湖南省名校联盟2023届高三数学下学期4月联考试卷（Word版附解析）

绝密★启用前（新高考卷）

数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合，若，则集合可以为（    ）

A. B. C. D.

2.复数是纯虚数的充分不必要条件是（    ）

A.且 B. C.且 D.

3.函数的定义域为，导函数为，若对任意，成立，则称为“导减函数”.下列函数中，是“导减函数”的为（    ）

A. B. C. D.

4.用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着相同色的有（    ）

A.96种 B.24种 C.48种 D.12种

5.从午夜零时算起，在钟表盘面上分针与时针第次重合时，分针走了，则24小时内（包括第24时）所有这样的之和（    ）

A.24 B.300 C.16560 D.18000

6.将水平放置，棱长为1的正方体容器（不计容器壁厚度）中注入一半的水，现将该正方体容器任意摆放，并保证水不溢出，则平行于水平面的水面面积的最大值为（    ）

A. B.1 C. D.

7.2022年12月4日20点10分，神州十四号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神州十四号返回舱成功着陆的直播盛况.根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位，和一个移动拍摄机位.根据当时气候与地理特征，点在拋物线（直线与地平线重合，轴垂直于水平面.单位：十米，下同.的横坐标）上，的坐标为.设，线段，分别交于点，，在线段上.则两固定机位，的距离为（    ）

A. B. C. D.

8.设的最小值为，最大值为，若正数，满足，则（    ）

A.  B.

C.  D.

二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知一组数据：0，1，2，4则（    ）

A.该组数据的极差，中位数，平均数之积为10

B.该组数据的方差为2.1875

C.从这4个数字中任取2个不同的数字可以组成8个两位数

D.在这4个数字中任取2个不同的数字组成两位数，从这些两位数中任取一数，取得偶数的概率为

10.若函数同时满足以下条件：①，是函数的零点，且；②，有，则（    ）

A.

B.将的图象向左平移个单位长度得到的图象解析式为

C.在上单调递减

D.直线是曲线的一条对称轴

11.直线，与椭圆共有四个交点，它们逆时针方向依次为，，，则（    ）

A.  B.当时，四边形为正方形

C.四边形面积的最大值为 D.若四边形为菱形，则

12.已知和是定义在上的函数，若存在区间，且，则称与在上同步.则（    ）

A.与在上同步

B.存在使得与在上同步

C.若存在使得与在上同步，则

D.存在区间使得与在上同步

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.展开式中的系数为______.

14.双曲线的上焦点为，，为曲线上两点，若四边形为菱形，则的离心率为______.

15.在正五边形中，，则______.

16.若，，则______.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知的内角，，的对边分别为，，，若.

（1）求的值；

（2）若的面积为，求周长的最大值.

18.（12分）

在数列中，，，.

（1）求的通项公式；

（2）记数列的前项和为，求的最大值.

19.（12分）

某商场举行有奖促销活动，顾客当日消费金额达366元及以上的均可抽奖.每次抽奖都是从装有2个红球，8个白球的箱子中一次性取出2个小球，若取出2个红球，得200元本商场购物券；若取出1个红球和1个白球，得80元本商场购物券；若取出2个白球，得10元本商场购物券.

（1）求顾客抽一次奖获得购物券金额的分布列；

（2）为吸引更多的顾客，现在有两种改进方案，甲方案：在原方案上加一个红球和一个白球，其他不变.乙方案：在原方案的购物券上各加10元，其他不变；若你是顾客，你希望采用哪种方案.

20.（12分）

在四棱锥中，，，，，顶点在底面上的射影在线段上，且.

（1）证明：；

（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

21.（12分）

椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为.

（1）求的方程；

（2）过点的直线交双曲线右支于点，，点在上，求面积的取值范围.

22.（12分）

已知函数，.

（1）函数在处取得极大值，求的值；

（2）若，证明：.

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数学参考答案

1.【答案】C

【解析】，所以集合可以为.

2.【答案】

【解析】复数是纯虚数的充要条件是且，所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件.

3.【答案】D

【解析】，，则符合导减函数的定义.

4.【答案】B

【解析】①③⑤着相同的颜色，可以有种，②④⑥按要求着色有种，所以共有24种.

5.【答案】C

【解析】在钟表盘面上，分针每分钟转，时针每分钟转，即，数列是以为首项，公差为的等差数列.，24小时内分针与时针重合22次，.

6.【答案】D

【解析】因为水的体积恰好是容器容积的一半，水面可以是以为边长的正六边形，此时水面面积为；

水面可以是正方体的对角面，此时水面面积为，所以平行于水平面的水面面积的最大值为.

