邵阳市第二中学2023届高三数学上学期第五次月考试卷（Word版附解析）

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邵阳市二中2023届高三第五次月考数学试卷

第I卷（选择题）

班级：_________         姓名：_________

一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分）

1．复数满足：（其中是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知，，若，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．

3．已知点是角的终边上一点，则（    ）

A． B． C． D．3

4．若，则p成立的一个充分不必要条件是（    ）

A．       B．      C．        D．

5．已知等差数列的前项和为，若，，则（　　）

A．120 B．60 C．160 D．80

6．若都为非零向量，则“”是“与共线”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

7．设，，，则a、b、c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

8．对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

二、多选题（每小题5分共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）

9．已知函数图象的最小正周期是，则（    ）

A．的图象关于点对称

B．将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称

C．在上的值域为     D．在上单调递增

10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（    ）

A．若，则△ABC一定是等边三角形

B．若，则△ABC一定是等腰三角形

C．是成立的充要条件

D．若，则△ABC一定是锐角三角形

11．已知数列 的前项和为，下列说法正确的是（   ）

A．若 ，则  B．若 ，则的最小值为

C．若 ，则数列的前项和为

D．若数列为等差数列，且，则当时，的最大值为

12. 在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开，得到的平面图如图所示.其中，，，M是BB1上的点，则（    ）

A. AM与A1C1是异面直线       B.

C. 平面AB1C将三棱柱截成两个四面体    D. 的最小值是

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．已知定义在上的偶函数满足，则的一个解析式为___________．

14．若，则___________.

15．已知数列满足，，则数列的前项和______．

16．已知函数，函数有四个不同零点，从小到大依次为，则实数的取值范围为___________；的取值范围为_______.

四、解答题（本题共6个小题，共70分，17题10分，其余各12分）

17．已知公差不为零的等差数列和等比数列，满足，，．

(1)求数列、的通项公式：

(2)记数列的前n项和为．若表示不大于m的正整数的个数，求．

18．的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

19．如图所示的几何体中，BE⊥BC，EA⊥AC，BC＝2，，∠ACB＝45°，，BC＝2AD．

(1)求证：AE⊥平面ABCD；

(2)若∠ABE＝60°，点F在EC上，且满足EF＝2FC，求二面角F－AD－C的余弦值．

20．奥密克戎BA.5变异毒株的潜伏期又缩短了，但具体到个人，感染后潜伏期的长短还是有个体差异的．潜伏期是指已经感染了奥密克戎变异株，但未出现临床症状的和体征的一段时期，奥密克戎潜伏期做核算检测可能为阴性，建议可以多做几次核算检测，有助于明确诊断．某研究机构对某地1000名患者进行了调查和统计，得到如下表：

(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均值．

(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300 人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95％的把握认为潜伏期与患者年龄有关．

(3)为了做好防疫工作，各个部门、单位抓紧将各项细节落到实处，对“确诊”、“疑似”、“无法明确排除”和“确诊密接者”等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密接接触”，现医护人员要对这5人进行逐一“单人单管”核酸检测，只要出现一例阳性，则该小区将被划为“封控区”．假设每人被确诊的概率为且相互独立，若当时，至少检测了4人该小区就被划为“封控区”的概率取得最大值，求．

附：，其中

21．已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.

22．已知函数，，．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，探究关于的方程的实数根的个数．

数学参考答案：

7.【详解】由，

因为，，则，，

令且，则，则递减，

所以，即，则，故；

因为，，由，

令且，则，则递增；

故，，而，

所以，则，即，

综上，.

故选：D

8.【详解】当时，，，故显然成立.

当时，不等式恒成立，即成立，即，进而转化为恒成立.

令，则，当时，，所以在上单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立.

因为，，所以，，所以对任意的恒成立，所以恒成立.

设，可得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数取得最大值，最大值为，此时，所以，解得，即实数的取值范围是.

综上实数的取值范围是.故选：C

13．（答案不唯一）  14．    15．

16．         

【详解】由题设，当时，，且单调递减；

当时，，且单调递增；

当，，且单调递减；

当，，且单调递增；

综上，的函数图象如下：

所以有四个不同零点，即与有四个交点，由图知：，

则在上，在上，

令，则，即是的两个根，故，

而是，即的两个根，故，

所以.

故答案为：，

四、解答题

17．（1），；---------(4分）

(2)   显然，且，即为递增数列，

，，，，

所以，，时，，所以.-----（10分）

18.(1) ;-------------（5分）

解：(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，

故，解得.

又应用正弦定理，，

由三角形面积公式有：

.

又因,故，

故.----------------（12分）

19．（1）在△ABC中，BC＝2，，∠ACB＝45°，

由余弦定理可得，

所以AB＝2，满足，

所以△ABC是直角三角形，AB⊥BC．

又BE⊥BC，，平面ABE，

所以BC⊥平面ABE，

因为平面ABE，所以BC⊥AE，

因为EA⊥AC，，平面ABCD，

所以AE⊥平面ABCD．-----------（6分）

（2）由（1）知，BC⊥平面ABE，BC平面BEC，

所以平面BEC⊥平面ABE，

在平面ABE中，过点B作Bz⊥BE，则Bz⊥平面BEC，

如图，以B为原点，BE，BC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系B－xyz，

∠ABE＝60°,且，，

过作交于点，

则，

则，，，，，

因为EF＝2FC，所以，

易知，，

设平面ADF的法向量为，

则即，令，则y＝0，x＝9，

所以为平面ADF的一个法向量，

由（1）知EA⊥平面ABCD，

所以为平面ABCD的一个法向量．

设二面角F－AD－C的平面角为，

由图知为锐角，则，

所以二面角F－AD－C的余弦值为．---------（12分）

20．(1)   (2)没有的把握认为潜伏期与年龄有关   (3)

解：根据统计数据，计算平均数为

（天）；----（2分）

（2）依题意潜伏期不超过天的抽取人，

超过天的抽取人，

所以可得列联表如下：

根据列联表计算，

所以没有的把握认为潜伏期与年龄有关；----------（6分）

（3）至少检测4人该小区被测定为“封控区”包含两种情况：

①检测4次被确定，②检测5次被确定．

则至少检测了4人该小区被确定为“封控区”的概率为．

设，

，

，当时，当时，

即在上单调递增，在上单调递减，

所以时函数取得极大值即最大值，

当时，最大，

．---------------------（12分）

21．(1)(2)过定点

（1），-------------------（4分）

（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，

由，得，

，

所以，，

，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

化简得，

即，

所以或，

当时，直线的方程为，

则直线过定点（舍去），

当时，直线的方程为，

所以直线过定点，

②当直线的斜率不存在时，设直线为（），

由，得

所以，

所以，

解得（舍去），或，所以直线也过定点,

综上，直线恒过定点.----------------(12分）

22．解：（1）当时，，，所以，即为偶函数．

当，时，，所以，

所以当，时，；当，时，；

所以函数在，上单调递增，在，单调递减；

又根据偶函数的图象关于轴对称知，函数在，上单调递增，在，上单调递减；-------------（5分）

（2）因为，所以，

当时，对任意，恒成立，此时在，上单调递增，

又，

所以关于的方程无实数根；

当时，使得，即．

且当时，；当，时，；

所以函数在上单调递增，在，单调递减；

，，

①当，即时，关于的方程在区间，上无实数根，

所以关于的方程在，上无实数根；

②当，即时，关于的方程在区间，上有1个实数根，

所以关于的方程在，上有2个实数根；

综上，当时，关于的方程在，上有2个实数根；当时关于的方程在，上无实数根．----------（12分）