浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高一数学上学期期中联考试题（Word版附解析）

2022-2023学年浙南名校联盟高一年级第一学期

数学学科期中联考

一、单选题

1. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用集合的交并补运算法则即可求解.

【详解】，，，

又，

故选：B.

2. 函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】对数型函数的定义域只需要真数大于0，解出即可

【详解】由，

即，

解得，

即函数的定义域为：

故选：A.

3. 已知幂函数在上单调递增，则实数a的值为（    ）

A.  B. 3 C. 或3 D. 不存在

【答案】B

【解析】

【分析】根据幂函数定义得到，解方程并验证单调性得到答案.

【详解】因为为幂函数，所以，解得或，

又因为在上单调递增，不满足，所以

故选：B.

4. 设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数幂的运算，幂函数及对数函数的性质即得.

【详解】，，，

，

，又，

故选：C.

5. 函数的大致图象为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查函数图象的运用，先根据函数的奇偶性，排除选项，在利用特殊值排除选项C即可求解.

【详解】依题意可知：函数的定义域为，

定义域关于原点对称，又因为，

所以函数为偶函数，故排除;

又当时，，故排除C，

故选：A.

6. 已知，则满足关于x方程的充要条件是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】由题可知，构造函数，根据二次函数性质可得当时函数取得最大值，进而即得.

【详解】由于，令函数，

此时函数对应的开口向下，当时，取得最大值，

因为满足关于x的方程，即，

所以，

所以，.

故选：D.

7. 如图（俯视图），学校决定投资12000元在风雨操场建一长方体状体育器材仓库，利用围墙靠墙角（直角）而建节省成本（长方体一条长和一条宽靠墙角而建），由于要求器材仓库高度恒定，不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米100元（不计高度，按长度计算），顶部材料每平方米造价300元.在预算允许的范围内，仓库占地面积最大能达到平方米（    ）

A. 32 B. 36 C. 38 D. 40

【答案】B

【解析】

【分析】设出仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，得到，由基本不等式求出，从而得到，得到正确答案.

【详解】设仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，，，

则，整理得，

，，

∴由基本不等式可得，

，

，解得：，

故，当且仅当时等号成立，

所以仓库占地面积最大能达到平方米.

故选：B

8. 已知a，b，，函数，，对任意的，，，两两相乘都不小于0，且，则一定有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意得到，，的零点相同，再判断，，恒成立得到，根据条件依次判断每个选项得到答案.

【详解】对任意的，，，两两相乘都不小于0，

故，，的零点相同，设为，

恒成立，，故，解得，

故，即，，故，，

，A错误；，B错误；，C错误，

，D正确.

故选：D.

【点睛】本题参考了指数函数，对数函数，二次函数的综合，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定函数有相同的零点，通过计算放缩是解题的关键.

二、多选题

9. 已知a，b，，若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据得到，从而判断AB选项；作差法比较大小，得到C正确；D选项可举出反例.

【详解】对于A，由，得，，所以，故A正确；

对于B，因为，所以，故B错；

对于C，因为，所以，故，C正确，

对于D，当为0时，，D错误.

故选：AC

10. 对于集合 ，定义，且，下列命题正确的有（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，，或，则

D. 若，，则，或

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据集合新定义即，且，一一判断各选项，可得答案.

【详解】因为，且，

所以若，则，故A正确，

若，则,则，故B正确;

，，或，则，故C正确，

若，，则，，

或，故D错误.

故选：ABC

11. 已知函数，，下列成立的是（    ）

A. 若是偶函数，则

B. 的值域为

C. 在上单调递减

D. 当时，方程都有两个实数根

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A选项，由偶函数定义可得答案.

对于B选项，因，则.

对于C选项，由复合函数单调性可得答案.

对于D选项，结合单调性可画出大致图像，方程根的个数即是与图像交点个数.

【详解】对于A选项，由于是偶函数，则即可得，故A正确.

对于B选项，注意到，又在R上单调递增，

则值域为，故B错误.

对于C选项，由B选项可知，在上单调递减，又在R上单调递增，由复合函数单调性“同增异减”可知，在上单调递减，故C正确.

对于D选项，由选项B，C可知，在上单调递增，在上单调递减，据此可画出大致图像如下，由图可知图像最高点所对应的纵坐标为.则当时，与图像交点个数为2，即方程都有两个实数根，故D正确.

故选：ACD

12. 存在函数满足：对于任意都有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据函数的定义判断各选项的对错.

【详解】对于A，令，得，令，得，

不符合函数的定义，故A错误;

对于B，

符合题意，故B正确;

对于C，令，则，故C正确;

对于D，当时，函数无意义，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13. __________

【答案】2

【解析】

【分析】根据分数指数幂运算法则和对数运算法则进行计算.

【详解】

故答案为：2.

14. 不等式的解集是__________

【答案】

【解析】

【分析】不等式转化为，再解不等式得到答案。

【详解】原不等式可化为，即，解得

故答案为：

15. 若，则的最小值是__________

【答案】

【解析】

【分析】将变形，得到，利用基本不等式“1”的妙用，求解最小值.

【详解】因为，所以，，

所以

，

当且仅当，即时等号成立.

故答案为：.

16. 函数，，最大值为，则的最小值是__________

【答案】4

【解析】

【分析】变换得到，计算，，考虑，，，四种情况，根据函数单调性分别函数最值得到答案.