7.【答案】B

【解析】设，，，根据条件有，，

∴，.由题意，，互不相等，把，，分别代入上两式化简得，，消去得.的方程是，即，∴的方程为，∴经过定点.所以点的坐标为.，即两固定机位，的距离为.

8.【答案】A

【解析】设，，则，，，，即点的轨迹是椭圆在坐标轴正半轴和第一象限的部分.设，即，所以当，即时，取得最小值2，即（此时直线过椭圆的上顶点）.直线与椭圆在第一象限相切时，最大.将代入椭圆方程并化简得，所以，所以（负值已舍）.所以.，即，所以.由知，，，所以与均是单调减函数，所以.所以A正确.

9.【答案】BD

【解析】该组数据的极差为4，中位数为1.5，平均数为1.75，它们之积为10.5，方差为2.1875，可以组成9个两位数，其中只有21，41两个奇数，从中随机抽一数，抽到偶数的概率为.

10.【答案】ABC

【解析】函数的零点，即方程的解，所以，，

由②知是函数的一条对称轴，解得，

所以.将的图象向左平移个单位长度得到函数.

11.【答案】ACD

【解析】，由椭圆的对称性知四边形是平行四边形.设，，，，解得，A正确.

，，，平行四边形的高即为两平行线之间的距离，当时，，B错误.

，设，，，C正确.

若四边形是菱形则，，解得，正确.

12.【答案】BC

【解析】由题知与在上同步，即在上，至少存在两个零点，，对于A，在上单调递增，所以A错误.

对于B，，，，，函数在上必有一个零点，所以B正确.

对于C，，，当时函数在上单调递减，至多有一个零点，不符合题意，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，当时，，要有两个零点，则，解得，所以C正确.

对于D，在，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，所以，没有零点，所以D不正确.

13.【答案】135

【解析】，，，.

14.【答案】

【解析】上焦点，因为四边形为菱形，，则可设，由得，将点的坐标代入解得，，所以的离心率为.

15.【答案】

【解析】分别连接，，设，，连接，则，.设，则.由得，即，解得.所以.

16.【答案】

【解析】由，

得，，

即，.

设，则是上的奇函数，

，所以是上的单调增函数.

又，，所以，

所以，即，所以.

17.（10分）

【解析】（1）设，，在中，由正弦定理得，，，代入已知化简得，

又在中有：，

即，

【方法一】∵，

即，所以，所以.

【方法二】∵，

即，所以，所以.

（2）在中有，，，

由正弦定理得：，，，

因在中，，，，

所以，，当时，等号成立，周长取得最大值12.

18.（12分）

【解析】（1）当为奇数时，即数列的奇数项是以18为首项，为公差的等差数列，.

当为偶数时，即数列的偶数项是以24为首项，为公差的等差数列，.

所以.

（2）当为奇数时，，

即，，都大于0，，，

当为偶数时，，

即，，，都大于，，，

所以的最大值为.

19.（12分）

【解析】（1）设获得购物券的金额为，则可以取200，80，10，

，，.

的分布列为：

（2）方案甲，设获得购物券的金额为，则可以取200，80，10，

，，.

.

方案乙，设获得购物券的金额为，.

因，所以顾客希望采用方案乙.

20.（12分）

【解析】（1）证明：∵在中，，

，∴，

延长交于点，由题易知，

∵，∴，，

∵，，

∴四边形为平行四边形，∴，．

∵平面ABCD，平面，

∴.

∵，是平面内两相交直线，

∴平面BPD．

∵平面BPD，

∴.

（2）由（1）知，，互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

∴，，，.

设平面的一个法向量为，

则即，

不妨取，得.

设平面的一个法向量为，

则即，

不妨取，得

所以.

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

21.（12分）

【解析】（1）直线方程为，即，

到直线的距离，化简得，

所以，解得，，

所以的方程为：

（2）设直线的方程为，由于的渐近线的斜率为，所以.将方程代入

化简得.设，，则，，

，

设平行于与椭圆相切的直线为，

由得，

由得

直线与之间的较小距离，直线与之间的较大距离

则面积的较小值为，面积的较大值为

.

设，，，则，，，

∴，.

所以面积的取值范围为.

22.（12分）

【解析】（1），，，

∴，

∴.

因为，所以.

当，或时，，

当时，，

即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且.

因为，，所以，

即.

（2）由为偶函数，则只需考虑的情况：

记，有，

（ⅰ）当，有，所以单调递增，有，

①当，有，成立；

②当，记，则只需证，；

，；有，

当，有，则单调递增，，成立；

当，有，则单调递减，

有，成立；

（ⅱ）当，有，所以单调递减，

有，

记，其中，只需证，

有，当，易知，

当，有，

所以单调递减，则，成立；

综上可知，有.