试验的全部结果一一列举出来．列举法适合于较为简单的试验问题．
(2)列表法
将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数．列表法适用于较简单的试验的题目．
(3)树状图法
使用树状的图形把基本事件列举出来．树状图法便于分析事件间的结构关系，适用于较复杂的试验的题目．
1.4 随机事件的运算
知识点一 交(积)事件与并(和)事件
定义
表示法
图示
含义
事件的运算
积事件
由事件A与事件B都发生所构成的事件称为事件A与事件B的积事件
AB或
A∩B
A与B
同时
发生
和事件
由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A＋B
或A∪B
A与B
至少有
一个发
生
知识点二 互斥事件与对立事件
定义
表示法
图示
含义
事件关系
互斥事件
在一次试验中，不能同时发生的两个事件A与B(A∩B＝∅)称为互斥事件
A∩B
＝∅
A与B
不能同
时发生
对立事件
若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件
A∩B
＝∅，
A∪B
＝Ω
A与B
有且仅
有一个
发生
互斥事件与对立事件的判断方法
(1)利用基本概念：判断两个事件是否为互斥事件，注意看它们能否同时发生．若不同时发生，则这两个事件是互斥事件；若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件．
(2)利用集合的观点：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①若集合A∩B＝∅，则事件A与B互斥；
②若集合A∩B＝∅，且A∪B＝U(U为全集)，也即A＝∁UB或B＝∁UA，则事件A与B对立．
² 2 古典概型
2.1 古典概型的概率计算公式
知识点一 概率的定义
对于一个随机事件A，我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件A的概率．
知识点二 古典概型的定义
试验E具有如下共同特征
(1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限；
(2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等，则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型．
知识点三 古典概型的概率公式
对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝＝.
2.2 古典概型的应用
知识点 互斥事件的概率加法公式
(1)在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
这一公式称为互斥事件的概率加法公式．
(2)特别地P()＝1－P(A)．
(3)如果A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
互斥事件与对立事件的概率计算的方法
解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪一公式．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是直接法：即将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是间接法：即先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件．
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．
² 3 频率与概率
知识点一 随机事件的频率
随机事件A在n次重复试验中发生了m次，则随机事件A发生的频率fn(A)＝.
知识点二 随机事件的概率
在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．显然，0≤P(A)≤1.我们通常用频率来估计概率．
理解概率意义应关注的三个方面
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
² 4 事件的独立性
知识点一 相互独立事件的定义
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件．
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生，记作：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算
公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
知识点二 相互独立事件的性质及计算公式
(1)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
(2)相互独立事件的乘法公式
①A与B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)；
②A1，A2，…，An相互独立⇔P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
判断相互独立事件的两种方法
(1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．
(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的．
(2)确定这些事件可以同时发生．
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