【详解】，

，函数在上单调递减，在上单调递增，故，

设，，，

当，即时，函数在上单调递增，，

则，

当，即时等号成立，；

当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增.

，则；

当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，则；

当，即时，函数在上单调递减，，

则；

综上可知

故答案为：4

【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，双勾函数性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论求最值是解题的关键.

四、解答题

17. 已知集合，

（1）若，求

（2）若，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出集合，代入得出集合，根据集合的并集运算即可；

（2）根据，可得，结合子集关系分类讨论即可求得实数m取值范围.

【小问1详解】

解：

若，则

【小问2详解】

解：若，则，

当时，，则，

当时，可得，解得，

综上所述，m的取值范围是.

18. 已知函数

（1）判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明;

（2）若对，都有恒成立，求实数t的取值范围.

【答案】（1）在R上单调递增，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据定义证明单调性步骤证明即可；

（2）分离函数得，，由此可确定恒成立，即可得实数t的取值范围.

【小问1详解】

解：在上单调递增.

证明：，，且，

，，，

，

所以，因此，在R上单调递增.

【小问2详解】

解：，

当时恒成立，

19. 已知函数是定义在上的奇函数，当

（1）求函数的解析式;

（2）解不等式

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由是奇函数，，以及，求解即可；

（2）转化为，结合函数单调性以及函数定义域，列出不等式求解即可.

【小问1详解】

由题意当时，，

故

又是奇函数，所以，所以

【小问2详解】

又是奇函数，所以

由都为上的增函数，故在上递增，

又是奇函数，，

故是上的增函数

不等式的解集为

20. 平阳木偶戏又称傀偏戏、木头戏，是浙江省温州市的传统民间艺术之一.平阳木偶戏是以提线木偶为主，活跃于集镇乡村、广场庙会，演绎着古今生活百态.其表演形式独特，活泼多样，具有浓厚的地方色彩和很高的观赏性与研究价值.现有一位木偶制作传人想要把一块长为4dm（dm是分米符号，宽为3dm的矩形木料沿一条直线MN切割成两部分来制作不同的木偶部位.若割痕线段将木料分为面积比为的两部分含点A的部分面积不大于含点C的部分面积，M，N可以和矩形顶点重合，有如下三种切割方式如图：①点在线段AB上，N点在线段AD上;②点在线段AB上，N点在线段DC上;③点在线段AD上点在线段BC上.设dm，割痕线段的长度为ydm，

（1）当时，请从以上三种方式中任意选择一种，写出割痕 MN的取值范围无需求解过程，若写出多种以第一个答案为准

（2）当时，判断以上三种方式中哪一种割痕MN的最大值较小，并说明理由.

【答案】（1）选①：，选②：，选③：   

（2）方式②割痕MN的最大值较小，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据题干要求，无需求解过程，故当时，直接对其中的某一个求解即可；

（2）当时，逐个对以上三种切割方式进行计算，方能判别三种切割方式中哪一种割痕MN的最大值较小.

【小问1详解】

选①：，选②：，选③：

【小问2详解】

选①：令，则，，，

，

时，为减函数，时，为增函数，

当时，，当时，，

选②：令，则，，，

，

时，为减函数，时，为增函数，

当或时，

选③：令，则，，，

，

时，为减函数，时，为增函数，

当或时，，

综上所述，方式②割痕MN的最大值较小，值为

21. 已知，函数

（1）若关于x的方程的解集中恰有一个元素，求a的值;

（2）设，若对任意，函数在区间的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围.

【答案】（1）或；   

（2）

【解析】

【分析】（1）代入解析式表示出方程并化简，对二次项系数分类讨论与，即可确定只有一个元素时的值；

（2）由题可知函数在区间上单调递增，进而可得，然后通过换元法及函数的单调性求函数的最值，即得．

【小问1详解】

由题可知有且仅有一解，

所以有且仅有一解，等价于有且仅有一解，

当时，可得，经检验符合题意；

当时，则，解得，

再代入方程可解得，经检验符合题意；

综上所述，或；

【小问2详解】

当时，，，

所以在上单调递增，

因此在上单调递增，

故只需满足，即，

所以，

即，设，则，

，

当时，，

当时，，又对勾函数在单调递减，

所以，

故，

所以，，

所以a的取值范围为

22. 已知函数，.

（1）若，求函数在上的最小值的解析式;

（2）若对任意，都有，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，对进行分类讨论，结合分段函数的单调性即可得函数在上的最小值的解析式；

（2）由题可得，则可确定为上的奇函数，结合函数的奇偶性与二次函数的性质即可求对任意恒成立时，实数m的取值范围..

【小问1详解】

若，则，

①当时，在单调递减，的最小值为，

②当时，在单调递减，在单调递增，的最小值为，

③当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减，

的最小值为，

由得，，解得，

所以，当时，的最小值为，

当时，的最小值为

综上所述，的最小值为：.

【小问2详解】

显然，且为上奇函数，

①当时，为上的增函数，此时恒有，符合题意；

②当时，令得：，所以，解得：，或者舍去；

（i）时，，，

，

又，所以，令，

则，，

所以当，即，恒成立，

当时，只要，得，所以；

（ii）时，，，

，

，显然恒成立!

综上所述， m的取值范围为或.